高三理科数学暑期讲义 第7讲.直线与圆 教师版

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1、 68 本讲分三小节，分别为直线与圆的基本量与方程、位置关系、线性规划，建议用时 3 课时直线 的基本量有倾斜角、斜率与截距，直线方程重点掌握点斜式方程、斜截式方程与一般式方程，注意这 三种直线方程分别在什么形式下使用，以及设立方程时要讨论斜率不存在的直线直线与圆的位置关 系中，注重对圆的几何性质的应用直线系问题是选讲考点 第一小节为直线与圆的基本量与方程，共 3 道例题其中 例 1 主要讲直线的基本量； 例 2 主要讲解直线方程； 例 3 主要讲解圆的基本量与方程； 第二小节为位置关系，共 4 道例题其中 例 4 主要讲解直线与直线的位置关系； 例 5 主要讲解对称问题； （之后有直线系的选

2、讲知识点与例题，学生版不出现） 例 6 主要讲直线与圆的相离与相切问题； 例 7 主要讲解直线与圆相交与弦长问题； 第三小节为线性规划，共 1 道例题 例 8 主要讲解线性规划的一些问题 注：本讲铺垫学生版出现，可以作为知识点与基本方法的复习；拓 1 到拓 5 学生版不出现，可以 作为一些程度非常好的班级的拓展思考 （2008 北京理 7）过直线yx上的一点作圆 22 512xy的两条切线 12 ll，当直线 真题再现 知识结构图 第 7 讲 直线与圆 69 12 ll，关于yx对称时，它们之间的夹角为（ ） A30 B45 C60 D90 【解析】 C （2010 北京理 7）设不等式组 1

3、10 330 5390 xy xy xy 表示的平面区域为D，若指数函数 x ya的图 象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（ ） A1 3， B23， C12， D3， 【解析】 A 1、 下面命题中正确的是（ ） A经过定点 000 ()P xy，的直线都可以用方程 00 ()yyk xx表示 B经过任意两个不同的点 111222 ()()P xyP xy，的直线都可以用方程 121121 ()()()()yyxxxxyy表示 C不经过原点的直线都可以用方程1 xy ab 表示 D经过点(0)Ab，的直线都可以用方程ykxb表示 2、 点(4)a，到直线431xy的距离不大于3，则实数a

4、的取值范围是（ ） A2 12， B1 12， C0 10， D 19 ， 3、 已知过点( 2)Am ，和(4)B m，的直线与直线210xy 平行，则m的值为（ ） A0 B8 C2 D10 4、 0AC且0B 是方程 22 0AxBxyCyDxEyF表示圆的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 5、 “ab”是“直线2yx与圆 22 ()()2xayb相切”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 6、 圆 22 2690xyxy关于直线50xy对称的圆的方程是（ ） A 22 (6)(2)1xy B

5、22 (6)(2)1xy C 22 (2)(6)1xy D 22 (2)(6)1xy 7、 圆 22 2430xyxy 上到直线10xy 的距离为2的点共有（ ）个 A1 B2 C3 D4 8、 点(13)A ，(52)B，点P在x轴上使APBP最大，则P的坐标为（ ） A(40)， B(130)， C(50)， D(10)， 9、 直线yxm 与圆 22 1xy在第一象限内有两个不同交点，则m的取值范围是（ ） A02m B12m C12m D12m 10、 ABC中，abc， ，是内角ABC， ，的对边，且lgsin A、lgsinB、lgsinC成等差数列， 则下列两条直线 1 l： 2

6、 sinsin0A xA ya与 2 l： 2 sinsin0B xC yc 的位置关系是 （ ） A重合 B相交（不垂直） C垂直 D平行 小题热身 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B B A C C B B A 1直线 直线l的倾斜角：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角与x轴平行或重 合的直线的倾斜角为零度角 直线l的斜率k：tank； 21 12 21 yy kxx xx ；倾斜角为90的直线斜率不存在 直线方程 点斜式 00 yyk xx， 00 P xy，为直线上任一点，k为直线的斜率 斜截式 ykxb 截距式 10 xy ab ab 一般式

7、 22 00AxByCAB 两条直线的位置关系： 11112222 :0:0lAxB yClA xB yC， 1 l与 2 l重合 1212 0ABB A且 1212 0BCC B；若 2 l的系数均不为0可以写成： 111 222 ABC ABC ； 12 ll 1212 0ABB A且 1212 0BCC B；若 2 l的系数均不为0可以写成： 111 222 ABC ABC ； 1 l与 2 l相交 1212 0ABB A； 12 ll 1212 0A AB B 距离公式： 点到直线距离公式：点 00 A xy，到直线:0l AxByC的距离 00 22 AxByC d AB ； 平行线

8、间距离公式： 1122 :0:0lAxByClAxByC，的距离 12 22 CC d AB 2圆 圆的方程 标准方程： 22 2 xaybr，C ab，为其圆心，0r 为其半径； 一般方程 22 0xyDxEyF，圆心 22 DE C ，半径 22 1 4 2 rDEF， 当 22 40DEF时，方程表示圆； 位置关系 直线与圆的位置关系：圆心到直线l的距离为d，r为圆的半径 dr时，相离；dr时，相切；dr时，相交 圆与圆的位置关系：两圆半径 12 rr，圆心距为d 12 drr时，外离； 12 drr时，外切； 1212 rrdrr时，相交； 12 drr时，内切；当 12 drr时，内

9、含 3线性规划 当0B 时， 知识梳理 71 0AxByC所表示的平面区域是直线0AxByC的上半部分； 0AxByC所表示的平面区域是其下半部分； 反之，当0B 时，则0AxByC表示的平面区域是直线0AxByC的下半部分； 0AxByC所表示的平面区域是其上半部分 也可根据A的正负，确定不等式对应的是直线的左半部分还是右半部分 考点：直线的基本量 直线的倾斜角、斜率、截距、直线上的点等等都属于直线的基本量的范畴一般来说，知 道直线的两个基本量就可以确定一条直线注意倾斜角变化时，斜率的变化规律；当倾斜 角090 )，时， 斜率k都随的增加而增加， 从0增加到； 当倾斜角(90180 )， 时

10、，斜率k都随的增加而增加，从增加到0倾斜角为90时，斜率不存在直线的 截距要注意的是可正可负，与距离无关，是与坐标轴交点对应的坐标值 【例1】 直线cos20sin2030xy的倾斜角是（ ） A20 B160 C70 D110 已知( 24)(30)AB ， ， 直线l过原点(00)O，且与线段AB相交， 则直线l斜率的取值 范围是_ 如果直线0AxByC经过第一、二、四象限，则（ ） A0AC ，0BC B0AC ，0BC C0AC ，0BC D0AC ，0BC 【解析】 D；20)，； C 【拓 1】直线sin10xy 的倾斜角的范围是_ 【解析】 3 44 ，； 考点：直线方程 直线的

11、五种形式直线的五种形式里面，常用的形式是斜截式、点斜式与一般式 已知直线上一点，用点斜式方程；已知直线的斜率用斜截式方程注意这两种形式都不能 表示斜率不存在的直线有时已知直线的横截距我们会将直线设为倒斜横截式，即 myxb的形式，这种形式不能表示斜率为零的直线，斜率为 1 m 一般式方程在求点到 直线的距离公式时用到，它可以表示所有的直线 直线的截距式使用较少，一般在比较明显涉及到横纵截距或其关系时使用，要注意单独讨 论截距为零的情况；直线的两点式很少使用，给出两点求直线方程通常也会先求斜率，再 用点斜式写出 【例2】 直线l过点2 1M，且分别交x、y轴于A、B点，O为坐标原点， 若直线的横

12、截距与纵截距相等，则符合条件的直线l有_条 若直线的横截距与纵截距之和为3，则符合条件的直线l有_条 若M为AB中点，则直线l的方程为_； 若:1:2MAMB ，则直线l的方程为_ AB，在xy、轴正半轴时，AOB的面积的最小值为_ 7.1 直线与圆的基本量与方程 72 【解析】 2； 2； 240xy； 3xy； 4； 考点：圆的基本量与方程 求圆的方程可以先通过几何关系求圆心坐标与半径，再写出圆的标准方程；也可以直接设 圆的一般方程，通过条件得到参数的方程，求得结果，后者的计算量更大例 3 求圆的方 程的题有些如果通过几何关系求圆心，需要用到线段的中垂线的求法 注意圆的一般方程 22 0x

13、yDxEyF表示圆需要 22 40DEF， 可以通过配方成 圆的标准方程得到此不等式例：方程 222 2210xyaxayaa 表示圆，则a的 取值范围是_解： 2 2 2 22 210 24 aa xyaaaa ，解得 2 2 3 a 【铺垫】写出满足下列各条件的圆的方程： 以( 31)A ，(55)B，为直径的圆； 圆心为(12)，且与直线512 ?70xy相切的圆的方程 【解析】 22 (1)(2)25xy； 22 (1)(2)4xy 【例3】 写出满足下列各条件的圆的方程： 与xy，轴均相切且过点(18)，的圆； 圆心在直线40xy上，且与直线:10l xy 切于点(32)P，的圆的方

14、程； 过点(1 1)A ，( 35)B ，且圆心在直线220xy上的圆的方程 【解析】 22 (5)(5)25xy或 22 (13)(13)169xy； 22 (1)(4)8xy； 22 (2)(2)10xy 考点：直线与直线的位置关系 铺垫复习两直线平行、垂直的条件，以及平行线间的距离公式 【铺垫】“两直线的斜率相等”是“两直线平行”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 “ 1 2 m ”是“直线(2)310mxmy 与直线(2)(2)30mxmy相互垂直”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 已知直线:

15、220l xy，与直线l平行且距离等于 2 5 5 的直线方程为_ 【解析】 A； 7.2 位置关系 73 A； 20xy或240xy 【例4】 直线210xy 绕(1 1)，逆时针旋转90，再向上平移 1 个单位，所得到的直线为 （ ） A210xy B250xy C210xy D250xy 已知正方形的中心为直线220xy和10xy 的交点， 正方形一边所在直线的方 程为350xy，其它三边所在的直线方程分别为_ 若直线m被两平行线 1: 10lxy 与 2: 30lxy所截得的线段的长为2 2， 则m的 倾斜角是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 （写出所有正确答案的序

16、号） 【解析】 D 370xy，390xy，330xy； 【拓 2】已知两点(1 6 3)A ，、(0 5 3)B，到直线l的距离等于a，且这样的直线l可作4条，则a的取 值范围为（ ） A1a B01a C01a D021a 【解析】 B； 考点：对称问题 1点关于直线的对称点： 点 00 ()P xy，关 于 直 线0A xB yC的 对 称 点()Q xy，可 以 通 过 解 方 程 组 00 00 ()() ()()20 A yyB xx A xxB yyC 来求出，第一个方程代表PQ与对称轴垂直，第二个方程 代表PQ的中点在对称轴上 对于几个特殊情形可以单独总结： 00 ()P xy

17、，关于x轴的对称点是 00 ()Q xy， 关于y轴的对称点是 00 ()Qxy， 关于 原点O的对称点是 00 ()Qxy，； 00 ()P xy，关 于 直 线yx的 对 称 点 是 00 ()Q yx， 关 于yx 的 对 称 点 是 00 ()Qyx， 00 ()P xy，关于直线yxm的对称点是 00 ()Q ymxm，关于yxm 的对称 点是 00 ()Qymxm， 2直线l关于点P对称直线 l ；ll ，且l上的点关于P的对称点在 l 上 如：直线10xy 关于点(12)，的对称直线方程可设为0xym，又( 10) ，在 直线10xy 上，( 10) ，关于(12)，的对称点为(

18、34)，故7m ，即所求直线为 70xy 3直线 0 l关于直线l的对称直线 0 l： 若 0 ll，则 00 ll ，且 0 l与l之间的距离等于 0 l与l之间的距离； 若 0 l与l相交，则交点在 0 l上，且 0 l上任一点关于直线l的对称点也在 0 l上 【例5】 已知( 12)A ，(43)B，在x轴上有一点P，使PAPB最小，则P点的坐标为 _ 直线:210l xy 关于点(1 1)，的对称直线方程为_ ABC中，点A的坐标为( 22) ，点B的坐标为( 42)，A的角平分线恰好经过 原点，则边AC所在的方程为 【解析】 (10)，； 250xy； 260xy； 74 * 直线系

19、选讲（学生版不出现） 直线系问题是选讲考点，不作常规要求，可以根据学生情况选择讲解圆系与曲线系问题 因为使用较少，不再介绍 知识点：知识点：过定点 00 ()xy，的直线系方程 00 ()yyk xx； 和直线0AxByC平行的直线系方程0AxBy C （CC ） ； 和直线ykxb平行的直线系方程ykxbbb，； 和直线0AxByC垂直的直线系方程0BxAy C ； 经 过 两 相 交 直 线 111 0AxB yC和 222 0A xB yC的 交 点 的 直 线 系 方 程 111222 ()0AxB yCA xB yC（不包括直线 222 0A xB yC） 【例题例题】 直线l经过直

20、线3260xy和2570xy的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直 线l 的方程； 求经过直线3210xy 和340xy的交点，垂直于直线340xy的直线l的方 程； 求经过两直线231xy，322xy的交点，且平行于直线30yx的直线方程； 已知过点3 ,1P的直线l被两平行直线 1: 210lxy 与 2: 230lxy所截的线段中 点在直线 2: 10lxy 上，求直线l的方程 【解析】 显然直线2570xy不满足要求， 设直线l的方程为3262570xyxy 根据截距相等列方程，解得l的方程为340xy或10xy 320xy； 25 30 13 xy； 设点3 , 1P的直线l被两平行

21、直线 1: 210lxy 与 2: 230lxy所截的线段中点为 M，则容易知道点M在直线220xy上，于是可以利用过两直线交点的直线系方程 求解： 设直线l的方程是2210xyxy，则由于该直线过点3 ,1P，解得3 于是直线l的方程是2510xy * 考点：直线与圆的位置关系 圆的位置关系问题我们主要讨论直线与圆的位置关系，有相离、相交与相切三类，因为圆 有很好的几何性质，所以直线与圆的位置关系问题常常是通过圆的几何性质求解的，很少 联立方程求解 这是直线与圆的位置关系与直线与圆锥曲线的位置关系问题明显不同的地 方 圆与圆的位置关系问题涉及较少，我们不专门提及，在例题中有所涉及 在直线与圆

22、的位置关系里面有几类问题是比较有代表性的：在直线与圆的位置关系里面有几类问题是比较有代表性的： 过切点的切线方程与切点弦方程过切点的切线方程与切点弦方程： 若直线与圆 222 xyr相切于点 00 ()xy，则切线方程可以写成： 2 00 x xy yr； 更一般地，与圆 222 ()()xaybr相切于点 00 ()xy，的切线方程为： 2 00 ()()()()xa xayb ybr 如果点 00 ()xy，在圆外，则与切线方程同样形式的方程表示过该点所作的圆的两条切线 75 对应的切点连线的方程，即切点弦方程 定圆外一动点引圆的切线问题：定圆外一动点引圆的切线问题： 设圆的圆心为O，半径

23、为r，过圆外一点P引圆的切线PA、PB，POd， 那么POA 和POB是关于PO对称的直角三角形， 22 PAPBdr； 以下几个条件完全等价： d越短切线长PA越短圆心角AOB越小 弧长AB和弦长AB越短四边形PAOB面积越小 定圆上到定直线距离为定值的点的个数问题：定圆上到定直线距离为定值的点的个数问题： 设圆的圆心为O，半径为r，圆心O到定直线l的距离为d求圆上到直线l距离为m的 点的个数 到直线l距离为m的点的轨迹是两条与l平行， 距离为m的直线； 和圆心在l同侧的那条 记为 1 l，另外一条记为 2 l则O到 1 l的距离为dm，O到 2 l的距离为dm，圆与 1 l和 2 l的交点

24、就是圆上到l距离为m的点分别判断dm和dm与r的大小，可知圆与 1 l 和 2 l的交点个数 【铺垫】 已知圆 22 :5O xy和点(12)A ，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形 的面积等于 过圆O： 22 2xy外一点(42)P，向圆引切线，切点为 12 PP，则切线方程为_， 直线 12 PP的方程为_ 【解析】 25 4 20xy与7100xy；210xy ； 【例6】 圆 22 2210xyxy 上的动点Q到直线3480xy距离的最小值为_ 与直线20xy相切且与曲线 22 1212540xyxy相外切的半径最小的圆的 标准方程是_ 【解析】 2； 22 (2)(2)2

25、xy 【拓 3】已知点()P xy，是直线40kxy(0)k 上一动点，PA，PB是 圆 22 :20C xyy的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB 的最小面积是 2，则k的值为（ ） A3 B 21 2 C2 2 D2 【解析】 D 【例7】 若21P，为圆 2 2 125xy的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ） A30xy B230xy C10xy D250xy （2011 上学期东城期末统考文 4）直线l过点( 40) ，且与圆 22 (1)(2)25xy交于 AB，两点，如果8AB ，那么直线l的方程为（ ） O B A P C B A P y Ox 76 A512200xy

26、 B512200xy或40x C512200xy D512200xy或40x （2010 江西理 8）直线3ykx与圆 22 (3)(2)4xy相交于M，N两点，若 2 3MN ，则k的取值范围是（ ） A 3 0 4 ， B 3 0 4 ， C 33 33 ， D 2 0 5 ， 【解析】 A； D A 【拓 4】 （2010 江苏 9）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 4xy上有且只有四个点到直线 1250xyc的距离为1，则实数c的取值范围是_ 【解析】 ( 13 13)， 考点：线性规划 【铺垫】 原点和点(1 1)，在直线0xya的两侧，则a的取值范围是 （2012 朝阳高三期

27、末 11）在平面直角坐标系中，不等式组 0 40 xy xy xa 所表示的平面区域 的面积是 9，则实数a的值为 在约束条件 25 24 0 0 xy xy x y 下，34zxy的最大值是_ 【解析】 0, 2； 1；11 【例8】 已知点P xy，的坐标满足条件 1 2 220 x y xy ， ， ，那么 22 xy的取值范围是_， 1 1 y x 的取值范围是_ （2012 昌平二模 13）若变量x，y满足约束条件 0 0 x y yx 4 表示的平面区域为M， 则当42a 时，动直线xya所经过的平面区域M的面积为_ 若不等式组 22 0 xy xy y xya 表示的平面区域是一

28、个三角形，则a的取值范围是（ ） 7.3 线性规划 77 A 4 3 a B01a C 4 1 3 a D01a或 4 3 a 【解析】 4 5 5 ，； 1 3 2 ，； 7； D； 【拓 5】 设二元一次不等式组 2190 80 2140 xy xy xy 所表示的平面区域为M，使函数 x ya(01)aa，的 图象过区域M的a的取值范围是（ ） A1 3， B210 ， C2 9， D10 9 ， 【解析】 C 一、选择题 1、 设AB，为x轴上两点， 点P的横坐标为 2， 且P AP B， 若直线PA的方程为10xy ， 则直线PB的方程为（ ） A270xy B210xy C240x

29、y D50xy 【解析】 D 2、 “4ab ”是“直线210xay 与直线220bxy平行”的（ ） A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 【解析】 C 3、 若过点(4 0)A，的直线l与曲线 22 (2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为 （ ） A33 ， B 33， C 33 33 ， D 33 33 ， 【解析】 C 4、 （2011 东城高三期末理 6）直线0axbyab与圆 22 2xy的位置关系为（ ） A相交 B相切 C相离 D相交或相切 【解析】 D 5、 直线3yx与圆 22 215xyx相交于P，Q两点，点M是圆上一点

30、，且MPQ的面 积等于 8，这样的点M有且仅有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解析】 D 课后习题 78 二、填空题 6、 （2012 朝阳高三期末 12） 设直线10xmy 与圆 22 124xy相交于A，B两点， 且弦AB的长为2 3，则实数m的值是 【解析】 3 3 ； 7、 如果直线 2 (2)(32)2mxmmym与y轴平行，则m _ 【解析】 1； 8、 （2012 海淀高三期末 13）已知圆C： 22 (1)2xy，过点( 10)A ，的直线l将圆C分成 弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l的方程为 【解析】 310xy ； 9、 已知点P xy，的坐标满足条件

31、 2 8 x yx xy ，点O为坐标原点，那么|PO的最大值等于 【解析】 2 10 10、 若实数xy，满足 22 1 420 x yx xyx ，则32zxy的最小值是 ；在平面直角坐 标系中，此不等式组表示的平面区域的面积是 【解析】 0； 2 2 三、解答题 11、 求由三条直线220xy，260xy，260xy所构成的三角形的外接圆方程 【解析】 22 27180xyxy 12、 已知圆O： 22 1xy， 圆C： 22 (2)(4)1xy， 由两圆外一点()P ab，引两圆切线PA、 PB，切点分别为A、B，如右图，满足PAPB 求实数a、b间满足的等量关系； 求切线长PA的最小值 是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切，并且与圆C相 外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，说明理由 【解析】 250ab C P B A O y x 79 min |2PA 不存在符合题设条件的圆P