高三理科数学暑期讲义 第8讲.圆锥曲线的概念与基本量 教师版

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1、 81 本讲分三小节，分别为椭圆、双曲线、抛物线，建议用时34 课时本讲的教学重点在于掌握圆 锥曲线的代数方程特点、几何图形特点，以及准确理解基本量的代数表示与对应的几何线段对于椭 圆和抛物线还应在此基础上能够解决一些较为复杂的组合图形问题 第一小节为椭圆，共 3 道例题其中 例 1 主要讲解椭圆的方程； 例 2 主要讲解椭圆的性质； 例 3 主要讲解椭圆的基本量（其中包括解一些与椭圆有关的几何图形问题） 第二小节为双曲线，共 3 道例题其中 例 4 主要讲解双曲线的方程； 例 5 主要讲解双曲线的性质； 例 6 主要讲解双曲线的基本量 第三小节为抛物线，共 2 道例题其中 例 7 主要讲解抛

2、物线的定义、方程与性质； 例 8 主要讲解与抛物线有关的简单几何图形 曲线C 椭 圆 双 曲 线 抛物线 知识梳理 知识结构图 第 8 讲 圆锥曲线的 概念与基本量 82 定义 到两个定点 12 ,F F的距离和 为定值2a（大于两个定点之 间的距离）的点的轨迹 焦距 12 20FFc 到两个定点 12 ,F F的距离差 的绝对值为定值2a（小于两 定点间的距离）的点的轨迹 焦距 12 20FFc 到一个定点F的距离 等于到一条定直线l （Fl） 的距离的点的 轨迹 标 准 方 程 （最常 见形式） 22 22 222 10 xy ab ab abc 22 22 222 100 xy ab a

3、b cab ， 2 20ypx p 曲线 O y xF2F1 x y OF2F1 l F y O x 范围 ,axabyb xaxa或 0x 对称性 x轴，y轴；原点 x轴，y轴；原点 x轴 顶 点 与 轴长 顶点四个 长轴长2a；短轴长2b 顶点两个 实轴长2a；虚轴长2b 顶点一个00， 无轴长 焦点 12 00FcF c ， ， 12 00FcF c ， ， 0 2 p F ， 准线 渐近线 准线不要求 无渐近线 准线不要求 渐近线 b yx a 准线 2 p x ， 无渐近线 离心率e 01 c e a ， e椭圆越扁 1 c e a e双曲线开口越大 1e （2009 北京理 12）

4、椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 1 F， 2 F，点P在椭圆上，若 1 4PF ，则 2 PF ； 12 F PF的大小为 （2010 北京理 13）已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为 2，焦点与椭圆 22 1 259 xy 的焦点相 同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 （2012 年北京理 12）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线 2 4yx的焦点F，且与该抛 物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60则OAF的面积 为 【解析】 2，120 ( 40) ，；30xy 3 真题再现 83 1、 已知椭圆的长轴长是8，离心率为 3 4 ，则

5、此椭圆的标准方程是（ ） A 22 1 169 xy B 22 1 167 xy 或 22 1 716 xy C 22 1 1625 xy D 22 1 1625 xy 或 22 1 2516 xy 2、 椭圆 22 1 123 xy 的左、右焦点分别为 1 F和 2 F，点P在椭圆上，如果线段 1 PF的中点在y轴 上，那么 1 PF是 2 PF的（ ） A7倍 B5倍 C4倍 D3倍 3、 已知 1 F、 2 F是椭圆的两个焦点，过 1 F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若 2 ABF是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A 3 2 B 2 2 C21 D2 4、 若椭圆

6、 22 1 xy mn （0,0mn）与曲线 22 xymn无交点，则椭圆的离心率e的取 值范围是（ ） A 3 , 1 2 B 3 0, 2 C 2 , 1 2 D 2 0, 2 5、 过椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B， 且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若 11 32 k，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A 19 , 44 B 2 , 1 3 C 12 , 23 D 1 0 , 2 6、 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线 垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A2 B1 5 2 C

7、31 2 D 51 2 7、 如图， 1 F， 2 F分别是双曲线 22 22 : xy C ab 10ab，的左、右焦点，B是虚轴的端点，直 线 1 FB与C的两条渐近线分别交于PQ，两点， 线段PQ的垂直 平分线与x轴交于点M若 212 MFF F，则C的离心率是 （ ） A 2 3 3 B 6 2 C2 D3 8、 若椭圆 22 1 xy mn 与双曲线 22 1 xy pq （m，n，p，q均为正数）有共同的焦点 1 F， 2 F， P是两曲线的一个公共点，则 12 PFPF等于（ ） 小题热身 84 A 22 pm Bpm Cmp D 22 mp 9、 直线l过抛物线 2 2ypx（

8、0p ）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长 是8，AB的中点到y轴的距离是 2，则此抛物线的方程是（ ） A 2 12yx B 2 8yx C 2 6yx D 2 4yx 10、 已知抛物线 2 2ypx（0p ）的焦点F恰好是椭圆 22 22 1 xy ab 的右焦点，且两条曲线的 公共点连线过F，则椭圆的离心率是（ ） A21 B22 C 51 2 D 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C D C D B C B A 考点：椭圆的方程 【备注】本考点为椭圆的代数特征，即对椭圆方程的代数形式特点的认识 【例1】 已知方程E： 22 1mxny 若E表示椭

9、圆，则m、n需要满足的条件是 ； 若E表示焦点在y轴上的椭圆，则m、n需要满足的条件是 若椭圆 1 C： 22 22 11 1 xy ab （ 11 0ab）和椭圆 2 C： 22 22 22 1 xy ab （ 22 0ab）的焦点相 同且 12 aa给出如下四个结论： 椭圆 1 C和椭圆 2 C一定没有公共点； 11 22 ab ab ； 2222 1212 aabb； 1212 aabb 其中，所有正确结论的序号为 椭圆M： 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，P为椭圆上任一点， 且 12 PF PF的最大值的取值范围为 22 , 3cc ，其中

10、22 cab，则椭圆M的离心率e的取 值范围是 【解析】 ,0mn 且mn； 0mn 8.1 椭圆 经典精讲 85 12 , 22 考点：椭圆的性质 【备注】本考点为椭圆的几何特征，即对椭圆的曲线形状特点的认识 性质 1 椭圆上的点到两个焦点的距离的和为2a 性质 2 椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为,acac 【例2】 椭圆 22 1 184 xy 的焦点为 1 F、 2 F， 点P在椭圆上 若 1 4 2PF ， 则 2 PF ； 12 F PF的大小为 已知 1 F、 2 F为椭圆 22 1 259 xy 的两个焦点，过 1 F的直线交椭圆于A、B两点若 22 12F AF B，则AB

11、 P为椭圆 22 1 2516 xy 上一点，,MN分别是圆 2 2 34xy和 2 2 31xy上的点， 则PMPN的取值范围是 椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的右焦点为, 0F c，点 2 , 0 a A c 在x轴上在椭圆上存 在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 【解析】 2 2， 2 3 8 7, 13 1 , 1 2 【拓1】 已知椭圆 22 :1 2516 xy C的左右焦点分别为 12 FF，点1, 3A，点P是椭圆上一个动点，则 2 APF P的最大值为_，最小值为_ 【解析】 155，； 考点：椭圆的基本量 【备注】本考点为椭圆方程中

12、的a、b、c在几何图形中的具体表现（即对应线段） ，在知识层面上与 前两个考点有所重叠，但综合性较强，以训练学生利用代数方程或不等式表达几何条件为重 点 【例3】 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的焦距为2c，以点O为圆 心，a为半径作圆M若过点 2 , 0 a P c 所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率 为 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且 2BFFD，则C的离心率为 如图，已知椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若 90BAOBFO，则该椭圆的离心率是

13、 86 y xO F B A 设 12 ,FF是椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的左、 右焦点，P为直线 3 2 a x 上一点， 21 F PF 是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为 【解析】 2 2 3 3 15 2 3 4 考点：双曲线的方程 【备注】本考点为双曲线的代数特征，即对双曲线方程的代数形式特点的认识 【例4】 已知方程E： 22 1mxny 若E表示双曲线，则m、n需要满足的条件是 ； 若E表示焦点在y轴上的椭圆，则m、n需要满足的条件是 若双曲线 1 C： 22 22 11 1 xy ab （ 11 ,0ab ）和双曲线 2 C： 22 22 22 1 x

14、y ab （ 22 ,0ab ）的焦 点相同且 12 aa给出如下四个结论： 双曲线 1 C和双曲线 2 C一定没有公共点； 11 22 ab ab ； 2222 1122 abab； 2222 1122 abab 其中，所有正确结论的序号为 点 00 ,A xy在双曲线 22 1 432 xy 的右支上，若点A到右焦点的距离等于 0 2x，则 0 x 【解析】 0mn ； 0m 且0n 2 考点：双曲线的性质 【备注】本考点为双曲线的几何特征，即对双曲线的曲线形状特点的认识 性质 1 双曲线上的点到两个焦点的距离的差为2a或2a 性质 2 双曲线上的点到焦点的距离的取值范围为,ca 性质 3

15、 双曲线的焦点到渐近线的距离为b 【例5】 已知 1 F、 2 F分别为双曲线C： 22 1 927 xy 的左、 右焦点， 点AC， 点M的坐标为2, 0， 8.2 双曲线 87 11 22 MFAF MFAF ，则 2 AF 双曲线 22 1 1620 xy 的左右焦点分别为 1 F、 2 F，双曲线上一点P满足 1 9PF ，则 2 PF P是双曲线 22 1 916 xy 右支上一点，MN，分别是圆 22 (5)4xy和 22 (5)4xy 上的点，则PMPN的最大值是 以双曲线 22 1 4 xy m 的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与该双曲线的渐近线相切， 则m 【解析】 6 1

16、7 10; 4 3 【拓2】 若椭圆或双曲线上存在一点P到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线上存在“ 点”，下列曲线中存在“点”的是（ ） A 22 1 1615 xy B 22 1 2524 xy C 2 2 1 15 y x D 22 1xy 【解析】 D； 考点：双曲线的基本量 【备注】本考点为双曲线方程中的a、b、c在几何图形中的具体表现（即对应线段）以及渐近线方程 b yx a 与渐近线的对应关系，在知识层面上与前两个考点有所重叠，但综合性较强，以训 练学生利用代数方程或不等式表达几何条件为重点 【例6】 设 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 1 xy ab （0

17、,0ab）的左、右焦点若在双曲线右支上 存在点P，满足 212 PFFF，且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐 近线方程为 过双曲线 2 2 2 :1 y M x b 的左顶点A作斜率为 1 的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线 相交于B、C两点，且ABBC，则双曲线M的离心率为_ 【解析】 4 3 yx 10 【拓3】 如图，从双曲线 22 1 925 xy 的左焦点 1 F引圆 22 9xy的切线，切点为T，延长 1 FT交双曲线 右支于P点设M为线段 1 FP的中点，O为坐标原点，则 1 FT ；MOMT 88 y x P O M T F1 F2 T M P

18、 y O x F1 【解析】 5；2 【拓4】 如图，双曲线 22 22 1( ,0) xy a b ab 的两顶点为 1 A， 2 A，虚轴两端点为 1 B， 2 B，两焦点为 1 F， 2 F 若以 12 A A为直径的圆内切于菱形 1122 FB F B， 切点分别为A， B，C，D则： 双曲线的离心率e _； 菱形 1122 F B F B的面积 1 S与矩形ABCD的面积 2 S的比值 1 2 S S _ 【解析】 51 2 e ； 5 1 2 ； 考点：抛物线的定义、方程与性质 【例7】 已知抛物线C： 2 4yx，若存在定点A与定直线l，使得抛物线C上任一点P， 都有点P 到A的

19、距离与点P到直线l的距离相等，则定点A到定直线l的距离为 若点P到0, 2F的距离比它到直线40y 的距离小2， 则P的轨迹方程为 已知P为抛物线 2 1 2 yx上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是 17 6 2 ， 则PAPM的最小值是 已知直线 1:4 360lxy和直线 2: 1lx ， 抛物线 2 4yx上一动点P到直线 1 l和直线 2 l 的距离之和的最小值是 【解析】 1 8 2 8xy 19 2 2 【拓5】 设F为抛物线 2 4yx的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0FAFBFC，则 FAFBFC（ ） A9 B6 C4 D3 8.3 抛物线 x y A B

20、CD A1 A2 B1 B2 F1F2 89 【解析】 B 考点：解与抛物线相关的几何图形 【例8】 已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且 2AKAF，则AFK的面积为 抛物线 2 4yx的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当 FPM为等边三角形时，其面积为 【解析】 8 4 3 【拓6】 已知直线(2)(0)yk xk与抛物线 2 :8C yx相交于A、B两点，F为C的焦点，若 2FAFB，则k （ ） A 1 3 B 2 3 C 2 3 D 2 2 3 【解析】 D 一、选择题 1、 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab ，

21、A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F 为椭圆的一个焦点 若ABBF，则该椭圆的离心率为（ ） A 51 2 B 51 2 C 51 4 D 51 4 【解析】 B 2、 已知椭圆 22 1 5 xy m 的离心率 10 5 e ，则m的值为（ ） A3 B 5 15 3 或15 C5 D 25 3 或3 【解析】 D 【点评】 椭圆有焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情形，注意不要漏解 3、 方程 22 1 sin2cos2cos2sin2 xy 所表示的曲线是（ ） A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在y轴上的椭圆 C焦点x轴上的双曲线 D焦点在y轴上的双曲线 课后习题 y x y=k(

22、x+2)(k0) l:x=-2 C:y2=8x N M A B O P(-2，0)F(2，0) 90 【解析】 B 二、填空题 4、 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 3 2 ，且G上一点到G的两个焦 点的距离之和为12，则椭圆G的方程为 【解析】 22 1 369 xy 5、 已知椭圆C的离心率 3 2 e ，且它的焦点与双曲线 22 24xy的焦点重合，则椭圆C的 方程为 【解析】 22 1 82 xy 6、 双曲线 22 1 259 xy 的左右焦点分别为 1 F， 2 F， 过焦点 1 F的直线与双曲线左支交于A、B 两 点，若弦AB的长为4，则 2 ABF的周长为_

23、 【解析】 28 7、 已知点P是抛物线 2 4yx上的一个动点，则点P到点0, 2M的距离与点P到该抛物 线准线的距离之和的最小值为 【解析】 5 8、 设集合 22 22 ,|1, 1 xy Sxyk k k N，,|5Qxyxy，则满足“SQ” 的常数k的个数是 【解析】 3 9、 若双曲线 22 22 1(00) xy ab ab ， 的两个焦点为 12 FF，P为双曲线上一点，且 12 3PFPF ，则该双曲线离心率的取值范围是_ 【解析】 (12，； 10、 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为 12 ,FF，且 它们在第一象限的交点为P， 12 P

24、F F是以 2 PF为底边的等腰三角形若 2 10PF ，椭圆的离 心率的取值范围是 12 23 ，则双曲线的离心率的取值范围为 91 P F2 F1 O y x 【解析】 2， 三、解答题 11、 （2010 年江西）设椭圆 22 22 1 xy ab （0ab） ，抛物线 2 C： 2 1 yxb b 若 2 C经过 1 C的两个焦点，求 1 C的离心率； 设0Ab， 5 3 3 4 Qb ，又M、N为 1 C与 2 C不在y轴上的两个交点，若AMN的 垂心为 3 0 4 Bb ，且QMN的重心在 2 C上，求椭圆 1 C和抛物线 2 C的方程 Q A B y x O 【解析】 2 2 e 椭圆 1 C的方程为 22 1 16 4 3 xy ，抛物线 2 C的方程为： 2 1 2 2 yx 12、 （2012 年昌平高三期末文）已知椭圆G： 22 22 1 xy ab （0ab）的离心率为 2 3 e ，椭 圆G上的点N到两焦点的距离之和为12，点A、B分别是椭圆G长轴的左、右端点，点F是 椭圆的右焦点点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PAPF 求椭圆G的方程； 求点P的坐标； 设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的 距离d的最小值 【解析】 22 1 3620 xy ； P 35 3 , 22 15