高三理科数学暑期讲义 第9讲.圆锥曲线的几何性质 教师版

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1、 93 本讲分三小节，分别为第一定义与焦点三角形、第二定义与相似三角形、第三定义，建议用时2 3课时 由于这一讲主要介绍圆锥曲线的重要且常用的几何性质， 而这些性质在之前的学习中并没有系 统的介绍过，可以作为新课进行讲授对于尖子班的学生，以介绍及证明性质为主要教学目标；对于 目标班学生，以性质的灵活应用为主要教学目标 第一小节为第一定义与焦点三角形，共 3 道例题其中 例 1 主要讲解椭圆的焦点三角形的周长问题； 例 2 主要讲解椭圆的焦点三角形的面积问题； 例 3 主要讲解双曲线的焦点三角形的面积问题 第二小节为第二定义与相似三角形，在知识梳理时通过探索铺垫题的形式给出非圆圆锥曲线的第 二定

2、义，例题部分共 2 道，其中 例 4 主要讲解第二定义与方程； 例 5 主要讲解利用椭圆的第二定义构造相似三角形解过焦点的弦的相关问题； 第三小节为第三定义，在知识梳理时通过探索铺垫题的形式给出有心圆锥曲线的第三定义，例题 部分共 2 道，其中 例 5 主要讲解椭圆的第三定义； 例 6 主要讲解双曲线的第三定义 9.1 第一定义与焦点三角形 知识结构图 第 9 讲 圆锥曲线的 几何性质 94 椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）或双曲线 22 22 1 xy ab 上一点P（不在x轴上）与两个焦点 1 F、 2 F形 成的三角形称为焦点三角形 F1 y Ox P F2 F2 y Ox

3、P F1 焦点三角形与椭圆、双曲线的第一定义联系密切，因此解焦点三角形的问题是圆锥曲线问题中的 重点问题在解焦点三角形时，由于已知一边及另外两边的和（差） ，因此只需要再加一个条件就可以 求解 考点：椭圆的焦点三角形 【例1】 点P是椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）上一点， 12 ,FF是椭圆的两个焦点，则 12 F PF的周 长为 点P是椭圆 22 1 2516 xy 上一点， 12 ,FF是椭圆的两个焦点，且 12 PF F 的内切圆半径为 1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为 点P是椭圆 22 22 1 xy ab （0ab） 上一点， 12 ,FF是椭圆的两个焦点， 过 1

4、 F作直线l交 椭圆于点A、点B，则 2 F AB的周长为 如图，ABC是椭圆内接等腰直角三角形，斜边2BC C是椭圆的右焦点，椭圆的 左焦点在边AB上，则椭圆的长轴长为 【解析】 22ac 8 3 4a 22 2 【拓1】 （2012 年福建理）椭圆E： 22 22 1 xy ab （0ab）的 左焦点为 1 F，右焦点为 2 F，离心率 1 2 e 过 1 F的直线交椭圆于A、B两点，且 2 ABF的周 长为 8则椭圆E的方程为 椭圆 22 1 169 xy 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 过焦点 1 F的直线交椭圆于A、B两点， 2 ABF 的周长为_；若A、B两点的坐标分别为

5、 11 ,xy和 22 ,xy，且 2 ABF的面积是 4， 则 21 yy的值为_ 经典精讲 知识梳理 C B A x O y 95 【解析】 22 1 43 xy 16， 4 7 7 【教师备案】椭圆焦点三角形面积公式及其推导 对于椭圆 22 22 1 xy ab （0ab） ，设 1 PFm， 2 PFn，则2mna， 2 22 12 2 cos 2 mnc FPF mn 2 2 1 b mn ， 2 12 2 1cos b mn FPF 于是 12 2 212 12 12 sin1 sintan 21cos2 F PF bFPF SmnFPFb FPF 【例2】 已知椭圆E： 22 2

6、2 1 xy ab （0ab） ， 1 , 0Fc、 2 , 0F c分别为椭圆的左、右焦点， 动点PE，连接 1 PF、 2 PF形成 12 PF F 12 PF F面积的取值范围是 ； 设 12 FPF，则 12 F PF的面积为 ； 综合，可知当P点位于 位置时， 12 F PF取得最大值 当椭圆离心率e增大时， 12 F PF的最大值 （填增大或减小） 已知点P为椭圆 22 1 43 xy 上一点， 1 F、 2 F分别为椭圆的左、右焦点，若 12 3 FPF， 则点P到x轴的距离为 已知椭圆 22 22 1 xy ab ，焦点为 12 ,FF，在椭圆上存在点P，使得 12 PFPF，

7、则椭圆的 离心率e的取值范围为_ 【追问】若将条件“ 12 PFPF”改为“ 12 2 3 FPF” ，则离心率的取值范围是多少？ 【解析】 0, bc； 2 tan 2 b ； 上顶点或下顶点； 增大 3 2 , 1 2 【追问】 3 , 1 2 【拓2】 1 F、 2 F是椭圆C： 22 1 84 xy 的焦点，在C上满足 12 PFPF的点P的个数为 设 1 F、 2 F分别为椭圆 22 1 4832 xy 的左右焦点，且点P是椭圆上的一点若 12 PF F是直角 三角形，则点P到x轴的距离为 【解析】 2； 8 3 3 ； 【拓3】 在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2

8、bca ，求证： 3 A 【解析】 如图以B、C为焦点2a为长轴长构造椭圆，则 2bca ，点A在椭圆上或椭圆外 96 如图，容易证明 3 A，当且仅当A为椭圆的上（下）顶点时取得等号 O y x A CB 考点：双曲线的焦点三角形 【教师备案】双曲线焦点三角形面积公式及其推导 对于双曲线 22 22 1 xy ab ，设 1 PFm， 2 PFn，则2mna， 2 22 12 2 cos 2 mnc FPF mn 2 2 1 b mn ， 2 12 2 1cos b mn FPF 于是 12 2 212 12 12 sin1 sincot 21cos2 F PF bFPF SmnFPFb F

9、PF 【例3】 已知双曲线E： 22 22 1 xy ab （0a ，0b ） ， 1 , 0Fc、 2 , 0F c分别为双曲线的左、 右焦点，动点PE，连接 1 PF、 2 PF形成 12 PF F，设 12 FPF 12 F PF的面积为 ； 的取值范围为 （2010 年全国卷）已知 1 F、 2 F为双曲线C： 22 1xy的左、右焦点，点P在C上， 12 60FPF，则P到x轴的距离为 设 1 F、 2 F为双曲线 22 1 1620 xy 的两个焦点，点P在双曲线上满足 12 90FPF，则P的 坐标为 （2011 年华约）已知双曲线C： 22 22 1 xy ab （,0ab ）

10、 ， 1 F、 2 F分别为C的左右焦点， P为C右支上一点且使 12 3 FPF， 又 12 FPF的面积为 2 3 3a 则C的离心率e 【解析】 2 cot 2 b ； 0, 6 2 410 14 33 ，； 2 9.2 第二定义与相似三角形 97 【备注】本铺垫的目的是通过推导焦半径公式，引入圆锥曲线的第二定义 【铺垫】已知, 0F c为椭圆 22 22 1 xy ab 的右焦点，点P为椭圆上一点，若P点的横坐标为 0 x 求证：P点到右焦点的距离为 0 aex，其中e为椭圆的离心率； 的结论即 2 0 a PFex c ，指出 2 0 a x c 的几何意义； 指出中等式的意义，并思

11、考当题干中的右焦点F改为左焦点时相应的结论变化 结合抛物线的定义，试给出椭圆的第二定义，并思考该定义是否可以推广到双曲线 【解析】 利用两点间的距离公式即可推得； 2 0 a x c 的几何意义时点P到直线 2 a x c 的距离； 椭圆上的点到右焦点与到直线 2 a x c 的距离之比为离心率e，我们称直线 2 a x c 为椭圆的 右准线当右焦点变为左焦点时，右准线 2 a x c 也相应变为左准线 2 a x c 平面上到定点与到定直线的距离之比为常数e（01e）的点的轨迹为椭圆； 该定义可以推广到双曲线： 平面上到定点与到定直线的距离之比为常数e（1e ）的点的轨迹为双曲线 【教师备案

12、】本组拓展题是关于焦半径公式的应用的，教师可以根据情况选用 焦半径公式： 已知离心率为e，长半轴长为a的椭圆上一点P的横坐标为 0 x，则P到左焦点的距离为 0 aex，P到右焦点的距离为 0 aex （可以利用“左加右减”记忆） 已知离心率为e，实半轴长为a的双曲线左支上一点P的横坐标为 0 x，则P到左焦点的距离 为 0 exa，P到右焦点的距离为 0 exa； 已知离心率为e，实半轴长为a的双曲线右支上一点P的横坐标为 0 x，则P到左焦点的距离 为 0 exa，P到右焦点的距离为 0 exa 【拓4】 椭圆 22 1 259 xy 上三个不同的点 11 ,A xy、 9 4, 5 B

13、、 22 ,C xy到右焦点的距离成等差 数列，则 12 xx的值为 已知椭圆 22 1 43 xy ， 1 F、 2 F为其两个焦点，则椭圆C上 （填“存在”或“不 存在” ）点M，使得点M到左准线的距离MN是 1 MF与 2 MF的等比中项 （2010 年江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 22 1 412 xy 上一点M的横坐标是3， 则M到双曲线右焦点的距离为 （2010 年江西）点 00 A xy，在双曲线 22 1 432 xy 的右支上，若点A到右焦点的距离等于 知识梳理 98 0 2x，则 0 x 【解析】 8； 不存在 4 2 由此例题可以引出非圆圆锥曲线的统一定义：

14、 圆锥曲线上的点到焦点距离与到准线距离的比为常数，且该常数即为离心率e如下图所示： 考点：椭圆、双曲线的第二定义与方程 【例4】 （2012 年全国大纲卷理）椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为4x ，则该椭圆的 方程为 （2009 年北京）已知双曲线C： 22 22 1 xy ab （,0ab ）的离心率为3，右准线方程为 3 3 x ，则双曲线的方程为 （2010 年四川）已知2, 0F，定直线l： 1 2 x ，动点P到点F的距离是它到直线l的 距离的 2 倍则点P的轨迹为 【解析】 22 1 84 xy ； 2 2 1 2 y x ； 2 2 1 3 y x ； 考点：利用椭圆的第

15、二定义构造相似三角形解过焦点的弦的相关问题 【例5】 （2011 年四中高二期中） 已知椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab） 的左焦点为 1 , 0Fc 过 点 1 F且倾斜角为 3 的直线与椭圆相交所得的弦被 1 F分为2:1的两段，则椭圆C的离心率 为 已知A、B为过椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的左焦点F的直线与椭圆的交点，判断 经典精讲 99 11 FAFB 是否为定值，并说明理由 已知椭圆C： 2 2 1 2 x y的右焦点为F， 右准线为l， 点Al， 线段AF交C于点B 若 3F AF B，则AF 【解析】 2 3 如图，作椭圆的左准线，设直线AB与左准

16、线交于点P，过A、F、B引左准线的垂线， 垂足分别为M、Q、N，则 Q N M P O y x B A F 根据椭圆的第二定义， AFBF e AMBM PMAPQFPNB， AMFQBN PAPFPB 于是设AMm，BNn，FQp，PFt则 AFme，BFne， mpn tmettne 取倒数 ttt ee mpn ， 2ttt mnp ，即 112 mnp 11112 AFBFmeneep 为定值，其中 c e a ， 22 ab pc cc 11 FAFB 为定值 2 2a b 【备注】该结论可以推广到对于椭圆、双曲线、抛物线均适用的 112 FAFBep 事实上ep为圆锥曲 线的半通径

17、长度因此这个结论的文字叙述为： 圆锥曲线焦点分过焦点的弦所得的两条线段的调和平均数为半通径长度 例如： （2012 年重庆理）过抛物线 2 2yx的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若 25 12 AB ， AFBF，则AF= 5 6 2 9.3“第三定义” 100 【铺垫】 （2011 年湖北）平面内与两定点 1 , 0Aa、 2 , 0A a（0a ）连线的斜率之积等于非零常数 m的点的轨迹，加上 1 A、 2 A两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线求曲线C的方程， 并讨论C的形状及离心率与m值的关系 【解析】 设动点的坐标为,x y，那么 yy m xa xa 222 ym xa， 2

18、22 mxyma， 22 22 1 xy ama 当0m 时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线，离心率为1m； 当10m 时，曲线C是焦点在x上的椭圆，离心率为1m； 当1m 时，曲线C是圆； 当1m 时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，离心率为 1 1 m A2A1 O y x m-1 m=-1 -1m0 这个例题可以拓展出去，即A、B可以是坐标平面上关于原点对称的任意两点 00 ,A xy、 00 ,Bxy，此时所得的轨迹中心为原点，对称轴与x、y轴平行由此引出有心圆锥曲线的统一定 义： 当0m 时，轨迹方程 22 22 1 xy ab （ 0 xx ） ，其中 2 2 b m a ， 22 00

19、 22 1 xy ab ； 当10m 时，轨迹方程为 22 22 1 xy ab （ 0 xx ） ，其中 2 2 b m a ， 22 00 22 1 xy ab ； 当1m 时，轨迹方程为 222 xyr（ 0 xx ） ，其中 222 00 xyr 我们称此为有心圆锥曲线的第三定义于是立即有 设A、B为椭圆 22 22 1 xy ab 上关于原点对称的两点，P为椭圆上任意一点（P点的横坐标与A、B点 的横坐标均不相同） ，则直线PA与直线PB连线的斜率乘积为定值 2 2 b a ； 设A、B为双曲线 22 22 1 xy ab 上关于原点对称的两点，P为双曲线上任意一点 （P点的横坐标与

20、A、B 点的横坐标均不相同） ，则直线PA与直线PB连线的斜率乘积为定值 2 2 b a 知识梳理 101 考点：椭圆的第三定义 【例6】 （2010 年北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A1,1关于原点O对称，P是 动点，且直线AP与BP的斜率之积等于 1 3 则动点P的轨迹方程为 （2011 年东城高三期末）设A、B分别为椭圆 2 2 1 4 x y的左、右顶点，P为直线4x 上不同于点4 , 0的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M证明：MBP为钝 角三角形 O y x M P BA 【解析】 22 34xy（1x ） 只需要证明0BM BP即可设点,M xy，4 ,Pm则

21、 2 ,2 ,24BM BPxymxmy 由于M在椭圆上等价于 1 264 MAMB ym kk x ， 3 3 2 myx 将代入，有 3 2431 22 x BM BPxx 由于2x ，0BM BP，因此MBP为钝角三角形 【拓5】 （2009 年海淀一模）椭圆方程为 22 1 42 xy ，A、B为长轴端点，M为直线2x 上任意一 点，连接AM交椭圆于P点 求证：OP OM为定值； 是否存在x轴上的定点Q使得以MP为直径的圆恒通过MQ与BP的交点 M Q P B A O y x 【解析】 设2,Mm，,P x y，则 21 42 APBP kk 于是 1 242 ym x ，整理有24m

22、yx而24OP OMmyx为定值 经典精讲 102 原命题成立 假设存在定点Q，设2,Mm，,P x y，,0Q n则由以MP为直径的圆通过MQ与BP 的交点有0MQ BP 2,2,nmxy224nxnxmy0 而 21 42 APBP kk ，于是 1 422 my x ，整理有24myx 将代入，有20n x，解得0n 存在x轴上的定点0, 0Q，使得以MP为直径的圆恒通过MQ与BP的交点 考点：双曲线的第三定义 【例7】 已知点P在双曲线 222 xya（0a ）的右支上（P与 2 A不重合） ， 1 A、 2 A分别为双 曲线的左、右顶点，且 2112 2A PAPA A ，则 12

23、PA A（ ） A30 B27.5 C25 D22.5 （2011 年江西） 00 ,P xy（ 0 xa ）是双曲线E： 22 22 1 xy ab （,0ab ）上一点， M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM、PN的斜率之积为 1 5 ，则双曲线的离心率 为 ； 【解析】 D 30 5 1、 设 1 F、 2 F为椭圆 2 2 1 4 x y的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两 点，当四边形 12 PFQF的面积最大时， 12 PF PF的值等于 【解析】 2 2、 已知椭圆 22 22 1 xy ab 的左焦点、右焦点分别为 1 F、 2 F，且椭圆上存在两点P、Q

24、，使得 12 120FPF， 12 60FQF，则椭圆离心率的取值范围为 ， 12 F PF的面积与 12 FQF的面积之比为 【解析】 3 , 1 2 ，3:1 3、 设 1 F、 2 F分别是双曲线 2 2 1 9 y x 的左、右焦点，若点P在双曲线上，且 12 0PF PF， 则 12 PF F的面积为 ， 12 PFPF 【解析】 9；2 10 4、 设 1 F、 2 F分别为椭圆 2 2 1 3 x y的左、右焦点，点A、B在椭圆上若 12 5F AF B，则 课后习题 103 1 F A 【解析】 3 5、 （2009 年福建）已知椭圆C： 2 2 1 4 x y的左、右顶点分别

25、为A、B点S是椭圆C上位 于x轴上方的动点，直线AS、BS与直线l： 10 3 x 分别交于M、N两点求线段MN的长 度的最小值 D A S N B M y x O 【解析】 8 3 6、 已知A、B是椭圆 22 22 1 xy ab （0ab） 的左、 右顶点，P是椭圆上异于A、B的动点 试 证明：当P为椭圆的上顶点或下顶点时APB最大 【解析】 设直线PA、PB的斜率分别为 1 k、 2 k，则 2 12 2 b k k a 注意到APB为钝角，于是 2 1 2 22 121 1 222 121 2 tan 1 1 b k kka kab APBk bk kcak a 于是当且仅当 1 b k a 时APB最大，即原命题得证