2020届天津市北辰区高三第一次诊断测试数学试卷（含答案解析）

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1、2020 年高考数学一诊测试试卷年高考数学一诊测试试卷 一、选择题（共 9 小题） 1若集合 Ax|x21，Bx|0x2，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x0 Cx|1x2 Dx|1x2 2设 xR，则“|x1|1”是“x2x20”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3设函数 f（x）sinx+cosx（xR），则下列结论中错误的是（ ） Af（x）的一个周期为 2 Bf（x）的最大值为 2 Cf（x）在区间（）上单调递减 Df（x+）的一个零点为 x 4函数 f（x）的单调递增区间是（ ） A（0，+） B（，0） C（3，+） D

2、（，3） 5已知等差数列an的公差 d0，前 n 项和为 Sn，若 a3，a4，a8成等比数列，则（ ） Aa1d0，dS40 Ba1d0，dS40 Ca1d0，dS40 Da1d0，dS40 6已知离心率为的双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别是 F1，F2， 若点 P 是抛物线 y212x 的准线与 C 的渐近线的一个交点，且满足 PF1PF2，则双曲线 的方程是（ ） A 1 B 1 C 1 D 1 7已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f（x）x24x，则不等式 f（x+2） 5 的解集为（ ） A（3，7） B（4，5） C（7，3） D（2，6） 8函

3、数 ，若方程 f（x）x+a 恰有两个不等的实根，则 a 的取 值范围为（ ） A（，0） B0，1） C（，1） D0，+） 9已知函数 yf（x）的定义域为（，），且函数 yf（x+2）的图象关于直线 x2 对称，当 x（0，）时，f（x）lnxf（）sinx（其中 f（x）是 f（x）的导函 数），若 af（log3），bf（log9），cf（），则 a，b，c 的大小关系是（ ） Abac Babc Ccba Dbca 二、填空题（共 6 小题） 10i 是虚数单位，若是纯虚数，则实数 a 的值为 11我国古代数学名著九章算术中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536 石，

4、验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒，则这批米内夹谷约为 12在（x2+）6的展开式中，含 x3项的系数为 （用数字填写答案） 13已知等边三角形的边长为 2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面 所围成的几何体的体积为 14 已知 x0， y0， 且， 若 x+2ym2+2m 恒成立， 则实数 m 的取值范围 15 已知菱形 ABCD 的边长为 2， ABC60， 点 E， F 分别在边 AD， DC 上， （ ），则 三、解答题（共 5 小题） 16在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a4，c3，cosA （）求 b 的值； （

5、）求 sin（2B+）的值 17在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ADPQ 是梯形，PDQA， PDA，平面 ADPQ平面 ABCD，且 ADPD2QA2 （）求证：QB平面 PDC； （）求二面角 CPBQ 的大小； （）已知点 H 在棱 PD 上，且异面直线 AH 与 PB 所成角的余弦值为，求线段 DH 的长 18已知椭圆 E：1（ab0）的离心率为 e，F1，F2分别为左右焦点，B1 为短轴的一个端点，B1F1F2的面积为 （）求椭圆 E 的方程 （）若 A，B，C，D 是椭圆上异于顶点且不重合的四个点，AC 于 BD 相交于点 F1，且 0，求的取值范围 19

6、已知等比数列an的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足，数列 bn的前 n 项和，nN*，且 b11 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）设，求数列cn的前 n 项和 Pn （3）设，nN*，dn的前 n 项和 Tn，求证： 20设函数 f（x）ax2lnx（aR） （）求 f（x）的单调区间； （）当 a1 时，试判断 f（x）零点的个数； （）当 a1 时，若对x（1，+），都有（4k1lnx）x+f（x）10（kZ）成 立，求 k 的最大值 参考答案 一、选择题（共 9 个小题） 1若集合 Ax|x21，Bx|0x2，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x0 Cx

7、|1x2 Dx|1x2 解：集合 Ax|x21x|1x1， Bx|0x2， ABx|1x2 故选：D 2设 xR，则“|x1|1”是“x2x20”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：|x1|1，解得：0x1 由 x2x20，解得：1x2 “|x1|1”是“x2x20”的充分不必要条件 故选：A 3设函数 f（x）sinx+cosx（xR），则下列结论中错误的是（ ） Af（x）的一个周期为 2 Bf（x）的最大值为 2 Cf（x）在区间（）上单调递减 Df（x+）的一个零点为 x 解：f（x）sinx+cosx f（x）的一个周期为 2

8、，故 A 正确；f（x）的最大值为 2，故 B 正确； 由x，得，f（x）在区间（）上单调递减，故 C 正确； f（x+），取 x时，函数值为，故 D 错误 故选：D 4函数 f（x）的单调递增区间是（ ） A（0，+） B（，0） C（3，+） D（，3） 解：函数 f（x）的单调递增区间， 即函数 yx29 在满足 y0 的条件下，y 的减区间 再利用二次函数的性质可得， 函数 yx29 在满足 y0 的条件下， y 的减区间为 （， 3）， 故选：D 5已知等差数列an的公差 d0，前 n 项和为 Sn，若 a3，a4，a8成等比数列，则（ ） Aa1d0，dS40 Ba1d0，dS40

9、 Ca1d0，dS40 Da1d0，dS40 解：等差数列an的公差 d0，若 a3，a4，a8成等比数列， 可得 a3a8a42，即（a1+2d）（a1+7d）（a1+3d）2， 化为 5d+3a10， 由 d0，可得 a10，a1d0， S44a1+6dd+6dd0，则 dS40， 故选：B 6已知离心率为的双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别是 F1，F2， 若点 P 是抛物线 y212x 的准线与 C 的渐近线的一个交点，且满足 PF1PF2，则双曲线 的方程是（ ） A 1 B 1 C 1 D 1 解：离心率为的双曲线 C：1（a0，b0）可得，则， 双曲线的一条渐近线方程为

10、： 4x3y0， 抛物线 y212x 的准线： x3， 可得 P （3， 4）， 双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别是 F1（c，0），F2（c，0）， 满足 PF1PF2，（3c，4） （3+c，4）0，解得 c5，则 a3；b4； 舍去的双曲线方程为：1 故选：C 7已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f（x）x24x，则不等式 f（x+2） 5 的解集为（ ） A（3，7） B（4，5） C（7，3） D（2，6） 解：当 x0 时，x0，则 f（x）（x）24（x）x2+4x， 又 f（x）为偶函数，故 f（x）x2+4x（x0）， 当 x+20，即 x

11、2 时，不等式 f（x+2）5 等价为（x+2）24（x+2）5，解得 3x3，此时2x3； 当 x+20，即 x2 时，不等式 f（x+2）5 等价为（x+2）2+4（x+2）5，解得 7x1，此时7x2； 综上，不等式的解集为（7，3） 故选：C 8函数 ，若方程 f（x）x+a 恰有两个不等的实根，则 a 的取 值范围为（ ） A（，0） B0，1） C（，1） D0，+） 解：由函数， 可得 f（x）的图象和函数 yx+a 有两个不同的交点， 如图所示：故有 a1， 故选：C 9已知函数 yf（x）的定义域为（，），且函数 yf（x+2）的图象关于直线 x2 对称，当 x（0，）时，f

12、（x）lnxf（）sinx（其中 f（x）是 f（x）的导函 数），若 af（log3），bf（log9），cf（），则 a，b，c 的大小关系是（ ） Abac Babc Ccba Dbca 解：函数 yf（x）的定义域为（，），且函数 yf（x+2）的图象关于直线 x2 对称， 函数 f（x）为 R 上的偶函数 当 x（0，）时，f（x）lnxf（）sinx（其中 f（x）是 f（x）的导函数）， f（x）f（）cosx， 令 x，则 f（）2， f（x）2cosx， 当 x时，2，2cosx2f（x）2cosx0 当 x时，0，2cosx0f（x）2cosx0 x（0，）时，f（x）2c

13、osx0 函数 f（x）在 x（0，）时单调递增 af（log3），bf（log9）f（2）f（2），cf（ ）， 0log312， acb 即 bca 故选：D 二、填空题（共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 10i 是虚数单位，若是纯虚数，则实数 a 的值为 2 解：是纯虚数， ，即 a2 故答案为：2 11我国古代数学名著九章算术中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒，则这批米内夹谷约为 108 石 解：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536 石，验得米内夹谷， 抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷

14、 18 粒， 设这批米内夹谷约为 x 石， 则，解得 x108（石） 这批米内夹谷约为 108 石 故答案为：108 石 12在（x2+）6的展开式中，含 x3项的系数为 20 （用数字填写答案） 解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为 Tr+1 x123r， 令 123r3，解得 r3，故展开式中 x3的系数是20， 故答案为：20 13已知等边三角形的边长为 2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面 所围成的几何体的体积为 2 解：等边三角形的边长为 2， 将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以 为底面圆半径， 以 1 为高的两个圆锥的组合

15、体， 将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为： V2 2 故答案为：2 14已知 x0，y0，且，若 x+2ym2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围 4， 2 解：由，可得 x+2y（x+2y）（）4+4+28， 而 x+2ym2+2m 恒成立m2+2m（x+2y）min， 所以 m2+2m8 恒成立， 即 m2+2m80 恒成立， 解得4m2 故答案为：4，2 15 已知菱形 ABCD 的边长为 2， ABC60， 点 E， F 分别在边 AD， DC 上， （ ），则 解：由（），可得点 E 为线段 AD 的中点，点 F 为线段 DC 的三等分点靠近点

16、 D 处， 由菱形 ABCD 的边长为 2，ABC60，得：|2，ABD30， 则 （） （）+12 +， 故答案为： 三、解答题（共 5 个小题，每小题 15 分，共 75 分） 16在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a4，c3，cosA （）求 b 的值； （）求 sin（2B+）的值 解：（）在ABC 中，由余弦定理得： a2b2+c22bccosA， 又 a4，c3，cosA， 2b2+3b140， 解得 b2； （）由 cosA， 所以 sinA， 由正弦定理得： ， 得 sinB， 又 0 ， 所以 cosB， 所以 sin2B2sinBcosB，cos2

17、B2cos2B1， 所以 sin（2B+）+ ， 故答案为： 17在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ADPQ 是梯形，PDQA， PDA，平面 ADPQ平面 ABCD，且 ADPD2QA2 （）求证：QB平面 PDC； （）求二面角 CPBQ 的大小； （）已知点 H 在棱 PD 上，且异面直线 AH 与 PB 所成角的余弦值为，求线段 DH 的长 【解答】证明：（）四边形 ABCD 是正方形，ABCD， 四边形 ADPQ 是梯形，PDQA，ABQAA，CDPDD， 平面 ABP平面 DCP， QB平面 ABQ，QB平面 PDC 解：（）以 D 为原点，DA 为 x 轴

18、，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），Q（2，0，1）， （2，2，2），（0，2，2），（2，0，1）， 设平面 PBC 的法向量 （x，y，z）， 则，取 y1，得 （0，1，1）， 设平面 PBQ 的法向量 （x，y，z）， 则，取 x1，得 （1，1，2）， 设二面角 CPBQ 的大小为 ，由图形得 为钝角， 则 cos， ， 二面角 CPBQ 的大小为 （）点 H 在棱 PD 上，且异面直线 AH 与 PB 所成角的余弦值为， 设 DHt，则 H（0，0，t），A（2，0，0），（2，0，t），（2，2，

19、2）， |cos|， 解得 t，线段 DH 的长为 18已知椭圆 E：1（ab0）的离心率为 e，F1，F2分别为左右焦点，B1 为短轴的一个端点，B1F1F2的面积为 （）求椭圆 E 的方程 （）若 A，B，C，D 是椭圆上异于顶点且不重合的四个点，AC 于 BD 相交于点 F1，且 0，求的取值范围 解：（）由椭圆的离心率 e，则 a2c，bc， B1F1F2的面积的面积 S 2cb，则 bc， 解得：a2，b，c1， 椭圆的标准方程：； （）由（）可知：F（1，0），由函数的对称性，直线的斜率存在且不为 0， 设直线 AC：yk（x+1），且 k，A（x1，y1），C（x2，y2）， ，

20、整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2120， x1+x2，x1x2， 则|AC|， 将代入上式可得|BD|， 则+，k23， 由 k20，则 +，k23 的取值范围（，）（，） 19已知等比数列an的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足，数列 bn的前 n 项和，nN*，且 b11 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）设，求数列cn的前 n 项和 Pn （3）设，nN*，dn的前 n 项和 Tn，求证： 解：（1）等比数列an的各项均为正数，设公比为 q，q0， 由 2a5，a4，4a6成等差数列，可得 2a42a5+4a6，即 a4a4q+2a4q2，即 2q2

21、+q10，解 得 q（1 舍去）， 由，可得 a1q34（a1q2）2，即a1a12，解得 a1，则 an （）n 1 （）n； 数列bn的前 n 项和 ，nN*，且 b11， 可得 n2 时，Sn1bn1，又，两式相减可得 bn bnbn1， 化为，则 bnb11n， 上式对 n1 也成立，则 bnn，nN*； （2）， 当 n 为偶数时，前 n 项和 Pn（1+3+5+n1）+（+）（1+n1） （）+（1）； 当 n 为奇数时，PnPn1+n+（1 ）+n； （3） 证明：2， 则前 n 项和 Tn2+ 2 2， 即有 20设函数 f（x）ax2lnx（aR） （）求 f（x）的单调区间

22、； （）当 a1 时，试判断 f（x）零点的个数； （）当 a1 时，若对x（1，+），都有（4k1lnx）x+f（x）10（kZ）成 立，求 k 的最大值 解：（I）f（x）a，（x0） a0 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增 a0 时，f（x），（x0） 则 f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增 （II）a1 时，f（x）x2lnx（x0） f（x），（x0） 则 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增 x1 时，函数 f（x）取得极小值即最小值，f（1）1 x0+时，f（x）+；x+时，f（x）+ 函数 f（x）存在两个零点 （III）当 a1 时，对x（1，+），都有（4k1lnx）x+f（x）10（kZ）成立， 化为：4klnx+g（x）， g（x）+ 令 u（x）xlnx2，x（1，+）， u（x）10，函数 u（x）在 x（1，+）单调递增， u（3）1ln3，u（4）22ln2， 存在唯一的 x0（3，4），使得 u（x0）0，即 x0lnx020， 函数 g（x）在（1，x0）内单调递减，在（x0，+）内单调递增 g（x）ming（x0）lnx0+x02+x0+1（，）， 4k，k一、选择题 k 的最大值为 0