中考数学压轴专练专题13 几何中的最值与定值问题 (教师版)
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1、 1 【类型综述】 线段和差的最值问题,常见的有两类: 第一类问题是“两点之间,线段最短” 两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是 “两点之间,线段最短”结合“垂线段最短” 【方法揭秘】 两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”(如图 1) 三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题,关键是指出两条对 称轴“反射镜面”(如图 2) 两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时,两条线段差的最大值 就是第三边的长如图 3,PA
2、 与 PB 的差的最大值就是 AB,此时点 P 在 AB 的延长线上,即 P 来源: 解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更方便,本讲不涉及函数最值问题 图 1 图 2 图 3 如图 4,正方形 ABCD 的边长为 4,AE 平分BAC 交 BC 于 E点 P 在 AE 上,点 Q 在 AB 上,那么BPQ 周长的最小值是多少呢? 如果把这个问题看作“牛喝水”问题,AE 是河流,但是点 Q 不确定啊 第一步,应用“两点之间,线段最短”如图 5,设点 B 关于“河流 AE”的对称点为 F,那么此刻 PFPQ 的 最小值是线段 FQ 第二步,应用“垂线段最短”如图 6,在点 Q 运动过程中,
3、FQ 的最小值是垂线段 FH 这样,因为点 B 和河流是确定的,所以点 F 是确定的,于是垂线段 FH 也是确定的 2 图 4 图 5 图 6 【典例分析】 例 1 如图 1,二次函数 ya(x22mx3m2)(其中 a、m 是常数,且 a0,m0)的图像与 x 轴分别交于 A、B(点 A 位于点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C(0,3),点 D 在二次函数的图像上,CD/AB,联结 AD过 点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E,AB 平分DAE (1)用含 m 的式子表示 a; (2)求证: AD AE 为定值; (3)设该二次函数的图像的顶点为 F探索:在 x 轴的负半轴上
4、是否存在点 G,联结 GF,以线段 GF、AD、 AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在, 只要找出一个满足要求的点 G 即可, 并用含 m 的代 数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由 图 1 思路点拨 1不算不知道,一算真奇妙通过二次函数解析式的变形,写出点 A、B、F 的坐标后,点 D 的坐标也可 以写出来点 E 的纵坐标为定值是算出来的 2在计算的过程中,第(1)题的结论 2 1 a m 及其变形 2 1am 反复用到 3注意到点 E、D、F 到 x 轴的距离正好是一组常见的勾股数(5,3,4) ,因此过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的交点,就是要求的点 G 满
5、分解答 3 (1)将 C(0,3)代入 ya(x22mx3m2),得33am2因此 2 1 a m 所以 am(x3m)1结合 2 1 a m ,于是得到 x4m 当 x4m 时,ya(xm)(x3m)5am25所以点 E 的坐标为(4m, 5) 所以 3 5 ADDD AEEE 图 2 图 3 (3)如图 3,由 E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4), 可知点 E、D、F 到 x 轴的距离分别为 5、4、3 那么过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的负半轴的交点,就是符合条件的点 G 证明如下:作 FFx 轴于 F,那么 4 3 GFFF ADDD 因此 534 AEADGF 所
6、以线段 GF、AD、AE 的长围成一个直角三角形 此时 GF4m所以 GO3m,点 G 的坐标为(3m, 0) 考点伸展 第(3)题中的点 G 的另一种情况,就是 GF 为直角三角形的斜边 此时 5334 AEADGF 因此34GFm 4 所以( 341)GOm此时(34 ,0)G mm 例 2 如图 1,已知抛物线的方程 C1: 1 (2)()yxxm m (m0)与 x 轴交于点 B、C,与 y 轴交于点 E, 且点 B 在点 C 的左侧 (1)若抛物线 C1 过点 M(2, 2),求实数 m 的值; (2)在(1)的条件下,求BCE 的面积; (3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找
7、一点 H,使得 BHEH 最小,求出点 H 的坐标; (4)在第四象限内,抛物线 C1 上是否存在点 F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似?若存 在,求 m 的值;若不存在,请说明理由 图 1 思路点拨 1第(3)题是典型的“牛喝水”问题,当 H 落在线段 EC 上时,BHEH 最小 2第(4)题的解题策略是:先分两种情况画直线 BF,作CBFEBC45 ,或者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等,两边对应成比例列关于 m 的方程 满分解答 设对称轴与 x 轴的交点为 P,那么 HPEO CPCO 因此 2 34 HP 解得 3 2 HP 所以点
8、 H 的坐标为 3 (1, ) 2 5 由 2 BCCE BF,得 2 22 (4)4 (2)4 mm mm m 整理,得 016此方程无解 图 2 图 3 图 4 如图 4,作CBF45 交抛物线于 F,过点 F 作 FFx 轴于 F, 由于EBCCBF,所以 BEBC BCBF ,即 2 BCBE BF时,BCEBFC 在 RtBFF中,由 FFBF,得 1 (2)()2xxmx m 解得 x2m所以 F(2 ,0)m所以 BF2m2, 2(22)BFm 由 2 BCBE BF,得 2 (2)2 22(22)mm解得22 2m 综合、,符合题意的 m 为2 2 2 考点伸展 第(4)题也可
9、以这样求 BF 的长: 在求得点 F、F 的坐标后,根据两点间的距离公式求 BF 的长 例 3 如图 1,抛物线 yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线 l 是抛物线的对称轴 (1)求抛物线的函数关系式; (2)设点 P 是直线 l 上的一个动点,当PAC 的周长最小时,求点 P 的坐标; 6 图 1 思路点拨 第(2)题是典型的“牛喝水”问题,点 P 在线段 BC 上时PAC 的周长最小 满分解答 当点 P 落在线段 BC 上时,PAPC 最小,PAC 的周长最小 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H 由 BHPH BOCO ,BOCO,得 PHBH2
10、 所以点 P 的坐标为(1, 2) 图 2 考点伸展 在直线 l 上是否存在点 M,使MAC 为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点 M 的坐标;若不 存在,请说明理由 7 如图 5,当 CMCA 时,CM2CA2解方程 1(m3)210,得 m0 或 6 当 M(1, 6)时,M、A、C 三点共线,所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0) 图 3 图 4 图 5 例 4 如图 1,已知 A、B 是线段 MN 上的两点,4MN,1MA,1MB以 A 为中心顺时针旋转点 M, 以 B 为中心逆时针旋转点 N,使 M、N 两点重合成一点 C,构成ABC,设xAB (1)求 x 的取值范
11、围; (2)若ABC 为直角三角形,求 x 的值; (3)探究:ABC 的最大面积? 图 1 思路点拨 1根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列关于 x 的不等式组,可以求得 x 的取值范围 2分类讨论直角三角形 ABC,根据勾股定理列方程,根据根的情况确定直角三角形的存在性 3把ABC 的面积 S 的问题,转化为 S2的问题AB 边上的高 CD 要根据位置关系分类讨论,分 CD 在三角 8 形内部和外部两种情况 满分解答 (1)在ABC 中,1AC,xAB ,xBC 3,所以 .31 ,31 xx xx 解得21 x 边平方,得 22222 112)3(hhxxhx 整理,得
12、431 2 xhx 两边平方,得 16249)1 ( 222 xxhx整理,得16248 222 xxhx 所以462 4 1 2222 xxhxS 2 1 ) 2 3 (2 2 x( 4 2 3 x ) 当 2 3 x时(满足 4 2 3 x ) , 2 S取最大值 2 1 ,从而 S 取最大值 2 2 图 2 图 3 如图 3,若点 D 在线段 MA 上,则xhhx 222 1)3( 同理可得,462 4 1 2222 xxhxS 2 1 ) 2 3 (2 2 x( 4 1 3 x) 易知此时 2 2 S 综合得,ABC 的最大面积为 2 2 考点伸展 9 第(3)题解无理方程比较烦琐,迂
13、回一下可以避免烦琐的运算:设aAD , 来源:+网 例如在图 2 中,由 2222 BDBCADAC 列方程 222 )()3(1axxa 整理,得 x x a 43 所以 2 1a 2 2 2 1624843 1 x xx x x 因此462)1 ( 4 1 2222 xxaxS 例 5 如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 yax22ax3a(a0)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,经过点 A 的直线 l:ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C,与抛物线的另一个交点为 D,且 CD4AC (1)直接写出点 A 的坐标,并求直线 l 的函数表达式(其中 k、b 用含
14、a 的式子表示) ; (2)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点,若ACE 的面积的最大值为 5 4 ,求 a 的值; (3)设 P 是抛物线的对称轴上的一点,点 Q 在抛物线上,以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩 形?若能,求出点 P 的坐标;若不能,请说明理由 图 1 备用图 思路点拨 1过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F,那么AEF 与CEF 是共底的两个三角形 2以 AD 为分类标准讨论矩形,当 AD 为边时,AD 与 QP 平行且相等,对角线 APQD;当 AD 为对角线 时,AD 与 PQ 互相平分且相等 满分解答 (1)由 yax22ax3aa(x1)(x
15、3),得 A(1, 0) 由 CD4AC,得 xD4所以 D(4, 5a) 由 A(1, 0)、D(4, 5a),得直线 l 的函数表达式为 yaxa 10 由 yDyAyPyQ,得 yP26a所以 P(1, 26a) 由 AP2QD2,得 22(26a)282(16a)2 整理,得 7a21所以 7 7 a 此时 P 26 7 (1) 7 , 如图 3,如果 AD 为矩形的对角线,那么 AD 与 PQ 互相平分且相等 由 xDxAxPxQ,得 xQ2所以 Q(2,3a) 由 yDyAyPyQ,得 yP8a所以 P(1, 8a) 由 AD2PQ2,得 52(5a)212(11a)2 整理,得
16、4a21所以 1 2 a 此时 P(14), 图 1 图 2 图 3 考点伸展 第(3)题也可以这样解设 P(1,n) 如图 2,当 AD 时矩形的边时,QPD90 ,所以 AMDN MDNP ,即 55 53 an a 11 解得 2 35a n a 所以 P 2 35 (1,) a a 所以 Q 3 ( 4,) a 将 Q 3 ( 4,) a 代入 ya(x1)(x3),得 3 21a a 所以 7 7 a 如图 3,当 AD 为矩形的对角线时,先求得 Q(2,3a) 由AQD90 ,得 AGQK GQKD ,即 32 335 a aa 解得 1 2 a 【变式训练】 1如图,已知,以为圆
17、心,长为半径作 , 是上一个动点,直线交 轴于 点, 则面积的最大值是( ) A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 当直线 AN 与B 相切时,AOM 面积的最大设 BM=x,由切割线定理表示出 MN,可证明BNM AOM,根据相似三角形的性质可求得 x,然后求得AOM 面积 【详解】 当直线 AN 与B 相切时,AOM 面积的最大 连接 AB、BN, 在 RtAOB 和 RtANB 中 12 RtAOBRtANB, AN=AO=2, 解得 x= , SAOM= 故选 B 2如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,其中 AB=4,AOC=120 ,P 为O 上的动点,连 AP,取
18、 AP 中点 Q,连 CQ,则线段 CQ 的最大值为( ) A3 B1+ C1+3 D1+ 【答案】D 【解析】 【分析】 如图,连接 OQ,作 CHAB 于 H首先证明点 Q 的运动轨迹为以 AO 为直径的K,连接 CK,当点 Q 在 CK 的延长线上时,CQ 的值最大,利用勾股定理求出 CK 即可解决问题. 【详解】 解:如图,连接 OQ,作 CHAB 于 H 13 AQ=QP, OQPA, AQO=90 , 点 Q 的运动轨迹为以 AO 为直径的K,连接 CK, 3如图,矩形 ABCD 中,AB4,AD3,P 是边 CD 上一点,将ADP 沿直线 AP 对折,得到APQ当 射线 BQ 交
19、线段 CD 于点 F 时,DF 的最大值是( ) A3 B2 C47 D45 【答案】C 14 【解析】 4如图,由两个长为 ,宽为 的全等矩形叠合而得到四边形,则四边形面积的最大值是( ) A15 B16 C19 D20 【答案】A 【解析】 如图 1,作 AEBC 于 E,AFCD 于 F, , ADBC,ABCD, 四边形 ABCD 是平行四边形, 两个矩形的宽都是 3, 15 AE=AF=3, S 四边形 ABCD=AEBC=AFCD, BC=CD, 平行四边形 ABCD 是菱形。 如图 2, , 5如图,在菱形 ABCD 中,AB=6,A=135 ,点 P是菱形内部一点,且满足,则
20、PC+PD 的最小值为( ) A B C6 D 【答案】B 【解析】分析:在 BC 上截取点 E使 CE= BC=2,过点 E作 EF/AD,交 AD于点 F, 由可 知点 P线段 EF 上,作 C与 C 关于 EF对称,连接 DC,则 DC的长即是 PC+PD的最小值. 详解:在 BC 上截取点 E使 CE= BC=2,过点 E 作 EF/AD,交 AD 于点 F, 16 当点 P 在线段 EF 上是时,. 6如图,在 ABC 中,ABAC5,BC6,ADBC 于 D,点 E,F 分别在 AD,AB 是,则 BEEF 的 最小值是 A4 B4.8 C5 D5.4 【答案】B 【解析】作 F关
21、于 AD 的对称点 M,连接 BM 交 AD于 E,连接 EF,过 B 作 BNAC于 N,已知 ABAC5, BC6,ADBC于 D,根据等腰三角形的三线合一的性质可得 BD=CD=3,AD平分BAC,即可得点 M在 AC 上,在 RtABD 中,由勾股定理求得 AD=4,所以,由此求得 BN=4.8, 再由点 F关于 AD 的对称点 M 可得 EF=EM,所以 BE+EF=BE+EM=BM,根据垂线段最短得出:BMBN,即 BE+EF4.8 ,即 BE+EF 的最小值是 4.8,故选 B. 17 7在 RtABC 中,ACB=90 ,AC=4,BC=8,D,E 是 AB 和 BC 上的动点
22、,连接 CD,DE 则 CD+DE 的最小值为( ) A8 B C D 【答案】D 【解析】 【分析】 根据轴对称的性质,可得 C的对称点 C,然后过 C作垂线可得 CE,再根据垂线段最短可知 CD+DE最短, 再利用直角三角形的性质求得 CC的长,继而得知CCEABC,利用相似三角形的对应边成比例,求 出答案. 【详解】 过 C作 C 关于 AB 的对称点 C,然后过 C作 CEBC,垂足为 E,交 AB于 D,则 CE=CD+DE=CD+DE 最短, AC=4,BC=8 AB= CF= = 18 二、解答题 8问题发现: ( ) 如图,中, 点 是边上任意一点, 则的最小值为_ ( )如图
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