中考数学压轴专练专题12 有关函数的计算说理类综合问题 (学生版)
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1、 1 【类型综述】 计算说理是通过计算得到结论;说理计算侧重说理,说理之后进行代入求值 压轴题中的代数计算题,主要是函数类题 函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式,按照设、列、解、验、答五步完成,一般来说,解析式 中待定几个字母,就要代入几个点的坐标 还有一类计算题,就是从特殊到一般,通过计算寻找规律 【方法揭秘】 代数计算和说理较多的一类题目, 是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组, 消去 y,得到关于 x 的一元二次方程,然后根据确定交点的个数 我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法来源: 如图 1,已知直线 yx1 与 x 轴交于点 A,抛物线 yx2
2、2x3 与直线 yx1 交于 A、B 两点,求点 B 的坐标的代数方法,就是联立方程组,方程组的一个解是点 A 的坐标,另一个解计算点的坐标 几何法是这样的:设直线 AB 与 y 轴分别交于 C,那么 tanAOC1 作 BEx 轴于 E,那么1 BE AE 设 B(x, x22x3),于是 2 23 1 1 xx x 来源:Z.X.X.K 请注意,这个分式的分子因式分解后, (1)(3) 1 1 xx x 这个分式能不能约分,为什么? 因为 x1 的几何意义是点 A,由于点 B 与点 A 不重合,所以 x1,因此约分以后就是 x31 这样的题目一般都是这样,已知一个交点求另一个交点,经过约分
3、,直接化为一元一次方程,很简便 图 1 【典例分析】 例 1 在平面直角坐标系中,C 的半径为 r,P 是与圆心 C 不重合的点,点 P 关于C 的反称点的定义如 下:若在射线 CP 上存在一点 P,满足 CPCP2r,则称点 P为点 P 关于C 的反称点如图 1 为点 P 2 及其关于C 的反称点 P的示意图 特别地,当点 P与圆心 C 重合时,规定 CP0 (1)当O 的半径为 1 时, 分别判断点 M(2, 1),N 3 ( ,0) 2 ,T (1, 3)关于O 的反称点是否存在?若存在,求其坐标; 点 P在直线 yx2 上,若点 P 关于O 的反称点 P存在,且点 P不在 x 轴上,求
4、点 P 的横坐标的取 值范围; (2)C 的圆心在 x 轴上,半径为 1,直线 3 2 3 3 yx 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,若线段 AB 上 存在点 P,使得点 P 关于C 的反称点 P在C 的内部,求圆心 C 的横坐标的取值范围 例 2 已知二次函数 ya(xm)2a(xm)(a、m 为常数,且 a0) (1)求证:不论 a 与 m 为何值,该函数的图像与 x 轴总有两个公共点; (2)设该函数的图像的顶点为 C,与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 D 当ABC 的面积等于 1 时,求 a 的值 当ABC 的面积与ABD 的面积相等时,求 m 的值 例 3 如图
5、 1,在ABC 中,BCAC,ACB90 ,点 D 在 AB 边上,DEAC 于点 E (1)若 1 3 AD DB ,AE2,求 EC 的长; (2)设点 F 在线段 EC 上,点 G 在射线 CB 上,以 F、C、G 为顶点的三角形与EDC 有一个锐角相等, FG 交 CD 于点 P问:线段 CP 可能是CFG 的高还是中线?或两者都有可能?请说明理由 3 图 1 例 4 已知二次函数 yx2bxc 的图像经过点 P(0, 1)与 Q(2, 3) (1)求此二次函数的解析式; (2)若点 A 是第一象限内该二次函数图像上一点,过点 A 作 x 轴的平行线交二次函数图像于点 B,分别过 点
6、B、A 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C、D,且所得四边形 ABCD 恰为正方形 求正方形的 ABCD 的面积; 联结 PA、PD,PD 交 AB 于点 E,求证:PADPEA 例 5 如图 1,抛物线 2 1 (3)1 2 yx与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧) ,与 y 轴交于点 C,顶点为 D (1)求点 A、B、C 的坐标; (2)联结 CD,过原点 O 作 OECD,垂足为 H,OE 与抛物线的对称轴交于点 E,联结 AE、AD求证: AEOADC; (3)以(2)中的点 E 为圆心,1 为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点 P,过 P 作E 的切线, 切点
7、为 Q,当 PQ 的长最小时,求点 P 的坐标,并直接写出点 Q 的坐标 【变式训练】 一、解答题(本大题共 20 题) 1已知二次函数 (1)该抛物线与 轴交于点 ,顶点为 ,求点 的坐标; (2)在(1)的条件下, 轴是否存在一点 ,使得最短?若 点存在,求出 点的坐标;若 点不存 在,请说明理由. 2已知抛物线 yx2+2kxk2+k+3(k为常数)的顶点纵坐标为 4 4 (1)求 k的值;来源:ZXXK (2)设抛物线与直线 y (x3) (m0)两交点的横坐标为 x1,x2,nx1+x22,若 A(1,a) ,B(b, )两点在动点 M(m,n)所形成的曲线上,求直线 AB 的解析式
8、; (3)将(2)中的直线 AB 绕点(3,0)顺时针旋转 45 ,与抛物线 x 轴上方的部分相交于点 C,请直接写 出点 C的坐标 3已知:二次函数满足下列条件: 抛物线 y=ax2+bx 与直线 y=x 只有一个交点; 对于任意实数 x,a(-x+5)2+b(-x+5)=a(x-3)2+b(x-3) 都成立. (1) 、求二次函数 y=ax2+bx 的解析式 (2) 、若当-2xr(r0)时,恰有 ty1.5r 成立,求 t和 r 的值. 4在平面直角坐标系 xOy中,已知两点 A(0,3) ,B(1,0) ,现将线段 AB绕点 B按顺时针方向旋转 90 得到线段 BC,抛物线 y=ax2
9、+bx+c经过点 C (1)如图 1,若抛物线经过点 A和 D(2,0) 求点 C 的坐标及该抛物线解析式; 在抛物线上是否存在点 P,使得POB=BAO,若存在,请求出所有满足条件的点 P 的坐标,若不存在, 请说明理由; (2)如图 2,若该抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过点 E(2,1) ,点 Q在抛物线上,且满足QOB=BAO, 若符合条件的 Q点恰好有 2 个,请直接写出 a 的取值范围 5平面直角坐标系 xOy (如图) ,抛物线 y=x2+2mx+3m2(m0)与 x 轴交于点 A、B(点 A 在点 B左侧) , 与 y轴交于点 C,顶点为 D,对称轴为直线 l,过点 C
10、作直线 l的垂线,垂足为点 E,联结 DC、BC (1)当点 C(0,3)时, 求这条抛物线的表达式和顶点坐标; 5 求证:DCE=BCE; (2)当 CB平分DCO时,求 m的值 6已知抛物线 y=x2+bx+c(b,c 是常数)与 x 轴相交于 A,B两点(A 在 B的左侧) ,与 y 轴交于点 C (1)当 A(1,0) ,C(0,3)时,求抛物线的解析式和顶点坐标; (2)P(m,t)为抛物线上的一个动点 当点 P 关于原点的对称点 P落在直线 BC上时,求 m 的值; 当点 P 关于原点的对称点 P落在第一象限内,PA2取得最小值时,求 m的值及这个最小值 7已知二次函数 ymx22
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