中考数学压轴专练专题09 二次函数与矩形正方形存在型问题(教师版)
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1、 1 【典例分析】 例 1 如图,抛物线顶点 P(1,4) ,与 y 轴交于点 C(0,3) ,与 x 轴交于点 A,B 来源:Zxxk.Com (1)求抛物线的解析式 (2)Q 是抛物线上除点 P 外一点,BCQ 与BCP 的面积相等,求点 Q 的坐标 (3)若 M,N 为抛物线上两个动点,分别过点 M,N 作直线 BC 的垂线段,垂足分别为 D,E是否存在 点 M,N 使四边形 MNED 为正方形?如果存在,求正方形 MNED 的边长;如果不存在,请说明理由 思路点拨 (1)设出抛物线顶点坐标,把 C 坐标代入求出即可; (2)由BCQ 与BCP 的面积相等,得到 PQ 与 BC 平行,过
2、 P 作作 PQBC,交抛物线于点 Q,如图 1 所示;设 G(1,2) ,可得 PG=GH=2,过 H 作直线 Q2Q3BC,交 x 轴于点 H,分别求出 Q 的坐标即可; (3)存在点 M,N 使四边形 MNED 为正方形,如图 2 所示,过 M 作 MFy 轴,过 N 作 NFx 轴,过 N 作 NHy 轴,则有MNF 与NEH 都为等腰直角三角形,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,设直线解析式为 y=-x+b, 与二次函数解析式联立, 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程, 利用根与系数关系表示出 NF2, 由MNF 为等腰直角三角形,得到 MN2=2NF2,若四边形 MN
3、ED 为正方形,得到 NE2=MN2,求出 b 的值,进而确定 出 MN 的长,即为正方形边长 满分解答 (1)设 y=a(x1)2+4(a0) , 把 C(0,3)代入抛物线解析式得:a+4=3,即 a=1, 则抛物线解析式为 y=(x1)2+4=x2+2x+3; (2)由 B(3,0) ,C(0,3) ,得到直线 BC 解析式为 y=x+3, SOBC=SQBC, 2 PQBC, 过 P 作 PQBC,交抛物线于点 Q,如图 1 所示, (3)存在点 M,N 使四边形 MNED 为正方形, 如图 2 所示,过 M 作 MFy 轴,过 N 作 NFx 轴,过 N 作 NHy 轴,则有MNF
4、与NEH 都为等腰直 角三角形, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,设直线 MN 解析式为 y=x+b, 3 联立得:, 例 2 如图,已知抛物线与 轴分别交于原点 和点,与对称轴 交于点.矩形的 边在 轴正半轴上,且,边,与抛物线分别交于点 , .当矩形沿 轴正方向平移,点 , 位于对称轴 的同侧时,连接,此时,四边形的面积记为 ;点 , 位于对称轴 的两侧时,连接 ,此时五边形的面积记为 .将点 与点 重合的位置作为矩形平移的起点,设矩形 平移的长度为. (1)求出这条抛物线的表达式; (2)当时,求的值; (3)当矩形沿着 轴的正方向平移时,求 关于的函数表达式,并求出 为何值
5、时, 有最大 值,最大值是多少? 思路点拨 4 (1)根据点 E、F 的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式; (2)找出当 t=0 时,点 B、N 的坐标,进而可得出 OB、BN 的长度,再根据三角形的面积公式可求出 SOBN 的值; (3)分 0t4 和 4t5 两种情况考虑:当 0t4 时(图 1) ,找出点 A、B、M、N 的坐标,进而可得 出 AM、BN 的长度,利用梯形的面积公式即可找出 S 关于 t 的函数关系式,再利用二次函数的性质即可求 出 S 的最大值;当 4t5 时,找出点 A、B、M、N 的坐标,进而可得出 AM、BN 的长度,将五边形分 成两个梯形, 利用梯形的
6、面积公式即可找出 S 关于 t 的函数关系式, 再利用二次函数的性质即可求出 S 的最 大值将中的 S 的最大值进行比较,即可得出结论. 满分解答 (1)将 E(5,5) 、F(10,0)代入 y=ax2+bx, ,解得:, 抛物线的表达式为 y=- x2+2x (2)当 t=0 时,点 B 的坐标为(1,0) ,点 N 的坐标为(1, ) , BN= ,OB=1, SOBN= BNOB= (3)当 0t4 时(图 1) ,点 A 的坐标为(t,0) ,点 B 的坐标为(t+1,0) , 点 M 的坐标为(t,- t2+2t) ,点 N 的坐标为(t+1,- (t+1)2+2(t+1) ) ,
7、 AM=- t2+2t,BN=- (t+1)2+2(t+1) , S= (AM+BN)AB= 1 - t2+2t- (t+1)2+2(t+1), =- t2+ t+, 5 =- (t- )2+ , - 0, 当 t=4 时,S 取最大值,最大值为; 当 4t5 时(图 2) ,点 A 的坐标为(t,0) ,点 B 的坐标为(t+1,0) , =, 当 t= 时,S 有最大值,最大值是 例 3 如图,抛物线 2 :7Wyaxbx的顶点为3,2 (1)求抛物线W的函数表达式 (2)若抛物线形 W 与W关于x轴对称,求抛物线 W 的函数表达式 (3)在(2)的基础上,设W上的点M、N始终与 W 上的
8、点 M 、 N 分别关于x轴对称,是否存在点 M、N(M、N分别位于抛物线对称轴两侧,且M在N的左侧) ,使四边形MM N N 为正方形? 6 若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由 思路点拨 1根据顶点坐标,求出, a b的值,求抛物线W的函数表达式 2抛物线 W 与W关于x轴对称,求出抛物线 W 的顶点坐标和二次项系数,即可求得函数表达式. 3根据正方形的边长相等, 2 M MNMMy列出方程,求解即可. 满分解答 (1)抛物线 2 :7Wyaxbx的顶点为3,2 2 3 2 47 2, 4 b a ab a 解得: 1 6. a b 2 2 3267yxxx (2)若抛物线W的顶点坐
9、标为3,2 1.a 若抛物线 W 与W关于x轴对称, 抛物线 W 的顶点坐标为: 3, 2 . 1.a 抛物线 W 的函数表达式为: 2 2 3267yxxx 7 (3)存在 如图,要使四边形MNN M是正方形, / / /MMNNy 轴,则要/ /MNx轴, 且2 M MNMMy 设 2 ,67M mmm, (3)m , 抛物线的对称轴为:直线3x , 由抛物线的对称性可知2 3MNm, 2 2 3267mmm 8 例 4 如图,正方形 ABCD 的顶点 A、B 分别在 y 轴和 x 轴上,且 A 点的坐标为(0,1) ,正方形的边长为. (1) 直接写出 D、C 两点的坐标; (2)求经过
10、 A、D、C 三点的抛物线的关系式; (3)若正方形以每秒个单位长度的速度匀速沿射线下滑,直至顶点落在轴上时停 止设正方 形落在轴下方部分的面积为 S,求 S 关于滑行时间 的函数关系式,并写出相应自变量 的取值范围; (4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,到顶点落在轴上时,求抛物线上两点间的抛 物线弧所扫过的面积 思路点拨 (1)可先根据 AB 所在直线的解析式求出 A,B 两点的坐标,即可得出 OA、OB 的长过 D 作 DMy 轴 于 M,则ADMBAO,由此可得出 MD、MA 的长,也就能求出 D 的坐标,同理可求出 C 的坐标; (2)可根据 A、C、D 三点的坐标,用待定
11、系数法求出抛物线的解析式; (3)要分三种情况进行讨论: 当 F 点在 AB之间时,即当 0t1 时,此时 S 为三角形 FBG 的面积,可用正方形的速度求出 AB的长, 即可求出 BF 的长,然后根据GFB的正切值求出 BG 的长,即可得出关于 S、t 的函数关系式 当 A在 x 轴下方,但 C在 x 轴上方或 x 轴上时,即当 1t2 时,S 为梯形 AGBH 的面积,可参照的 9 方法求出 AG 和 BH 的长,那么梯形的上下底就可求出,梯形的高为 AB即正方形的边长,可根据梯形的 面积计算公式得出关于 S、t 的函数关系式 当 D逐渐移动到 x 轴的过程中,即当 2t3 时,此时 S
12、为五边形 ABCHG 的面积,S=正方形 ABCD 的面积-三角形 GHD的面积可据此来列关于 S,t 的函数关系式; (4)CE 扫过的图形是个平行四边形,经过关系不难发现这个平行四边形的面积实际上就是矩形 BCDA的 面积可通过求矩形的面积来求出 CE 扫过的面积 满分解答 (1); (3)当点 A 运动到点 x 轴时, 当时,如图 1, , ; 当点 运动到轴上时, 当时,如图 2, 10 , , ; 当点 运动到轴上时, 当时,如图 3, , , , , , 11 = (4), = = 例 5 如图,已知抛物线 y=ax2+bx3 过点 A(1,0) ,B(3,0) ,点 M、N 为抛
13、物线上的动点,过点 M 作 MDy 轴,交直线 BC 于点 D,交 x 轴于点 E过点 N 作 NFx 轴,垂足为点 F (1)求二次函数 y=ax2+bx3 的表达式; (2)若 M 点是抛物线上对称轴右侧的点,且四边形 MNFE 为正方形,求该正方形的面积; (3)若 M 点是抛物线上对称轴左侧的点,且DMN=90 ,MD=MN,请直接写出点 M 的横坐标 思路点拨 (1)把 A(1,0) ,B(3,0)两点的坐标代入 y=ax2+bx3,利用待定系数法即可求得二次函数 y=ax2+bx 3 的表达式; (2)设点 M 的坐标为(m,m22m3) ,则 m1,分别表示出 ME=|m2+2m
14、3|、MN=2m 2,由四边形 MNFE 为正方形知 ME=MN,据此列出方程,分类讨论求解可得 m 的值,进而求出正方形 的面积; (3)先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式,设点 M 的坐标为(t,t22t3) ,则 t1,则点 N (2t,t22t3) ,点 D(t,t3) ,由 MD=MN 列出方程,根据点 M 的位置分类讨论求解可得 满分解答 (1)把 A(1,0) ,B(3,0)代入 y=ax2+bx3, 12 得:, 解得, 故该抛物线解析式为:y=x22x3; 当m2+2m+3=22m 时,解得:m3=2+ ,m4 =2(不符合题意,舍去) , 当 m=2+时,正方形的面积
15、为2(2+ )22=24+8; 综上所述,正方形的面积为 24+8或 248 (3)设 BC 所在直线解析式为 y=px+q, 把点 B(3,0) 、C(0,3)代入表达式, 得:,解得: , 直线 BC 的函数表达式为 y=x3, 设点 M 的坐标为(t,t22t3) ,其中 t1, 则点 N(2t,t22t3) ,点 D(t,t3) , MN=2tt=22t,MD=|t22t3t+3|=|t23t| MD=MN, |t23t|=22t, 13 分两种情况: 当 t23t=22t 时,解得 t1=1,t2=2(不符合题意,舍去) 当 3tt2=22t 时,解得 t3= ,t2= (不符合题意
16、,舍去) 综上所述,点 M 的横坐标为1 或 【变式训练】 1如图, 为坐标原点,边长为的正方形的顶点 在 轴的正半轴上,将正方形 OABC 绕顶点 顺时 针旋转,使点 落在某抛物线的图象上,则该抛物线的解析式为( ) A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 过点 B 向 x 轴引垂线,连接 OB,可得 OB 的长度,进而得到点 B 的坐标,代入二次函数解析式即可求解 【详解】 如图,作 BEx 轴于点 E,连接 OB, 14 【点睛】 本题考查用待定系数法求函数解析式和勾股定理的运用,解题的关键是利用正方形的性质及相应的三角函 数得到点 B 的坐标 2如图,边长为 1 的正方形 AB
17、CD 顶点 A(0,1) ,B(1,1) ;一抛物线 y=ax2+bx+c 过点 M(1,0) 且顶点在正方形 ABCD 内部(包括在正方形的边上) ,则 a 的取值范围是( ) A2a1 B2a C1a D1a 【答案】C 【解析】 【分析】 15 当顶点与 A 点重合,可以知道顶点坐标为(0,1)且抛物线过(-1,0) ,由此可求出 a;当顶点与 C 点重合, 顶点坐标为(1,2)且抛物线过(-1,0) ,由此也可求 a,然后由此可判断 a 的取值范围 【详解】 【点睛】 本题主要考查了抛物线的解析式 y=ax2+bx+c 中 a、b、c 对抛物线的影响,在对于抛物线的顶点在所给图形 内进
18、行运动的判定,充分利用了利用形数结合的方法,展开讨论,加以解决 3如图,在平面直角坐标系中,二次函数 yax2c(a0)的图象过面积为 2 1 的正方形 ABOC 的三个顶点 A、B、C,则 a 的值为 【答案】-2 【解析】 试题分析: 作BDx轴于点D, BDO=90 , 四边形ABOC是面积为 2 1 正方形, AB=BO=CO=AC= 2 2 , AOB=45 ,BOD=DBO=45 ,BD=DO,在 RtABO 和 RtBDO 中由勾股定理得 AO =1, 16 BD=DO= 2 1 ,A(0,1),B( 2 1 , 2 1 ), 1 11 42 c ac ,解得: 2 1 a c
19、故答案为-2 考点:二次函数综合题 4如图,正方形的顶点 , 与正方形的顶点 , 同在一段抛物线上,且抛物线的顶点同时落在 和 轴上, 正方形边与同时落在 轴上, 若正方形的边长为 , 则正方形的边长为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意得出抛物线解析式,进而表示出 G 点坐标,再利用 2OF=FG,进而求出 【详解】 正方形 ABCD 边长为 4, 顶点坐标为: (0,4) ,B(2,0) , 设抛物线解析式为:y=ax2+4, 将 B 点代入得,0=4a+4, 解得 a=-1, 抛物线解析式为:y=-x2+4, 设 G 点坐标为: (m,-m2+4) , 则 2m=-m2+4, 整理
20、的:m2+2m-4=0, 解得:m1=-1+ ,m2=-1- (不合题意舍去) , 正方形 EFGH 的边长 FG=2m=2-2 17 故答案是:2-2 【点睛】 考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法,解题关键是运用正方形的性质以及抛物线上点的坐 标性质得出等式 5如图 4,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过点 A(2,0) ,B(6,0) ,交 y 轴于点 C,且 SABC=16 (1)求点 C 的坐标; (2)求抛物线的解析式及其对称轴; (3)若正方形 DEFG 内接于抛物线和 x 轴(边 FG 在 x 轴上,点 D,E 分别在抛物线上) ,求 S正方形DEFG 【答
21、案】 (1) (0,8) ; (2)y= x2x+8,其对称轴为直线 x=4; (3)4 【解析】 【分析】 (1)由 SABC AB OC 求出 OC 的长度,进而确定 C 点坐标; (2)因为抛物线经过点 A(2,0) ,B(6, 0) ,故可以设二次函数的交点式,即 ya(x2) (x6) ,再将 C 点坐标代入即可求得解析式,进一步得到 对称轴; (3)设正方形 DEFG 的边长为 m,再根据题中的条件列出正确的 D、E 坐标,再将 E 点坐标代入 二次函数求出边长 m,进一步求得正方形 DEFG 的面积. 【详解】 (1)A(2,0) ,B(6,0) , AB624 SABC16,
22、4OC16, 18 OC8, 点 C 的坐标为(0,8) ; (2)抛物线 yax2bxc(a0)经过点 A(2,0) ,B(6,0) , 可设抛物线的解析式为 ya(x2) (x6) , 将 C(0,8)代入,得 812a, 解得 a , y (x2) (x6) x2x8, 故抛物线的解析式为 y x2x8,其对称轴为直线 x4; 【点睛】 本题考查了三角形的面积、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、正方形的性质,注意灵活运 用知识点,另外利用面积求出点 C 坐标、根据二次函数与正方形的性质正确表示 D、E 的坐标是解答此题 的关键. 6如图 1:矩形 OABC 的顶点 A、B 在抛
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