决胜2019中考数学之模型解题高分攻略专题04 三角函数的应用模型解题（教师版）

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1、 1 解题模型一解题模型一 “独立”型“独立”型 图形图形 关系式关系式 针对训练针对训练 1 （2018台州）图 1 是一辆吊车的实物图，图 2 是其工作示意图，AC 是可以伸缩的起重臂，其转动点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 3.4m当起重臂 AC 长度为 9m，张角HAC 为 118时，求操作平台 C 离地面的 高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53） 【答案】操作平台 C 离地面的高度为 7.6m。 2 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三 角形转化为解直角三角形问题

2、） ，然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算 解题模型二解题模型二 “背靠背”型“背靠背”型 图形图形 关系式关系式 针对训练针对训练 2 （2018临沂）如图，有一个三角形的钢架 ABC，A=30，C=45，AC=2（+1）m请计算说明，工 人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 2.1m 的圆形门？ 3 【答案】工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m 的圆形门。 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用， 解一元一次方程等知识点， 能正确求出 BD 的长是解此题的关键 3 （2018长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 A、B 两地间的公路进行改建如图，A、 B 两地之间

3、有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地需途径 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接 沿直线 AB 行驶已知 BC=80 千米，A=45，B=30 （1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米？（结果精确到 0.1 千米） （参考数据： 1.41，1.73） 4 【答案】 （1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走 136.4 千米.（2）汽车从 A 地到 B 地比原来少走的路 程为 27.2 千米. # 答：开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走 136.4 千米。 （2）cos30=

4、，BC=80（千米） ， BD=BCcos30=80（千米）. tan45=，CD=40（千米） ， AD=（千米）. AB=AD+BD=40+4040+401.73=109.2（千米）. 汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程为：AC+BCAB=136.4109.2=27.2（千米） 答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走的路程为 27.2 千米。 5 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角 三角形的问题，解决的方法就是作高线 4 （2018陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起高铁大大缩短 了时空距离

5、，改变了人们的出行方式如图，A，B 两地被大山阻隔，由 A 地到 B 地需要绕行 C 地，若打 通穿山隧道，建成 A，B 两地的直达高铁，可以缩短从 A 地到 B 地的路程已知：CAB=30，CBA=45， AC=640 公里，求隧道打通后与打通前相比， 从 A 地到 B 地的路程将约缩短多少公里？ （参考数据： 1.7，1.4） 【答案】隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里 答：隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角 三角形解决问题

6、，需要熟记锐角三角函数的定义 5 （2018常州） 京杭大运河是世界文化遗产 综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽 （岸沿是平行的） ， 如图， 在岸边分别选定了点 A、 B 和点 C、 D， 先用卷尺量得 AB=160m， CD=40m， 再用测角仪测得CAB=30， DBA=60，求该段运河的河宽（即 CH 的长） 6 【答案】该段运河的河宽为 30m 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键 6 （2017岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管 AB 与支架 CD 所在直线相交于 点 O，且 OB=OD，支架 CD 与水平线 AE

7、 垂直，BAC=CDE=30，DE=80cm，AC=165cm （1）求支架 CD 的长； （2）求真空热水管 AB 的长 （结果保留根号） 7 【答案】 （1）CD=40（cm） （2）AB95（cm） 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象为数学问题（画出平面 图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题） 7 （2017赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示已知 AC=20cm，BC=18cm， ACB=50，王浩的手机长度为 17cm，宽为 8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽 AB 内？请说明你的理 由 （提示：sin500.8，

8、cos500.6，tan501.2） 【答案】王浩同学能将手机放入卡槽 AB 内 【解析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得 AD 和 CD 的长，进而可以求得 DB 的长，然后根据勾股定 理即可得到 AB 的长，然后与 17 比较大小，即可解答本题 8 来源: 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直 角三角形的相关知识解答 #￥ 解题模型三解题模型三 “母抱子”型“母抱子”型 图形图形 关系式关系式 9 来源:Zxxk.Com 针对训练针对训练 8 （2017白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一

9、数 学课外实践活动中，小林在南滨河路上的 A，B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭 D 进行了测 量如图，测得DAC=45，DBC=65若 AB=132 米，求观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为多少米？ （结果精确到 1 米，参考数据：sin650.91，cos650.42，tan652.14） 【答案】观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为 248 米 10 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 # 9 （2017宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一

10、岸边任意取一点 A，又在河的另一岸边取两 点 B、C 测得=30，=45，量得 BC 长为 100 米求河的宽度（结果保留根号） 【答案】河的宽度为 50（ +1）m 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AD=CD 是解题关键 11 10 （2016青海）如图，某办公楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22时，办公楼在建筑 物的墙上留下高 2 米的影子 CE，而当光线与地面夹角是 45时，办公楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 25 米的距离（B，F，C 在一条直线上） （1）求办公楼 AB 的高度； （2）若要在 A，E 之间挂一些彩旗，请你求出

11、 A，E 之间的距离 （参考数据：sin22，cos22，tan22） 【答案】 （1）办公楼 AB 的高 20m （2）A、E 之间的距离约为 48m. 12 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出 tan22=是解题关键. 11 （2016六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得 超过 15m/s，在一条笔直公路 BD 的上方 A 处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，D=90，第一次探 测到一辆轿车从 B 点匀速向 D 点行驶，测得ABD=31，2 秒后到达 C 点，测得ACD=50 （tan310.6， tan501.2，结

12、果精确到 1m） （1）求 B，C 的距离 （2）通过计算，判断此轿车是否超速 【答案】 （1）BC 的距离为 20m.（2）则此轿车没有超速 【解析】 （1）在直角三角形 ABD 与直角三角形 ACD 中，利用锐角三角函数定义求出 BD 与 CD 的长，由 BD CD 求出 BC 的长即可； （2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断 解： （1）在 RtABD 中，AD=24m，B=31， tan31=，即 BD=40m. 在 RtACD 中，AD=24m，ACD=50， tan50=，即 CD=20m. 13 BC=BDCD=4020=20m. 则 BC 的距离为 20m. （

13、2）根据题意，得 202=10m/s15m/s， 则此轿车没有超速 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键 12 （2016兰州）如图，一垂直于地面的灯柱 AB 被一钢线 CD 固定，CD 与地面成 45夹角（CDB=45） ， 在 C 点上方 2 米处加固另一条钢线 ED，ED 与地面成 53夹角（EDB=53），那么钢线 ED 的长度约为多 少米？（结果精确到 1 米，参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33） 【答案】钢线 ED 的长度约为 10 米 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用三角函数值

14、求出相应的边的长度 13 （2017张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像铜像由像体 AD 和底座 CD 两部分组成如图，在 RtABC 中，ABC=70.5，在 RtDBC 中，DBC=45，且 CD=2.3 米，求像 体 AD 的高度（最后结果精确到 0.1 米，参考数据：sin70.50.943，cos70.50.334，tan70.52.824） 14 【答案】像体 AD 的高度约为 4.2m 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键 14 （2017呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有 A，B 两地，为了测量 A，B 两地的距

15、离，让一热气球从 小山西侧 A 地出发沿与 AB 成 30角的方向，以每分钟 40m 的速度直线飞行，10 分钟后到达 C 处，此时 热气球上的人测得 CB 与 AB 成 70角，请你用测得的数据求 A，B 两地的距离 AB 长 （结果用含非特殊角 的三角函数和根式表示即可） 【答案】A，B 两地的距离 AB 长为 200（tan20）米 【解析】过点 C 作 CMAB 交 AB 延长线于点 M，通过解直角ACM 得到 AM 的长度，通过解直角BCM 得到 BM 的长度，则 AB=AMBM 15 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形， 记住

16、三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型 15 （2018烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故 易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路 l，其间设有区间测速，所有车辆限速 40 千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在 l上确定 A，B 两点，并在 AB 路段进行区间测速在 l 外取一点 P，作 PCl，垂足为点 C测得 PC=30 米，APC=71，BPC=35上午 9 时测得一汽车从点 A 到点 B 用时 6 秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速 （参考数据：sin350.57，cos350.82， ta

17、n350.70，sin710.95，cos710.33，tan712.90） 【答案】该车没有超速 【解析】先求得 AC=PCtanAPC=87、BC=PCtanBPC=21，据此得出 AB=ACBC=8721=66，从而求得该车 通过 AB 段的车速，比较大小即可得 解：在 RtAPC 中，AC=PCtanAPC=30tan71302.90=87， 在 RtBPC 中，BC=PCtanBPC=30tan35300.70=21， 则 AB=ACBC=8721=66， 16 该汽车的实际速度为=11m/s. 又40km/h11.1m/s， 该车没有超速 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，涉及

18、的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义 是解本题的关键 16 （2017铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台 C，在岸边搭建了三个看台 A，B， D， 其中 A， C， D 三点在同一条直线上， 看台 A， B 到舞台 C 的距离相等， 测得A=30， D=45， AB=60m， 小明、小丽分别在 B，D 看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台 C 的距离 （结果保留根号） 【答案】小明、小丽与舞台 C 的距离分别为 20 m 和（30+10）m 【解析】如图作 BHAD 于 H ，CEAB 于 E解直角三角形，分别求出 BC、CD 即可解决问题 解：如图，作

19、BHAD 于点 H，CEAB 于点 E BH=DH=30. DC=DH+CH=30+10. 17 答：小明、小丽与舞台 C 的距离分别为 20m 和（30+10）m 【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三 角形解决问题，属于中考常考题型 17 （2017广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利 用生命探测仪在地面 A，B 两个探测点探测到地下 C 处有生命迹象已知 A，B 两点相距 8 米，探测线与 地面的夹角分别是 30和 45，试确定生命所在点 C 的深度（结果保留根号） 【答案】即生命所在点

20、C 的深度是米 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值解答 18 （2017贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救 出在 C 处的求救者后， 发现在 C 处正上方 17 米的 B 处又有一名求救者， 消防官兵立刻升高云梯将其救出， 18 已知点 A 与居民楼的水平距离是 15 米，且在 A 点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角CAD=60，求 第二次施救时云梯与水平线的夹角BAD 的度数（结果精确到 1） 【答案】第二次施救时云梯与水平线的夹角BAD 约为 71 # 来源:Zxxk.Com 【点睛】本题考

21、查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，构造出直 角三角形是解题的关键 19 （2017西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过， 已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车 绿道北段 AC 上的 A， B 两点分别对南岸的体育中心 D 进行测量， 分别测得DAC=30， DBC=60， AB=200 米，求体育中心 D 到湟水河北岸 AC 的距离约为多少米（精确到 1 米，1.732）？ 19 【答案】体育中心 D 到湟水河北岸 AC 的距离约为 173 米 【点睛】本

22、题考查了解直角三角形的应用主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以 计算来源:Zxxk.Com 解题模型四解题模型四 “斜截”型“斜截”型 图示：图示：辅助线作法延长四边形对边法 20 针对训练针对训练 20 （2016娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲 图） ，图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索 AB 与水平桥面的夹角是 30，拉索 CD 与 水平桥面的夹角是 60，两拉索顶端的距离 BC 为 2 米，两拉索底端距离 AD 为 20 米，请求出立柱 BH 的 长 （结果精确到 0.1 米，1.732） 【答案】立柱

23、 BH 的长约为 16.3 米 解得 x=10. BH=2+（10）=10116.3（米） 答：立柱 BH 的长约为 16.3 米 21 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出 CH 和 AH 是解决问题的关键 21 （2018随州）随州市新水一桥（如图 1）设计灵感来源于市花兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设 计长度为 258 米，宽 32 米，为双向六车道，2018 年 4 月 3 日通车斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、 主梁、斜拉索组成某座斜拉桥的部分截面图如图 2 所示，索塔 AB 和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索 DE 和最长的斜拉索 AC） 均在同一水平面内， BC 在水平

24、桥面上 已知ABC=DEB=45， ACB=30， BE=6 米，AB=5BD （1）求最短的斜拉索 DE 的长； （2）求最长的斜拉索 AC 的长 【答案】 （1）最短的斜拉索 DE 的长为 3m.（2）最长的斜拉索 AC 的长为 30m AB=3BD=53=15. 在 RtABH 中，B=45， BH=AH=AB=15=15. 在 RtACH 中，C=30， AC=2AH=30 22 答：最长的斜拉索 AC 的长为 30m 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角 形转化为解直角三角形问题） 22 （2017凉山州）如图，若要在宽 AD

25、为 20 米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂 BC 长 2 米，且与灯 柱 AB 成 120角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 CO 与灯臂 BC 垂直，当灯罩的轴线 CO 通过公路路 面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱 AB 高应该设计为多少米（结果保留根号）？ 【答案】路灯的灯柱 AB 高应该设计为（104）米 【解析】延长 OC，AB交于点 P，PCBPAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题 解：如图，延长 OC，AB 交于点 P ABC=120， PBC=60. 23 【点睛】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形的能力，考查了相似三角形的判定和性质，本题中求证 PC

26、BPAO 是解题的关键 解题模型五解题模型五 其他类型其他类型 23 （2018徐州）如图，1 号楼在 2 号楼的南侧，两楼高度均为 90m，楼间距为 AB冬至日正午，太阳光 线与水平面所成的角为 32.3，1 号楼在 2 号楼墙面上的影高为 CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成 的角为 55.7，1 号楼在 2 号楼墙面上的影高为 DA已知 CD=42m （1）求楼间距 AB； （2）若 2 号楼共 30 层，层高均为 3m，则点 C 位于第几层？（参考数据：sin32.30.53，cos32.30.85， tan32.30.63，sin55.70.83，cos55.70.56，tan55

27、.71.47） 【答案】 （1）楼间距 AB=50m.（2）C 位于 20 层 【解析】 （1）构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案 24 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确运用锐角三角函数来求出相应的线段，本题属 于中等题型 24 （2018资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在 A 处时的风筝线（整个过程中风 筝线近似地看作直线）与水平线构成 30角，线段 AA1表示小红身高 1.5 米 （1）当风筝的水平距离 AC=18 米时，求此时风筝线 AD 的长度； （2）当她从点 A 跑动 9米到达点 B 处时，风筝线与水平线构成 45角，此时风

28、筝到达点 E 处，风筝的水 25 平移动距离 CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度 C1D 【答案】 （1）此时风筝线 AD 的长度为 12米.（2）风筝原来的高度 C1D 为（+）米 答：此时风筝线 AD 的长度为 12米. 方法二：设 CD=x， CAD=30， 26 BE=AD=2CD=2x，AC=x. CF=10， AF=ACCF=x10. AB=9， BF=AB+AF=9+x10. EBF=45， 由 cosEBF=可得=. 解得 x=12+，即 CD=12+， 则 C1D=CD+C1C=12+=+ 答：风筝原来的高度 C1D 为（+）米 【点睛】本题主要考

29、查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义及根据题意找到两直角三 角形间的关联 25 （2018常德）图 1 是一商场的推拉门，已知门的宽度 AD=2 米，且两扇门的大小相同（即 AB=CD） ，将 左边的门 ABB1A1绕门轴 AA1向里面旋转 37，将右边的门 CDD1C1绕门轴 DD1向外面旋转 45，其示意图 如图 2，求此时 B 与 C 之间的距离（结果保留一位小数） （参考数据：sin370.6，cos370.8， 1.4） 【答案】B 与 C 之间的距离约为 1.4 米 27 BECM. 又BE=CM， 四边形 BEMC 为平行四边形. BC=EM，CM=BE 在 Rt

30、MEF 中，EF=ADAEDF=0.5，FM=CF+CM=1.3， EM=1.4. B 与 C 之间的距离约为 1.4 米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利 用勾股定理求出 BC 的长度是解题的关键 26 （2018岳阳）图 1 是某小区入口实景图，图 2 是该入口抽象成的平面示意图已知入口 BC 宽 3.9 米， 门卫室外墙 AB 上的 O 点处装有一盏路灯，点 O 与地面 BC 的距离为 3.3 米，灯臂 OM 长为 1.2 米（灯罩 长度忽略不计） ，AOM=60 28 （1）求点 M 到地面的距离； （2）某搬家公司一辆总宽

31、2.55 米，总高 3.5 米的货车从该入口进入时，货车需与护栏 CD 保持 0.65 米的安 全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由 （参考数据： 1.73，结果精确到 0.01 米） 【答案】 （1）点 M 到地面的距离是 3.9 米.（2）货车能安全通过 ￥ ON=OM=0.6. NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9. 即点 M 到地面的距离是 3.9 米.来源:Z.X.X.K 29 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，在直 角三角形解决问题，属于中考常考题型 27 （2017桂林）“C919”大型

32、客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获 得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中 ABCD，AMBNED，AEDE，请根据图中数据，求 出线段 BE 和 CD 的长 （sin370.60，cos370.80，tan370.75，结果保留小数点后一位） 【答案】线段 BE 的长约等于 18.8cm，线段 CD 的长约等于 10.8cm 【解析】 在 RtBED 中可先求得 BE 的长， 过点 C 作 CFAE 于点 F， 则可求得 AF 的长， 从而可求得 EF 的长， 即可求得 CD 的长 解：BNED， 30 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，利用条件构

33、造直角三角形是解题的关键，注意角度的应用 28 （2017常德）如图 1，2 分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座 BC=0.60 米，底座 BC 与支架 AC 所成的角ACB=75，支架 AF 的长为 2.50 米，篮板顶端 F 点到篮框 D 的距离 FD=1.35 米，篮板底部支 架 HE 与支架 AF 所成的角FHE=60， 求篮框 D 到地面的距离 （精确到 0.01 米）（参考数据： cos750.2588， sin750.9659，tan753.732，1.732，1.414） 【答案】篮框 D 到地面的距离是 3.05 米 31 【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角 三角函数的定义，属于中考常考题型