二次函数压轴题专题突破练专题08 二次函数背景下的与线段有关的最值探究(教师版)
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1、 1 备战备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 08 二次函数背景下的与线段有关的最值探究二次函数背景下的与线段有关的最值探究 【方法综述】【方法综述】 与线段有关的最值探究问题,是中考试卷中的常见问题。解答这些问题常涉及到的知识与线段有关的最值探究问题,是中考试卷中的常见问题。解答这些问题常涉及到的知识 有:两点之间线段最小、垂线段最短、直径是最长的弦等。与之相关的数学模型有:最短路有:两点之间线段最小、垂线段最短、直径是最长的弦等。与之相关的数学模型有:最短路 径问题、点到圆上的点的最短(长)距离问题。解答问题时,可以将这些问题应用于解题中。径问题
2、、点到圆上的点的最短(长)距离问题。解答问题时,可以将这些问题应用于解题中。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 常规单线段的最值探究常规单线段的最值探究 例例 1:已知抛物线l1与l2形状相同,开口方向不同,其中抛物线l1:y = ax2 6ax 10交 x 轴于 A,B 两点 (点 A 在点 B 的左侧),且AB = 4,抛物线l2与l1交于点 A 与C(4,m) (1)求抛物线l1,l2的函数表达式; (2)当 x 的取值范围是_时,抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大; (3)直线PQ/y轴,分别交 x 轴,l1,l2于点D(n,0),P,Q,当1 2 n 5时,
3、求线段 PQ 的最大值 【答案】(1)l1的函数表达式为y = 2x2+ 12x 10,l2的函数表达式为y = 2x2 8x + 6;(2)2 x 3;(3)16 【解析】 解:(1)当y = 0时,ax2 6ax 10 = 0, 解得:x1= 6a;36a2:40a 2a ,x2= 6a:36a2:40a 2a AB = 4, | 36a2:40a a | = 4, a = 2, 抛物线l1的函数表达式为y = 2x2+ 12x 10 当y = 0时,2x2+ 12x 10 = 0, 解得:x1= 1,x2= 5, 2 点 A 的坐标为(1,0),点 B 的坐标为(5,0) 当x = 4时
4、,m = 2x2+ 12x 10 = 6, 点 C 的坐标为(4,6) 设抛物线l2的函数表达式为y = 2x2+ bx + c, 将A(1,0),C(4,6)代入y = 2x2+ bx + c,得:32 + 4b + c = 6 2:b:c0 , 解得:c = 6 b;8 , 抛物线l2的函数表达式为y = 2x2 8x + 6 (2)当x 3时,抛物线l1上的点的纵坐标随横坐标的增大而增大, 当x 2时,抛物线l2上的点的纵坐标随横坐标的增大而增大 当2 x 3时,抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大 故答案为:2 x 3 (3) 点 P 的坐标为(n,0), 点 P 的
5、坐标为(n,2n2+ 12n 10),点 Q 的坐标为(n,2n2 8n + 6), |PQ| = | 2n2+ 12n 10 (2n2 8n + 6)| = 4|n2 5n + 4| 当1 2 n 0, PQ随着 n 的增大而减小, 当n = 1 2时,PQ 取得最大值,最大值为 7; 1 n 4时,PQ = 4(n2 5n + 4) = 4(n 5 2) 2 + 9, 3 4 0, 当n = 5 2时,PQ 取得最大值,最大值为 9; 当4 0, PQ随着 n 的增大而增大, 当n = 5时,PQ 取得最大值,最大值为 16 综上所述:当1 2 n 5时,线段 PQ 的最大值为 16 例例
6、 2:如图,ABCD 位于直角坐标系中,AB=2,点 D(0,1) ,以点 C 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 经过 x 轴正半轴上的点 A,B,CEx 轴于点 E (1)求点 A,B,C 的坐标 (2)将该抛物线向上平移 m 个单位恰好经过点 D,且这时新抛物线交 x 轴于点 M,N 求 MN 的长 点 P 是新抛物线对称轴上一动点, 将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60 得 AQ, 则 OQ 的最小值为 (直 接写出答案即可) 【答案】 (1)A(1,0) ,B(3,0) ,C(2,1) ; (2)MN25; 3 2 【解析】 (1)四边形 ABCD 是平行四边形, CD=AB=
7、2, CEx 轴, OE=2, 点 E 是 AB 中点, AE=BE=1, OA=21=1OB=OE+BE=3, A(1,0) ,B(3,0) , D(0,1) , 4 C(2,1) ; (2)由(1)知,抛物线的顶点 C(2,1) , 设抛物线的解析式为 y=a(x2)2+1, A(1,0)在抛物线上, a(12)2+1=0, a=1, 抛物线解析式为 y=(x2)2+1, 该抛物线向上平移 m 个单位恰好经过点 D,设平移后的抛物线解析式为 y=(x2)2+1+m, D(0,1) , (2)2+1+m=1, m=4, 平移后的抛物线解析式为 y=(x2)2+5, 令 y=0, 0=(x2)
8、2+5, x=2, M(2+,0) ,N(2,0) , MN=2; 如图, 在第一象限的抛物线对称轴上取一点 P1,使P1AB=60 , 在 RtAEP1 中,AP1=2AE=2,P2E= 点 Q1 和点 B 重合, Q1(3,0) ,P1(2,) , 在第一象限的抛物线对称轴上取一点 P2,使P2AB=30 , 在 RtAEP2 中,P2E=AEtan30 =, 点 Q2(2,) , 直线 Q1Q2 的解析式 y=x 5 在第二象限的抛物线对称轴上取一点 P3,使P3AE=60 , 由旋转知,Q3 和点 P1 关于点 A 对称, Q3(0,) , 点 Q3 在直线 Q1Q2 上, 点 Q 的
9、运动轨迹是直线 Q1Q2, 当 OQQ1Q2 时,OD 最短, Q1Q3=2 OD 最小=, 故答案为 针对训练针对训练 1 二次函数y=( 1) 2: 6 + 9的图象与x轴交于点A和点B, 以AB为边在x轴下方作正方形ABCD, 点 P 是 x 轴上一动点,连接 DP,过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E (1)求出 m 的值并求出点 A、点 B 的坐标 (2)当点 P 在线段 AO(点 P 不与 A、O 重合)上运动至何处时,线段 OE 的长有最大值,求出这个最大 值; (3) 是否存在这样的点 P, 使PED 是等腰三角形?若存在, 请求出点 P 的坐标及此时PED 与正方形
10、 ABCD 重叠部分的面积;若不存在,请说明理由 6 【答案】 (1)m=2,A(3,0) ,B(1,0) ; (2)P 为 AO 中点时,OE 的最大值为 9 16; (3)存在,见解 析. 【解析】 (1)二次函数 y=(m1) 2:6x+9, m2+m=2 且 m10, m=2, 二次函数解析式为 y=3x26x+9, 令 y=0, 0=3x26x+9, x=1 或 x=3, A(3,0) ,B(1,0) ; (2)设 PA=t(3t0) ,则 OP=3t, DPPE, DPA=PEO, DAPPOE, = ,即 = 4 3;, OE=1 4t2+ 3 4t= 1 4(t 3 2)2+
11、9 16, 当 t=3 2时,OE 有最大值, 即 P 为 AO 中点时,OE 的最大值为 9 16; (3)存在 当点 P 在 y 轴左侧时,如图 1,DE 交 AB 于 G 点, PD=PE,DPE=90 , 7 DAPPOE, PO=AD=4, PA=1,OE=1, ADOE, = =4, AG=12 5 , SDAG=1 2 12 5 4=24 5 , P 点坐标为(4,0) ,此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为; 24 5 当 P 点在 y 轴右侧时,如图 2, DE 交 AB 于 G 点,DP 与 BC 相交于 Q,同理可得DAPPOE, PO=AD=4, PA=7,
12、OE=7, ADOE, = = 4 7, OG=21 11, 同理可得 BQ=12 7 , S 四边形 DGBQ=1 2 ( 21 11+1) 4+ 1 2 4 12 7 =712 77 当点 P 的坐标为(4,0)时,此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为712 77 当点 P 和点 A 重合,此时,点 E 和点 O 重合,DPOP,此时,PDE 不是等腰三角形 8 2在如图的平面直角坐标系中,抛物线 yax22amx+am2+1(a0)与 x 轴交于点 A 和点 B,点 A 在点 B 的左侧,与 y 轴交于点 C,顶点是 D,且DAB45 (1)填空:点 C 的纵坐标是 (用含
13、a、m 的式子表示) ; (2)求 a 的值; (3)点 C 绕 O 逆时针旋转 90 得到点 C,当1 2m 5 2时,求 BC的长度范围 【答案】 (1)am2+1; (2)a1; (3)0BC9 4 【解析】 解: (1)当 x0 时,yax22amx+am2+1am2+1, 点 C 的纵坐标为 am2+1 故答案为:am2+1 (2)设抛物线对称轴与 x 轴交于点 E,如图 1 所示 DADB,DAB45 , 9 ABD 为等腰直角三角形, AB2DE yax22amx+am2+1a(xm)2+1, 点 D 的坐标为(m,1) 当 y0 时,ax22amx+am2+10,即 a(xm)
14、21, 解得:x1m 1 ,x2m+ 1 , AB2 1 2, 解得:a1 (3)由(1) (2)可知:点 C 的坐标为(0,1m2) ,点 B 的坐标为(m+1,0) 点 C 绕 O 逆时针旋转 90 得到点 C, 点 C的坐标为(m21,0) , BC|m+1(m21)|m2+m+2| m2+m+2(m1 2)2+ 9 4, 1 2m 5 2, 当 m5 2时,m2+m+2 取得最小值,最小值为 7 4; 当 m1 2时,m2+m+2 取得最大值,最大值为 9 4, 当1 2m 5 2时, 7 4m2+m+2 9 4, 当1 2m 5 2时,0BC 9 4 3已知抛物线 yax2+bx+3
15、 经过点 A(1,0) 、B(3,0) ,且与 y 轴交于点 C,抛物线的对称轴与 x 轴 交于点 D 10 (1)求抛物线的解析式; (2)点 P 是 y 轴正半轴上的一个动点,连结 DP,将线段 DP 绕着点 D 顺时针旋转 90 得到线段 DE,点 P 的 对应点 E 恰好落在抛物线上,求出此时点 P 的坐标; (3)点 M(m,n)是抛物线上的一个动点,连接 MD,把 MD2表示成自变量 n 的函数,并求出 MD2取得最 小值时点 M 的坐标 【答案】(1) yx2+2x+3;(2) 点 P 的坐标为 (0, 1+3) ;(3) MD2n2n+4; 点 M 的坐标为 (2;14 2 ,
16、 1 2) 或 (2:14 2 ,1 2) 【解析】 (1)将 A(1,0) ,B(3,0)代入 yax2+bx+3,得:, 解得:, 抛物线的解析式为 yx2+2x+3 (2)过点 E 作 EFx 轴于点 F,如图所示 OPD+ODP90 ,ODP+FDE90 , OPDFDE 在ODP 和FED 中, ODPFED(AAS) , DFOP,EFDO 11 抛物线的解析式为 yx2+2x+3(x1)2+4, 点 D 的坐标为(1,0) , EFDO1 当 y1 时,x2+2x+31, 解得:x11(舍去) ,x21+, DFOP1+, 点 P 的坐标为(0,1+) (3)点 M(m,n)是抛
17、物线上的一个动点, nm2+2m+3, m22m3n 点 D 的坐标为(1,0) , MD2(m1)2+(n0)2m22m+1+n23n+1+n2n2n+4 n2n+4(n)2+, 当 n时,MD2 取得最小值,此时m2+2m+3, 解得:m1,m2 MD2n2n+4, 当 MD2 取得最小值时,点 M 的坐标为(,)或(,) 12 3如图, 在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上, C 在 x 轴的正半轴上, 已知 A (0, 8) 、C(10,0) ,作AOC 的平分线交 AB 于点 D,连接 CD,过点 D 作 DECD 交 OA 于点 E (1)求点 D
18、的坐标; (2)求证:ADEBCD; (3)抛物线 y2 5x 224 5 x+8 经过点 A、C,连接 AC探索:若点 P 是 x 轴下方抛物线上一动点,过点 P 作 平行于 y 轴的直线交 AC 于点 M是否存在点 P,使线段 MP 的长度有最大值?若存在,求出点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由 【答案】 (1) (8,8) ; (2)详见解析; (3)存在,P 点坐标为(5,6) 【解析】 解: (1)OD 平分AOC,AODDOC 四边形 AOCB 是矩形, ABOC AODDOC AODADO OAAD(等角对等边) A 点的坐标为(0,8) , D 点的坐标为(8,8) (2)
19、四边形 AOCB 是矩形, OABB90 ,BCOA OAAD, ADBC EDDC EDC90 13 ADE+BDC90 BDC+BCD90 ADEBCD 在ADE 和BCD 中, DAEB,ADBC,ADEBCD, ADEBCD(ASA) (3)存在, 二次函数的解析式为: ,点 P 是抛物线上的一动点, 设 P 点坐标为(t,2 5 t2 24 5 t+8) 设 AC 所在的直线的函数关系式为 ykx+b, A(0,8) 、C(10,0) , = 8 10 + = 0 ,解得k = 4 5 = 8 直线 AC 的解析式 y=-4 5x + 8 PMy 轴, M(t,-4 5x + 8)
20、PM( 2 5 t2 24 5 t+8)+(-4 5x + 8)- 2 5 (t-5)2+10 当 t5 时,PM 有最大值为 10 所求的 P 点坐标为(5,6) 4如图 1,已知抛物线 y=ax22ax3 与 x 轴交于 A、B 两点,其顶点为 C,过点 A 的直线交抛物线于另 一点 D(2,3) ,且 tanBAD=1 (1)求抛物线的解析式; 14 (2)连结 CD,求证:ADCD; (3)如图 2,P 是线段 AD 上的动点,过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 E,求线段 PE 长度的最大值; (4)点 Q 是抛物线上的动点,在 x 轴上是否存在点 F,使以 A,D,F,Q 为
21、顶点的四边形是平行四边形? 若存在,直接写出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)y=x22x3; (2)证明见解析; (3)9 4; (4)存在; (3,0)或(4+7,0)或(47,0) 或(1,0). 【解析】 (1)如图,过点 D 作 DMx 轴于 M, D(2,3) , DM=3,OM=2, tanBAD=1, AM=DM=3, AO=AMOM=32=1, 点 A 的坐标为(1,0) , 将点 A 的坐标代入抛物线得,a+2a3=0, 解得 a=1, 所以,y=x22x3; (2)证明:y=x22x3=(x1)24, 顶点 C(1,4) , 由勾股定理得,AD2=32
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