二次函数压轴题专题突破练专题09 二次函数背景下的动点问题探究(教师版)
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1、 1 备战备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 09 二次函数背景下的动点问题探究二次函数背景下的动点问题探究 【方法综述】【方法综述】 动点是常见的综合问题中的构成要件,通过点的运动命题者可以构造各种问题情景。动动点是常见的综合问题中的构成要件,通过点的运动命题者可以构造各种问题情景。动 点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点,从运动呈现方式分为无速度动点和有速度点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点,从运动呈现方式分为无速度动点和有速度 动点,从动点的引起的变化分为单个动点变化和以动点驱动的图形运动。动点,从动点的引起的变化分为单个动点变化
2、和以动点驱动的图形运动。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 常规单动点问题常规单动点问题 例例 1: (广东省深圳市)已知二次函数 y=ax2+bx+3 的图象分别与 x 轴交于点 A(3,0) ,C(-1,0) ,与 y 轴交于点 B点 D 为二次函数图象的顶点 (1)如图所示,求此二次函数的关系式: (2)如图所示,在 x 轴上取一动点 P(m,0) ,且 1m3,过点 P 作 x 轴的垂线分别交二次函数图象、 线段 AD,AB 于点 Q、F,E,求证:EF=EP; (3)在图中,若 R 为 y 轴上的一个动点,连接 AR,则 10 10 BR+AR 的最小值_(直接写出结果) 【答
3、案】 (1)y=-x2+2x+3; (2)见解析; (3)610 5 【解析】 解: (1)将 A(3,0) ,C(-1,0)代入 y=ax2+bx+3,得: 9 + 3 + 3 = 0 + 3 = 0 ,解得: = 1 = 2 , 此二次函数的关系式为 y=-x2+2x+3 (2)证明:y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 点 D 的坐标为(1,4) 设线段 AB 所在直线的函数关系式为 y=kx+c(k0) , 2 将 A(3,0) ,C(0,3)代入 y=kx+c,得: 3 + = 0 = 3 ,解得: = 1 = 3 , 线段 AB 所在直线的函数关系式为 y=-x+3 同理,可
4、得出:线段 AD 所在直线的函数关系式为 y=-2x+6 点 P 的坐标为(m,0) , 点 E 的坐标为(m,-m+3) ,点 F 的坐标为(m,-2m+6) , EP=-m+3,EF=-m+3, EF=EP (3)如图,连接 BC,过点 R 作 RQBC,垂足为 Q OC=1,OB=3, BC=10(勾股定理) CBO=CBO,BOC=BQR=90 , BQRAOB, = ,即 10 = 1 , RQ= 10 10 BR, AR+ 10 10 BR=AR+RQ, 当 A,R,Q 共线且垂直 AB 时,即 AR+ 10 10 BR=AQ 时,其值最小 ACQ=BCO,BOC=AQC, CQA
5、COB, = ,即 3 = 4 10 AQ=610 5 , 10 10 BR+CR 的最小值为610 5 3 故答案为:610 5 例例 2: (2019 年广西)如图,抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,其对称轴与抛物线 相交于点 M,与 x 轴相交于点 N,点 P 是线段 MN 上的一个动点,连接 CP,过点 P 作 PECP 交 x 轴于点 E (1)求抛物线的顶点 M 的坐标; (2)当点 E 与原点 O 的重合时,求点 P 的坐标; (3)求动点 E 到抛物线对称轴的最大距离是多少? 【答案】 (1) (1,-4) (2)当点 E 与原点
6、O 的重合时,点 P 的坐标为(1,;3;5 2 )或(1,5;3 2 ) (3)点 E 到抛物线对称轴的最大距离是 4 【解析】 解: (1)y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 抛物线的顶点 M 的坐标为(1,-4) (2)当 x=0 时,y=x2-2x-3=-3, 点 C 的坐标为(0,-3) 过点 C 作 CF直线 MN,垂足为点 F,如图 1 所示 4 PON+OPN=90 ,OPN+CPF=180 -CPO=90 , PON=CPF 又PNO=CFP=90 , PONCPF, = ,即 1 = 3; 1 , PN=35 2 , 当点 E 与原点 O 的重合时,点 P 的坐标为(1
7、,;3;5 2 )或(1,5;3 2 ) (3)过点 C 作 CF直线 MN,垂足为点 F,设 PN=m,分三种情况考虑,如图 2 所示 当 0m3 时,由(2)可知:PENCPF, = ,即 3;=m, EN=-m2+3m=-(m-3 2)2+ 9 4 -10, 5 当 m=3 2时,EN 取得最大值,最大值为 9 4; 当 m=0 或 3 时,点 E 和点 N 重合,此时 EN=0; 当 3m4 时,PCF+CPF=90 ,CPF+EPN=90 , PCF=EPN 又CFP=PNE=90 , PCFEPN, = ,即 ;3= 1, EN=m2-3m 10, 当 3m4 时,EN 的值随 m
8、 值的增大而增大, 当 m=4 时,EN 取得最大值,最大值为 4 综上所述:点 E 到抛物线对称轴的最大距离是 4 针对训练针对训练 1(山东省济南市历下区) 如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 = 1 2 2 + + , 经过点(1,3)、 (0,1), 过 点作轴的平行线交抛物线于另一点 (1)求抛物线的表达式及其顶点坐标; (2)如图,点是第一象限中上方抛物线上的一个动点,过点作 于点,作 轴于点,交 于点,在点运动的过程中,的周长是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请 说明理由; (3)如图,连接,在轴上取一点,使和相似,请求出符合要求的点坐标 【答案】 (1)抛物线
9、的解析式为 = 1 2 2 + 5 2 + 1,顶点坐标为( 5 2, 33 8 ); (2)最大值为65 5 + 2; (3)满足 条件的点有(0, 5 2),(0, 13 3 ) 【解析】 6 (1)将(1,3),(0,1),代入 = 1 2 2 + + , 解得 = 5 2, = 1 抛物线的解析式为 = 1 2 2 + 5 2 + 1 顶点坐标为(5 2, 33 8 ) (2)由(0,1),(4,3)得直线解析式为: = 1 2 + 1 设 M(, 1 2 2 + 5 2 + 1),则得(0, 1 2 + 1) 则 = 1 2 2 + 5 2 + 1 ( 1 2 + 1) = 1 2
10、2 + 2 1 2 0, 21 b25 12, 又由直线与 G1 交于 x 轴上方,b0, b 的范围为0 25 12. (2)当 0t2 时,S=3t;当 2t4 时,S=24 24 3t;当 t4 时,S=24 . 当 0t2 时,如图 1,由题意可知 CP=2t,S=SPCQ=1 2 2t 3=3t; 当 2t4 时,如图 2: 过 Q 作 QHCP 于 H,BP=2t-4,HP=HC=t,HQ=3, BMHQ, PBMPHQ, = . 即 3 = 2;4 , BM=3(2;4) , AM=3- BM=12;3 , = 矩形 OABC = 4 3 1 2 3 1 2 (4 ) 12 3
11、= 243t 24 (2 4 时,如图 3, CQ 与 AB 交于 M 点,过 Q 做 , 则 , = 即 3 = 4 ,故有 = 12 . 面积为: = 1 2 = 1 2 4 12 = 24 (t 4) 2 (重庆一中 2019 届九年级(上)期中数学试卷)在平面直角坐标系中,二次函数 yax2+bx8 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,直线 ykx+5 3(k0)经过点 A,与抛物线交于另一点 R,已知 OC 2OA,OB3OA (1)求抛物线与直线的解析式; (2)如图 1,若点 P 是 x 轴下方抛物线上一点,过点 P 做 PHAR 于点 H,过点 P 做 P
12、Qx 轴交抛物线于 点 Q,过点 P 做 PHx 轴于点 H,K 为直线 PH上一点,且 PK23PQ,点 I 为第四象限内一点,且在直 线 PQ 上方,连接 IP、IQ、IK,记 l13 2 PH 1 4PQ,mIP+IQ+IK,当 l 取得最大值时,求出点 P 的坐标, 并求出此时 m 的最小值 (3)如图 2,将点 A 沿直线 AR 方向平移 13 个长度单位到点 M,过点 M 做 MNx 轴,交抛物线于点 N, 动点 D 为 x 轴上一点,连接 MD、DN,再将MDN 沿直线 MD 翻折为MDN(点 M、N、D、N在同一平 面内) ,连接 AN、AN、NN,当ANN为等腰三角形时,请直
13、接写出点 D 的坐标 23 【答案】 (1)y1 6x2 4 3x8,y 5 12x+ 5 3; (2)P(5, 21 2 ) ,m 的最小值为 219; (3)D1(31;513 2 ,0) , D2(4,0) ,D3(34 3 ,0) ,D4(31:513 2 ,0) 【解析】解(1)yax2+bx8 与 y 轴的交点为 C,令 x0,y8, 点 C(0,8) , OC8, OC2OA,OB3OA, OA4,OB12, A(4,0)B(12,0) , 将点 A 代入直线解析式可得 04k+5 3, 解得 k 5 12, y 5 12x+ 5 3, 将点 A 和点 B 代入抛物线中, 0 =
14、 16 4 8 0 = 144 + 12 8 , 解得 a1 6,b 4 3, y1 6x2 4 3x8; (2)设点 P 的坐标为(p,1 6p2 4 3p8) , 2 4, 抛物线的对称轴为直线 x4, 点 Q(8p,1 6p2 4 3p8) , PQ2p8, PK23PQ, PK43p163, 如图 1 所示,延长 PK 交直线 AR 于点 M,则 M(p, 5 12P+ 5 3) , 24 PM 5 12P+ 5 3( 1 6p2 4 3p8) 1 6p2 21 12p+ 29 3 , PHMMHA,HMPAMH, HPMMAH, 直线解析式为 y 5 12x+ 5 3, ,令 x0,
15、y 5 3, OE5 3, OA4, 根据勾股定理得AE13 3 , cosEAO 12 13, cosHPM 1 6 221 12p: 29 3 12 13, PH 2 13p2+ 21 13p+ 116 13 , I13 2 PH 1 4PQ, I13 2 ( 2 13p2+ 21 13p+ 116 13 )1 4(2p8)(p5)2+85, 当 p5 时,I 取最大值此时点 P(5,21 2 ) , PQ2,PK43, 如图 2 所示,连接 QK,以 PQ 为边向下做等边三角形 PQD,连接 KD,在 KD 取 I, 使PID60 ,以 PI 为边做等边三角形 IPF,连接 IQ, 25
16、 IPPF,PQPD,IPQFPD, IPQFPD(SAS) , DFIQ, IP+IQ+IKIF+FD+IKDK,此时 m 最小, 过点 D 作 DN 垂直于 KP, KPDKPQ+QPD150 , PDN30 , DPPQ2, DN1,根据勾股定理得 PN3, 在KDN 中,KN53,DN1,根据勾股定理得 KD219, m 的最小值为 219; (3)设 NM 与 x 轴交于点 J, AM13,cosMAJ12 13, AJ12,根据勾股定理得 MJ5, OA4, OJ8, M(8,5) , 当 x8 时,代入抛物线中,可得 y8, N(8,8) ,MN13, 在AJN 中,根据勾股定理
17、得 AN413, 点 D 为 x 轴上的动点, 根据翻折, MN13, 所以点 N在以 M 为圆心, 13 个单位长度为半径的圆上运动, 26 如图 3 所示, 当 N落在 AN 的垂直平分线上时, tanMNA12 8 3 2, tanMGJ3 2, MJ5, JG10 3 ,根据勾股定理得 MG513 3 , MD1 为GMJ 的角平分线, = , D1J51315 2 , D1(31;513 2 ,0) , MD4 也为角平分线, D1MD490 , 根据射影定理得 MJ2JD1JD4, JD4513:15 2 , D4(31:513 2 ,0) ; 当 ANAN时, 27 D2 与点
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