二次函数压轴题专题突破练专题06 二次函数背景下的特殊四边形存在性判定(教师版)
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1、 1 【方法综述】【方法综述】 知识准备:特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。它们的判定方法如下:知识准备:特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。它们的判定方法如下: 平行四边形的判定方法平行四边形的判定方法: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形; 矩形判的定方法矩形判的定方法 有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 菱形判定方法菱形判定方法 有一组邻边相等的平行四边
2、形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边相等的四边形是矩形 正方形的判定方法正方形的判定方法 平行四边形+矩形的特性;平行四边形+菱形的特性 解答时常用的技巧:解答时常用的技巧: (1).根据平行四边形的对角线互相平分这条性质,应用中点坐标公式,可以采用如下方法:根据平行四边形的对角线互相平分这条性质,应用中点坐标公式,可以采用如下方法: 已知点已知点 A、B、C 三点坐标已知,点三点坐标已知,点 P 在某函数图像上,是否存在以点在某函数图像上,是否存在以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为平为顶点的四边形为平 行四边形,求点行四边形,求点 P 的坐标。的坐标。 P (m,n) B(
3、c,d) C(e,f) A(a,b) O 2 如,当如,当 AP、BC 为平行四边形对角线时,由中点坐标公式,可得为平行四边形对角线时,由中点坐标公式,可得 a+m=c+e,n+b=d+f 则则 m= c+e-a;n= d+f-b,点,点 P 坐标可知,将其带入到函数关系式进行验证,如果满足函数关系式,即为所求坐标可知,将其带入到函数关系式进行验证,如果满足函数关系式,即为所求 P 点,同理,根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。点,同理,根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。 (2) .菱形在折叠的情况下,可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得,因此,菱形的存在性讨论,菱形在折叠的情
4、况下,可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得,因此,菱形的存在性讨论, 亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。 (3).矩形中的直角证明矩形中的直角证明出来常规直角的探究外,还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。出来常规直角的探究外,还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 平行四边形的存在性探究平行四边形的存在性探究 例例 1: (河南省 2019 年中考数学模试题)如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点为 A、D(A在 D 的右侧) ,与 y 轴的交点为 C,且 A(4,0) ,C(0,3
5、) ,对称轴是直线 x=1 (1)求二次函数的解析式;来源:Z,xx,k.Com (2)若 M 是第四象限抛物线上一动点,且横坐标为 m,设四边形 OCMA 的面积为 s请写出 s 与 m 之间 的函数关系式,并求出当 m 为何值时,四边形 OCMA 的面积最大; (3)设点 B 是 x 轴上的点,P 是抛物线上的点,是否存在点 P,使得以 A,B、C,P 四点为顶点的四边形 为平行四边形?若存在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)y= x2 x3; (2)当 m=2 时,s 最大是 9; (3)存在点 P(2,3)或 P(1+,3)或 P (1,3)使得以 A,B
6、、C,P 四点为顶点的四边形为平行四边形来源: 3 解得a= ,b= ,c=3, 二次函数解析式为:y= x2 x3 (2)如图 1 所示: 设 M(m, m2 m3) ,|yM|= m2+ m+3, S=SOCM+SOAM S= OC m+ OA |yM|= 3 m+ 4 ( m2+ m+3) S = m2+3m+6= (m2)2+9, 当 m=2 时,s 最大是 9 解得:x=1+或 x=1 综上所述,存在点 P(2,3)或 P(1+,3)或 P(1-,3)使得以 A,B、C,P 四点为顶点的四边 形为平行四边形 针对训练针对训练 4 1(广东省湛江市第二十七中学 2019 届九年级上学期
7、期末考试数学试题) 如图所示, 已知抛物线 yax2(a0) 与一次函数 ykx+b 的图象相交于 A(1,1) ,B(2,4)两点,点 P 是抛物线上不与 A,B 重合的一 个动点,点 Q 是 y 轴上的一个动点 (1)请直接写出 a,k,b 的值及关于 x 的不等式 ax2kx2 的解集; (2)当点 P 在直线 AB 上方时,请求出PAB 面积的最大值并求出此时点 P 的坐标; (3)是否存在以 P,Q,A,B 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出 P,Q 的坐标;若不存 在,请说明理由 【答案】 (1)a1,k1,b2,x1 或 x2; (2)PAB 面积的最大值为,此时点
8、P 的坐标 为( ,) ; (3)P 的坐标为(3,9)或(3,9)或(1,1) ,Q 的坐标为:Q(0,12)或(0, 6)或(0,4) (2)过点 A 作 y 轴的平行线,过点 B 作 x 轴的平行线,两者交于点 C 5 0,1m2, 当时,SAPB 的值最大 当时,SAPB, 即PAB 面积的最大值为,此时点 P 的坐标为(,) (3)存在三组符合条件的点, 6 2 (云南省弥勒市 2019 届九年级上学期期末考试数学试题)如图,抛物线与 轴交 、 两点 ( 点在 点左侧) ,直线 与抛物线交于 、 两点,其中 点的横坐标为 2. (1)求 、 两点的坐标及直线的函数表达式; (2) 是
9、线段上的一个动点,过 点作 轴的平行线交抛物线于 点,求线段长度的最大值; (3)点 是抛物线上的动点,在 轴上是否存在点 ,使 、 、 、 四个点为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在,写出所有满足条件的 点坐标(请直接写出点的坐标,不要求写过程) ;如果不存在,请说明理 由. 【答案】 (1),。 (2) 。 (3),. 7 (2)设 P 点的横坐标为 x(-1x2) , 则 P、E 的坐标分别为:P(x,-x-1) , E(x,x2-2x-3) , P 点在 E 点的上方,PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2=-(x- )2+ , 当 x= 时,PE 的最大值= ; (
10、3)存在 4 个这样的点 ,分别是,. 如图 1, 连接 C 与抛物线和 y 轴的交点,那么 CGx 轴,此时 AF=CG=2,因此 F 点的坐标是(-3,0) ; 如图 2, AF=CG=2,A 点的坐标为(-1,0) ,因此 F 点的坐标为(1,0) ; 如图 3, 8 同可求出 F 的坐标为(4-,0) 总之,符合条件的 F 点共有 4 个 3 (湖北省枣阳市第三中学 2019 届九年级(上)期末检测试题)已知:正方形 OABC 的边 OC、OA 分别在 x、y 轴的正半轴上,设点 B(4,4) ,点 P(t,0)是 x 轴上一动点,过点 O 作 OHAP 于点 H,直线 OH 交直线
11、BC 于点 D,连 AD (1)如图 1,当点 P 在线段 OC 上时,求证:OPCD; (2)在点 P 运动过程中,AOP 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似时,求 t 的值; (3)如图 2,抛物线 y x2+ x+4 上是否存在点 Q,使得以 P、D、Q、C 为顶点的四边形为平行四边形? 9 若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由 【答案】(1)见解析;(2) 综上,t12,t2,t3;(3)见解析. , AOPOCD OPCD 10 AOPOCD; OPCDt,则:BDBC+CD4t; 若AOP 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似,则有: ,得:, 解得:或(正值舍去) ;
12、 当点 P 在线段 OC 上时,P(t,0) ,0t4,如图; 因为 OPOA、BDAB、OAAB, 若AOP 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似,那么有:,所以 OPBD,即: t4t,t2; 当点 P 在点 C 右侧时,P(t,0) ,t4,如图; 同可求得; 综上,t12, PC 为平行四边形的边,则 DQPC,且 QDPC; 若 P(t,0) 、D(4,t) ,则 PCQD|t4|,Q(t,t)或(8t,t) ; Q(t,t)时,即:t2+2t240, 解得 t14(舍) 、t26; Q(8t,t)时,即:t26t+80, 解得 t14(舍) 、t22 综上可知,t12,t212,t
13、36,t42 存在点 Q,使得以 P、D、Q、C 为顶点的四边形为平行四边形 11 4(广东省中山市 2018-2019 学年九年级 (上)期末数学试卷) 如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 yax2+bx+3 经过 A(3,0) 、B(1,0)两点,其顶点为 D,连接 AD,点 P 是线段 AD 上一个动点(不与 A、D 重合) (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点 D 的坐标; (2)如图 1,过点 P 作 PEy 轴于点 E求PAE 面积 S 的最大值; (3)如图 2,抛物线上是否存在一点 Q,使得四边形 OAPQ 为平行四边形?若存在求出 Q 点坐标,若不存 在请说明理由 【答案
14、】 (1)抛物线的解析式为 yx22x+3,顶点 D 的坐标为(1,4) ; (2)PAE 面积 S 的最大值 是 ; (3)点 Q 的坐标为(2+,24) (2)设直线 AD 的函数解析式为 ykx+m, ,得, 直线 AD 的函数解析式为 y2x+6, 12 点 P 是线段 AD 上一个动点(不与 A、D 重合) , 设点 P 的坐标为(p,2p+6) , S PAE (p+ )2+ , 3p1, 当 p 时,S PAE 取得最大值,此时 S PAE , 即PAE 面积 S 的最大值是 ; (3)抛物线上存在一点 Q,使得四边形 OAPQ 为平行四边形, 四边形 OAPQ 为平行四边形,点
15、 Q 在抛物线上, OAPQ, 点 A(3,0) , OA3, PQ3, 直线 AD 为 y2x+6,点 P 在线段 AD 上,点 Q 在抛物线 yx22x+3 上, 设点 P 的坐标为(p,2p+6) ,点 Q(q,q22q+3) , , 解得,或(舍去) , 当 q2+时,q22q+324, 即点 Q 的坐标为(2+,24) 5 (重庆市九龙坡区西彭三中 2019 届九年级(上)期末数学试题)如图,已知抛物线经过点 A(1,0) , B(4,0) ,C(0,2)三点,点 D 与点 C 关于 x 轴对称,点 P 是 x 轴上的一个动点,设点 P 的坐标为(m, 0) ,过点 P 作 x 轴的
16、垂线交抛物线于点 Q,交直线 BD 于点 M (1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式; (2)点 P 在线段 AB 上运动的过程中,是否存在点 Q,使得BODQBM?若存在,求出点 Q 的坐标; 若不存在,请说明理由 (3)已知点 F(0, ) ,点 P 在 x 轴上运动,试求当 m 为何值时以 D、M、Q、F 为顶点的四边形是平行四 边形 13 【答案】 (1)y x2+ x+2; (2)存在,点 Q 的坐标为(3,2) ; (3)m1 或 m3 或 m1+或 1 时,四边形 DMQF 是平行四边形 (2)如图所示: 当BODQBM 时, 则, MBQ90 , MBP+PBQ90 , MP
17、BBPQ90 , 14 MBP+BMP90 , BMPPBQ, MBQBPQ, , , 解得:m13、m24, 当 m4 时,点 P、Q、M 均与点 B 重合,不能构成三角形,舍去, m3,点 Q 的坐标为(3,2) ; 6 (北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试卷)如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 W 15 的函数表达式为 y=x2+x+4抛物线 W 与 x 轴交于 A,B 两点(点 B 在点 A 的右侧,与 y 轴交于点 C,它的对称轴与 x 轴交于点 D,直线 l 经过 C、D 两点 (1)求 A、B 两点的坐标及直线 l 的函数表达式 (2)将抛物线 W 沿 x
18、轴向右平移得到抛物线 W, 设抛物线 W的对称轴与直线 l 交于点 F, 当ACF 为直角三 角形时,求点 F 的坐标,并直接写出此时抛物线 W的函数表达式 (3)如图 2,连接 AC,CB,将ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位(0m5) ,得到ACD设 AC 交直线 l 于点 M,CD交 CB 于点 N,连接 CC,MN求四边形 CMNC的面积(用含 m 的代数式表示) 【答案】 (1)点 A 坐标为(3,0) ,点 B 的坐标为(7,0) ,y=2x+4;(2) 点 F 的坐标为(5,6) ,y= x2+x;(3) 四边形 CMNC的面积为 m2. 设直线 l 的表达式为 ykxb,
19、解得 直线 l 的解析式为 y2x4; 16 (2)抛物线 w 向右平移,只有一种情况符合要求, 即FAC90 ,如图. (3)由平移可得:点 C,点 A,点 D的坐标分别为 C(m,4) ,A(3m,0) ,D(2m,0) ,CCx 轴,CDCD, 可用待定系数法求得 直线 AC的表达式为 y x4 m, 直线 BC 的表达式为 y x4, 直线 CD的表达式为 y2x2m4, 分别解方程组和 解得和 17 7 (2018-2019 学年甘肃省庆阳市九年级(上)期末数学试卷)如图,已知抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于 点 A,B,点 A 的坐标为(1,0) ,与 y 轴交于点 C(
20、0,2) ,点 D 与点 C 关于 x 轴对称,点 P 是 x 轴正半 轴上的一个动点,设点 P 的坐标为(m,0) ,过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q,交直线 BD 于点 M (1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式; (2)若 m3,试证明BQM 是直角三角形; (3)已知点 F(0, ) ,试求 m 为何值时,四边形 DMQF 是平行四边形? 【答案】 (1)y x2+ x+2; (2)详见解析; (3)当 m3 或1 时,四边形 DMQF 是平行四边形 【解析】解: (1)函数与 y 轴交于点 C(0,2) ,则抛物线表达式为:y x2+bx+2, 将点 A 坐标代入上
21、式得: b+20,则 b , 故:抛物线的表达式为:y x2+ x+2, 18 令 y0,则 x4 或1,即点 B 坐标为(4,0) ; (3)点 P 的坐标为(m,0) , 则点 Q 坐标(m, m2+ m+2) 、点 M 坐标(m, m2) , 当 QMEF 时,四边形 DMQF 是平行四边形, 则:QM m2+ m+2 m+2 , 解得:m3 或1, 答:当 m3 或1 时,四边形 DMQF 是平行四边形 8 (2018 年四川省泸州市中考数学试卷)如图,已知二次函数的图象经过点 A(4,0), 与 y 轴交于点 B在 x 轴上有一动点 C(m,0)(0m4),过点 C 作 x 轴的垂线
22、交直线 AB 于点 E,交该二次函 数图象于点 D (1)求 a 的值和直线 AB 的解析式; (2)过点 D 作 DFAB 于点 F,设ACE,DEF 的面积分别为 S1,S2,若 S1=4S2,求 m 的值; (3)点 H 是该二次函数图象上位于第一象限的动点,点 G 是线段 AB 上的动点,当四边形 DEGH 是平行 四边形,且周长取最大值时,求点 G 的坐标 19 【答案】 (1),; (2) ; (3)或. (2)由已知, 点 坐标为 点 坐标为 20 (3)如图,过点 做于点 由(2) 同理 四边形是平行四边形 整理得: ,即 21 由已知 周长 时, 最大 点坐标为,此时点 坐标
23、为, 当点 、 位置对调时,依然满足条件 点 坐标为,或, 9 (赤峰市翁牛特旗乌丹第一中学 2019 届九年级上学期期末考试)如图,在直角坐标系中,点 A 的坐标为 (-2,0) ,OB=OA,且AOB=120 (1)求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式; (2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使OBC 的周长最小?若存在,求出点 C 的坐标;若不 存在,请说明理由; (3)若点 M 为抛物线上一点,点 N 为对称轴上一点,是否存在点 M、N 使得 A、O、M、N 构成的四边形 是平行四边形?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1); (2) (1,)
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