二次函数压轴题专题突破练专题06 二次函数背景下的特殊四边形存在性判定（学生版）

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1、 1 备战备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 06 二次函数背景下的特殊四边形存在性判定二次函数背景下的特殊四边形存在性判定 【方法综述】【方法综述】 知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。它们的判定方法如下：知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。它们的判定方法如下： 平行四边形的判定方法平行四边形的判定方法: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； 矩形判的定

2、方法矩形判的定方法 有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 菱形判定方法菱形判定方法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边相等的四边形是矩形 正方形的判定方法正方形的判定方法 平行四边形+矩形的特性；平行四边形+菱形的特性 解答时常用的技巧：解答时常用的技巧： （1）.根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法：根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法： 已知点已知点 A、B、C 三点坐标已知，点三点坐标已知，点 P 在某函数图像上，是否

3、存在以点在某函数图像上，是否存在以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为平为顶点的四边形为平 行四边形，求点行四边形，求点 P 的坐标。的坐标。 如，当如，当 AP、BC 为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得 P （m，n） B（c，d） C（e，f） A（a，b） O 2 a+m=c+e，n+b=d+f 则则 m= c+e-a;n= d+f-b，点，点 P 坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求 P 点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。

4、点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。 （2） .菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论，菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论， 亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。 （3）.矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 平行平行四边形的存在性探究四边形的存在性探究来源来源:Z_xx_k.Com 例例

5、 1： （河南省 2019 年中考数学模试题）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点为 A、D（A 在 D 的右侧） ，与 y 轴的交点为 C，且 A（4，0） ，C（0，3） ，对称轴是直线 x=1 （1）求二次函数的解析式； （2）若 M 是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为 m，设四边形 OCMA 的面积为 s请写出 s 与 m 之间 的函数关系式，并求出当 m 为何值时，四边形 OCMA 的面积最大； （3）设点 B 是 x 轴上的点，P 是抛物线上的点，是否存在点 P，使得以 A，B、C，P 四点为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不

6、存在，请说明理由 针对训练针对训练 1（广东省湛江市第二十七中学 2019 届九年级上学期期末考试数学试题） 如图所示， 已知抛物线 yax2（a0） 与一次函数 ykx+b 的图象相交于 A（1，1） ，B（2，4）两点，点 P 是抛物线上不与 A，B 重合的一 个动点，点 Q 是 y 轴上的一个动点 （1）请直接写出 a，k，b 的值及关于 x 的不等式 ax2kx2 的解集； （2）当点 P 在直线 AB 上方时，请求出PAB 面积的最大值并求出此时点 P 的坐标； （3）是否存在以 P，Q，A，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 P，Q 的坐标；若不存 在，请说明理由

7、3 2 （云南省弥勒市 2019 届九年级上学期期末考试数学试题）如图，抛物线与 轴交 、 两点 （ 点在 点左侧） ，直线 与抛物线交于 、 两点，其中 点的横坐标为 2. （1）求 、 两点的坐标及直线的函数表达式； （2） 是线段上的一个动点，过 点作 轴的平行线交抛物线于 点，求线段长度的最大值； （3）点 是抛物线上的动点，在 轴上是否存在点 ，使 、 、 、 四个点为顶点的四边形是平行四边形？ 如果存在，写出所有满足条件的 点坐标（请直接写出点的坐标，不要求写过程） ；如果不存在，请说明理 由. 3 （湖北省枣阳市第三中学 2019 届九年级（上)期末检测试题）已知：正方形 OAB

8、C 的边 OC、OA 分别在 x、y 轴的正半轴上，设点 B（4，4） ，点 P（t，0）是 x 轴上一动点，过点 O 作 OHAP 于点 H，直线 OH 交直线 BC 于点 D，连 AD （1）如图 1，当点 P 在线段 OC 上时，求证：OPCD； （2）在点 P 运动过程中，AOP 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似时，求 t 的值； （3）如图 2，抛物线 y x2+ x+4 上是否存在点 Q，使得以 P、D、Q、C 为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 4 4（广东省中山市 2018-2019 学年九年级 （上)期末数学试卷） 如图， 在平面

9、直角坐标系中， 抛物线 yax2+bx+3 经过 A（3，0） 、B（1，0）两点，其顶点为 D，连接 AD，点 P 是线段 AD 上一个动点（不与 A、D 重合） （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）如图 1，过点 P 作 PEy 轴于点 E求PAE 面积 S 的最大值； （3）如图 2，抛物线上是否存在一点 Q，使得四边形 OAPQ 为平行四边形？若存在求出 Q 点坐标，若不存 在请说明理由 5 （重庆市九龙坡区西彭三中 2019 届九年级（上)期末数学试题）如图，已知抛物线经过点 A（1，0） ， B（4，0） ，C（0，2）三点，点 D 与点 C 关于 x 轴对

10、称，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m， 0） ，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 Q，交直线 BD 于点 M （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）点 P 在线段 AB 上运动的过程中，是否存在点 Q，使得BODQBM？若存在，求出点 Q 的坐标； 若不存在，请说明理由 （3）已知点 F（0， ） ，点 P 在 x 轴上运动，试求当 m 为何值时以 D、M、Q、F 为顶点的四边形是平行四 边形 5 6 （北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试卷）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 W 的函数表达式为 y=x2+x+4抛物线 W 与 x

11、轴交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右侧，与 y 轴交于点 C，它的对称轴与 x 轴交于点 D，直线 l 经过 C、D 两点 (1)求 A、B 两点的坐标及直线 l 的函数表达式 (2)将抛物线 W 沿 x 轴向右平移得到抛物线 W， 设抛物线 W的对称轴与直线 l 交于点 F， 当ACF 为直角三 角形时，求点 F 的坐标，并直接写出此时抛物线 W的函数表达式 (3)如图 2，连接 AC，CB，将ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位（0m5） ，得到ACD设 AC 交直线 l 于点 M，CD交 CB 于点 N，连接 CC，MN求四边形 CMNC的面积（用含 m 的代数式表示） 7 （

12、2018-2019 学年甘肃省庆阳市九年级（上)期末数学试卷）如图，已知抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于 点 A，B，点 A 的坐标为（1，0） ，与 y 轴交于点 C（0，2） ，点 D 与点 C 关于 x轴对称，点 P 是 x 轴正半 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0） ，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q，交直线 BD 于点 M （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）若 m3，试证明BQM 是直角三角形； （3）已知点 F（0， ） ，试求 m 为何值时，四边形 DMQF 是平行四边形？ 6 8 （2018 年四川省泸州市中考数学试卷）如图，

13、已知二次函数的图象经过点 A(4,0)， 与 y 轴交于点 B在 x 轴上有一动点 C(m,0)(0m4)，过点 C 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 E，交该二次函 数图象于点 D （1）求 a 的值和直线 AB 的解析式； （2）过点 D 作 DFAB 于点 F，设ACE，DEF 的面积分别为 S1，S2，若 S1=4S2，求 m 的值； （3）点 H 是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点 G 是线段 AB 上的动点，当四边形 DEGH 是平行 四边形，且周长取最大值时，求点 G 的坐标 9 （赤峰市翁牛特旗乌丹第一中学 2019 届九年级上学期期末考试）如图，在直角坐标系中，点 A

14、 的坐标为 （-2，0） ，OB=OA，且AOB=120 （1）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使OBC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不 存在，请说明理由； （3）若点 M 为抛物线上一点，点 N 为对称轴上一点，是否存在点 M、N 使得 A、O、M、N 构成的四边形 是平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 7 10 （四川省成都市青羊区）如图，直线 y2x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 yax2+x+c 经过 B、C 两点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点 E

15、是直线 BC 上方抛物线上的一动点，当BEC 面积最大时，请求出点 E 的坐标和BEC 面积 的最大值？ (3)在(2)的结论下， 过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M， 连接 AM， 点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在 抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 类型二类型二 菱形存在性探究菱形存在性探究 例 2 （河南省 2019 年中考数学模拟试卷）如图，以 x=1 为对称轴的抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 点 A，点 B（1，0） ，与 y 轴交于点 C（0，4

16、） ，作直线 AC 8 （1）求抛物线解析式； （2）点 P 在抛物线的对称轴上，且到直线 AC 和 x 轴的距离相等，设点 P 的纵坐标为 m，求 m 的值； （3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 AC 上，点 Q 为第一象限内抛物线上一点，若以点 C、 M、N、Q 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点 Q 的坐标 针对训练针对训练 1（陕西省榆林市府谷县九年级 （下)期末数学试卷） 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，3） ，B（1，0）两点，顶点为 M （1）求 b、c 的值； （2）若只沿 y 轴上下平移该抛物线后

17、与 y 轴的交点为 A1，顶点为 M1，且四边形 AMM1A1是菱形，写出平 移后抛物线的表达式 2 （江苏省南京新城中学 2018-2019 学年第一学期九年级数学期末）如图，已知抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于点 A，B，AB2，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x2 （1）求抛物线的函数表达式； （2）根据图像，直接写出不等式 x2bxc0 的解集： （3）设 D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点 A，B，D，E 为顶点的四边形是菱形，则点 D 的坐 标为： 9 3 （四川省成都市金牛区 2018 届九年级（上)期末数学）如图，抛物线 yax2+x+c 与 x 轴交于 A

18、，B 两点， A 点坐标为（3，0） ，与 y 轴交于点 C，点 C 坐标为（06） ，连接 BC，点 C 关于 x 轴的对称点 D，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0） ，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q，交直线 BD 于 点 M （1）求二次函数解析式； （2）点 P 在 x 轴上运动，若6m2 时，求线段 MQ 长度的最大值 （3）点 P 在 x 轴上运动时，N 为平面内一点，使得点 B、C、M、N 为顶点的四边形为菱形？如果存在，请 直接写出点 N 坐标；不存在，说明理由 4 （人教版九年级上学期第二十二章二次函数单元检测）如图，在平面直角坐标系

19、中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，B 点的坐标为（3，0） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，点 P 是直线 BC 下方抛 物线上的任意一点 （1）求这个二次函数 y=x2+bx+c 的解析式 （2）连接 PO，PC，并将POC 沿 y 轴对折，得到四边形 POPC，如果四边形 POPC 为菱形,求点 P 的坐标 （3）如果点 P 在运动过程中，能使得以 P、C、B 为顶点的三角形与AOC 相似，请求出此时点 P 的坐标 10 5 （人教版数学九年级（上)第 22 章二次函数压轴题专项训练）如图，顶点为 D 的抛物线 y x2+ x+4 与 y 轴交于点

20、A，与 x 轴交于两点 B、C（点 B 在点 C 的左边） ，点 A 与点 E 关于抛物线的对称轴对称，点 B、E 在直线 ykx+b（k，b 为常数）上 (1)求 k，b 的值； (2)点 P 为直线 AE 上方抛物线上的任意一点，过点 P 作 AE 的垂线交 AE 于点 F，点 G 为 y 轴上任意一点， 当PBE 的面积最大时，求 PF+FG+OG 的最小值； (3)在(2)中，当 PF+FG+OG 取得最小值时，将AFG 绕点 A 按顺时方向旋转 30 后得到AF1G1，过点 G1 作 AE 的垂线与 AE 交于点 M点 D 向上平移 个单位长度后能与点 N 重合，点 Q 为直线 DN

21、 上任意一点， 在平面直角坐标系中是否存在一点 S，使以 S、Q、M、N 为顶点且 MN 为边的四边形为菱形？若存在，直 接写出点 S 的坐标；若不存在，请说明理由 6 （江苏省东台市第四联盟 2019 届九年级 12 月月考）已知，在平面直角坐标系内一直线 l1:y=-x+3 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A、B 两点，y 轴右侧部分抛物线上有一动点 C，过点 C 作 y 轴的平行线交直线 l1于点 D.来源:Zxxk.Com 11 （1）求抛物线的函数表达式；来源:ZXXK （2）如图 1，C 在第一象限，求以 CD 为直径的E 的最大面积，

22、并判断此时E 与抛物线的对称轴是否相 切？若不相切，求出使得E 与该抛物线对称轴相切时点 C 的横坐标； （3）坐标平面内是否存在点 M，使 B、C、D、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 M 的坐标； 不存在，请说明理由. 7 （天津市北部联盟 2018-2019 学年上学期期中考试九年级数学试卷）如图，二次函数的 图象与 x 轴的一个交点为，另一个交点为 A，且与 y 轴相交于 C 点 （1）求 m 的值及 C 点坐标； （2）在直线 BC 上方的抛物线上是否存在一点 M，使得它与 B，C 两点构成的三角形面积最大，若存在， 求出此时 M 点坐标；若不存在，请简要说明理由 （3）

23、P 为抛物线上一点，它关于直线 BC 的对称点为 Q，当四边形 PBQC 为菱形时，求点 P 的坐标(直接写 出答案)； 8 如图， 抛物线与坐标轴相交于 、三点，是线段上一动点 （端点除外） ， 过 作， 交于点 ，连接 12 直接写出 、 、 的坐标； 求抛物线的对称轴和顶点坐标； 求面积的最大值， 并判断当的面积取最大值时， 以、为邻边的平行四边形是否为菱形 9 （浙江省绍兴市元培中学）如图，直线与 轴、 轴分别交于 、 两点，抛物线经 过 、 两点，与 轴的另一个交点为 ，连接 （1）求抛物线的解析式及点 的坐标； （2）点 在抛物线上，连接 ，当 时，求点的坐标； （3）点 从点 出

24、发，沿线段由 向 运动，同时点 从点 出发，沿线段由 向 运动， 、 的运动速 度都是每秒 个单位长度，当 点到达 点时， 、 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点 ，使 、 运动过程中的某一时刻，以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在， 说明理由 10（2018 年中考试题） 如图， 已知二次函数的图象经过点， 与 轴分别交于点 ， 点. 点 是直线上方的抛物线上一动点. 13 （1）求二次函数的表达式； （2）连接，并把沿 轴翻折，得到四边形.若四边形为菱形，请求出此时点 的坐标； （3）当点 运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时 点的坐标和

25、四边形的最大面积. 类型三类型三 矩形的存在性探究矩形的存在性探究 例 3： （海南省琼中县 2018 年中考数学二模试卷）如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 与直线 AB：y=x+ 相 交于点 A（1，0）和 B（t， ） ，直线 AB 交 y 轴于点 C （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点 D 是 x 轴上的一个动点，连接 BD、CD，请问BCD 的周长是否存在最小值？若存在，请求出点 D 的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由 （3）设点 M 是抛物线对称轴上一点，点 N 在抛物线上，以点 A、B、M、N 为顶点的四边形是否可能为矩 形？若能，请求出点 M 的坐标，

26、若不能，请说明理由 针对训练针对训练 1 （山东省德州市第七中学 2019 届九年级数学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点 （点 在点 的左侧） ， 经过点 的直线与 轴交于点 ， 与抛物线的另一个交点为 ，且 14 直接写出点 的坐标，并求直线 的函数表达式（其中 ， 用含 的式子表示） ； 点 是直线 上方的抛物线上的一点，若的面积的最大值为 ，求 的值； 设 是抛物线对称轴上的一点，点 在抛物线上，以点 ， ， ， 为顶点的四边形能否成为矩形？若能， 求出点 的坐标；若不能，请说明理由 2.（2018 年山西省太原市中考数学一模试卷）如图 1，抛物线 y=x2+x+

27、与 x 轴分别交于 A、B 两 点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于 C 点经过点 A 的直线 l 与 y 轴交于点 D（0，） （1）求 A、B 两点的坐标及直线 l 的表达式； （2）如图 2，直线 l 从图中的位置出发，以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴的正方向运动，运动中直线 l 与 x 轴 交于点 E，与 y 轴交于点 F，点 A 关于直线 l 的对称点为 A，连接 FA、BA，设直线 l 的运动时间为 t（t 0）秒探究下列问题：来源:Zxxk.Com 请直接写出 A的坐标（用含字母 t 的式子表示） ； 当点 A落在抛物线上时，求直线 l 的运动时间 t 的值，判断此

28、时四边形 ABEF 的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，探究：在直线 l 的运动过程中，坐标平面内是否存在点 P，使得以 P，A，B，E 为 顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 3 （重庆市育才中学 2019 届九年级上学期第二次月考）如图 1，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，直线 AE：与抛物线相交于另一点 E，点 15 D 为抛物线的顶点 （1）求直线 BC 的解析式及点 E 的坐标； （2）如图 2，直线 AE 上方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 PFBC 于点 F，过点 P

29、作平行于 轴的直线交 直线 BC 于点 G，当PFG 周长最大时，在 轴上找一点 M，在 AE 上找一点 N，使得值最 小，请求出此时 N 点的坐标及的最小值； （3）在第（2）问的条件下，点 R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 S，使以点 N， E，R，S 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 S 的坐标，若不存在，请说明理由 来源:ZXXK 4 （福建省厦门外国语学校 2019 届九年级上学期第一次月考）如图，抛物线 y x2+ x+2 与 x 轴交于 点 A，B，与 y 轴交于点 C （1）求 A，B，C 的坐标； （2）直线 l：y x+2 上有一点 D（m

30、，2） ，在图中画出直线 l 和点 D，并判断四边形 ACBD 的形状， 说明理由 5 （江苏省无锡市新吴区 2017-2018 学年九年级（上)期末数学）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 16 y=ax22ax3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，经过点 A 的直线 l：y=kx+b 与 y 轴 负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD=4AC （1）求出点 A 的坐标和点 D 的横坐标； （2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为 ，求 a 的值； （3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛

31、物线上，以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩 形？若能，直接写出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 6 （云南省曲靖市 2018 年中考数学试题）如图：在平面直角坐标系中，直线 l：y= x 与 x 轴交于点 A， 经过点 A 的抛物线 y=ax23x+c 的对称轴是 x= （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线 l 经过原点 O，得到直线 m，点 P 是直线 m 上任意一点，PBx 轴于点 B，PCy 轴于点 C， 若点 E 在线段 OB 上，点 F 在线段 OC 的延长线上，连接 PE，PF，且 PE=3PF求证：PEPF； （3）若（2）中的点 P 坐标为（6，2） ，点 E

32、 是 x 轴上的点，点 F 是 y 轴上的点，当 PEPF 时，抛物线上 是否存在点 Q，使四边形 PEQF 是矩形？如果存在，请求出点 Q 的坐标，如果不存在，请说明理由 类型四类型四 正方形的存在性探究正方形的存在性探究 17 例 4. （河南省 2018 年中考一模试卷数学试题）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（3，0） ， 与 y 轴交于点 C（0，3） ，点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 DB （1）求此抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）点 M 是抛物线上的动点，设点 M 的横坐标为 m 当MBA=BDE 时

33、，求点 M 的坐标； 过点 M 作 MNx 轴，与抛物线交于点 N，P 为 x 轴上一点，连接 PM，PN，将PMN 沿着 MN 翻折， 得QMN，若四边形 MPNQ 恰好为正方形，直接写出 m 的值 针对训练针对训练 1 （四川省南充市 2018 届中考数学试卷）如图，抛物线顶点 P（1，4） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，与 x 轴 交于点 A，B （1）求抛物线的解析式 （2）Q 是抛物线上除点 P 外一点，BCQ 与BCP 的面积相等，求点 Q 的坐标 （3）若 M，N 为抛物线上两个动点，分别过点 M，N 作直线 BC 的垂线段，垂足分别为 D，E是否存在 点 M，N 使四边形

34、 MNED 为正方形？如果存在，求正方形 MNED 的边长；如果不存在，请说明理由 2 （2018 年吉林省长春市朝阳区东北师大附中中考数学一模）我们定义：两个二次项系数之和为 1，对称 轴相同， 且图象与 y 轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数例如：的友好同轴二次 函数为 18 请你分别写出，的友好同轴二次函数； 满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本 身？ 如图，二次函数：与其友好同轴二次函数都与 y 轴交于点 A，点 B、C 分别在、 上，点 B，C 的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为， ，连结， CB 若，且四边形为正方形，求 m 的值； 若，且四边形的邻边之比为 1：2，直接写出 a 的值