二次函数压轴题专题突破练专题03 二次函数背景下的图形变换(学生版)
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1、 1 备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 03 二次函数背景下的图形变换二次函数背景下的图形变换 【方法综述】【方法综述】 本类型主要研究二次函数背景下的图形变换。因为图形的平移、折叠和旋转是许多数学本类型主要研究二次函数背景下的图形变换。因为图形的平移、折叠和旋转是许多数学 问题进行命题的基础,因此这类问题大量存在,并且和其它问题相交织。问题进行命题的基础,因此这类问题大量存在,并且和其它问题相交织。 二次函数背景下的图形变换主要分成两类:二次函数背景下的图形变换主要分成两类: 一个是二次函数图象的图形变换,此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式一个是二次函数图象的
2、图形变换,此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式 表示抛物线顶点的变化,从而降低因图形变换函数关系式的表示难度。表示抛物线顶点的变化,从而降低因图形变换函数关系式的表示难度。 另一类,是以二次函数为背景的几何图形变换。另一类,是以二次函数为背景的几何图形变换。对于此类问题首先要掌握每一种图形变对于此类问题首先要掌握每一种图形变 换的性质,并应用这些性质结合已知条件构成方程解决问题。换的性质,并应用这些性质结合已知条件构成方程解决问题。 【典例示范】【典例示范】 类型一、二次函数为背景的平移变换类型一、二次函数为背景的平移变换 例 1: (2018 年中考专题训练)如图,已知抛物线经过,
3、两点,顶点为 . (1)求抛物线的解析式; (2)将绕点 顺时针旋转后,点 落在点 的位置,将抛物线沿 轴平移后经过点 ,求平移后所得 图象的函数关系式; (3) 设 (2) 中平移后, 所得抛物线与 轴的交点为, 顶点为, 若点 在平移后的抛物线上, 且满足 的面积是面积的 2 倍,求点 的坐标. 针对训练针对训练 1 (山东济南模拟)如图 1,已知二次函数 y=mx2+3mxm 的图象与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 2 的左侧) ,顶点 D 和点 B 关于过点 A 的直线 l:y=x对称 (1)求 A、B 两点的坐标及二次函数解析式; (2)如图 2,作直线 AD,过点 B
4、 作 AD 的平行线交直线 1 于点 E,若点 P 是直线 AD 上的一动点,点 Q 是直线 AE 上的一动点连接 DQ、QP、PE,试求 DQ+QP+PE 的最小值;若不存在,请说明理由: (3)将二次函数图象向右平移 个单位,再向上平移 3个单位,平移后的二次函数图象上存在一点 M, 其横坐标为 3,在 y 轴上是否存在点 F,使得MAF=45 ?若存在,请求出点 F 坐标;若不存在,请说明理 由 2.(云南腾冲期末)在平面直角坐标系中,抛物线经过两点 (1)求此抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为 ,将直线沿 轴向下平移两个单位得到直线 ,直线 与抛物线的对称轴交于 点, O 求直线
5、 的解析式; (3)在(2)的条件下,求到直线距离相等的点的坐标 3 (陕西省西安市模拟)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,将抛物线 y=x2平移,使平移后的抛物线经过 点 A(3,0) 、B(1,0) (1)求平移后的抛物线的表达式 (2)设平移后的抛物线交 y 轴于点 C,在平移后的抛物线的对称轴上有一动点 P,当 BP 与 CP 之和最小时,P 点坐标是多少? (3)若 y=x2与平移后的抛物线对称轴交于 D 点,那么,在平移后的抛物线的对称轴上,是否存在一点 M,使 得以 M、O、D 为顶点的三角形BOD 相似?若存在,求点 M 坐标;若不存在,说明理由 3 4 (聊城市 2018
6、年中考)如图,已知抛物线与 轴分别交于原点 和点,与对称轴 交于 点.矩形的边在 轴正半轴上,且,边,与抛物线分别交于点, .当矩形沿 轴正方向平移,点, 位于对称轴 的同侧时,连接,此时,四边形的面积记为 ;点, 位于 对称轴 的两侧时,连接,此时五边形的面积记为 .将点 与点 重合的位置作为矩形平 移的起点,设矩形平移的长度为. (1)求出这条抛物线的表达式;来源:ZXXK (2)当时,求的值; (3)当矩形沿着 轴的正方向平移时,求 关于的函数表达式,并求出 为何值时, 有最大 值,最大值是多少? 5 (南充市期末)如图,顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A、B
7、两点,且点 A 在 x 轴上, 点 B 的横坐标为 2,连结 AM、BM (1)求抛物线的函数关系式; (2)判断ABM 的形状,并说明理由; (3)把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点若将(1)中抛物线平移,使其顶点为(m,2m) , 当 m 满足什么条件时,平移后的抛物线总有两个不动点 4 6 (沈阳市沈河区 2018 年中考二模)如图,抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于(2,0) 、 (1,0) ,与 y 轴 交于 C,直线 l1经过点 C 且平行于 x 轴,与抛物线的另一个交点为 D,将直线 l1向下平移 t 个单位得到直线 l2,l2与抛物线交于 A、B 两点
8、(1)求抛物线解析式及点 C 的坐标; (2)当 t=2 时,探究ABC 的形状,并说明理由; (3)在(2)的条件下,点 M(m,0)在 x 轴上自由运动,过 M 作 MNx 轴,交直线 BC 于 P,交抛物 线于 N,若三个点 M、N、P 中恰有一个点是其他两个点连线段的中点(三点重合除外) ,则称 M、N、P 三 点为“共谐点”,请直接写出使得 M、P、N 三点为“共谐点”的 m 的值来源:Zxxk.Com 7 (2018 培优提高单元检测)如图,、两点在一次函数与二次函数 图象上 来源:Z,X,X,K 求的值和二次函数的解析式 5 请直接写出使时,自变量 的取值范围 说出所求的抛物线可
9、由抛物线如何平移得到? 8 (2018 年河南省商丘市中考数学一模)如图,抛物线 y=ax2+bx2 与 y 轴的交点为 A,抛物线的顶点为 B(1,3) (1)求出抛物线的解析式; (2)点 P 为 x 轴上一点,当三角形 PAB 的周长最小时,求出点 P 的坐标; (3)水平移动抛物线,新抛物线的顶点为 C,两抛物线的交点为 D,当 O,C,D 在一条直线上时,请直 接写出平移的距离 9 (吉林长春二模)已知抛物线 C:y=x22x+1 的顶点为 P,与 y 轴的交点为 Q,点 F(1, ) (1)求 tanOPQ 的值; (2)将抛物线 C 向上平移得到抛物线 C,点 Q 平移后的对应点
10、为 Q,且 FQ=OQ 求抛物线 C的解析式; 若点 P 关于直线 QF 的对称点为 K,射线 FK 与抛物线 C相交于点 A,求点 A 的坐标 10 (人教版数学九年级(上)第 22 章二次函数压轴题专项训练)已知抛物线 L:y x2+bx2 与 x 轴相交 于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,并与 y 轴相交于点 C且点 A 的坐标是(1,0) (1)求该抛物线的函数表达式及顶点 D 的坐标; (2)判断ABC 的形状,并求出ABC 的面积; (3)将抛物线向左或向右平移,得到抛物线 L,L与 x 轴相交于 A、B两点(点 A在点 B的左侧) ,并与 y 轴相交于点 C,要使A
11、BC和ABC 的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式 6 类型二、类型二、二次函数为背景的折叠变换二次函数为背景的折叠变换 例 2 (吉林省长春市朝阳区东北师大附中 2018 年中考模拟)定义:如图 1,在平面直角坐标系中,点 M 是二次函数图象上一点,过点 M 作轴,如果二次函数的图象与关于 l 成轴对称,则称是关于 点 M 的伴随函数如图 2,在平面直角坐标系中,二次函数的函数表达式是,点 M 是二次函数 图象上一点,且点 M 的横坐标为 m,二次函数是关于点 M 的伴随函数 若,来源:Z|X|X|K 求的函数表达式 点,在二次函数的图象上,若,a 的取值范围为_ 过点 M 作轴,
12、 如果,线段 MN 与的图象交于点 P,且 MP:3,求 m 的值 如图 3,二次函数的图象在 MN 上方的部分记为,剩余的部分沿 MN 翻折得到,由和所组成的 图象记为 .以、为顶点在 x 轴上方作正方形直接写出正方形 ABCD 与 G 有三个公共点时 7 m 的取值范围 针对训练针对训练 1 (辽宁省本溪市 2018 年中考数学试卷)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过 A (-1,0) ,B(3,0) ,C(0,3)三点,其顶点为 D,连接 BD,点是线段 BD 上一个动点(不与 B、D 重 合) ,过点 P 作 y 轴的垂线,垂足为 E,连接 BE (
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