备战2020年中考几何压轴题分类导练专题07 旋转的应用(教师版)
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1、 1 专题专题 7:旋转的应用:旋转的应用 【典例引领】【典例引领】 例题:在ABC 和ADE 中,BA=BC,DA=DE,且ABC=ADE= ,点 E 在ABC 的内部,连接 EC, EB 和 BD,并且ACE+ABE=90 . (1)如图 1,当 =60 时,线段 BD 与 CE 的数量关系为 ,线段 EA,EB,EC 的数量关系 为 ; (2)如图 2 当 =90 时,请写出线段 EA,EB,EC 的数量关系,并说明理由; (3)在(2)的条件下,当点 E 在线段 CD 上时,若 BC= ,请直接写出BDE 的面积. 【答案】【答案】(1) ;(2) ;(3)2 【分析】(1)由DABE
2、AC(SAS),可得 BD=EC,ABD=ACE,由ACE+ABE=90 ,推出 ABD+ABE=90 , 可得DBE=90 , 由此即可解决问题; (2) 结论: EA2=EC2+2BE2 由题意ABC, ADE 都是等腰直角三角形,想办法证明DABEAC,推出 = ,ACE=ABD,可得DBE=90 , 推出 DE2=BD2+BE2,即可解决问题;(3)首先证明 AD=DE=EC,设 AD=DE=EC=x,在 RtADC 中,利 用勾股定理即可解决问题; 【解答】 (1)如图中, BA=BC,DA=DE且ABC=ADE=60 , ABC,ADE 都是等边三角形, AD=AE,AB=AC,D
3、AE=BAC=60 , DAB=EAC, DABEAC(SAS), BD=EC,ABD=ACE, ACE+ABE=90 , ABD+ABE=90 , 2 DBE=90 , DE2=BD2+BE2, EA=DE,BD=EC, EA2=BE2+EC2 故答案为 BD=EC,EA2=EB2+EC2 (2)结论:EA2=EC2+2BE2 理由:如图中, BA=BC,DA=DE且ABC=ADE=90 , ABC,ADE 都是等腰直角三角形, DAE=BAC=45 , DAB=EAC, = , = , , DABEAC, = ,ACE=ABD, ACE+ABE=90 , ABD+ABE=90 , DBE=
4、90 , DE2=BD2+BE2, EA= DE,BD= EC, EA 2= EC 2+BE2, EA2=EC2+2BE2 (3)如图中, 3 AED=45 ,D,E,C 共线, AEC=135 , ADBAEC, ADB=AEC=135 , ADE=DBE=90 , BDE=BED=45 , BD=BE, DE= BD, EC= BD, AD=DE=EC,设 AD=DE=EC=x, 在 RtABC 中,AB=BC=2 , AC=2 , 在 RtADC 中,AD2+DC2=AC2, x2+4x2=40, x=2 (负根已经舍弃), AD=DE=2 , BD=BE=2, S BDE = 2 2=
5、2 【强化训练】【强化训练】 1请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题: 探究 1:如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中, , ,将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 得 到线段 BD,连接 求证: 的面积为 提示:过点 D 作 BC 边上的高 DE,可证 4 探究 2:如图 2,在一般的 中, , ,将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 得到线段 BD,连接 请用含 a 的式子表示 的面积,并说明理由 探究 3:如图 3,在等腰三角形 ABC 中, , ,将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 得到线段 BD,连接 试探究用含 a 的式子表示 的面积,要有探究过程 【答案】【答案】(1)详见解
6、析;(2) 的面积为 ,理由详见解析;(3) 的面积为 【分析】 如图1, 过点D作BC的垂线, 与BC的延长线交于点E, 由垂直的性质就可以得出 , 就有 进而由三角形的面积公式得出结论; 如图 2,过点 D 作 BC 的垂线,与 BC 的延长线交于点 E,由垂直的性质就可以得出 ,就 有 进而由三角形的面积公式得出结论; 如图3, 过点A作 与F, 过点D作 的延长线于点E, 由等腰三角形的性质可以得出 , 由条件可以得出 就可以得出 ,由三角形的面积公式就可以得出结论 【解答】 如图 1,过点 D 作 交 CB 的延长线于 E, , 由旋转知, , , , , , 在 和 中, , ,
7、, ; 的面积为 , 理由:如图 2,过点 D 作 BC 的垂线,与 BC 的延长线交于点 E, 5 , 线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 得到线段 BE, , , , , , 在 和 中, , , , , ; 如图 3,过点 A 作 与 F,过点 D 作 的延长线于点 E, , , , , , , 线段 BD 是由线段 AB 旋转得到的, , 在 和 中, 6 , , , , 的面积为 2 如图, 在矩形 ABCD 中, AB=3, BC=4, 将矩形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 角, 得到矩形 ABCD, BC 与 AD 交于点 E,AD 的延长线与 AD交于点 F (1)如图,
8、当 =60时,连接 DD,求 DD和 AF 的长; (2)如图,当矩形 ABCD的顶点 A落在 CD 的延长线上时,求 EF 的长; (3)如图,当 AE=EF 时,连接 AC,CF,求 ACCF 的值 【答案】【答案】(1)DD=3,AF= 4;(2);(3) 【分分析】析】试题分析:(1)如图中,矩形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 角,得到矩形 ABCD, 只要证明CDD是等边三角形即可解决问题; 如图中,连接 CF,在 RtCDF 中,求出 FD即可解决问题; (2)由ADFADC,可推出 DF 的长,同理可得CDECBA,可求出 DE 的长,即可解决问题; (3)如图中,作 F
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