备战2019中考数学热点难点突破第3.4讲 变式探究题（教师版）

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1、 1 【备战 2019 年中考数学热点、难点突破】 专题专题 04 变式探究题变式探究题 考纲要求考纲要求: 变式探究题比一般综合题更能考查学生的分析、探索能力以及思维的发散、综合运用知识的能力，难度适 中，从而深受命题者的青睐，中考题型以填空题、解答题为主，难度一般不是很大 基础知识回顾基础知识回顾: 解变式探究题时，一般先观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明，解题的过程中通 常要结合分类讨论、数型结合、分析综合，归纳猜想等数型思想方法. 应用举例应用举例: 类型一、类型一、特殊的四边形的变式题 【例【例 1】在正方形 ABCD 中，AB=8，点 P 在边 CD 上，tan

2、PBC= 3 4 ，点 Q 是在射线 BP 上的一个动点， 过点 Q 作 AB 的平行线交射线 AD 于点 M，点 R 在射线 AD 上，使 RQ 始终与直线 BP 垂直 （1）如图 1，当点 R 与点 D 重合时，求 PQ 的长； （2）如图 2，试探索： RM MQ 的比值是否随点 Q 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有 变化，请求出它的比值； （3）如图 3，若点 Q 在线段 BP 上，设 PQ=x，RM=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域 【答案】（1） 6 5 ；（2） 3 4 ；（3） 93 202 yx；0x 26 5 . 【解析】 （1）由题意

3、，得8ABBCCDAD,90CA 在 RtBCP中， 90Ctan PC PBC BC 3 tan 4 PBC6PC 2RP 22 10PBPCBC 2 RQBQ 90RQPCRQP BPCRPQ PBCPRQ PBPC RPPQ 10 6 2PQ 6 5 PQ （2）答： RM MQ 的比值随点Q的运动没有变化 理由：如图， MQAB 1ABP , QMRA 90CA 90QMRC RQBQ 190RQM 90ABCABPPBC RQMPBC RMQPCB RMPC MQBC 6PC ， 8BC 3 4 RM MQ RM MQ 的比值随点Q的运动没有变化,比值为 3 4 （3）延长BP交AD

4、的延长线于点N 3 PDAB PDND ABNA 8NANDADND 2 88 ND ND 8 3 ND 22 10 3 PNPDND PDAB, MQAB PDMQ PDNP MQNQ 3 4 RM MQ , RMy 4 3 MQy 又2PD , 10 3 NQPQPNx 10 2 3 410 33 yx 93 202 yx 它的定义域是 26 0 5 x 类型二、类型二、三角形有关的变式题 【例【例 2】数学课上，张老师出示了问题：如图 1，AC，BD 是四边形 ABCD 的对角线，若 ACB=ACD=ABD=ADB=60 ，则线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？ 经过思考，小明

5、展示了一种正确的思路：如图 2，延长 CB 到 E，使 BE=CD， 连接 AE， 证得ABEADC， 从而容易证明ACE 是等边三角形，故 AC=CE，所以 AC=BC+CD 小亮展示了另一种正确的思路：如图 3，将ABC 绕着点 A 逆时针旋转 60 ，使 AB 与 AD 重合，从而容易 证明ACF 是等边三角形，故 AC=CF，所以 AC=BC+CD 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图 4，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为 4 “ACB=ACD=ABD=ADB=45”，其它条件不变，那么线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？针 对小颖提出

6、的问题，请你写出结论，并给出证明 （2）小华提出：如图 5，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为 “ACB=ACD=ABD=ADB=”，其它条件不变，那么线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？针对 小华提出的问题，请你写出结论，不用证明 【答案】（1）BC+CD=AC；（2）BC+CD=2ACcos 【解析】 试题解析：（1）BC+CD=AC； 理由：如图 1，延长 CD 至 E，使 DE=BC， ABD=ADB=45 ， AB=AD，BAD=180 ABDADB=90 ， ACB=ACD=45 ，ACB+ACD=45 ， BAD+BCD=180 ， ABC+ADC=18

7、0 ， ADC+ADE=180 ， ABC=ADE， 在ABC 和ADE 中， AB=AD，ABC=ADE，BC=DE， ABCADE（SAS）， ACB=AED=45 ，AC=AE， 5 ACE 是等腰直角三角形， CE=AC， CE=CE+DE=CD+BC， BC+CD=AC； （2）BC+CD=2ACcos理由：如图 2，延长 CD 至 E，使 DE=BC， ABD=ADB=， AB=AD，BAD=180 ABDADB=180 2， ACB=ACD=， ACB+ACD=2， BAD+BCD=180 ， ABC+ADC=180 ， ADC+ADE=180 ，ABC=ADE， 在ABC 和A

8、DE 中， AB=AD，ABC=ADE，BC=DE， ABCADE（SAS）， ACB=AED=，AC=AE， AEC=，过点 A 作 AFCE 于 F， CE=2CF， 在 RtACF 中，ACD=，CF=ACcosACD=ACcos， CE=2CF=2ACcos， CE=CD+DE=CD+BC， BC+CD=2ACcos 类型三、类型三、图形的旋转与对称变式 6 【例【例 3】如图 1，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90 ，AB=AC，四边形 ADEF 是正方形，点 B、C 分 别在边 AD、AF 上，此时 BD=CF，BDCF 成立 （1）当ABC 绕点 A 逆时针旋转 （0 90

9、）时，如图 2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明，若不成 立，请说明理由； （2）当ABC 绕点 A 逆时针旋转 45 时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 H 求证：BDCF； 当 AB=2，AD=3 时，求线段 DH 的长 【答案】（1）BD=CF，理由见解析；（2）证明见解析；DH= 【解析】 解：(l)、BDCF 成立 由旋转得:ACAB，CAFBAD;AFAD, ABDACF, BDCF. (2) 、由(1)得，ABDACF， HFNADN， HNFAND,AND+AND=90 HFN+HNF90 ，NHF90 , HDHF,即 BDCF. 、如图，连接 DF，延长 AB，与

10、DF 交于点 M. 四边形 ADEF 是正方形， MDA45 ， MAD45 ， MADMDA,AMD90 ， AM=DM AD=3 在MAD 中， AMDM3.MBAM-AB=321， 在BMD 中， 7 ， MAD=MDA=45 ， AMD=90 ，又DHF=90 ，MDB=HDF， DMBDHF， DM：DH=DB：DF，即， 解得，DH= 方法、规律归纳方法、规律归纳: 解开放型问题时，一般先观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明，解题的过程中通 常要结合分类讨论、数型结合、分析综合，归纳猜想等数型思想方法. 实战演练实战演练: 1. 在 RtABC 中， ACB=90

11、 ， 点 D 与点 B 在 AC 同侧， DACBAC， 且 DA=DC， 过点 B 作 BEDA 交 DC 于点 E，M 为 AB 的中点，连接 MD，ME （1）如图 1，当ADC=90 时，线段 MD 与 ME 的数量关系是 ； （2）如图 2，当ADC=60 时，试探究线段 MD 与 ME 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图 3，当ADC= 时，求 ME MD 的值 【答案】（1）MD=ME；（2）MD=3ME；（3）tan 2 【解析】 8 （1）MD=ME如图 1，延长 EM 交 AD 于 F， BEDA，FAM=EBM， AM=BM，AMF=BME，AMFBME， AF=B

12、E，MF=ME，DA=DC，ADC=90 ， BED=ADC=90 ，ACD=45 ， ACB=90 ，ECB=45 ， EBC=BEDECB=45 =ECB， CE=BE，AF=CE，DA=DC，DF=DE， DMEF，DM 平分ADC，MDE=45 ， MD=ME，故答案为：MD=ME； （2）MD=3ME，理由： 如图 2，延长 EM 交 AD 于 F，BEDA，FAM=EBM， AM=BM，AMF=BME，AMFBME， AF=BE，MF=ME，DA=DC，ADC=60 ， BED=ADC=60 ，ACD=60 ，ACB=90 ，ECB=30 ， EBC=BEDECB=30 =ECB，

13、CE=BE， AF=CE，DA=DC，DF=DE，DMEF，DM 平分ADC，MDE=30 ，在 RtMDE 中， tanMDE= ME MD = 3 3 ，MD=3ME （3）如图 3，延长 EM 交 AD 于 F，BEDA，FAM=EBM， AM=BM，AMF=BME，AMFBME， AF=BE，MF=ME，延长 BE 交 AC 于点 N，BNC=DAC， DA=DC，DCA=DAC，BNC=DCA， ACB=90 ，ECB=EBC，CE=BE，AF=CE， DF=DE，DMEF，DM 平分ADC，ADC=，MDE= 2 ， 在 RtMDE 中， ME MD =tanMDE=tan 2 9

14、 2. 如图，ABC 和ADE 是有公共顶点的直角三角形，BACDAE90 ，点 P 为射线 BD，CE 的交 点 （1）如图 1，若ABC 和ADE 是等腰三角形，求证：ABDACE； （2）如图 2，若ADEABC30 ，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由 （3）在（1）的条件下，AB6，AD4，若把ADE 绕点 A 旋转，当EAC90 时，请直接写出 PB 的 长度 【答案】（1）见详解 （2）结论仍成立,理由见详解 （3）PB=或. 【解析】 解：（1）ABC 和ADE 是等腰三角形， AD=AE,AB=AC, BAC=DAE=90 ， DAB=EAC, DABEAC（SAS）,

15、ABD=ACE, （2）结论仍成立, 理由：ADE=ABC=30 ， 10 tan30 =, 由（1）知, DAB=EAC, DAB 相似EAC（相等角的对应边成比例）, ABD=ACE, （3）a、如下图中，当点 E 在 AB 上时，BE=AB-AE=2, EAC=90 ， CE= =, 同（1）可证ADBAEC DBA=ECA PEB=AEC， PEBAEC ,即,PB=, b、如下图中，当点 E 在 BA 延长线上时，BE=10, EAC=90 ， 11 CE= =, 同（1）可证ADBAEC DBA=ECA BEP=CEA， PEBAEC， ,即,PB=, 综上，PB=或. 3已知：A

16、BC 和ADE 均为等边三角形，连接 BE，CD，点 F，G，H 分别为 DE，BE，CD 中点 （1）当ADE 绕点 A 旋转时，如图 1，则FGH 的形状为 ，说明理由； （2）在ADE 旋转的过程中，当 B，D，E 三点共线时，如图 2，若 AB=3，AD=2，求线段 FH 的长； （3）在ADE 旋转的过程中，若 AB=a，AD=b（ab0），则FGH 的周长是否存在最大值和最小值， 若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由 【答案】（1）FGH 是等边三角形；（2） 61 2 ；（3）FGH 的周长最大值为 3 2 （a+b），最小值为 3 2 （ab） 【解析】 （2）如

17、图 2 中，连接 AF、EC在 RtAFE 和 RtAFB 中，解直角三角形即可； （3）首先证明GFH 的周长=3GF= 3 2 BD，求出 BD 的最大值和最小值即可解决问题； 试题解析：（1）结论：FGH 是等边三角形理由如下： 如图 1 中，连接 BD、CE，延长 BD 交 CE 于 M，设 BM 交 FH 于点 O 12 ABC 和 ADE 均 为 等 边 三 角 形 ， AB=AC ， AD=AE ， BAC=DAE ， BAD=CAE ， BADCAE，BD=CE，ADB=AEC，EG=GB，EF=FD，FG= 1 2 BD，GFBD，DF=EF， DH=HC ， FH= 1 2

18、 EC ， FHEC ， FG=FH ， ADB+ADM=180， AEC+ADM=180， DMC+DAE=180 ，DME=120 ，BMC=60 GFH=BOH=BMC=60 ，GHF 是等边三角形，故答案为：等边三角形 （2）如图 2 中，连接 AF、EC 易知 AFDE， 在 RtAEF 中， AE=2， EF=DF=1， AF= 22 21=3， 在 RtABF 中， BF= 22 ABAF =6，BD=CE=BFDF=61，FH= 1 2 EC= 61 2 （3）存在理由如下 由 （1） 可知， GFH 是等边三角形， GF= 1 2 BD， GFH 的周长=3GF= 3 2 B

19、D， 在ABD 中， AB=a， AD=b， BD 的最小值为 ab，最大值为 a+b，FGH 的周长最大值为 3 2 （a+b），最小值为 3 2 （ab） 4请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题： 13 探究 1：如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转得 到线段 BD，连接求证：的面积为提示：过点 D 作 BC 边上的高 DE，可证 探究 2：如图 2，在一般的中，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转得到线段 BD，连接请用含 a 的式子表示的面积，并说明理由 探究 3：如图 3，在等腰三角形 ABC 中，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转得到线段

20、BD，连接试探究用含 a 的式子表示的面积，要有探究过程 【答案】（1）详见解析；（2）的面积为，理由详见解析；（3）的面积为 【解析】 如图 1，过点 D 作交 CB 的延长线于 E， ， 由旋转知， ， 在和中， ， ， ，； 的面积为， 理由：如图 2，过点 D 作 BC 的垂线，与 BC 的延长线交于点 E， 14 ， 线段 AB 绕点 B 顺时针旋转得到线段 BE， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 如图 3，过点 A 作与 F，过点 D 作的延长线于点 E， ， ， ， ， 线段 BD 是由线段 AB 旋转得到的， 15 在和中， ， ， ， ， 的面积为 5在 RtA

21、BC 中，ACB90 ，AB，AC2，过点 B 作直线 mAC，将ABC 绕点 C 顺时针 旋转得到ABC（点 A，B 的对应点分别为 A，B），射线 CA，CB分別交直线 m 于点 P，Q （1）如图 1，当 P 与 A重合时，求ACA的度数； （2）如图 2，设 AB与 BC 的交点为 M，当 M 为 AB的中点时，求线段 PQ 的长； （3）在旋转过程中，当点 P，Q 分别在 CA，CB的延长线上时，试探究四边形 PABQ 的面积是否存在最 小值若存在，求出四边形 PABQ 的最小面积；若不存在，请说明理由 【答案】（1）60 ；（2）PQ ；（3）存在，SPCQ的最小值3，S四边形PA

22、BQ3 【解析】 （1）由旋转可得：AC=AC=2 ACB=90 ，AB，AC=2，BC ACB=90 ，mAC，ABC=90 ，cosACB，ACB=30 ，ACA=60 ； （2）M 为 AB的中点，ACM=MAC，由旋转可得：MAC=A，A=ACM， tanPCB=tanA，PBBC BQC=BCP=A，tanBQC=tanA， BQ=BC2，PQ=PB+BQ； 16 （3）S四边形PABQ=SPCQSACB=SPCQ， S四边形PABQ最小，即 SPCQ最小，SPCQPQ BCPQ， 法一：（几何法）取 PQ 的中点 G PCQ=90 ，CGPQ，即 PQ=2CG，当 CG 最小时，P

23、Q 最小， CGPQ，即 CG 与 CB 重合时，CG 最小，CGmin，PQmin=2， SPCQ的最小值=3，S四边形PABQ=3； 法二（代数法）设 PB=x，BQ=y，由射影定理得：xy=3，当 PQ 最小时，x+y 最小， （x+y）2=x2+2xy+y2=x2+6+y22xy+6=12， 当 x=y时，“=”成立，PQ， SPCQ的最小值=3，S四边形PABQ=3 6已知ABC 与DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形 （1）如图所示，连接 AE，DB，试判断线段 AE 和 DB 的数量和位置关系，并说明理由； （2）如图所示，连接 DB，将线段 DB 绕 D 点顺时针旋转 90

24、到 DF，连接 AF，试判断线段 DE 和 AF 的 数量和位置关系，并说明理由 【答案】（1）AE=DB，AEDB；（2）DE=AF，DEAF 【解析】 ABC 与DEC 是等腰直角三角形，AC=BC，EC=DC，在 RtBCD 和 RtACE 中，AC=BC， ACE=BCD， CE=CD， RtBCDRtACE， AE=BD， AEC=BDC， BCD=90 ， DHE=90 ， AEDB； （2）DE=AF，DEAF证明如下： 17 设 DE 与 AF 交于 N，由题意得，BE=AD， EBD=C+BDC=90 +BDC，ADF=BDF+BDC=90 +BDC， EBD=ADF，在EB

25、D 和ADF 中，BE=AD，EBD=ADF，DE=DF， EBDADF，DE=AF，E=FAD，E=45 ，EDC=45 ， FAD=45 ，AND=90 ，即 DEAF 7 如图 1， 在正方形 ABCD 中， 点 E， F 分别是边 BC， AB 上的点， 且 CE=BF 连接 DE， 过点 E 作 EGDE， 使 EG=DE，连接 FG，FC （1）请判断：FG 与 CE 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图 2，若点 E，F 分别是边 CB，BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请 作出判断并给予证明； （3）如图 3，若点 E，F 分别是边 BC，AB

26、延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请 直接写出你的判断 【答案】（1）FG=CE，FGCE；（2）成立；（3）成立 【解析】 （1）FG=CE，FGCE； （2）过点 G 作 GHCB 的延长线于点 H，EGDE，GEH+DEC=90 ，GEH+HGE=90 ， DEC=HGE， 在HGE 与CED 中， GHE=DCE， HGE=DEC， EG=DE， HGECED （AAS），GH=CE，HE=CD，CE=BF，GH=BF，GHBF，四边形 GHBF 是矩形，GF=BH， FGCH，FGCE四边形 ABCD 是正方形，CD=BC，HE=BC，HE+EB=BC+EB，BH

27、=EC， FG=EC； 18 （3）四边形 ABCD 是正方形，BC=CD，FBC=ECD=90 ，在CBF 与DCE 中，BF=CE， FBC=ECD，BC=DC，CBFDCE（SAS），BCF=CDE，CF=DE，EG=DE，CF=EG， DEEG， DEC+CEG=90 ， CDE+DEC=90 ， CDE=CEG， BCF=CEG， CFEG， 四边形 CEGF 平行四边形，FGCE，FG=CE 8. 如图，MAN=60 ，AP 平分MAN，点 B 是射线 AP 上一定点，点 C 在直线 AN 上运动，连接 BC，将 ABC（0 ABC120 ）的两边射线 BC 和 BA 分别绕点 B

28、 顺时针旋转 120 ，旋转后角的两边分别与射 线 AM 交于点 D 和点 E （1）如图 1，当点 C 在射线 AN 上时，请判断线段 BC 与 BD 的数量关系，直接写出结论； 请探究线段 AC，AD 和 BE 之间的数量关系，写出结论并证明； （2）如图 2，当点 C 在射线 AN 的反向延长线上时，BC 交射线 AM 于点 F，若 AB=4，AC=，请直接写 出线段 AD 和 DF 的长 【答案】（1）BC=BD；AD+AC=BE；（2）AD=，DF= 【解析】试题分析：（1）结论：BC=BD只要证明BGDBHC 即可结论：AD+AC=BE只 要证明 AD+AC=2AG=2EG，再证明

29、 EB=BE 即可解决问题； （2） 如图 2 中， 作 BGAM 于 G， BHAN 于 H， AKCF 于 K 由 （1） 可知， ABGABH， BGDBHC， 易知 BH，AH，BC，CH， AD 的长，由 sinACH=，推出 AK 的长，设 FG=y，则 AF=y， 19 BF=，由AFKBFG，可得，可得关于 y 的方程，求出 y 即可解决问题 试题解析：（1）结论：BC=BD， 理由：如图 1 中，作 BGAM 于 G，BHAN 于 H， MAN=60 ，PA 平分MAN，BGAM 于 G，BHAN 于 H，BG=BH，GBH=CBD=120 ， CBH=GBD，BGD=BHC

30、=90 ，BGDBHC，BD=BC； 结论：AD+AC=BE， ABE=120 ， BAE=30 ， BEA=BAE=30 ， BA=BE， BGAE， AG=GE， EG=BEcos30=BE， BGDBHC，DG=CH，AB=AB，BG=BH，RtABGRtABH，AG=AH， AD+AC=AG+DG+AHCH=2AG=BE，AD+AC=BE； （2）如图 2 中，作 BGAM 于 G，BHAN 于 H，AKCF 于 K， 由（1）可知，ABGABH，BGDBHC， 易知 BH=GB=2，AH=AG=EG=，BC=BD= =，CH=DG=， AD=，sinACH=，AK=， 20 设 FG

31、=y，则 AF=y，BF=， AFK=BFG，AKF=BGF=90 ， AFKBFG，解得 y=或（舍弃）， DF=GF+DG=，即 DF= 9.已知四边形 ABCD 是菱形，AB=4，ABC=60 ，EAF 的两边分别与射线 CB，DC 相交于点 E，F，且 EAF=60 （1）如图 1，当点 E 是线段 CB 的中点时，直接写出线段 AE，EF，AF 之间的数量关系； （2）如图 2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B、C 重合），求证：BE=CF； （3）如图 3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且EAB=15 时，求点 F 到 BC 的距离 【答案】（1）AE=

32、EF=AF；（2）证明见解析；（3）33 【解析】 （1）解：结论 AE=EF=AF 理由： 如图 1 中， 连接 AC， 四边形 ABCD 是菱形， B=60 ， AB=BC=CD=AD， B=D=60 ， ABC， ADC 是等边三角形，BAC=DAC=60 BE=EC，BAE=CAE=30 ，AEBC，EAF=60 ，CAF=DAF=30 ， AFCD，AE=AF（菱形的高相等），AEF 是等边三角形，AE=EF=AF （2）证明：如图 2 中，BAC=EAF=60 ， BAE=CAE，在BAE 和CAF 中， BAE=CAF，BA=AC，B=ACF， BAECAF，BE=CF （3）解

33、：过点 A 作 AGBC 于点 G，过点 F 作 FHEC 于点 H， EAB=15 ，ABC=60 ，AEB=45 ， 21 在 RTAGB 中，ABC=60 AB=4，BG=2，AG=2 3， 在 RTAEG 中，AEG=EAG=45 ，AG=GE=2 3，EB=EGBG=2 32， AEBAFC，AE=AF，EB=CF=2 32，AEB=AFC=45 ，EAF=60 ，AE=AF，AEF 是等边三角形，AEF=AFE=60 AEB=45 ，AEF=60 ，CEF=AEFAEB=15 ， 在 RTEFH 中，CEF=15 ，EFH=75 ，AFE=60 ， AFH=EFHAFE=15 ，A

34、FC=45 ，CFH=AFCAFH=30 ， 在 RTCHF 中，CFH=30 ，CF=2 32， FH=CFcos30 = 3 (2 32) 2 =33， 点 F 到 BC 的距离为33 考点：1四边形综合题；2探究型；3变式探究 10如图，过、作 x 轴的垂线，分别交直线于 C、D 两点 抛物线 经过 O、C、D 三点 求抛物线的表达式； 点 M 为直线 OD 上的一个动点，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，问是否存在这样的点 M，使得以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点 M 的横坐标；若不存在，请说明理由； 若沿 CD 方向平移 点 C 在线段 CD

35、上，且不与点 D 重合 ，在平移的过程中与重叠 部分的面积记为 S，试求 S 的最大值 22 【答案】（1）；（2） 或或；（3） 【解析】 （1）由题意，可得 C（1，3），D（3，1） 抛物线过原点，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，解得，抛物线的表达式 为：yx2x （2）存在 设直线 OD 解析式为 y=kx，将 D（3，1）代入，求得 k，直线 OD 解析式为 yx 设点 M 的横坐标为 x，则 M（x， x），N（x，x2x），MN=|yMyN|=| x（x2x）|=| x2 4x| 由题意， 可知 MNAC， 因为以 A、 C、 M、 N 为顶点的四边形为平行四边形， 则有

36、MN=AC=3， | x24x|=3 若 x24x=3，整理得：4x212x9=0，解得：x或 x； 若 x24x=3，整理得：4x212x+9=0，解得：x，存在满足条件的点 M，点 M 的横坐标为： 或 或 （3）C（1，3），D（3，1），易得直线 OC 的解析式为 y=3x，直线 OD 的解析式为 yx 23 如解答图所示，设平移中的三角形为AOC，点 C在线段 CD 上 设 OC与 x 轴交于点 E，与直线 OD 交于点 P； 设 AC与 x 轴交于点 F，与直线 OD 交于点 Q 设水平方向的平移距离为 t（0t2），则图中 AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，t），C（1+t，3t） 设直线 OC的解析式为 y=3x+b，将 C（1+t，3t）代入得：b=4t，直线 OC的解析式为 y=3x4t，E （ t，0） 联立 y=3x4t 与 yx，解得：xt，P（ t， t） 过点 P 作 PGx 轴于点 G，则 PGt，S=SOFQSOEPOFFQOEPG （1+t）（t） t t （t1）2 当 t=1 时，S 有最大值为 ，S 的最大值为