备战2019中考数学热点难点突破第2.4讲 切线的性质和判定（教师版）

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1、 1 【备战 2019 年中考数学热点、难点突破】 考纲要求考纲要求: 1掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明. 2掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明. 基础知识回顾基础知识回顾: 应用举例应用举例: 招数一、招数一、利用切线进行证明和计算。利用切线进行证明和计算。 【例【例 1】 如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，且交O 于点 E连 接 OC，BE，相交于点 F （1）求证：EF=BF； （2）若 DC=4，DE=2，求直径 AB 的长 【答案】(1)证明见解析；（2）10.

2、 【解析】 1.切线 一般地，当直线与圆有唯一公共点时，叫直线与圆相切，其中的直线叫做圆的切线， 唯一的公共点叫切点. 2.切线 的性质 （1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径. 3.切线 的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2 （1）证明：， ， ，； 即直径的长是 10 【例【例 2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、， 的半径为 2( 为坐标原点)，点 是直线上的一动点，过点 作 的一条切线，

3、为切点，则切线长的最小值为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】 3 招数二、招数二、添加辅助线法添加辅助线法:通常利用添加辅助线来辅助证明圆的切线。通常利用添加辅助线来辅助证明圆的切线。 【例【例 3】如图，在 RtABC中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与 BC，AB 相交 于点 D，E，连结 AD已知CAD=B （1）求证：AD 是O 的切线 （2）若 BC=8，tanB= ，求O 的半径 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）证明：连接， ， ， 在中， ， ，则为圆 的切线； 4 【例【例 4】如图，ABC 中，AB=AC，O 是

4、BC 的中点，O 与 AB 相切于点 D，求证：AC 是O 的切线 解析：过点 O 作 OEAC 于点 E，连结 OD，OA， AB 与O 相切于点 D， ABOD， ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点， AO 是BAC 的平分线， OE=OD，即 OE 是O 的半径， AC 经过O 的半径 OE 的外端点且垂直于 OE， AC 是O 的切线 招数招数三三、切线的性质和判定的综合应用切线的性质和判定的综合应用。 【例【例 5】 如图， 在中， 为上一点， 以 为圆心，长为半径作圆， 与相切于点 ， 过点 作 交的延长线于点 ,且. 5 （1）求证：为的切线； （2）若， ,求的长.

5、 【答案】(1)证明见解析；（2） 在OBC 和OBE 中， OBCOBE， OE=OC，OE 是O 的半径 ， OEAB ，AB 为O 的切线； 6 【例【例 6】 如图，已知 A、B 是O 上两点，OAB 外角的平分线交O 于另一点 C，CDAB 交 AB 的延长线于 D （1）求证：CD 是O 的切线； （2）E 为的中点，F 为O 上一点，EF 交 AB 于 G，若 tanAFE= ，BE=BG，EG=3，求O 的半 径来源:ZXXK 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】（1）证明：连接 OC，如图， BC 平分OBD，OBD=CBD， OB=OC，OBC=OCB，OCB=CBD

6、，OCAD， 而 CDAB，OCCD，CD 是O 的切线； 7 在 RtEHG 中，x2+（3x）2=（3）2，解得 x=3， EH=9，BH=12， 设O 的半径为 r，则 OH=r-9， 在 RtOHB 中，（r-9）2+122=r2，解得 r=， 即O 的半径为 方法、规律归纳方法、规律归纳: 1 切线的判定方法有三种：利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；到圆心距切线的判定方法有三种：利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；到圆心距 离等于半径的直线是圆的切线；经离等于半径的直线是圆的切线；经 过半径的外端，并且过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的

7、切线垂直于这条半径的直线是圆的切线 2证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：过半径外端点；垂直于这条半径过半径外端点；垂直于这条半径。 3常用辅助线的添加方法：常用辅助线的添加方法：有切点连圆心，有切点连圆心，证垂直；证垂直；无切点作垂直，证相等无切点作垂直，证相等。 4利用切线的性质构造直角三角形，利用直角三角形的性质（勾股定理、三角函数等）进行计算。利用切线的性质构造直角三角形，利用直角三角形的性质（勾股定理、三角函数等）进行计算。 实战演练实战演练: 1.如图，AT 切O 于点 A，AB 是O 的直径若ABT=40 ，则ATB=

8、8 2. 如图等边， 以为直径的交于 点， 交于 ，于 ， 下列结论正确的是： _ 是中点；是的切线；来源: 【答案】 连接 PE 点 P、E 分别是线段 BC、AC 的中点，BC=AC=AB（等边三角形的三条边相等）， PE= AB（三角形中位线定理），BP= BC= AB， BP=PE（等量代换），故正确； 连接 OP 点 P 是线段 BC 的中点，点 O 是线段 AB 的中点， OP 是ABC 的中位线，OPAC； 又PFAC，PFOP， 点 P 在O 上，PF 是O 的切线；故正确 9 综上所述，正确的结论有 故答案为： 3.O 的半径为 3cm，B 为O 外一点，OB 交O 于点 A

9、，AB=OA，动点 P 从点 A 出发，以 cm/s 的速度 在O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止当点 P 运动的时间为 s 时，BP 与O 相切 4. 如图，在直角坐标系中，A 的圆心 A 的坐标为（1，0），半径为 1，点 P 为直线 y= x+3 上的动点，过 点 P 作A 的切线，切点为 Q，则切线长 PQ 的最小值是_ 10 【答案】2 故答案为 2. 5.如图，已知直线 PA 交O 于 A、B 两点，CD 是O 的切线，切点且 C，过点 C作 CDPA 于 D，若 AD： DC=1：3，AB=8，求O 的半径 11 MDC=OMA=DCO=90 ， 四边形 DMOC 是

10、矩形， OC=DM，OM=CD AD：DC=1：3， 设 AD=x，则 DC=OM=3x，OA=OC=DM=DA+AM=x+4， 在 RtAMO 中，AMO=90 ，根据勾股定理得：AO2=42+OM2 （x+4）2=42+（3x）2， 解得 x1=0（不合题意，舍去），x2=1 则 OA=MD=x+4=5 O 的半径是 5 6.如图，RtABC 中，C=90 ，BC=3，点 O 在 AB 上，OB=2，以 OB 为半径的O 与 AC 相切于点 D， 交 BC 于点 E，求弦 BE 的长 12 7. 如图，AB16，O 为 AB 中点，点 C 在线段 OB 上（不与点 O，B 重合），将 OC

11、 绕点 O 逆时针旋转 270 后得到扇形 COD，AP，BQ 分别切优弧于点 P，Q，且点 P， Q 在 AB 异侧，连接 OP （1）求证：APBQ； （2）当 BQ4时，求扇形 COQ 的面积及的长（结果保留 ）； （3）若APO 的外心在扇形 COD 的内部，请直接写出 OC 的取值范围 【答案】（1）见解析；（2）；（3）4OC8 【解析】试题解析：（1）证明：连接 OQ 13 AP、BQ 是O 的切线，OPAP，OQBQ， APO=BQO=90 ， 在 RtAPO 和 RtBQO 中，OA=OB，OP=OQ， RtAPORtBQO，AP=BQ； （3）APO 的外心是 OA 的中点

12、，OA=8， APO 的外心在扇形 COD 的内部时， OC 的取值范围为 4OC8 8. 如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=6，BC=8，点 D 是 AB 的中点，以 CD 为直径作O，O 分 别与 AC，BC 交于点 E，F，过点 F 作O 的切线 FG，交 AB 于点 G，则 FG 的长为_ 【答案】 【解析】如图， 14 在 RtABC 中，根据勾股定理得，AB=10， 点 D 是 AB 中点， CD=BD= AB=5， 连接 DF， FGAB， S BDF = DF BF= BD FG， FG=， 故答案为. 9.如图，已知 AB 为O 的直径，AD、BD 是O 的弦，

13、BC 是O 的切线，切点为 B，OCAD，BA、CD 的延长线相交于点 E （1）求证：DC 是O 的切线； （2）若 AE=1，ED=3，求O 的半径 解析：（1）证明：连结 DO 15 COD=COB 在COD 和COB 中 OD=OB，OC=OC， CODCOB（SAS）， CDO=CBO BC 是O 的切线， CBO=90 ， CDO=90 ， 又点 D 在O 上， CD 是O 的切线； （2）设O 的半径为 R，则 OD=R，OE=R+1， CD 是O 的切线， EDO=90 ， ED2+O D2=OE2， 32+R2=（R+1）2， 解得 R=4， O 的半径为 4 10. 已知：AB 为O 的直径，延长 AB 到点 P，过点 P 作圆 O 的切线，切点为 C，连接 AC，且 AC=CP. （1）求P 的度数； （2）若点 D 是弧 AB 的中点，连接 CD 交 AB 于点 E，且 DE DC=20，求O 的面积.（ 取 3.14） 16 【答案】（1）P=30 ；（2）31.4. 【解析】（1）连接， （2）连接， 为的中点， ， ，即， ， ， 是的直径， 17