备战2019年中考数学中的旋转问题专题05：与旋转有关的压轴题

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1、一、与旋转有关的选择压轴题一、与旋转有关的选择压轴题 【例 1】 如图， 等边三角形ABC的边长为 4， 点O是ABC的中心，120FOG 绕点 O 旋转FOG， 分别交线段ABBC、于DE、两点，连接DE，给出下列四个结论：ODOE； ODEBDE SS ； 四边形ODBE的面积始终等于 4 3 3 ；BDE周长的最小值为 6，上述结论中正确的个数是 A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】如图，连接 BO，CO，过 O 作 OHBC 于 H O 为ABC 的中心，BO=CO，DBO=OBC=OCB=30 ，BOC=120 DOE=120 ，DOB=COE在OBD 和OCE 中，DOB=

2、COE，OB=OC，DBO=ECO， OBDOCE，BD=CE，OD=OE，故正确； 当 D 与 B 重合时，E 与 C 重合，此时BDE 的面积=0，ODE 的面积0，两者不相等，故错误； O 为中心，OHBC，BH=HC=2 OBH=30 ，OH= 3 3 BH= 2 3 3 ，OBC 的面积= 12 3 4 23 = 4 3 3 2 OBDOCE，四边形 ODBE 的面积=OBC 的面积= 4 3 3 ，故 正确； DE 的值最小为 2，BDE 的周长=BD+BE+DE=BE+EC+DE=BC+DE=4+DE，当 DE 最小时，BDE 的周长 最小，BDE 的周长的最小值=4+2=6故正

3、确故选 C 【名师点睛】本题是几何变换-旋转综合题考查了等边三角形的性质以及二次函数的性质解题的关键是 证明OBDOCE 二、与旋转有关的填空压轴题二、与旋转有关的填空压轴题 【例 2】如图，边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，有直角MPN，使直角顶点 P 与 点 O 重合，直角边 PM，PN 分别与 OA，OB 重合，然后逆时针旋转MPN，旋转角为 （0 90 ），PM， PN 分别交AB，BC 于E，F 两点，连接EF 交OB 于点G，则下列结论：EF= 2OE；S四边形OEBFS正方形ABCD= 14；BE+BF= 2OA；在旋转过程中，当BEF 与COF

4、 的面积之和最大时，AE= 3 4 ；OGBD= AE2+CF2，其中正确的是_ 【答案】 【解析】四边形 ABCD 是正方形，OB=OC，OBE=OCF=45 ，BOC=90 ， BOF+COF=90 ， EOF=90 ，BOF+BOE=90 ，BOE=COF， 在BOE 和COF 中， BOECOF OBOC OBEOCF ， 3 BOECOF（ASA）， OE=OF，BE=CF，EF= 2OE，故正确； S四边形OEBF=SBOE+SBOE=SBOE+SCOF=SBOC= 1 4 S正方形ABCD，S四边形OEBFS正方形ABCD=14，故正确； BE+BF=BF+CF=BC= 2OA，

5、故正确； 如图，过点 O 作 OHBC， 即在旋转过程中，当BEF 与COF 的面积之和最大时，AE= 1 4 ，故错误； EOG=BOE，OEG=OBE=45 ，OEGOBE， OEOB=OGOE，OGOB=OE2， OB= 1 2 BD，OE= 2 2 EF，OGBD=EF2， 在BEF 中，EF2=BE2+BF2，EF2=AE2+CF2， OGBD=AE2+CF2故正确故答案为： 【名师点睛】（1）旋转前后的图象是全等的，综合几何问题经常作为一个隐含条件，解决问题的钥匙 （2）几何中的最值问题，很多题要通过设未知量，建立函数关系，转化成二次函数最值问题，通过研究二 次函数的最值，得到几何

6、最值 三、与旋转有关的解答压轴题三、与旋转有关的解答压轴题 4 【例 3】已知 RtOAB，OAB=90 ，ABO=30 ，斜边 OB=4，将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 60 ，如图 1，连接 BC （1）填空：OBC=_ ； 来源: （2）如图 1，连接 AC，作 OPAC，垂足为 P，求 OP 的长度； （3）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在OCB 边上运动，M 沿 OCB 路径匀速运动，N 沿 OBC 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒，点 N 的运动速度为 1 单位/ 秒，设运动时间为 x 秒，OMN 的面积为 y，求当

7、x 为何值时 y 取得最大值？最大值为多少？ （3）当 0x 8 3 时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上 运动， 此时过点 N 作 NEOC 且交 OC 于点 E，如图， 则 NE=ONsin60 = 3 2 x， 5 SOMN= 1 2 OMNE= 1 2 1.5x 3 2 x，y= 3 3 8 x2， x= 8 3 时，y 有最大值，最大值= 8 3 3 ； 当 8 3 x4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动， 如图，作 MHOB 于 H 则 BM=8-1.5x，MH=BMsin60 = 3 2 （8-1.5x）， y= 1 2 ON MH=- 3 3 8 x2+2

8、3x， 当 x= 8 3 时，y 取最大值，y 8 3 3 ； 当 4x4.8 时，M、N 都在 BC 上运动，作 OGBC 于 G，如图， MN=12-2.5x，OG=AB=2 3， 来源:Zxxk.Com y= 1 2 MNOG=12 3- 5 3 2 x， 当 x=4时，y 有最大值，最大值=2 3， 综上所述，y 有最大值，最大值为 8 3 3 6 【名师点睛】本题考查了旋转变换综合题，涉及到二次函数的最值，30 度的直角三角形的性质、等边三角 形的判定和性质、三角形的面积等知识，仔细分析，正确添加辅助线，分类讨论的思想思考问题是解题的 关键 1在 RtABC 中，BAC=90 ，AB

9、=AC，D、E 是斜边 BC 上两点，且DAE=45 ，将ADC 绕点 A 顺时 针旋转 90 后，得AFB，连接 EF，下列结论：AEDAEF；ABC 的面积等于四边形 AFBD 的面积；BE+DC=DE；BE2+DC2=DE2；ADC=22.5 ，其中正确的是 A B 来源:ZXXK C D 2如图，已知ABC 中，AB=AC，BAC=90 ，直角EPF 的顶点 P 是 BC 中点，两边 PE，PF 分别交 AB， AC 于点 E，F，给出以下五个结论：AE=CF；APE=CPF；EPF 是等腰三角形；EF=AP； S四边形AEPF=SAPC当EPF 在ABC 内绕顶点 P 旋转时（点 E

10、 不与 A，B 重合），其中正确的序号有 _ 3如图 1，点 E 是正方形 ABCD 边 CD 上任意一点，以 DE 为边作正方形 DEFG，连接 BF，点 M 是线段 BF 中点，射线 EM 与 BC 交于点 H，连接 CM （1）请直接写出 CM 和 EM 的数量关系和位置关系； （2）把图 1 中的正方形 DEFG 绕点 D 顺时针旋转 45 ，此时点 F 恰好落在线段 CD 上，如图 2，其他条 件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由； （3）把图 1 中的正方形 DEFG 绕点 D 顺时针旋转 90 ，此时点 E、G 恰好分别落在线段 AD、CD 上， 7 如图 3，其他条件不变

11、，（1）中的结论是否成立，请说明理由 4如图 1，一副直角三角板满足 AB=BC，AC=DE，ABC=DEF=90 ，EDF=30 操作：将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕点 E 旋转，并 使边 DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q 探究一：在旋转过程中， （1）如图 2，当1 CE EA 时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明； （2）如图 3，当2 CE EA 时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）根据你对（1）（2）的探究结果，试写出当 CE m EA 时，EP 与 E

12、Q 满足的数量关系式为，其中 m 的取值范围是（直接写出结论，不必证明） 探究二：若2 CE EA 且 AC=30 cm，连接 PQ，设EPQ 的面积为 S（cm2），在旋转过程中： 8 （1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由 （2）随着 S 取不同的值，对应EPQ 的个数有哪些变化，求出相应 S 的值或取值范围 1【答案】C AB=AC， ADC 旋转 90 至AFB， BAC=90 ， ABC=ACB=45 ， 根据旋转的性质可得ADC ABF，ABF=ACD=45 ，FBE=45 +45 =90 ，BE2+BF2=EF2ADC 绕点 A 顺时针旋

13、转 90 后，得到AFB，AFBADC，BF=CD又EF=DE，BE2+CD2=DE2，故正确 可以利用正确，利用答案中没有更多正确答案，得出错误故正确的有：故选 C 2【答案】 9 APECPF（ASA），AE=CF，故正确， EFP 是等腰直角三角形，故正确， 根据等腰直角三角形的性质，EF= 1 2 PE， 所以，EF 随着点 E 的变化而变化，只有当点 E 为 AB 的中点时，EF= 1 2 PE=AP， 在其他的位置时 EFAP，故错误， APECPF，SAPE=SCPF， S四边形AEPF=SAPF+SAPE=SAPF+SCPF=SAPC=1 2 SABC，故正确，综上所述，故答案

14、为： 3【解析】（1）如图 1，结论：CM=EM，CMEM 理由：ADEF，ADBC， BCEF，EFM=HBM， 在FME 和BMH 中， EFMMBH FMBM FMEBMH ， FMEBMH， HM=EM，EF=BH， CD=BC，CE=CH， HCE=90 ，HM=EM， 10 CM=ME，CMEM （2）如图 2，连接 BE， EFD=45 ，EFC=135 ， CM=FM=ME，MCF=MFC，MFE=MEF， MCF+MEF=135 ， CME=360 -135 -135 =90 ， CMME （3）如图 3，连接 DF，MG，作 MNCD 于 N， 在EDM 和GDM 中， D

15、EDG MDEMDG DMDM ， EDMGDM，ME=MG，MED=MGD， M 为 BF 的中点，FGMNBC， GN=NC，又 MNCD，MC=MG， MD=ME，MCG=MGC， 来源:Z#X#X#K 11 MGC+MGD=180 ， MCG+MED=180 ，CME+CDE=180 ， CDE=90 ，CME=90 ， （1）中的结论成立 4【解析】探究一：（1）连接 BE， 根据 E 是 AC 的中点和等腰直角三角形的性质，得 BE=CE，PBE=C， 又BEP=CEQ， 则BEPCEQ，得 EP=EQ （3）如图，过 E 点作 EMAB 于点 M，作 ENBC 于点 N， 在四边形 PEQB 中，B=PEQ=90 ， EPB+EQB=180 （四边形的内角和是 360 ）， 又EPB+MPE=180 （平角是 180 ）， MPE=EQN（等量代换）， RtMEPRtNEQ， EPME EQEN ， 在 RtAMERtENC， 12 CEEN m EAME ， 1EEPAE EQmCE ， EP 与 EQ 满足的数量关系式为 EPEQ=1m， 02+6时，EF 与 BC 不会相交）