2019中考数学压轴题全揭秘精品专题14 最值问题（教师版）

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1、 1 一、单选题一、单选题 1如图，正ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 lAB，且ABC 与ABC关于直线 l 对称，D 为线段 BC 上一动点，则 ADCD的最小值是（ ） A4 B3 C2 D2 【答案】A 【解析】 连接 CC，连接 AC 交l于点 D，连接 AD，此时 AD+CD 的值最小，如图所示 【关键点拨】本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的性质，找出点 C 关于 BC /对称的点是 A /是解题的关键. 2 2某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方 体最少有（ ） A4 个 B5个 C6个 D7 个 【答案】

2、B 【关键点拨】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是 关键 3跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起 跳后的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足函数关系（） 下图 记录了某运动员起跳后的 与 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最 高点时，水平距离为 3 A B C D 【答案】B 【关键点拨】考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键. 4如图，平面直角坐标系中，P 经过三点 A（8，0） ，O（0，0） ，B（0，6） ，点 D 是P 上

3、的一动点当 点 D 到弦 OB 的距离最大时，tanBOD的值是（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】B 【解析】 4 【关键点拨】本题考查了圆周角定理以及勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键 5一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离 为 2.5m时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮框内已知篮圈中心距离地面高度为 3.05m，在如图所示 的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A此抛物线的解析式是 y= x2+3.5 5 B篮圈中心的坐标是（4，3.05） C此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D篮球出手时离地

4、面的高度是 2m 【答案】A 故本选项错误； D、设这次跳投时，球出手处离地面 hm， 因为（1）中求得 y=0.2x2+3.5， 当 x=2.5 时， h=0.2 （2.5）2+3.5=2.25m 这次跳投时，球出手处离地面 2.25m 故本选项错误 故选：A 【关键点拨】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思 想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键 6对于实数 a，b，定义符号 mina，b，其意义为：当 ab时，mina，b=b；当 a ； 若抛物线 C2 ： y 2=ax 2(a0) 与线段

5、 AB恰有一个公共点，则 a 的取值范围是a0的解作为函数 C1的自变 量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有( ) A2 个 B3个 C4个 D5 个 【答案】B 【解析】 12 【关键点拨】 熟练掌握抛物线的性质是本题的解题关键. 14如图，在正方形中， ， 分别为，的中点， 为对角线上的一个动点，则下列线段的长 等于最小值的是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】 过点 E作关于 BD的对称点 E，连接 AE，交 BD于点 P 13 【关键点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题、正方形的性质此题主要是利用“两点之间线段最短”和 “任意两边之和大于第三边”因此只要作出点

6、 A（或点 E）关于直线 BD 的对称点 A（或 E） ，再连 接 EA（或 AE）即可 15当 axa+1时，函数 y=x2-2x+1 的最小值为 1，则 a的值为（ ） A-1 B2 C0或 2 D-1 或 2 【答案】D 【解析】 当 y=1 时，有 x2-2x+1=1， 解得：x1=0，x2=2 当 axa+1 时，函数有最小值 1， a=2或 a+1=0， a=2或 a=-1， 故选 D 【关键点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐 标特征找出当 y=1 时 x的值是解题的关键 16如图，已知POQ=30 ，点 A、B 在射线 OQ上（

7、点 A 在点 O、B之间） ，半径长为 2 的A与直线 OP 14 相切，半径长为 3的B与A 相交，那么 OB 的取值范围是（ ） A5OB9 B4OB9 C3OB7 D2OB7 【答案】A 【关键点拨】本题考查了两圆间的位置关系，分两圆内切与外切分别画出符合题意的图形进行讨论是解题 的关键. 17在ABC中，若 O为 BC 边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立依据以上结论，解决如下问 题：如图，在矩形 DEFG中，已知 DE=4，EF=3，点 P 在以 DE为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2的最小值 15 为（ ） A B C34 D10 【答案】D 【关键点拨】本

8、题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找 出 PN的最小值是解题的关键 18如图，的半径为 2，圆心的坐标为 ，点 是上的任意一点，且、与 轴 分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则的最小值为（ ） 16 A3 B4 C6 D8 【答案】C 【关键点拨】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式解题的关键是利用直角三 角形斜边上中线等于斜边的一半把 AB 的长转化为 2OP 19如图，在正方形 ABCD 中，AB=9，点 E 在 CD 边上，且 DE=2CE，点 P 是对角线 AC 上的一个动点， 则 PE+PD的最小值是（ ）

9、A B C9 D 【答案】A 17 【关键点拨】此题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题找 出 P 点位置是解题的关键 20已知二次函数 y=（xh）2（h 为常数） ，当自变量 x 的值满足 2x5时，与其对应的函数值 y的最大 值为1，则 h 的值为（ ） A3或 6 B1 或 6 C1或 3 D4或 6 【答案】B 【解析】 如图，当 h2 时，有（2h）2=1， 解得：h1=1，h2=3（舍去） ； 当 2h5 时，y=（xh）2的最大值为 0，不符合题意； 当 h5时，有（5h）2=1， 解得：h3=4（舍去） ，h4=6， 综上所述：h的值为 1或

10、6， 故选 B 【关键点拨】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分 h2、2h5和 h5 三种情况求出 h 值 是解题的关键 21如图，一次函数 y=2x与反比例函数 y= （k0）的图象交于 A，B两点，点 P 在以 C（2，0）为圆 心，1 为半径的C上，Q是 AP 的中点，已知 OQ长的最大值为 ，则 k的值为（ ） 18 A B C D 【答案】C CP=1， BC=2， B 在直线 y=2x上， 设 B（t，2t） ，则 CD=t（2）=t+2，BD=2t， 在 RtBCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+BD2， 22=（t+2）2+（2t）2， t=0（舍）或 t= ，

11、 B（ ， ） ， 点 B在反比例函数 y= （k0）的图象上， k= （- ）=， 故选 C 19 【关键点拨】 本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等， 综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出 BP 过点 C 时 OQ有最大值是解题的关键. 22已知抛物线 y= x 2+1 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 F（0，2）的距离与到 x 轴的距离始终 相等，如图，点 M 的坐标为（，3） ，P 是抛物线 y= x 2+1 上一个动点，则PMF 周长的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 【答案】C 【解析】 过点 M 作

12、 MEx轴于点 E，交抛物线 y= x2+1 于点 P，此时PMF周长最小值， F（0，2） 、M（ ，3） ， ME=3，FM=2， PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5 故选 C 【关键点拨】 20 本题求线段和的最值问题，把需要求和的线段，找到相等的线段进行转化，转化后的线段共线时为最值情 况. 23如图，AOB=60 ，点 P 是AOB 内的定点且 OP=，若点 M、N 分别是射线 OA、OB 上异于点 O 的动点，则PMN 周长的最小值是（ ） A B C6 D3 【答案】D 21 【关键点拨】本题考查了轴对称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决 路径

13、最短问题 24如图，直线与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 P 是以 C（1，0）为圆心，1 为半径的圆 上一点，连接 PA，PB，则PAB 面积的最小值是（ ） A5 B10 C15 D20 【答案】A 【解析】 作 CHAB于 H 交O于 E、F连接 BC 22 【关键点拨】 本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键 是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题 二、填空题二、填空题 25如图，RtABC 中，BAC=90，AB=3，AC=6，点 D，E 分别是边 BC，AC 上的动点，则 DA

14、+DE 的最小 值为_ 【答案】 【解析】 如图，作 A关于 BC 的对称点 A，连接 AA，交 BC于 F，过 A作 AEAC于 E，交 BC于 D，则 AD=AD， 此时 AD+DE的值最小，就是 AE 的长； RtABC中，BAC=90 ，AB=3，AC=6， BC=9， SABC= ABAC= BCAF， 3 6=9AF， AF=2， AA=2AF=4， AFD=DEC=90 ，ADF=CDE， A=C， AEA=BAC=90 ， AEABAC， 23 ， ， AE=， 即 AD+DE 的最小值是， 故答案为： 【关键点拨】本题考查轴对称最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最

15、短、垂线段最短等 知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题. 26如图 1，作BPC 平分线的反向延长线 PA，现要分别以APB，APC，BPC 为内角作正多边形， 且边长均为 1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案例如，若以BPC 为内角，可作出一 个边长为 1 的正方形，此时BPC=90 ，而=45是 360 （多边形外角和）的 ，这样就恰好可作出两个边 长均为 1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图 2所示 图 2中的图案外轮廓周长是_； 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_ 【答案】 14 21 【解析

16、】 图 2中的图案外轮廓周长是：82+2+82=14； 设BPC=2x， 24 以BPC为内角的正多边形的边数为：， 以APB为内角的正多边形的边数为：， 图案外轮廓周长是=2+2+2=+6， 根据题意可知：2x的值只能为 60 ，90 ，120 ，144 ， 当 x越小时，周长越大， 当 x=30 时，周长最大，此时图案定为会标， 则则会标的外轮廓周长是=6=21， 故答案为：14，21 【关键点拨】本题考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内角相 等，各外角相等，且外角和为 360 是关键，并利用数形结合的思想解决问题 27如图，在ABCD 中，AD=7，A

17、B=2，B=60 E 是边 BC 上任意一点，沿 AE 剪开，将ABE 沿 BC 方向平移到DCF的位置，得到四边形 AEFD，则四边形 AEFD周长的最小值为_ 【答案】20 【关键点拨】本题考查平移的性质，解题的关键是确定出当 AEBC 时，四边形 AEFD 的周长最小 28如图，直线与 x轴、y轴分别交于点 A、B；点 Q是以 C（0，1）为圆心、1 为半径的圆 上一动点，过 Q点的切线交线段 AB于点 P，则线段 PQ的最小是_ 25 【答案】 29如图，以 AB 为直径的O 与 CE 相切于点 C，CE 交 AB 的延长线于点 E，直径 AB18，A30， 弦 CDAB，垂足为点 F

18、，连接 AC，OC，则下列结论正确的是_ （写出所有正确结论的序号） ； 扇形 OBC的面积为； OCFOEC； 若点 P 为线段 OA 上一动点，则 APOP有最大值 20.25 26 【答案】 【关键点拨】 本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的性质以及相似三角形的判定与性质，结合图形以及已知条件， 熟练掌握和灵活运算相关知识是解题的关键. 30如图，等腰ABC的底边 BC=20，面积为 120，点 F 在边 BC 上，且 BF=3FC，EG 是腰 AC 的垂直平分 线，若点 D 在 EG 上运动，则CDF周长的最小值为_ 【答案】18 27 【解析】 【关键点拨】 本题考查的知识点是轴对

19、称-最短路线问题, 线段垂直平分线的性质, 等腰三角形的性质，解题关键是学会运 用轴对称，解决最短问题. 31如图，点 D 为的 AB 边上的中点，点前 E 为 AD 的中点， 为正三角形，给出下列结论， ,，若，点 是上一动点，点 到、边的距离分 别为，则的最小值是 3.其中正确的结论是_（填写正确结论的番号） 28 【答案】 若 AC2，点 P 是 AB上一动点，点 P 到 AC、BC边的距离分别为 d1，d2， 四边形 PMCN是矩形， MNCP， d12d22MN2CP2， 当 CP 为最小值，d12d22的值最小， 根据垂线段最短，则当 CPAB时，d12d22的值最小， 此时：CA

20、B60 ，AC2，CPAB， CP， d12d22MN2CP23， 即 d12d22的最小值为 3， 故正确； 故答案为： 【关键点拨】 29 本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质和判定，利用垂线段最短求 d12d22的最小值是本题的关键 32如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF分开已知篱笆的总长为 900m（篱笆的厚度忽略不计） ，当 AB=_m时，矩形土地 ABCD的面积最大 【答案】150 【关键点拨】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二 次函数的性质求出最值 33 九章算术是我国古代数学名著，书

21、中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5步，股（长直角边）长为 12步，问该直角三角形能 容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是_步 【答案】 【解析】 四边形 CDEF是正方形， 30 【关键点拨】 本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键 34如图，直线 y=x+m与双曲线 y= 相交于 A，B 两点，BCx轴，ACy轴，则ABC面积的最小值为 _ 【答案】6 【解析】 设 A（a， ） ，B（b， ） ，则 C（a， ） 将 y=x+m代入 y= ，得 x+m= ， 31 【

22、关键点拨】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式 联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点也考查了函数图象上点的 坐标特征，根与系数的关系，三角形的面积，二次函数的性质 35如图，M、N是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满足，连接 AC交 BN于点 E，连接 DE 交 AM于点 F，连接 CF，若正方形的边长为 6，则线段 CF的最小值是_ 【答案】 【解析】 如图， 32 在正方形 ABCD中， ， ， ， 取 AD的中点 O，连接 OF、OC， 来源:ZXXK 则， 在中， 根据三角形的三边关系

23、， 当 O、F、C 三点共线时，CF的长度最小， 最小值， 故答案为： 【关键点拨】 33 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质， 三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出 CF最小时点 F的位置是解题关键 36如图，在矩形 ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点 P 满足 SPAB= S矩形ABCD，则点 P 到 A、B 两点的距离之和 PA+PB的最小值为_ 【答案】4 在 RtABE中，AB=4，AE=2+2=4， BE= ， 即 PA+PB的最小值为 4 故答案为：4 【关键点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题

24、，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最 短的性质得出动点 P 所在的位置是解题的关键 37如图，已知MON=120，点 A，B 分别在 OM，ON 上，且 OA=OB=a，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转得到 OM，旋转角为 （0120且 60） ，作点 A 关于直线 OM的对称点 C，画直线 BC 交 OM于 34 点 D，连接 AC，AD，有下列结论： AD=CD； ACD 的大小随着 的变化而变化； 当 =30时，四边形 OADC 为菱形； ACD 面积的最大值为a2； 其中正确的是_ （把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】 ACD=E=60 ，故不正确； 当 =30

25、时，即AOD=COD=30 ， AOC=60 ， 35 AOC 是等边三角形， OAC=60 ，OC=OA=AC， 由得：CD=AD， CAD=ACD=CDA=60 ， ACD是等边三角形， AC=AD=CD， OC=OA=AD=CD， 四边形 OADC 为菱形，故正确； 【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等， 综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键. 38如图，已知正方形 ABCD 的边长是 4，点 E是 AB边上一动点，连接 CE，过点 B作 BGCE于点 G， 点 P 是 AB 边上另一动点

26、，则 PD+PG的最小值为_ 36 【答案】2-2 【解析】 如图： 取点 D关于直线 AB的对称点 D，以 BC 中点 O 为圆心，OB为半径画半圆， 【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强， 能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的 线段和最短. 39如图，已知抛物线 y1=x2+4x和直线 y2=2x我们规定：当 x取任意一个值时，x对应的函数值分别为 37 y1和 y2，若 y1y2，取 y1和 y2中较小值为 M；若 y1=y2，记 M=y1=y2当 x2时，M=y2；当 x0

27、时， M 随 x 的增大而增大；使得 M 大于 4 的 x 的值不存在；若 M=2，则 x=1上述结论正确的是_（填 写所有正确结论的序号） 【答案】 y1=-x2+4x=-（x-2）2+4， M的最大值为 4， 使得 M大于 4的 x的值不存在，结论正确； 当 M=y1=2 时，有-x2+4x=2， 解得：x1=2-（舍去） ，x2=2+ ； 当 M=y2=2 时，有 2x=2， 解得：x=1 若 M=2，则 x=1或 2+，结论错误 综上所述：正确的结论有 故答案为： 【关键点拨】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数 图象上点的坐标特征，逐一分析

28、四条结论的正误是解题的关键 40 如图， 在平面直角坐标系中， 反比例函数 y= （k0） 的图象与半径为 5 的O交于 M、 N两点， MON 38 的面积为 3.5，若动点 P在 x轴上，则 PM+PN的最小值是_ 【答案】5 ac=， 同理：bd=， acbd=（c2+d2）（a2+b2）=0， M（a，b） ，N（c，d） ， MN2=（ac）2+（b+d）2=a2+b2+c2+d22ac+2bd=a2+b2+c2+d22（acbd）=50， MN=5， 故答案为：5 39 【关键点拨】本题考查了反比例函数图象与圆的综合，反比例函数图象上点的坐标特征，同圆的半径相等、 最值问题等，综合

29、性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键. 41如图抛物线 y=x2+2x3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线对称轴上任意一点，若 点 D、E、F 分别是 BC、BP、PC 的中点，连接 DE，DF，则 DE+DF 的最小值为_ 【答案】 【解析】 连接 AC,与对称轴交于点 P, 此时 DE+DF最小， 点 D、E、F分别是 BC、BP、PC的中点， 40 【关键点拨】 考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点 P 的位置是解题的关键. 42如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0） ，B（1a，0）

30、 ，C（1+a，0） （a0） ，点 P 在以 D（4， 4）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足BPC=90，则 a 的最大值是_ 【答案】6 【解析】 A（1，0） ，B（1a，0） ，C（1+a，0） （a0） ， AB=1（1a）=a，CA=a+11=a， AB=AC， BPC=90 ， PA=AB=AC=a， 如图延长 AD交D于 P，此时 AP最大， A（1，0） ，D（4，4） ， AD=5， 41 AP=5+1=6， 来源:ZXXK a的最大值为 6 故答案为 6 【关键点拨】 圆外一点到圆上一点的距离最大值为点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减去半径. 三、解答

31、题三、解答题 43综合与探究 如图 1 所示，直线 y=x+c与 x轴交于点 A(-4,0)，与 y轴交于点 C，抛物线 y=-x2+bx+c经过点 A，C (1)求抛物线的解析式 (2)点 E 在抛物线的对称轴上，求 CE+OE的最小值； (3)如图 2 所示，M是线段 OA 的上一个动点，过点 M 垂直于 x 轴的直线与直线 AC和抛物线分别交于点 P、 N 若以 C，P，N 为顶点的三角形与APM相似，则CPN 的面积为 ； 若点 P 恰好是线段 MN的中点，点 F是直线 AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点 D，使以点 D，F， P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 D

32、的坐标；若不存在，请说明理由 注：二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为() 42 【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)5；(3) 或 4；存在，D 点坐标为( ， )或(-1+ ，)或(-1-，-) 或(-4，3). (2)做点 关于抛物线的对称轴直线 的对称点，连，交直线 于点 连，此时的值最小 抛物线对称轴位置线 由勾股定理 的最小值为 5 (3)当时， ，则关于抛物线对称轴对称 的面积为 43 则 为 则 点坐标为 把点 坐标代入 解得(舍去)， 当时，点 在垂直平分线上，则 当时，由菱形性质点 坐标为， 当时，、 关于直线对称，点 坐标为 【关键点拨】 本题考查了直

33、角坐标系下抛物线的综合运用与图形变换，能够综合应用相似形和分类讨论是解答本题的关 44 键. 44如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，连接 DF，过点 E 作 EHDF，垂足为 H， EH 的延长线交 DC 于点 G （1）猜想 DG 与 CF 的数量关系，并证明你的结论； （2）过点 H 作 MNCD，分别交 AD，BC 于点 M，N，若正方形 ABCD 的边长为 10，点 P 是 MN 上一点， 求PDC 周长的最小值 【答案】 （1）结论：CF=2DG，理由见解析； （2）PCD 的周长的最小值为 10+2 EGDF， DHG=90 ， CDF+DGE

34、=90 ，DGE+DEG=90 ， CDF=DEG， DEGCDF， = ， CF=2DG （2）作点 C关于 NM 的对称点 K，连接 DK交 MN于点 P，连接 PC， 45 【关键点拨】 本题考查正方形的性质、轴对称最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学 会理由轴对称解决最短问题，属于中考常考题型 45如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳 BC 与地面保持垂直，吊臂 AB 与水平线的夹角为 64，吊 臂底部 A 距地面 1.5m （计算结果精确到 0.1m，参考数据 sin640.90，cos640.44，tan642.05） （1）当吊臂底部 A 与货物的水

35、平距离 AC 为 5m 时，吊臂 AB 的长为多少 m （2）如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货 物的高度忽略不计） 【答案】 （1）11.4； （2）从地面上吊起货物的最大高度是 19.5m 46 （2）过点 D作 DH地面于 H，交水平线于点 E， 在 RtADE中， AD=20m，DAE=64，EH=1.5m， DE=sin64AD200.918（m） ， 即 DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m） ， 答：如果该吊车吊臂的最大长度 AD为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是 19.5m 【关键点拨】 本题考查

36、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三 角函数的定义，属于中考常考题型 46如图，以 D 为顶点的抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，直线 BC 的表达式为 y= x+3 （1）求抛物线的表达式； （2）在直线 BC 上有一点 P，使 PO+PA 的值最小，求点 P 的坐标； （3）在 x 轴上是否存在一点 Q，使得以 A、C、Q 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，请求出点 Q 的坐 标；若不 存在，请说明理由 47 【答案】 （1）y=x2+2x+3； （2）P ( ,)； （3）当 Q 的坐标为（0，

37、0）或（9，0）时，以 A、C、Q 为顶点 的三角形与BCD 相似 （2）如图所示：作点 O关于 BC的对称点 O，则 O（3，3） O与 O关于 BC 对称， PO=PO OP+AP=OP+APAO OP+AP 的最小 值=OA=5 来源:Z|xx|k.Com OA 的方程为 y= 48 P 点满足解得： 所以 P ( ,) ACQ为直角三角形，COAQ， ACQAOC 又AOCDCB， ACQDCB ，即，解得：AQ=10 Q（9，0） 49 综上所述，当 Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以 A、C、Q为顶点的三角形与BCD 相似 【关键点拨】 本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键

38、是掌握待定系数法求二次函数的解析式、轴对称图形的性质、 相似三角形的性质和判定，分类讨论的思想 47如图，正方形 ABCD中，AB=，O是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE=2，连接 DE，将 线段 DE 绕点 D逆时针旋转 90 得 DF，连接 AE，CF （1）求证：AE=CF； （2）若 A，E，O三点共线，连接 OF，求线段 OF的长 （3）求线段 OF长的最小值 【答案】 （1）证明见解析； （2）； （3） ， ， ； 50 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 或（舍 ， ， 由勾股定理得：， （3）解：如图 3，由于，所以 点可以

39、看作是以 为圆心，2 为半径的半圆上运动， 延长到 点，使得，连接， 51 【关键点拨】 本题考查了正方形的性质、几何图形旋转的性质、利用三角形全等解决问题的相关知识，解题关键是注意 构造辅助线进行解答. 48一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆 C 出发，沿北偏东 30的方向行走 2000 米到达石鼓书院 A 处， 参观后又从 A 处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东 45方向的雁峰公园 B 处，如图所示 （1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离； （2）若这名徒步爱好者以 100 米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在 15 分钟内能否到达宾馆？ 52

40、 【答案】 （1）1000 米 （2）能 【关键点拨】 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解直角三角形，锐角三角函数等知识解一般三角形的问 题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 49在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+ x+c 的图象经过点 C（0，2）和点 D（4，2） 点 E 是直线 y= x+2 与二次函数图象在第一象限内的交点 53 （1）求二次函数的解析式及点 E 的坐标 （2）如图，若点 M 是二次函数图象上的点，且在直线 CE 的上方，连接 MC，OE，ME求四边形 COEM 面积 的最大值及此时点 M 的坐标 （3）如图，经过 A、B、C 三点的

41、圆交 y 轴于点 F，求点 F 的坐标 【答案】 （1）E（3，1） ； （2）S最大=，M 坐标为（ ，3） ； （3）F 坐标为（0， ） （2）如图，过 M作 MHy轴，交 CE于点 H， 设 M（m， m2+ m+2） ，则 H（m， m+2） ， MH=（ m2+ m+2）（ m+2）= m2+2m， 54 S四边形COEM=SOCE+SCME= 23+ MH3=m2+3m+3， 当 m= = 时，S最大=，此时 M坐标为（ ，3） ； （3）连接 BF，如图所示， 【关键点拨】 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三 角形的面积

42、，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键 50如图 1，抛物线平移后过点 A（8，,0）和原点，顶点为 B，对称轴与 轴相交于点 C，与原抛 物线相交于点 D （1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积； （2）如图 2，直线 AB 与 轴相交于点 P，点 M 为线段 OA 上一动点，为直角，边 MN与 AP相交于点 N，设，试探求： 为何值时为等腰三角形； 为何值时线段 PN的长度最小，最小长度是多少 55 【答案】 （1）平移后抛物线的解析式，= 12； （2），当 3 时，PN 取最小值 为 （2）设直线 AB 解析式为 y=mx+n，将 A（

43、8，0） 、B（4，3）分别代入得 ，解得： ， 所以直线 AB 的解析式为，作 NQ 垂直于 x 轴于点 Q， 当 MNAN 时， N 点的横坐标为，纵坐标为， 由三角形 NQM 和三角形 MOP 相似可知,得，解得（舍去）. 当 AMAN 时，AN,由三角形 ANQ 和三角形 APO 相似可知，MQ， 由三角形 NQM 和三角形 MOP 相似可知得：， 解得： t12（舍去） ； 当 MNMA 时，故是钝角，显然不成立, 56 故； 【关键点拨】 本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，平移的性质，割补法，三 角形面积，分类思想，相似三角形的性质，勾股定理，根

44、的判别式，综合性较强，有一定的难度，熟练掌 握相关知识是解题的关键. 51如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为（1，4） ，抛物线与 x轴相交于 B、C 两点，与 y 轴交于点 E（0，3） （1）求抛物线的表达式； （2）已知点 F（0，3） ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG+FG 最小，如果存在，求出点 G 的坐标；如果不存在，请说明理由 （3）如图 2，连接 AB，若点 P 是线段 OE 上的一动点，过点 P 作线段 AB的垂线，分别与线段 AB、抛物线 相交于点 M、N（点 M、N都在抛物线对称轴的右侧） ，当 MN最大时，求PON的面积 【答案】 （1）yx2+2x+

45、3； （2）存在，G（1，0） ； （3）2 57 (2)存在，如图 1，作 E 关于对称轴的对称点 E，连接 EF交对称轴于 G，此时 EG+FG 的值最小 E(0，3)，E(2，3)， 设 EF的解析式为 y=kx+b， 把 F(0，3)，E(2，3)分别代入，得，解得， 所以 EF的解析式为：y3x3， 当 x1时，y3 130，G(1，0)； (3)如图 2 设 AB的解析式为 y=kx+b， 把 A(1，4)，B(3，0)分别代入，得，解得， 所以 AB的解析式为：y2x+6， 过 N 作 NHx轴于 H，交 AB于 Q， 来源:Z,X,X,K 设 N(m，m2+2m+3)，则 Q(

46、m，2m+6)，(1m3)， NQ(m2+2m+3)(2m+6)m2+4m3， ADNH，DABNQM， ADBQMN90 ，QMNADB， ， MN(m2)2 0， 当 m2时，MN有最大值； 过 N 作 NGy轴于 G， GPNABD，NGPADB90 ，NGPADB， 58 ，PGNGm， OPOGPGm2+2m+3mm2m+3， SPONOPGN (m2m+3)m， 当 m2 时，SPON2(4+3+3)2 【关键点拨】 本题考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解 析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于 m 的方程 是解题答问题(3)的关键 52如图，抛物线 y=x2+bx+c和直线 y=x+1交于 A，B两点，点 A在 x轴上，点 B在直线 x=3上，直线 x=3 与 x 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 从点 A 出发，以每秒个单位长度的速度沿线段 AB 向点 B 运动，点 Q 从点