2019中考数学压轴题全揭秘精品专题11 圆问题（教师版）

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1、 1 一、单选题一、单选题 1 九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就它的算法体系至今 仍在推动着计算机的发展和应用书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长 一尺， 问径几何？”译为： “今有一圆柱形木材， 埋在墙壁中， 不知其大小， 用锯去锯这木材， 锯口深 1 寸 （ED=1 寸） ，锯道长 1 尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？” 如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径 AC 是（ ） A13寸 B20 寸 C26寸 D28寸 【答案】C 【关键点拨】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参

2、数构建方程解决问题 2AB 是O 的直径，点 C在圆上，ABC=65 ，那么OCA的度数是（ ） A25 B35 C15 D20 【答案】A 2 【关键点拨】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键 3如图，正方形 ABCD 内接于O，O 的半径为 2，以点 A 为圆心，以 AC 长为半径画弧交 AB 的延长 线于点 E，交 AD的延长线于点 F，则图中阴影部分的面积为（ ） A44 B48 C84 D88 【答案】A 【解析】 利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形 AEF的面积-ABD 的面积=42=4-4， 故选 A 【关键点拨】 本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关

3、键是学会用转化的思想思考问题 4如图，点 A、B、C、D 在O 上，AOC=140，点 B 是弧 AC 的中点，则D 的度数是（ ） A70 B55 C35.5 D35 3 【答案】D 【关键点拨】 本题考查的知识点是圆周角定理与推论，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与推论. 5如图，在O 中，AE 是直径，半径 OC 垂直于弦 AB 于 D，连接 BE，若 AB=2，CD=1，则 BE 的长是 A5 B6 C7 D8 【答案】B 【解析】 4 【关键点拨】 本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键 6如图，在ABC中，ACB=90 ，过 B,C两点的O交 AC

4、 于点 D，交 AB 于点 E，连接 EO并延长交O 于点 F.连接 BF,CF.若EDC=135 ,CF=,则 AE2+BE2的值为 （ ） A8 B12 C16 D20 【答案】C 【解析】 EDC=135 ， ADE=45 ，ABC=180 -EDC =180 -135 =45 ； ACB=90 ， A=45 ， ADE=A=45 ， AE=AD，AED=90 ； EF 为O 的直径， FCE=90 ， ABC=EFC=45 ，CF=， 5 EF=4； 连接 BD， 【关键点拨】 本题考查了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质及勾股定理等知识点，会综合运用所学的知识点解 决问题是解题的

5、关键. 7如图，AB是O的直径，MN是O的切线，切点为 N，如果MNB=52 ，则NOA的度数为 A76 B56 C54 D52 【答案】A 【解析】 MN 是O 的切线， ， ， ， 6 ， ， ， 故答案为：A. 【关键点拨】 考查了圆周角定理和切线的性质.关键是利用圆的切线垂直于经过切点的半径解题. 8某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为 1的半圆形量角器中，画一个直径为 1 的圆，把刻度尺 CA 的 0刻度固定在半圆的圆心 O处，刻度尺可以绕点 O旋转从图中所示的图尺可读出 sinAOB的值是 A B C D 【答案】D 【解析】 如图，连接 AD 故选：D 【关

6、键点拨】 7 考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题. 9如图，扇形 OAB 中，AOB=100，OA=12，C 是 OB 的中点，CDOB 交AB于点 D，以 OC 为半径的CE交 OA 于点 E，则图中阴影部分的面积是（ ） A12+18 B12+36 C6+18 D6+36 【答案】C S扇形BOD= =24， S阴影=S扇形AOBS 扇形COE（S扇形BODSCOD） =18+6， 故选 C 【关键点拨】 8 本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S= 10如图，的半径为 2，圆心的坐标为 ，点 是上的任意一点，且、

7、与 轴 分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则的最小值为（ ） A3 B4 C6 D8 【答案】C 【关键点拨】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式解题的关键是利用直角三 角形斜边上中线等于斜边的一半把 AB 的长转化为 2OP 11在ABC中，若 O为 BC 边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立依据以上结论，解决如下问 题：如图，在矩形 DEFG中，已知 DE=4，EF=3，点 P 在以 DE为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2的最小值 为（ ） 9 A B C34 D10 【答案】D 【解析】 设点 M 为 DE的中点，点 N为 FG

8、的中点，连接 MN交半圆于点 P，此时 PN取最小值 【关键点拨】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三 变形关系，利用三角形三边关系找 出 PN的最小值是解题的关键 12如图，ABC 中，A=30 ，点 O 是边 AB 上一点，以点 O 为圆心，以 OB 为半径作圆，O 恰好与 AC 相切于点 D，连接 BD若 BD平分ABC，AD=2，则线段 CD 的长是（ ） A2 B C D 【答案】B 10 【解析】 连接 OD 【关键点拨】 本题考查了圆的切线的性质、含 30 角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明 C=90 ，利用A=30 ，AB=6，先得 A

9、C 的长，再求 CD遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线 二、填空题二、填空题 13如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=6，BC=8，点 D是 AB的中点，以 CD为直径作O，O分 别与 AC，BC 交于点 E，F，过点 F作O 的切线 FG，交 AB于点 G，则 FG 的长为_ 【答案】 【解析】 11 如图， 在 RtABC中，根据勾股定理得，AB=10， 点 D是 AB 中点， CD=BD= AB=5， 连接 DF， BFG+B=90 ， FGAB， SBDF= DF BF= BD FG， FG= ， 故答案为. 【关键点拨】 此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线

10、的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式， 12 判断出 FGAB是解本题的关键 14如图，正方形 ABCD的边长为 2a，E为 BC边的中点，AE DE的圆心分别在边 AB、CD上，这两段 圆弧在正方形内交于点 F，则 E、F间的距离为 【答案】 a 【解析】 如图，作 DE 的中垂线交 CD于 G，则 G为DE的圆心，同理可得，H为AE的圆心， GE=FG= a， 同理可得，EH=FH= a， 四边形 EGFH是菱形，四边形 BCGH 是矩形， GO= BC=a， RtOEG中，OE=， EF= a， 故答案为： a 13 【关键点拨】 本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相

11、交两圆的连心线（经过两个圆心的直线） ，垂直平分 两圆的公共弦注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系 15 如图， AC 为O 的直径， 点 B在圆上， ODAC交O 于点 D， 连接 BD， BDO=15 ， 则ACB=_ 【答案】60 BDO=15 ， BDC=30 ， A=30 ， ACB=60 ， 故答案为：60 【关键点拨】 本题考查了圆周角定理的应用，熟记圆周角定理的内容是解题的关键 16如图，直线 PA 过半圆的圆心 O，交半圆于 A,B 两点，PC 切半圆与点 C，已知 PC=3，PB=1,则该半圆的 半径为_. 14 【答案】4 解得 r=4， 故答案为：4. 【关键

12、点拨】 本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是 解题的关键. 17如图，半圆的半径 OC=2，线段 BC 与 CD 是半圆的两条弦，BC=CD，延长 CD 交直径 BA 的延长线于点 E， 若 AE=2，则弦 BD 的长为_ 15 【答案】 AE=AO=2，AD= CO=1， 在 RtABD 中，BD=. 【关键点拨】 本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理等，综合性较强，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是 解题的关键. 16 18如图 1 是小明制作的一副弓箭，点 A，D 分别是弓臂 BAC 与弓弦 BC 的中点，弓弦 BC=60cm

13、沿 AD 方向 拉动弓弦的过程中，假设弓臂 BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长如图 2，当弓箭从自然状态的点 D 拉到点 D1时，有 AD1=30cm，B1D1C1=120 （1）图 2 中，弓臂两端 B1，C1的距离为_cm （2）如图 3，将弓箭继续拉到点 D2，使弓臂 B2AC2为半圆，则 D1D2的长为_cm 【答案】30 10-10 【解析】 （1）如图 2中，连接 B1C1交 DD1于 H D1A=D1B1=30 D1是 的圆心， AD1B1C1， B1H=C1H=30 sin60 =15 ， B1C1=30 弓臂两端 B1，C1的距离为 30 17 【关键点拨】 本题考查垂径定理

14、的应用、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三 角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题 19如图，以 AB 为直径的O 与 CE 相切于点 C，CE 交 AB 的延长线于点 E，直径 AB18，A30， 弦 CDAB，垂足为点 F，连接 AC，OC，则下列结论正确的是_ （写出所有正确结论的序号） ； 扇形 OBC的面积为； OCFOEC； 若点 P 为线段 OA 上一动点，则 APOP有最大值 20.25 【答案】 18 【关键点拨】 本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的性质以及相似三角形的判定与性质，结合图形以及已知条件， 熟练掌握和灵活运算相关知识是解题的

15、关键. 20如图，已知MON=120，点 A，B 分别在 OM，ON 上，且 OA=OB=a，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转得到 O M，旋转角为 （0120且 60） ，作点 A 关于直线 OM的对称点 C，画直线 BC 交 OM于 点 D，连接 AC，AD，有下列结论： AD=CD； ACD 的大小随着 的变化而变化； 当 =30时，四边形 OADC 为菱形； ACD 面积的最大值为a2； 其中正确的是_ （把你认为正确结论的序号都填上） 19 【答案】 ACD=E=60 ，故不正确； 当 =30时，即AOD=COD=30 ， AOC=60 ， AOC 是等边三角形， OAC=60 ，

16、OC=OA=AC， 20 【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等， 综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键. 21小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图 1 所示，于是他绘制了如图 2所示的图形图 2 中留 个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若 PQ 所在的直线经过点 M， PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为_cm 21 【答案】8. 【解析】 设两个正六边形的中心为 O，连接 OP,OB,过点 O作 OGPM于点 G，OHAB于点 H，如图所

17、示： OP=7cm， 设 OB为 x， OHAB，且 O是正六边形的中心， BH= X,OH=， PH=5- x， 在 RtPHO中，根据勾股定理得 OP2=PH2+OH2,即; 22 解得：x1=8,x2=-3（舍） 故该圆的半径为 8cm. 故答案为:8. 【关键点拨】 本题以相机快门为背景，从中抽象出数学模型，综合考查了多边形、圆、三角形及解三角形 等相关知识，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力.试题通过将快门的光圈变化这个动态的实际问题 化为静态的数学问题，让每个学生都能参与到实际问题数学化的过程中，鼓励学生用数学的眼光观察世界； 在运用数学知识解决问题的过程中，关注思想方法，侧重

18、对问题的分析，将复杂的图形转化为三角形或四 边形解决，引导学生用数学的语言表达世界，用数学的思维解决问题. 22如图，已知正方形 ABCD 的边长是 4，点 E是 AB边上一动点，连接 CE，过点 B作 BGCE于点 G， 点 P 是 AB 边上另一动点，则 PD+PG的最小值为_ 【答案】2-2 【解析】 如图： 取点 D关于直线 AB的对称点 D，以 BC 中点 O 为圆心，OB为半径画半圆， 连接 OD交 AB于点 P，交半圆 O于点 G，连 BG，连 CG 并延长交 AB于点 E， 由以上作图可知，BGEC于 G， 23 【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段

19、和的最小值问题等，综合性较强， 能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的 线段和最短. 23如图，矩形中，以为直径的半圆 与 相切于点 ，连接，则阴影部分的 面积为_ （结果保留 【答案】 【解析】 如图所示，连接 OE交 BD于点 F， 以 AD 为直径的半圆 O与 BC相切于点 E， OD=2，OEBC， OE=OD=2， 在矩形中， 四边形 OECD为正方形， CE=OD=2， 24 BE=BC-CE=2， BE=DO， AD/BC， EFBOFD， 阴影部分的面积= . 故答案为： 【关键点拨】 本题考查了切线的性质、矩形的性质、正

20、方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、扇形的面积公式 等知识.正确添加辅助线、仔细识图从中得到阴影部分面积的求法是解题的关键. 24如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径 AB 长为 2 cm，BOC=60，BCO=90，将BOC 绕圆心 O 逆时针旋转至BOC，点 C在 OA 上，则边 BC 扫过区域（图中阴影部分）的面积为_cm2 【答案】 【关键点拨】本题考查了含 30 度角的直角三角形的性质，扇形面积，熟练掌握相关内容是解题的关键. 三、解答题三、解答题 25如图，过O 外一点 P 作O 的切线 PA 切O 于点 A，连接 PO 并延长，与O 交于 C、D 两点，M 是半 圆 C

21、D 的中点，连接 AM 交 CD 于点 N，连接 AC、CM 25 （1）求证：CM 2=MN.MA； （2）若P=30，PC=2，求 CM 的长 来源:ZXXK 【答案】 （1）见解析； （2）CM=2 . （2）连接、， 是的切线， ， 又， ， 设的半径为 ， ， ， 解得：， 又是直径， 26 ， ， 是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得，即， 则， 【关键点拨】 本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质 等知识点 26如图，四边形中，以为直径的经过点 ，连接 、交于点 （1）证明：； （2）若，证明：与相切； （3）在（2）条件下

22、，连接交于点 ，连接，若，求的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） 【解析】 （1）连接 OC. 在OAD和OCD中， ， OADOCD（SSS） ， ADOCDO， 27 又 ADCD， DEAC AB 为O的直径， ACB90， ACB90，即 BCAC， ODBC； 在AOD中，AO2+AD2（）2+（a）2a2，OD2（OE+DE）2（ a+2a）2 a2， AO2+AD2OD2， OAD90， DA与O相切； （3）连接 AF AB 是O的直径， AFDBAD90 ADFBDA， AFDBAD， ， 即 DFBDAD2 又AEDOAD90，ADEODA， AE

23、DOAD， ， 即 ODDEAD2， 28 【关键点拨】 本题主要考查圆的综合知识. 解题的关键是在圆中综合运用等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、 相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识进行推理证明 27已知四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AC是O 的直径，DEAB，垂足为 E （1）延长 DE交O于点 F，延长 DC，FB 交于点 P，如图 1求证：PC=PB； （2） 过点 B作 BGAD， 垂足为 G， BG交 DE 于点 H， 且点 O和点 A都在 DE的左侧， 如图 2 若 AB= ， DH=1，OHD=80 ，求BDE 的大小 【答案】 （1）详见解析； （2）

24、BDE=20 29 （2）如图 2，连接 OD， AC是O的直径， ADC=90 ， BGAD， AGB=90 ， ADC=AGB， BGDC， BCDE， 四边形 DHBC是平行四边形， 30 BC=DH=1， 在 RtABC中，AB=，tanACB=， ACB=60 ， BC=AC=OD， DH=OD， 在等腰DOH 中，DOH=OHD=80 ， ODH=20 ， 设 DE交 AC于 N， BCDE， ONH=ACB=60 ， NOH=180 （ONH+OHD）=40 ， DOC=DOHNOH=40 ， OA=OD， OAD=DOC=20 ， CBD=OAD=20 ， BCDE， BDE=

25、CBD=20 【关键点拨】 本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点， 解决第（2）问，作出辅助线，求得ODH=20 是解决本题的关键. 28如图，ABC 内接于O，BD 为O 的直径，BD 与 AC 相交于点 H，AC 的延长线与过点 B 的直线相交于 点 E，且A=EBC （1）求证：BE 是O 的切线； 来源: 31 （2）已知 CGEB，且 CG 与 BD、BA 分别相交于点 F、G，若 BGBA=48，FG=，DF=2BF，求 AH 的值 【答案】 （1）证明见解析； （2） （2）CGEB， BCG=EBC， A=BCG， CBG=

26、ABC ABCCBG， ，即=BGBA=48， BC=， CGEB， CFBD， 来源:Z#xx#k.Com BFCBCD， =BFBD， DF=2BF， BF=4， 在 RTBCF中，CF=， CG=CF+FG=， 在 RTBFG 中，BG=， BGBA=48， BA=，即 AG= ， 32 CG=AG， A=ACG=BCG，CFH=CFB=90 ， CHF=CBF，CH=CB=， ABCCBG， ， AC= ， AH=ACCH= 【关键点拨】 证明切线常用方法为链接切点与圆心，通过角的代换或者全等，平行等来证明直角.并且构造直径所对的圆 周角是常见找直角的方法.灵活运用圆周角定理找等角及相

27、似三角形. 29如图，AB为的直径，C为上一点，D 为 BA 延长线上一点， 求证：DC为的切线； 线段 DF分别交 AC，BC于点 E，F且，的半径为 5，求 CF的长 【答案】证明见解析； 【解析】 （1）如图，连接 OC， 33 为的直径， ， ， ， ， ， ，即， 为的切线； ， 舍 或， ， ， 设， ， ， ， ， 34 ， ， ， 【关键点拨】 本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等，正确添加辅助线、 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 30如图，在 RtABC 中，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，点 O 在 AB 上，O

28、经过 A、D 两 点，交 AC于点 E，交 AB于点 F （1）求证：BC是O的切线； （2）若O的半径是 2cm，E是弧 AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留 和根号） 【答案】 （1）证明见解析 （2） 【解析】 （1）连接 OD 35 【关键点拨】 本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判 定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 31如图，AB为O的直径，且 AB=4，点 C 在半圆上，OCAB，垂足为点 O，P 为半圆上任意一点，过 P 点作 PEOC于点 E，设OPE的内心为 M

29、，连接 OM、PM （1）求OMP 的度数； （2）当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A时，求内心 M所经过的路径长 【答案】 （1）PMO=135 ； （2）内心 M所经过的路径长为 2cm 【解析】 （1）OPE的内心为 M， MOP=MOC，MPO=MPE， PMO=180 MPOMOP=180 （EOP+OPE） ， PEOC，即PEO=90 ， PMO=180 （EOP+OPE）=180 （180 90 ）=135 ； 36 【关键点拨】本题考查了弧长的计算公式、三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和 圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点 I的运动轨迹 3

30、2如图，四边形 ABCD中，AB=AD=CD，以 AB为直径的O经过点 C，连接 AC，OD交于点 E （1）证明：ODBC； （2）若 tanABC=2，证明：DA与O相切； （3）在（2）条件下，连接 BD 交于O于点 F，连接 EF，若 BC=1，求 EF的长 37 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） （2）tanABC=2， 设 BC=a、则 AC=2a， AD=AB=， OEBC，且 AO=BO， OE= BC= a，AE=CE= AC=a， 在AED中，DE=2a， 在AOD 中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2， OD2=（OF+DF）2=（ a+2a

31、）2=a2， AO2+AD2=OD2， 38 OAD=90 ， 则 DA与O 相切； （3）如图，连接 AF， AB是O的直径， AFD=BAD=90 ， ADF=BDA， AFDBAD， ，即 DFBD=AD2， 又AED=OAD=90 ，ADE=ODA， AEDOAD， ，即 ODDE=AD2， 由可得 DFBD=ODDE，即， 又EDF=BDO， EDFBDO， ， BC=1， AB=AD=、OD= 、ED=2、BD= 、OB=， ， EF=. 【关键点拨】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定 与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等，综合性较强

32、，有一定的难度，准确添加辅助线构造图形是解 题的关键. 39 33如图，AB 是O的直径，点 E为线段 OB 上一点（不与 O，B重合） ，作 ECOB，交O于点 C，作 直径 CD，过点 C的切线交 DB的延长线于点 P，作 AFPC 于点 F，连接 CB （1）求证：AC 平分FAB； （2）求证：BC2=CECP； （3）当 AB=4且= 时，求劣弧的长度 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） （2）OC=OB， OCB=OBC， PF是O 的切线，CEAB， OCP=CEB=90 ， PCB+OCB=90 ，BCE+OBC=90 ， 来源:Zxxk.Com BCE=

33、BCP， CD是直径， CBD=CBP=90 ， 40 CBECPB， ， BC2=CECP； BM=a， tanBCM=， BCM=30 ， OCB=OBC=BOC=60 ，BOD=120 ， BD的长= 【关键点拨】本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等， 综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相似三角形的判定与性质定理是解题 的关键. 34已知O的直径 AB=2，弦 AC与弦 BD交于点 E且 ODAC，垂足为点 F 41 （1）如图 1，如果 AC=BD，求弦 AC的长； （2）如图 2，如果 E为弦 BD 的中点，求ABD

34、的余切值； （3）联结 BC、CD、DA，如果 BC 是O的内接正 n边形的一边，CD 是O的内接正（n+4）边形的一边， 求ACD 的面积 【答案】 （1）AC=； （2）cotABD=； （3）SACD= 来源:Z|X|X|K 【解析】 （1）ODAC， AD+CD，AFO=90 ， 又AC=BD， AC=BD，即AD+CD=CD+BC， AD=BC， AD=CD=BC， AOD=DOC=BOC=60 ， AB=2， AO=BO=1， AF=AOsinAOF=1=， 则 AC=2AF=； （2）如图 1，连接 BC， 42 OF是ABC 的中位线， 设 OF=t，则 BC=DF=2t， D

35、F=DOOF=1t， 1t=2t， 解得：t= ， 则 DF=BC= 、AC=， EF= FC= AC=， OB=OD， ABD=D， 则 cotABD=cotD=； （3）如图 2， 43 【关键点拨】本题考查了圆的综合题、解直角三角形的应用等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和 灵活应用垂径定理、正弦三角函数、余弦三角函数、余切三角函数、全等三角形的判定与性质、正多边形 与圆等知识是解题的关键. 35已知：O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 E 在上，连接 BE、DE，点 F 在上连接 BF、DF，BF 与 DE、DA分别交于点 G、点 H，且 DA平分EDF （1）如图 1，求证：C

36、BE=DHG； （2） 如图 2， 在线段 AH 上取一点 N （点 N不与点 A、 点 H 重合） ， 连接 BN交 DE于点 L， 过点 H作 HKBN 交 DE于点 K，过点 E作 EPBN，垂足为点 P，当 BP=HF时，求证：BE=HK； （3） 如图 3， 在 （2） 的条件下， 当 3HF=2DF时， 延长 EP 交O于点 R， 连接 BR， 若BER 的面积与DHK 的面积的差为 ，求线段 BR的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 44 【解析】 （1）如图 1， （2）如图 2，过 H作 HMKD，垂足为点 M， 45 EPBN， BPE=EPL=

37、90 ， LEP+ELP=90 ， BEP=ELP=DKH， HMKD， KMH=BPE=90 ， BEPHKM， BE=HK； （3）解：如图 3，连接 BD， 3HF=2DF，BP=FH， 设 HF=2a，DF=3a， 46 BP=FH=2a， ABF=ADF=ADE，DBF=45 -ABF，BDE=45 -ADE， DBF=BDE， BED=F，BD=BD， BEDDFB， BE=FD=3a， 过 H 作 HSBD，垂足为 S， tanABH=tanADE=， 设 AB=3m，AH=2m， BD=AB=6m，DH=AD-AH= m， sinADB=， HS=m， DS=m， BS=BD-

38、DS=5m， tanBDE=tanDBF=， BDE=BRE，tanBRE=， BP=FH=2a， RP=10a， 47 【关键点拨】此题属于圆综合题，涉及的知识有：正方形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定与性 质，三角形的面积，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键 36如图 1，平行四边形 ABCD 中，ABAC，AB=6，AD=10，点 P 在边 AD上运动，以 P 为圆心，PA为 半径的P 与对角线 AC 交于 A，E 两点 （1）如图 2，当P 与边 CD 相切于点 F时，求 AP的长； （2）不难发现，当P 与边 CD 相切时，P 与平行四边形 ABCD 的边有三个

39、公共点，随着 AP 的变化，P 与平行四边形 ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为 4，直接写出相对应的 AP 的值的取 值范围 48 【答案】 （1）AP=； （2）AP或 AP=5 （2）当P 与 BC相切时，设切点为 G，如图 3， SABCD= 6 8 2=10PG， PG=， 当P 与边 AD、CD分别有两个公共点时，AP，即此时P 与平行四边形 ABCD的边的公共点 的个数为 4， P 过点 A、C、D三点，如图 4，P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数为 4， 此时 AP=5， 综上所述，AP 的值的取值范围是：AP或 AP=5 故答案为：AP或 AP=5 49 【关键点拨】 本题考查了切线的判定、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线、熟练 掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.