2019中考数学压轴题全揭秘精品专题12 几何变换综合题（教师版）

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1、 1 一、单选题一、单选题 1如图，RtABC 中，ACB=90 ，CD平分ACB交 AB 于点 D，按下列步骤作图： 步骤 1：分别以点 C和点 D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点； 步骤 2：作直线 MN，分别交 AC，BC于点 E，F； 步骤 3：连接 DE，DF 若 AC=4，BC=2，则线段 DE 的长为 A B C D 【答案】D 【关键点拨】 本题主要考查了角平分线，垂直平分线，相似三角形的性质，解题的关键是证明 DECB. 2如图，将一个三角形纸片沿过点 的直线折叠，使点 落在边上的点 处，折痕为，则下列结论 一定正确的是（ ） 2 A B C D 【答案】D

2、 3如图，正ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 lAB，且ABC 与ABC关于直线 l 对称，D 为线段 BC 上一动点，则 ADCD的最小值是（ ） A4 B3 C2 D2 【答案】A 【解析】 连接 CC，连接 AC 交l于点 D，连接 AD，此时 AD+CD 的值最小，如图所示 ABC 与ABC为正三角形， ABC=A /=60，A/B/=BC=A/C/， A /C/BC， 四边形 A /BCC/为菱形， 点 C 关于 BC /对称的点是 A/， 3 当点 D 与点 B 重合时，AD+CD 取最小值， 此时 AD+CD=2+2=4. 故选 A. 【关键点拨】本题考查了轴对称中的最短线

3、路问题以及等边三角形的性质，找出点 C 关于 BC /对称的点是 A /是解题的关键. 4如图，将矩形 ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 90 至图位置，继续绕右下角的顶点按顺时 针方向旋转 90 至图位置，以此类推，这样连续旋转 2017 次若 AB=4，AD=3，则顶点 A 在整个旋转过 程中所经过的路径总长为（ ） A2017 B2034 C3024 D3026 【答案】D 5如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D，AF 平分CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为（ ） A B C D 【答案】A 【解析】

4、过点 F作 FGAB于点 G， 4 【关键点拨】 本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性 质等知识，关键是推出CEF=CFE 6如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，AEBD，垂足为 F，则 tanBDE 的值是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】 四边形 ABCD是矩形， AD=BC，ADBC， 点 E是边 BC 的中点， BE= BC= AD， BEFDAF， ， EF= AF， EF= AE， 点 E是边 BC 的中点， 5 由矩形的对称性得：AE=DE， EF= DE，设 EF=x，则 DE=3x， DF=

5、x， tanBDE= . 故选 A 【关键点拨】 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形 相似是解决问题的关键 7如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AB=5，BC=10，连接 AC、BD，以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E若 DE=3，则 AD 的长为（ ） A5 B4 C3 D2 【答案】D 【解析】 如图：连接 BE， 在 RtABC 中，AB5，BC10， AC5， 6 【关键点拨】 考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键 8如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边

6、长是大三角形边长的一半，点 O 是小 三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由位置滚动到位置时，线段 OA 绕 点 O 顺时针转过的角度是（ ） A240 B360 C480 D540 【答案】C 【解析】由题意可得：第一次 AO 顺时针转动了 120 ，第二次 AO顺时针转动了 240 ，第三次 AO 顺时针转 动了 120 ， 故当由位置滚动到位置时， 线段 OA绕点 O 顺时针转过的角度是： 120 +240 +120 =480 故 选 C 9如图，矩形 ABCD 的边长 AD=3，AB=2，E 为 AB 的中点，F 在边 BC 上，且 BF=2FC，AF 分别与 D

7、E、DB 相交 于点 M，N，则 MN 的长为（ ） 7 A B C D 【答案】B OF=FHOH=2 = ， AEFO，AMEFMO， = ，AM= AF=， ADBF，ANDFNB， = ， AN= AF=， MN=ANAM=，故选 B 8 【关键点拨】 构造相似三角形是本题的关键，且求长度问题一般需用到勾股定理来解决，常作垂线 10如图，在正方形 ABCD 中，连接 AC，以点 A为圆心，适当长为半径画弧，交 AB、AC 于点 M，N， 分别以 M，N为圆心，大于 MN 长的一半为半径画弧，两弧交于点 H，连结 AH并延长交 BC 于点 E，再分 别以 A、E为圆心，以大于 AE长的一

8、半为半径画弧，两弧交于点 P，Q，作直线 PQ，分别交 CD，AC，AB 于点 F， G， L， 交 CB的延长线于点 K， 连接 GE， 下列结论： LKB=22.5 ， GEAB， tanCGF=， SCGE：SCAB=1：4其中正确的是（ ） A B C D 【答案】A 故正确； 9 LAO=GAO，AOL=AOG=90 ， ALO=AGO， CGF=AGO，BLK=ALO， CGF=BLK， 在 RtBKL中，tanCGF=tanBLK=， 故正确； 连接 EL， AL=AG=EG，EGAB， 四边形 ALEG 是菱形， AL=EL=EGBL， ， EGAB， CEGCBA， ， 故不

9、正确； 本题正确的是：， 故选 A 10 【关键点拨】 本题考查了基本作图：角平分线和线段的垂直平分线，三角形相似的性质和判定，菱形的性质和判定，三 角函数，正方形的性质，熟练掌握基本作图是关键，在正方形中由于性质比较多，要熟记各个性质并能运 用；是中考常考的选择题的压轴题 11 如图， 等边三角形的边长为 4,点 是的中心，.绕点 旋转,分别交线段 于两点，连接,给出下列四个结论:;四边形的面积始终等于 ;周长的最小值为 6,上述结论中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【答案】C 当 D 与 B重合时，E与 C重合，此时BDE的面积=0，ODE的面积0，两者不相等，故错误； O 为

10、中心，OHBC，BH=HC=2 OBH=30 ，OH=BH=，OBC的面积= OBDOCE，四边形 ODBE的面积=OBC的面积=，故正确； 过 D 作 DIBC于 I设 BD=x，则 BI=，DI= BD=EC，BC=4，BE=4x，IE=BE-BI=在 RtDIE 中，DE= = =， 当x=2时 ， DE的 值 最 小 为2 ， BDE的 周 长 =BD+BE+DE=BE+EC+DE=BC+DE=4+DE，当 DE 最小时，BDE 的周长最小，BDE 的周长的最小值 11 =4+2=6故正确 故选 C 【关键点拨】本题是几何变换-旋转综合题考查了等边三角形的性质以及二次函数的性质解题的关

11、键是 证明OBDOCE 12如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，于点 ，连分别交， 于点 ， ，过点 作交于点 ，则下列结论： ； ； ； ； . 其中正确结论的个数为 （ ） A5 B4 C3 D2 【答案】B CAD是等腰三角形，且顶角CAD=150 ， ADC=15 ，故正确； AEBD，即AED=90 ， 12 DAE=45 ， AFG=ADC+DAE=60 ，FAG=45 ， AGF=75 ， 由AFGAGF知 AFAG，故错误； 记 AH与 CD的交点为 P， 在 RtAPF中，设 PF=x，则 AF=2x、AP=x， 设 EF=a， ADFBAH，来源:Z MN=2) 第一步,

12、在矩形纸片一端.利用图的方法折出一个正方形,然后把纸片展平. 47 第二步，如图.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平. 第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图中所示的 AD处， 第四步,展平纸片,按照所得的点 D折出 DE,使 DEND,则图中就会出现黄金矩形， 问题解决: （1）图中 AB=_(保留根号); （2）如图,判断四边形 BADQ 的形状,并说明理由; （3）请写出图中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由. （4） 结合图.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽. 【答案】 （1）；(2)见解析;(3) 见

13、解析; (4) 见解析. （3）如图中，黄金矩形有矩形 BCDE，矩形 MNDE来源: 48 AD=AN=AC=1，CD=ADAC=1 BC=2，=，矩形 BCDE 是黄金矩形 =，矩形 MNDE是黄金矩形 （4）如图1 中，在矩形 BCDE 上添加线段 GH，使得四边形 GCDH 为正方形，此时四边形 BGHE 为所求是黄金矩形 长 GH=1，宽 HE=3 【关键点拨】本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是 理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目 41如图，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90 ，点 P

14、为射线 BD，CE 的 交点 （1）求证：BD=CE； （2）若 AB=2，AD=1，把ADE 绕点 A旋转，当EAC=90 时，求 PB的长； 【答案】 （1）证明见解析； （2）PB 的长为或 49 （2）解：当点 E 在 AB上时，BE=ABAE=1 EAC=90 ，CE= 同（1）可证ADBAEC，DBA=ECA PEB=AEC，PEBAEC，PB= 当点 E 在 BA 延长线上时，BE=3 EAC=90 ，CE= 同（1）可证ADBAEC，DBA=ECA BEP=CEA，PEBAEC，PB= 综上所述，PB 的长为或 【关键点拨】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角

15、形的性质和判定、相似三角形 的性质和判定，证明得PEBAEC是解题的关键 42如图 1，一副直角三角板满足 AB=BC，AC=DE，ABC=DEF=90 ，EDF=30 操作：将三角板 DEF的直角顶点 E放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF绕点 E 旋转，并使 边 DE与边 AB交于点 P，边 EF与边 BC 于点 Q 探究一：在旋转过程中， 50 （1）如图 2，当时，EP与 EQ满足怎样的数量关系？并给出证明； （2）如图 3，当时，EP与 EQ满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）根据你对（1） 、 （2）的探究结果，试写出当时，EP 与 EQ满足的数量关系式为

16、 ，其中 m 的取值范围是 （直接写出结论，不必证明） 探究二：若且 AC=30cm，连接 PQ，设EPQ的面积为 S（cm2） ，在旋转过程中： （1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由 （2）随着 S取不同的值，对应EPQ的个数有哪些变化，求出相应 S的值或取值范围 【答案】探究一： （1）EP=EQ；证明见解析； （2）1:2，证明见解析； （3）EP：EQ=1：m，0m2+； 探究二： （1）当 x=10时，面积最小，是 50cm2；当 x=10时，面积最大，是 75cm2 （2）50S62.5 时， 这样的三角形有 2个；当 S=50或 62.5

17、S75时，这样的三角形有一个 【解析】 探究一： （1）连接 BE， 根据 E是 AC 的中点和等腰直角三角形的性质，得 BE=CE，PBE=C， 又BEP=CEQ， 则BEPCEQ，得 EP=EQ； 51 （3）过 E 点作 EMAB于点 M，作 ENBC 于点 N， 在四边形 PEQB中，B=PEQ=90 ， EPB+EQB=180 （四边形的内角和是 360 ） ， 又EPB+MPE=180 （平角是 180 ） ， MPE=EQN（等量代换） ， RtMEPRtNEQ， ， 在 RtAMERtENC， ， ， EP 与 EQ 满足的数量关系式为 EP：EQ=1：m， 0m2+； （当

18、m2+时，EF与 BC不会相交） 探究二：若 AC=30cm， （1）设 EQ=x，则 S= x2， 所以当 x=10时，面积最小，是 50cm2； 当 x=10时，面积最大，是 75cm2； （2）当 x=EB=5时，S=62.5cm2， 故当 50S62.5 时，这样的三角形有 2个； 当 S=50 或 62.5S75 时，这样的三角形有一个 【关键点拨】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的 判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性 质进行求解是关键 52 43如图 1在ABC 中，矩形 EFG

19、H的一边 EF在 AB上，顶点 G、H分别在 BC、AC上，CD是边 AB上 的高，CD交 GH 于点 I若 CI4，HI3，AD矩形 DFGI恰好为正方形 （1）求正方形 DFGI 的边长； （2）如图 2，延长 AB至 P使得 ACCP，将矩形 EFGH 沿 BP的方向向右平移，当点 G刚好落在 CP上 时，试判断移动后的矩形与CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？ （3） 如图 3， 连接 DG， 将正方形 DFGI绕点 D顺时针旋转一定的角度得到正方形 DFGI， 正方形 DFGI 分别与线段 DG、DB相交于点 M、N，求MNG的周长 【答案】 （1）2； （2）三角形；

20、（3）4 【解析】 (1)HIAD， ， ， AD6， IDCDCI2，正方形的边长为 2； (2)三角形，理由如下： 如图 2 中，设点 G落在 PC时对应的点为 G，点 F的对应的点为 F 53 (3)如图 3 中，如图将DMI绕点 D逆时针旋转 90 得到DFR，此时 N、F、R 共线 MDNNDF+MDINDF+DFRNDR45 ， DNDN，DMDR， NDMNDR， MNNRNF+RFNF+MI， MNG的周长MN+MG+NGMG+MI+NG+FR2IG4 【关键点拨】 本题考查的是四边形综合题，涉及了矩形的性质、正方形的性质、平行线等分线段定理、全等三角形的判 定和性质等知识，解

21、题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角 形解决问题，属于中考压轴题 44如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，E 是 AD 上的一个动点 （1）如图 1，连接 BD，O 是对角线 BD 的中点，连接 OE当 OE=DE 时，求 AE 的长； （2）如图 2，连接 BE，EC，过点 E 作 EFEC 交 AB 于点 F，连接 CF，与 BE 交于点 G当 BE 平分ABC 时， 求 BG 的长； 54 （3）如图 3，连接 EC，点 H 在 CD 上，将矩形 ABCD 沿直线 EH 折叠，折叠后点 D 落在 EC 上的点 D处，过点 D作 DNAD

22、于点 N，与 EH 交于点 M，且 AE=1 求 的值； 连接 BE，DMH 与CBE 是否相似？请说明理由 【答案】 （1）AE=； （2）BG=； （3） ；相似，理由见解析. 【解析】 （1）如图 1，连接 OA， 在矩形 ABCD 中，CD=AB=3，AD=BC=5，BAD=90 在 RtABD中，根据勾股定理得，BD=， O 是 BD中点， OD=OB=OA=， OAD=ODA， OE=DE， EOD=ODE， EOD=ODE=OAD， ODEADO， ， DO2=DEDA， 设 AE=x， DE=5x， 55 （）2=5（5x） ， x=， 即：AE=； （2）如图 2， FEC=

23、90 ， AEF+CED=90 ， A=90 ， AEF+AFE=90 ， CED=AFE， D=A=90 ， AEFDCE， AF=DE=2， BF=ABAF=1， 过点 G作 GKBC 于 K， EBC=BGK=45 ，来源:Zxxk.Com 56 BK=GK，ABC=GKC=90 ， KCG=BCF， CHGCBF， ， 设 BK=GK=y， CK=5y， y= ， BK=GK= ， 在 RtGKB中，BG=； 设 DH=DH=z， HC=3z， 根据勾股定理得， （3z）2=1+z2， z= ， DH= ，CH= ， DNAD， AND=D=90 ， DNDC， EMNEHD， ， D

24、NDC， 57 EDM=ECH， MED=HEC， EDMECH， ， ， ， ； DM=DH， ADBC， NED=ECB， MDH=ECB， CE=CB=5， DMHCBE 【关键点拨】 此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义， 熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键 45如图 1，以ABCD 的较短边 CD为一边作菱形 CDEF,使点 F落在边 AD上，连接 BE，交 AF于点 G. （1）猜想 BG与 EG的数量关系.并说明理由； 58 （2）延长 DE,BA交于点 H，其他条件不变， 如图 2，若ADC=60 ，求的值； 如图

25、 3，若ADC=（090）,直接写出的值.（用含 的三角函数表示） 【答案】 （1），理由见解析； （2） ； （3）. 【解析】 （1）， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，. 四边形是菱形， ，. ，. . 又，来源:Z+xx+k.Com . . （2）方法 1：过点 作，交于点 ， 59 四边形是平行四边形， . . ， . ， 即. 是等边三角形. . . 方法 2：延长，交于点 ， 60 . 由（1）结论知 . . , . （3）. 如图 3，连接 EC交 DF于 O， 61 =cos 【关键点拨】 本题是四边形综合题，其中涉及到菱形的性质，等边三角形、全等三角形、平行四边形的判定

26、与性质，综 合性较强，难度适中利用数形结合及类比思想是解题的关键 46如图，在矩形 ABCD 中，AB=2cm，ADB=30P，Q 两点分别从 A，B 同时出发，点 P 沿折线 ABBC 运 动，在 AB 上的速度是 2cm/s，在 BC 上的速度是 2cm/s；点 Q 在 BD 上以 2cm/s 的速度向终点 D 运动，过 点 P 作 PNAD，垂足为点 N连接 PQ，以 PQ，PN 为邻边作PQMN设运动的时间为 x（s） ，PQMN 与矩形 ABCD 重叠部分的图形面积为 y（cm 2） （1）当 PQAB 时，x 等于多少； 62 （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取

27、值范围； （3）直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分时，直接写出 x 的值 【答案】 （1） s； （2）y=； （3）当 x= s 或 时，直线 AM 将矩形 ABCD 的面积 分成 1：3 两部分 (2)如图 1 中，当 0x 时，重叠部分是四边形 PQMN y=2xx=2x2 如图中，当 x1 时，重叠部分是四边形 PQEN 63 y= (2x+2x)x=x2+x. 如图 3 中，当 1x2 时，重叠部分是四边形 PNEQ y= (2x+2)x2(x1)=x23x+4； 综上所述，y= （3）如图 4 中，当直线 AM 经过 BC 中点 E 时，满足条件 则有：tan

28、EAB=tanQPB， =， 64 解得 x= 如图 5 中，当直线 AM 经过 CD 的中点 E 时，满足条件 此时 tanDEA=tanQPB， =， 解得 x= ， 综上所述，当 x= 或 时，直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分 故答案为：(1) s；(2)y=；(3)x= 或 【关键点拨】 本题考查四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关 键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题 47如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼 CG 的高，先在 A 处用高 1.5 米的测角仪测得

29、古树 顶端 H 的仰角HDE 为 45，此时教学楼顶端 G 恰好在视线 DH 上，再向前走 7 米到达 B 处，又测得教学楼 顶端 G 的仰角GEF 为 60，点 A、B、C 三点在同一水平线上 （1）计算古树 BH 的高； （2）计算教学楼 CG 的高 （参考数据：14，1.7） 65 【答案】 （1）BH =8.5 米； （2）CG= 18.0 米 （2）作 HJCG于 G则HJG是等腰三角形，四边形 BCJH是矩形，设 HJ=GJ=BC=x 在中， ， ， 米 【关键点拨】 此题重点考察学生对直角三角形的性质，矩形的性质，三角形正切值的综合应用能力，抓住直角三角形的 性质，角与边之间的关

30、系，三角形正切值的计算方法是解题的关键. 48在矩形 ABCD 中，ADAB，点 P 是 CD 边上的任意一点（不含 C，D 两端点） ，过点 P 作 PFBC， 交对角线 BD 于点 F 66 （1）如图 1，将PDF沿对角线 BD翻折得到QDF，QF交 AD 于点 E求证：DEF是等腰三角形； （2）如图 2，将PDF绕点 D 逆时针方向旋转得到PDF，连接 PC，FB设旋转角为 （0 180 ） 若 0 BDC，即 DF在BDC 的内部时，求证：DPCDFB 如图 3，若点 P 是 CD的中点，DFB 能否为直角三角形？如果能，试求出此时 tanDBF的值，如果不 能，请说明理由 【答案

31、】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； 或 . 当FDB=90时，如图所示， 67 DF=DF= BD， ， tanDBF=； 当DBF=90，此时 DF是斜边，即 DFDB，不符合题意； 当DFB=90时，如图所示， DF=DF= BD， DBF=30， tanDBF=. 【关键点拨】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的 性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论 是解题的关键. 49如图，在矩形 ABCO 中，AO=3，tanACB= ，以 O 为坐标原点，OC 为 轴，OA 为 轴建立平面直

32、角坐标 系.设 D，E 分别是线段 AC，OC 上的动点，它们同时出发，点 D 以每秒 3 个单位的速度从点 A 向点 C 运动， 点 E 以每秒 1 个单位的速度从点 C 向点 O 运动，设运动时间为 秒. （1）求直线 AC 的解析式； （2）用含 的代数式表示点 D 的坐标； （3）当 为何值时，ODE 为直角三角形？ （4）在什么条件下，以 RtODE 的三个顶点能确定一条对称轴平行于 轴的抛物线？并请选择一种情况， 68 求出所确定抛物线的解析式. 【答案】 （1）； （2）D（，） ； （3），； （4） （2）分别作 DFAO，DHCO，垂足分别为 F，H， 则有ADFDCHAC

33、O， AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC， 而 AD=（其中 0 ） ，OC=AB=4，AC=5，FD= AD=，AF= AD=， DH=，HC=， D（，） ； 69 上述三个方程在 0 内的所有实数解为 ，； （4）当 DOOE，及 DEOE时，即和时，以 RtODE 的三个顶点不确定对称轴平行于 轴的 抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于 轴的抛物线 D（，） ，E（4- ，0） ， 当时，D（， ） ，E（3，0） ，因为抛物线过 O（0，0） ， 所以设所求抛物线为，将点 D，E 坐标代入，求得， 所求抛物线为. （当时，所求抛物线为）. 【关键点拨】

34、本题考查的是代数几何综合应用，涉及了待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理、二次函数等知识， 综合性较强， ，有一定的难度，熟练掌握相关知识并运用分类讨论思想进行解题的关键. 50已知 RtOAB，OAB=90 ，ABO=30 ，斜边 OB=4，将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 60 ，如题图 1， 连接 BC （1）填空：OBC= ； （2）如图 1，连接 AC，作 OPAC，垂足为 P，求 OP 的长度； （3）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在OCB边上运动，M 沿 OCB路径匀速运动，N沿 OBC 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位

35、/秒，点 N 的运动速度为 1 单位/ 秒，设运动时间为 x 秒，OMN 的面积为 y，求当 x为何值时 y取得最大值？最大值为多少？ 70 【答案】 （1）60； （2）； （3）. AC=2， OP=； （3）当 0x 时，M在 OC 上运动，N在 OB 上运动，此时过点 N作 NEOC且交 OC于点 E，如图， 则 NE=ONsin60=x， SOMN= OMNE= 1.5xx， 71 y=x2， x= 时，y有最大值，最大值=； 当 x4时，M在 BC上运动，N在 OB上运动， 如图，作 MHOB于 H则 BM=81.5x，MH=BMsin60=（81.5x） ， y= ON MH=x

36、2+2x， 当 x= 时，y取最大值，y； 当 4x4.8时，M、N都在 BC 上运动，作 OGBC 于 G，如图， MN=122.5x，OG=AB=2， y= MNOG=12x， 当 x=4时，y有最大值，最大值=2， 综上所述，y有最大值，最大值为 【关键点拨】本题考查了旋转变换综合题，涉及到二次函数的最值，30 度的直角三角形的性质、等边三角 形的判定和性质、三角形的面积等知识，仔细分析，正确添加辅助线，分类讨论的思想思考问题是解题的 关键. 51如图，ABC中，AB=BC，BDAC于点 D，FAC= ABC，且FAC在 AC下方点 P，Q分别是 射线 BD，射线 AF上的动点，且点 P

37、 不与点 B重合，点 Q 不与点 A重合，连接 CQ，过点 P 作 PECQ于 72 点 E，连接 DE （1）若ABC=60 ，BP=AQ 如图 1，当点 P 在线段 BD上运动时，请直接写出线段 DE 和线段 AQ的数量关系和位置关系； 如图 2，当点 P 运动到线段 BD的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由； （2）若ABC=260，请直接写出当线段 BP 和线段 AQ 满足什么数量关系时，能使（1）中的结论仍 然成立（用含 的三角函数表示） 【答案】 （1）DE= AQ，DEAQ，理由见解析； EAQ，DE= AQ，理由见解析； （2）AQ=2BPsin， 理由见解析. C

38、BP=CAQ， 在BPC和AQC中， BPCAQC（SAS） ， PC=QC，BPC=ACQ， 73 PCQ=PCA+AQC=PCA+BCP=ACB=60 ， PCQ是等边三角形， PECQ， CE=QE， AD=CD， DE= AQ，DEAQ； DEAQ，DE= AQ， 理由：如图 2，连接 PQ，PC， 同的方法得出 DEAQ，DE= AQ； （2）AQ=2BPsin， 理由：连接 PQ，PC， 要使 DE= AQ，DEAQ， AD=CD， CE=QE， PECQ， PQ=PC， 易知，PA=PC， PA=PE=PC 以点 P 为圆心，PA为半径的圆必过 A，Q，C， APQ=2ACQ，

39、PA=PQ， 74 【关键点拨】 本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性 质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出BCP=ACQ 是解本题的关键 52如图，在平面直角坐标系中，点 F的坐标为（0，10） 点 E 的坐标为（20，0） ，直线 l1经过点 F和点 E， 直线 l1与直线 l2 、y= x 相交于点 P （1）求直线 l1的表达式和点 P 的坐标； （2）矩形 ABCD的边 AB在 y轴的正半轴上，点 A与点 F重合，点 B在线段 OF上，边 AD平行于 x 轴， 且 AB=6， AD=9， 将矩形 ABCD 沿射线 F

40、E 的方向平移， 边 AD 始终与 x 轴平行 已知矩形 ABCD以每秒 个单位的速度匀速移动（点 A 移动到点 E 时止移动） ，设移动时间为 t秒（t0） 矩形 ABCD 在移动过程中，B、C、D 三点中有且只有一个顶点落在直线 l1或 l2上，请直接写出此时 t的 75 值； 若矩形 ABCD在移动的过程中， 直线 CD交直线 l1于点 N， 交直线 l2于点 M 当PMN 的面积等于 18 时， 请直接写出此时 t的值 【答案】 （1）直线 l1的表达式为 y= x+10，点 P 坐标为（8，6） ； （2）t值为或 ；当 t=时， PMN 的面积等于 18. 【解析】 （1）设直线

41、l1的表达式为 y=kx+b， 直线 l1过点 F（0，10） ，E（20，0） ， ，解得：， 直线 l1的表达式为 y= x+10， 解方程组得， 点 P 坐标为（8，6） ； （2）如图，当点 D在直线上 l2时， 76 77 如图， 设直线 AB交 l2 于点 H， 设点 A横坐标为 a，则点 D横坐标为 a+9， 由中方法可知：MN=， 此时点 P 到 MN距离为：a+98=a+1， PMN 的面积等于 18， =18， 解得 a1=-1，a2=-1（舍去） ， AF=6， 78 则此时 t为， 当 t=时，PMN的面积等于 18. 【关键点拨】本题是代数几何综合题，涉及到待定系数法

42、、两直线的交点坐标、勾股定理、三角形的面积 等，综合性较强，熟练掌握相关知识、运用分类讨论思想以及数形结合思想是解题的关键. 53如图，在ABC中，AB=7.5，AC=9，SABC=动点 P 从 A点出发，沿 AB方向以每秒 5个单位长度 的速度向 B 点匀速运动，动点 Q 从 C点同时出发，以相同的速度沿 CA方向向 A点匀速运动，当点 P运动 到 B 点时，P、Q两点同时停止运动，以 PQ为边作正PQM（P、Q、M按逆时针排序） ，以 QC 为边在 AC 上方作正QCN，设点 P运动时间为 t秒 （1）求 cosA的值； （2）当PQM与QCN的面积满足 SPQM= SQCN时，求 t的值

43、； （3）当 t为何值时，PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在QCN 的边上 【答案】 （1）coaA= ； （2）当 t= 时，满足 SPQM= SQCN； （3）当 t=s 或s 时，PQM 的 某个顶点（Q点除外）落在QCN 的边上 【解析】 （1）如图 1中，作 BEAC于 E SABC= ACBE=， BE= ， 79 在 RtABE中，AE=， coaA= （2）如图 2中，作 PHAC于 H （3）如图 3 中，当点 M 落在 QN 上时，作 PHAC于 H 易知：PMAC， MPQ=PQH=60 ， PH=HQ， 3t=（9-9t） ， 80 t= 如图 4中，当点 M在 CQ

44、上时，作 PHAC于 H 同法可得 PH=QH， 3t=（9t-9） ， t=， 综上所述，当 t=s 或s 时，PQM的某个顶点（Q点除外）落在QCN 的边上 【关键点拨】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型 54如图 1，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，以点 E 直角顶点的直角三角形 EFG 的两边 EF，EG 分别过点 B， C，F30. （1）求证：BECE （2）将EFG 绕点 E 按顺时针方向旋转，当旋转到 EF 与 AD 重合时停止转动.若

45、 EF，EG 分别与 AB，BC 相交 于点 M，N.（如图 2） 求证：BEMCEN； 若 AB2，求BMN 面积的最大值； 当旋转停止时，点 B 恰好在 FG 上（如图 3） ，求 sinEBG 的值. 81 【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析；2；. 【解析】 （1）如图 1中， （2）解：如图 2 中， 82 BEMCEN， BM=CN，设 BM=CN=x，则 BN=4-x， SBMN= x（4-x）=- （x-2）2+2， - 0， x=2时，BMN 的面积最大，最大值为 2 解：如图 3中，作 EHBG 于 H设 NG=m，则 BG=2m，BN=EN=m，EB=m EG=m+m=（1+）m， S BEG = EGBN= BGEH， EH=m， 在 RtEBH中，sinEBH= 【关键点拨】 本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变 换、锐角三角函数等知识，解题的关键