2019中考数学压轴题全揭秘精品专题08 函数综合问题（教师版）

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1、 1 一、单选题一、单选题 1二次函数的图象如图所示，下列结论：； ；，其中正确结论的是 来源:Zxxk.Com A B C D 【答案】C ， 2 ，故错误， x1时，y 取得最大值 ab+c， ax2+bx+cab+c， x（ax+b）ab，故正确 故选：C 【关键点拨】 本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题， 属于中考常考题型 2 反比例函数 y （a0， a 为常数） 和 y 在第一象限内的图象如图所示， 点 M 在 y 的图象上， MCx 轴于点 C，交 y 的图象于点 A；MDy轴于点 D，交 y 的图象于点 B，当点 M在

2、y 的图象上运动 时，以下结论：SODBSOCA；四边形 OAMB的面积不变；当点 A是 MC的中点时，则点 B是 MD 的中点其中正确结论是（ ） A B C D 【答案】D 则OAM和OAC 的面积相等， 3 ODM的面积=OCM的面积= ，ODB 与OCA的面积相等， OBM与OAM的面积相等， OBD和OBM 面积相等， 点 B一定是 MD的中点正确； 故选：D 【关键点拨】 本题考查了反比例函数y= （k0）中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、y轴垂线，所得矩形 面积为|k|， 是经常考查的一个知识点； 这里体现了数形结合的思想， 做此类题一定要正确理解 k的几何意义

3、 3抛物线 yax2+bx+1的顶点为 D，与 x 轴正半轴交于 A、B 两点，A在 B左，与 y轴正半轴交于点 C，当 ABD 和OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时，b 的值为（ ） A2 B2 或4 C2 D4 【答案】D 点 C的坐标为（0，1） ， OC1， OBC为等腰直角三角形， OCOB， OB1， 抛物线 yax2+bx+1与 x轴的一个交点为（1，0） ， a+b+10，得 a1b， 设抛物线 yax2+bx+1与 x轴的另一个交点 A 为（x1，0） ， 4 x11 ， ABD为等腰直角三角形， 点 D的纵坐标的绝对值是 AB的一半， ， ， 【关键点拨】 本题考查

4、抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本 题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答 4如图，一次函数 y=ax+b 与 x轴、y轴交于 A、B两点，与反比例函数 y= 相交于 C、D两点，分别过 C、 D 两点作 y轴、x 轴的垂线，垂足为 E、F，连接 CF、DE、EF 有下列三个结论：CEF与DEF的面 积相等；DCECDF；AC=BD其中正确的结论个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】C 5 【关键点拨】 本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，全等三角形的判定，相似三角形的判定等知识点的 运用，关键是检

5、查学生综合运用定理进行推理的能力，题目具有一定的代表性，有一定的难度，是一道比 较容易出错的题目 5两个反比例函数 y 和 y 在第一象限内的图象如图所示，点 P 在 y 的图象上，PCx 轴于点 C， 交 y 的图象于点 A，PDy轴于点 D，交 y 的图象于点 B，当点 P 在 y 的图象上运动时，以下结论： ODB 与OCA的面积相等；四边形 PAOB 的面积不会发生变化；PA与 PB始终相等；当点 A是 PC的中点时，点 B 一定是 PD 的中点其中一定正确的是( ) A B C D 【答案】C 6 6如图，正方形的边长为，点 ，点 同时从点 出发，速度均 2cm/s，点 沿向点 运动

6、， 点 沿向点 运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（ ） A B C D 【答案】C 1t2，P 在边 CD上，Q在边 BC 上，如图，DP=2(t-1)=2t-2，BQ=2(t-1)=2t-2，QC=PC=4-2t，S=S正 7 方形ABCDS ABQ S ADP SCPQ=2 2 2 （2t2） 2 （2t2） （42t） 2=2t2+4t= ， 所以 D错误 故选 C 【关键点拨】 本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，二次函数的图象与性质，能够对 t的取值正确分类并且分 别求出 S与 t之间的函数关系式是解题的关键 7如图，正方形和正方形的顶点 在 轴上，顶点 ，

7、在 轴上，点 在边上，反比例函数 的图象经过点 、 和边的中点 若，则正方形的面积为（ ） A B C D 【答案】B 8 M点为 EF 的中点，M 点的坐标为（） 点 M 在反比例函数 y的图象上，2，整理得：3a2+2a80，解得：a1，a22（舍 去） ，正方形 DEFG的面积2 ENDF2 故选 B 【关键点拨】 本题是反比例函数综合题熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；理解坐标与图形性 质，记住线段中点的坐标公式；会解一元二次方程 8如图，一次函数 yxb 与反比例函数 y (x0)的图象交于 A，B 两点，与 x 轴、y轴分别交于 C， D 两点，连接 OA，OB，

8、过 A 作 AEx 轴于点 E，交 OB 于点 F，设点 A 的横坐标为 m. 若 SOAFS 四边形 EFBC4，则 m 的值是( ) A1 B C D 【答案】C 9 EF= AM= NB， EF是OBN的中位线， N（2m，0） ， 点 B坐标（2m， ）代入直线 y=-x+m+ ， =-2m+m+ ，整理得到 m2=2， m0， m= 故答案为 【关键点拨】 本题考查反比例函数与一次函数图象的交点、对称等知识，解题的关键是利用对称性得到很多相等的线段， 学会设参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题 9如图，反比例函数 y= （x0）的图象经过点 A（2，2） ，过点 A 作 ABy 轴

9、，垂足为 B，在 y 轴的正 半轴上取一点 P（0，t） ，过点 P 作直线 OA 的垂线 l，以直线 l 为对称轴，点 B 经轴对称变换得到的点 B 在此反比例函数的图象上，则 t 的值是（ ） 10 A B C D 【答案】D 【解析】 如图，点 A 坐标为（2，2） ， k=2 2=4， BPy轴， 点 B的坐标为（ ，t） ， PB=PB，来源: t2=| |= ， 整理得 t22t4=0，解得 t1=1+，t2=1（不符合题意，舍去） ， t的值为 1+， 故选 D 11 【关键点拨】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质；解决问题的关键是 会用

10、求根公式法解一元二次方程 10如图，抛物线交 轴与点和，交 轴于点 ，抛物线的顶点为 ，下列四 个命题： 当时，； 若，则； 抛物线上有两点和，若，且，则； 点 关于抛物线对称轴的对称点为 ，点 ， 分别在 轴和 轴上，当时，四边形周长的最小值 为 其中真命题的序号是（ ） A B C D 【答案】C 12 如图，作 D 关于 y轴的对称点 D，E 关于 x 轴的对称点 E， 连接 DE，DE与 DE 的和即为四边形 EDFG周长的最小值 当 m=2 时，二次函数为 y=-x2+2x+3，顶点纵坐标为 y=-1+2+3=4，D为（1，4） ，则 D为（-1，4） ；C 点坐 标为 C（0，3）

11、 ；则 E 为（2，3） ，E为（2，-3） ； 则 DE=;DE=, 四边形 EDFG 周长的最小值为+，故本选项错误 故选：C 【关键点拨】 考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对 称-最短路径问题等. 二、填空题二、填空题 11将抛物线绕顶点旋转 180 ，再沿对称轴平移，得到一条与直线交于点（2， ） 的新抛物线，新抛物线的解析式为_ 【答案】 13 【关键点拨】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据题意得出抛物线 y=3x2-6x+5 绕顶点旋转 180后所得抛物 线的解析式是解答此题的关键 12如图，在第一象限内作射线，与

12、 轴的夹角为，在射线上取点 ，过点 作轴于点 在 抛物线上取点 ， 在 轴上取点 ， 使得以 ， ， 为顶点， 且以点 为直角顶点的三角形与 全等，则符合条件的点 的坐标是_ 【答案】， 14 当POx=30时， kOP=tan30 =， 所以， 直线 OP： y=x， 联立抛物线的解析式，,解得： 或 即 P. 【关键点拨】 本题考查了三角形的全等与二次函数的应用,此题的难度并不大，抓住两个关键条件：点 Q为直角顶点， 以 P、O、Q为顶点的三角形与AOH 全等是解题关键. 13如图，点 A是反比例函数 y= （x0）的图象上一点，OA与反比例函数 y= （x0）的图象交于点 C，点 B 在

13、 y轴的正半轴上，且 AB=OA，若ABC的面积为 6，则 k的值为_ 【答案】9 15 SAHO=SAOE=k， AB=AO， BH=OH， SABH=SAOH=k， SAOB=k， 点 C反比例函数 y=（x0）的图象上， SCOD=， CDAE， 16 【关键点拨】 本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助 线是解题关键 14如图，抛物线 y=-x 2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点，点 P 为第一 象限抛物线上一点，且DAP=45，则点 P 的坐标为_ 【答案】 （ ，） 【解

14、析】 如图所示：构造AKDDNM，连接 AM 17 设直线 AM的解析式 y=kx+b将点 A、点 M的解析式代入得： ， 解得： 直线 AM的解析式为 y= x+ 将 y= x+ 与 y=-x2+2x+3联立 解得：x= ，y=或 x=-1，y=0（舍去） 点 P 的坐标为（ ，） 【关键点拨】 本题主要考查的是二次函数的综合应用， 一次函数的图象和性质、 解二元二次方程组， 构造AKDDNM 是解题的关键 15如图抛物线 y=x2+2x3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线对称轴上任意一点，若 点 D、E、F 分别是 BC、BP、PC 的中点，连接 DE，

15、DF，则 DE+DF 的最小值为_ 18 【答案】 【解析】 连接 AC,与对称轴交于点 P, 点 P 是抛物线对称轴上任意一点， 则 PA=PB, 19 PA+PC=AC, PB+PC= DE+DF的最小值为： 故答案为： 【关键点拨】 考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点 P 的位置是解题的关键. 16以矩形 ABCD 两条对角线的交点 O 为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直 角坐标系，BEAC，垂足为 E若双曲线 y=（x0）经过点 D，则 OBBE 的值为_ 【答案】3 【解析】 如图， 双曲线 y=（x0）经过点 D， S

16、ODF= k= ， 则 SAOB=2SODF= ，即 OABE= ， OABE=3， 四边形 ABCD是矩形， OA=OB， 20 OBBE=3， 故答案为：3 【关键点拨】 本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数 k 的几何意义及矩形 的性质 17如图， 过抛物线上一点 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 B，交 y轴于点 C，已知点 A的横坐标 为1，在 AB 上任取一点 P，连结 OP，作点 C关于直线 OP 的对称点 D，连结 BD，则线段 BD的最小值 为_. 【答案】2 A、B 关于对称轴对称， B（4，3） ， 如图 1 中， 21 【关

17、键点拨】 本题考查抛物线中最短路径问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅 助圆解决最短问题，属于中考常考题型 18如图，直线 y=-x+b与双曲线分别相交于点 A，B，C，D，已知点 A的坐标为 （-1，4） ，且 AB：CD=5：2，则 m=_ 【答案】 22 【关键点拨】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对 称的性质解决问题，属于中考常考题型 19如图，已知AOD是等腰三角形，点 A（12，0） ，O为坐标原点，P 是线段 OA上任意一点（不含端点 O，A） ，过 P，O两点的二次函数 y1，和过 P、

18、A两点的二次函数 y2，的开口均向下，它们的顶点分别为 B， C，点 B，C 分别在 OD、AD上当 OD=AD=10时，则两个二次函数的最大值之和等于_ 【答案】8 23 由勾股定理得：DE=8 设 P（2x，0） ，根据二次函数的对称性得出 OF=PF=x， BFDECM， OBFODE，ACMADE， ， AM=PM= （OA-OP）= （12-2x）=6-x，来源:Z.xx.k.Com 即， 解得：BF= x，CM=8- x， BF+CM=8 故答案为：8 【关键点拨】 此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目 比较好，但是有一定的难

19、度，属于综合性试题 20卤肉店老板小王准备到批发市场购买牦牛肉和黄牛肉，总共不超过 120 千克，其中黄牛肉至少购买 30 千克，牦牛肉不少于黄牛肉质量的 2 倍，已知牦牛肉和黄牛肉单价之和为每千克 44 元，但小王在做预算时 24 将这两种牛肉的价格记反了，结果实际购买两种牛肉的总价比预算多了 224 元，若牦牛肉和黄牛肉的单价 和数量均为整数，则小王实际购买这两种牛肉最多需花费_ 元 【答案】2752 【关键点拨】 本题考查一元一次不等式、一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问 题，学会利用一次函数的性质解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题 三、解答题三、解

20、答题 21如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别与 x轴交于 A，B两点，与 y轴交于 C点， 直线 EF垂直平分线段 BC，分别交 BC 于点 E，y轴于点 F，交 x轴于 D 判定的形状； 在线段 BC下方的抛物线上有一点 P，当面积最大时，求点 P 的坐标及面积的最大值； 如图，过点 E 作轴于点 H，将绕点 E 逆时针旋转一个角度，的两 边分别交线段 BO，CO 于点 T，点 K，当为等腰三角形时，求此时 KT 的值 25 【答案】 ABC为直角三角形； 当时，面积最大，最大面积为， 此时； 当是等腰三角形时，KT的值为 或 【解析】 为直角三角形，理由如下： 点 A 的坐标为，点 B的

21、坐标为 ， ， 为直角三角形 26 ， 是直线 BC下方抛物线上的点， ， 当时，面积最大，最大面积为，此时； 如下图中， 27 如图，当时，作于 N，于 Q，则四边形 OQEH 是矩形， 28 ， ， 在中，易知， ， ， ， ， 综上所述，当是等腰三角形时，KT的值为 或 【关键点拨】 本题考查二次函数综合题、涉及矩形的判定、直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股 定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考 问题，综合程度较高，属于中考压轴题 22小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数 ya1x 2b 1xc1

22、（a10，a1，b1，c1是常数）与 ya2x 2b 2xc2 （a20，a2，b2，c2是常数）满足 a1a20，b1b2，c1c20，则称这两个函数互为“旋转函数”求 y 2x 25x3 函数的“旋转函数” 小明是这样思考的：由 y2x 25x3 函数可知，a 12，b15，c13，根据 a1a20，b1b2，c1 29 c20，求出 a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数” 请参考小明的方法解决下面的问题： （1）写出函数 y2x 25x3 的“旋转函数”； （2）若函数 y1x 2 xn 与 y2x 2mx2 互为“旋转函数”，求（mn）2019的值； （3）已知函数 y (x2

23、)(x3)的图像与 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A、B、C 关于原点的对 称点分别是 A1、B1、C1，试证明经过点 A1、B1、C1的二次函数与函数 y (x2)(x3)互为“旋转函数” 【答案】 （1） y2x 25x3 ;(2)1;(3)见解析. （mn） 2019（32）2019 1 【关键点拨】 30 此题重点考察学生对二次函数的实际应用能力，掌握旋转函数的规律是解题的关键. 23如图，直线 yx+c 与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y轴交于点 C，抛物线 yx2+bx+c经过点 A，C （1）求抛物线的解析式； （2）已知点 P是抛物线上的一个动点，并且点

24、 P在第二象限内，过动点 P作PEx 轴于点 E，交线段 AC 于点 D 如图 1，过 D作 DFy轴于点 F，交抛物线于 M，N 两点（点 M 位于点 N的左侧） ，连接 EF，当线段 EF 的长度最短时，求点 P，M，N 的坐标； 如图 2，连接 CD，若以 C，P，D为顶点的三角形与ADE 相似，求CPD 的面积 【答案】（1） yx23x+4；（2） 点 P 坐标为 （2， 6） ， 点 M、 N 的坐标分别为 （， 2） 、（， 2） ；CPD 的面积为 或 4 （2）四边形 DEOF为矩形，故：EFOD， 当 OD垂直于 AC时，OD最小（即 EF最小） ， 31 OAOC， 点

25、D为 AC 的中点，其坐标为（2，2） ， 故点 P 坐标为（2，6） ， 把点 D纵坐标代入二次函数表达式得：x23x+42， 解得：x， 故点 M、N的坐标分别为（，2） 、 （，2） ； 当ADECDP 时，则CPD90 ，PCPD， 则 PCx 轴，则点 P 的纵坐标为 4，则点 P 坐标为（3，4） ， 点 D 在直线 AC：yx+4上，则点 D坐标为（3，1） ， 则 PD413PC， 则 SCPD PCPD ； 当ADEPDC时， 同理可得：SCPD PDCH4， 故：CPD的面积为 或 4 【关键点拨】 本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到三角形相似、矩形基本性质等知识点

26、，其中（2） ，利用矩 形性质 ODEF，确定 EF最小值，是本题的难点 24已知抛物线 y=a(x1)(x3)(a0)的顶点为 A，与 y轴交于点 C，过 C作 CBx轴交抛物线于点 B，过 点 B 作直线 lx轴，连结 OA 并延长，交 l于点 D，连结 OB (1)当 a=2 时，求线段 OB的长 (2)是否存在特定的 a 值，使得OBD 为等腰三角形？若存在，请写出计算过程并求出 a 的值；若不存在， 请说明理由 (3)设OBD 的外心 M的坐标为(m，n)，求 m与 n的数量关系式 32 【答案】 （1）2 （2）a=1 或- （3）m=3n2+2 点 B(4，6)， BC=4，OC

27、=6， OB =2 ； (2)在 ya(x1)(x3)中，令 x0，得 y3a， C(0，3a)，B(4，3a)， 点 A是抛物线的顶点， A(2，a)， 过 A 作 AEx轴于点 E，AE 延长线与 CB 交于点 F， 将 BD与 x 轴的交点记为点 G， 则 E 为 OG的中点， AEBD， DG=2AE=2a， BD=DG+BG=5a， 当OBD 为等腰三角形时，分类讨论： 33 (3)BD=DG+BG=5a， 34 【关键点拨】 本题考查二次函数的综合题，求函数的解析式，勾股定理，三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质， 正确的理解题意是解题关键 25如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水

28、面安装了一个柱形喷水装置 OA，O恰好在水面中心，安置在柱 子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA的任一平面上， 按如图所示建立直角坐标系， 水流喷出的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的关系式可以用 yx2+bx+c表示， 且抛物线经过点 B( ，2)，C(2， )请根据以上信息，解答下列问题； (1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置 OA的高度； (2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？ (3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 【答案】(1)yx2+2x+ ，喷水装置 OA 的高度是 米；(2

29、)喷出的水流距水面的最大高度是 米；(3)水池的 半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流不至于落在池外 35 (2)yx2+2x+ (x1)2+ ， 当 x1时，y取得最大值，此时 y ， 答：喷出的水流距水面的最大高度是 米； (3)令x2+2x+ 0， 解得，x10.5，x22.5， 答：水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流不至于落在池外 【关键点拨】 本题主要考察二次函数的实际应用问题，正确理解题意是解题的关键. 26如图，抛物线 yx2mx（m+1）与 x 轴负半轴交于点 A（x1，0） ，与 x 轴正半轴交于点 B（x2，0） （OA OB） ，与 y 轴交于点 C，且满

30、足 x12+x22x1x213 （1）求抛物线的解析式； （2）以点B 为直角顶点，BC 为直角边作 RtBCD，CD 交抛物线于第四象限的点 E，若 ECED，求点 E 的坐标； （3）在抛物线上是否存在点 Q，使得 S ACQ 2S AOC ？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，说明理由 【答案】 （1）yx22x3； （2）E点坐标为（，） ； （3）点 Q的坐标为（3，12）或（2， 3） 理由见解析. 36 （2）连接 BE、OE 37 设 E 点坐标为（m，m） ，将 E（m，m）代入 yx22x3， 得 mm22m3，解得 m， 点 E在第四象限， E点坐标为（，） ； （3）过

31、点 Q作 AC 的平行线交 x 轴于点 F，连接 CF，则 S ACQ S ACF S ACQ 2S AOC ， S ACF 2S AOC ， AF2OA2， F（1，0） A（1，0） ，C（0，3） ， 直线 AC的解析式为 y3x3 ACFQ， 【关键点拨】 本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的 性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变 38 换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中利用数形结合 与方程思想是解题的关键 27已知一次函数 yk1

32、x+b 与反比例函数 y的图象交于第一象限内的 P（ ，8） ，Q（4，m）两点，与 x 轴交于 A点 （1）写出点 P 关于原点的对称点 P的坐标； （2）分别求出这两个函数的表达式； （3）求PAO的正切值 【答案】 （1） （ ，8） ； （2）y2x+9； （3） 39 40 【关键点拨】 本题主要考查了反比例函数综合题型，需要掌握反比例函数与一次函数的交点问题，中心对称以及解直角 三角形，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式 28如图，已知二次函数和二次函数图象的顶点分 别为 M、N ，与 x 轴分别相交于 A、B 两点（点 A在点 B的左边）和 C、D两点（点 C在点 D的左

33、边） ， (1)函数的顶点坐标为 ；当二次函数 L1 ，L2 的 值同时随着 的增大 而增大时， 的取值范围是 ； (2)当 AD=MN时，求 的值，并判断四边形 AMDN的形状（直接写出，不必证明） ； (3)当 B，C 是线段 AD的三等分点时，求 a 的值. 【答案】 （1）顶点坐标为 M（-1，-2） ，； （2）四边形 AMDN是矩形，理由见解析； （3） 41 （2）如图 1，=5， 当 y=0时，即，解得， 当 y=0时，即， AD=（）-（）=， 当 AD=MN时，即=5，解得 a=2 . 当 a=2时， =-2，=3， AN=,DM=, AN=DM, AM=,DN=, AM=

34、DN, 四边形 AMDN 是平行四边形， AD=3-(-2)=5,MN=5, AD=MN, 四边形 AMDN 是矩形 ; 42 （3）当 B，C 是线段 AD 的三等分点时，存在以下两种情况： 来源:ZXXK 点 C在点 B的左边，如图 2，BC=（）-（）=，AC=BD=3 ， 即 =3，解得 ; 【关键点拨】 本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，二次函数的图像与性质，两点间的距离公式，矩形的判定， 数形结合及分类讨论的数学思想.掌握一般式化顶点式的方法是解（1）的关键；灵活运用两点间的距离公式 是解（2）的关键；分两种情况求解是解（3）的关键. 29数学问题：如何计算平面直角坐标系中任

35、意两点之间的距离？ 43 探究问题： 为解决上面的问题，我们从最简单的问题进行研究 探究一：在图 1中，已知线段 AB，A（2，0） ，B（0，3） ，写出线段 AO 的长，BO的长，所以线段 AB 的 长为多少；把 RtAOB 向右平移 3个单位，再向上平移 2 个单位，得到 RtCDE，写出 RtCDE的顶点坐 标 C，D，E，此时线段 CD的长为多少，DE 的长为多少，所以线段 CE的长为多少 探究二：在图 2中，已知线段 AB 的端点坐标为 A（a，b） ，B（c，d） ，求出图中 AB的长（用含 a，b，c，d 的代数式表示，不必证明） 归纳总结：无论线段 AB 处于直角坐标系中的哪

36、个位置，当其端点坐标为 A（x1，y1） ，B（x2，y2）时线段 AB 的长为多少（用含 x1，y1，x2，y2的代数式表示，不必证明） 拓展与应用： 运用在图 3 中，一次函数 y=x+3 与反比例函数 y= 的图象交点为 A、B，交点的坐标分别是 A（1，2） ，B （2，1） 求线段 AB 的长； 若点 P 是 x 轴上动点，求 PA+PB 的最小值 【答案】探究一：AO2，BO3，AB；RtCDE 的顶点坐标分别为 C（1，2） ，D（3，2） ，E（3，5） ， CD2，DE3，CE；探究二： AB；归纳总结：AB；拓展 与应用：AB，PA+PB 的最小值是 44 探究二：在图 2

37、 中，过 B作 BCy 轴，过 A作 ACx轴，交于 C A（a，b） ，B（c，d） ，AC=ca，BC=db，由勾股定理得：AB 故答案为：AB=； 归纳总结： A（x1，y1） ，B（x2，y2） 同理得：AB 故答案为：； 拓展与应用： A（1，2） ，B（2，1） ，AB； 作点 A关于 x 轴的对称点 A，连接 AB 交 x 轴于点 P，此时 PA+PB的值最小 A（1，2） ，A（1，2） ，PA+PB=AB，即 PA+PB的最小值是 【关键点拨】 本题是反比例函数综合题目，考查了两点之间的距离公式、勾股定理和最短路径问题，本题难度适中，本 45 题两点距离公式的得出需要通过作辅

38、助线构建直角三角形完成 30如图，一次函数 ykx+b与反比例函数 y 的图象交于 A（1，4） ，B（4，n）两点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出当 x0时，kx+b 的解集 （3）点 P 是 x轴上的一动点，试确定点 P并求出它的坐标，使 PA+PB最小 【答案】 （1）y ，y=x+5； （2）0x1 或x4； （3）点P的坐标为（，0） 【解析】 （2）根据图象得当 0x1 或 x4，一次函数 yx+5 的图象在反比例函数 y 的下方； 46 当 x0时，kx+b 的解集为 0x1或 x4； （3）如图，作 B关于 x 轴的对称点 B，连接 AB，交 x轴于 P

39、，此时 PA+PBAB最小， B（4，1） ， B（4，1） ， 设直线 AB的解析式为 ypx+q， ， 解得， 直线 AB的解析式为 y x+， 令 y0，得 x+0， 解得 x， 点 P的坐标为（，0） 【关键点拨】 本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，轴对称的性质，最小距离问题，这里体现 了数形结合的思想，正确的理解距离和最小问题是解题的关键 31如图，以 x=1 为对称轴的抛物线 y=ax2+bx+c的图象与 x轴交于点 A，点 B（1，0） ，与 y轴交于点 C （0，4） ，作直线 AC （1）求抛物线解析式； （2）点 P 在抛物线的对称轴上，且到直线 AC

40、和 x轴的距离相等，设点 P 的纵坐标为 m，求 m的值； （3） 点 M在 y轴上且位于点 C 上方， 点 N 在直线 AC上， 点 Q 为第一象限内抛物线上一点， 若以点 C、 M、 47 N、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点 Q的坐标 【答案】 （1）y= x2+ x+4； （2）m的值为 1 或4； （3）点 Q的坐标为（1，）或（ ， ） （2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+p， 把 A（3，0） ，C（0，4）代入得，解得， 直线 AC的解析式为 y= x+4； 令对称轴与直线 AC交于点 D，与 x轴交于点 E，作 PHAD于 H，如图 1， 48 当 x=1时，y=

41、x+4= ，则 D（1， ） ， DE= ， 在 RtADE中，AD=， 设 P（1，m） ，则 PD= m，PH=PE=|m|， PDH=ADE， DPHDAE， ，即，解得 m=1或 m=4， 即 m的值为 1或4； 当 CM 为菱形的边时，四边形 CNQM为菱形，如图 3，则 NQy轴，NQ=NC， N（t， t+4） ， 49 NQ= t2+ t+4（ t+4）= t2+4t， 而 CN2=t2+（ t+44）2=t2，即 CN= t， t2+4t= t，解得 t1=0（舍去） ，t2= ，此时 Q点坐标为（ ，） ， 综上所述，点 Q的坐标为（1，）或（ ，） 【关键点拨】 本题主要

42、考查了二次函数的综合，相似三角形的判定与性质，菱形的判定等，综合性强，难度较大，属于 中考压轴题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 32在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：yk1x+2与 x 轴、y轴分别交于点 A、B 两点，OAOB，直线 l2：yk2x+b经过点 C（1，） ，与 x 轴、y轴和线段 AB分别交于点 E、F、D三点 （1）求直线 l1的解析式； （2）如图：若 ECED，求点 D 的坐标和BFD的面积； （3）如图：在坐标轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写 出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）； （2

43、）D（3，） ，面积为 6； （3）存在，满足条件的点 P坐标为（0，4 6）或（2，0） ，理由见解析 50 【解析】 （1）直线 yk1x+2与 y轴 B 点， B（0，2） ， OB2， OAOB6， A（6，0） ， 把 A（6，0）代入 yk1x+2得到，k1， 直线 l1的解析式为 yx+2 （2）如图 1中，作 CMOA 于 M，DNCA 于 N 解得， 直线 CD的解析式为 yx2， 51 F（0，2） ， S BFD 4 36 （3）如图1中，当 PCPD，CPD90 时，作 DMOB于 M，CNy轴于 N设 P（0，m） 52 【关键点拨】 本题属于一次函数综合题，考查了待

44、定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加 常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题 33如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点来源:Zxxk.Com 求一次函数与反比例函数的表达式； 求的面积； 根据所给条件，请直接写出不等式的解集 【答案】 ，； ；， 53 即点 A的坐标为：，点 B的坐标为：， 把点和点代入一次函数得： ， 解得：， 即一次函数的表达式为：， 把代入一次函数得： ， 54 【关键点拨】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析 式；利用待定系数法求函数的解析式

45、也考查了观察函数图象的能力 34如图，在平面直角坐标系中，直线 y- x+2 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A、B点 P 是 x 轴上一个动点，过点 P 作垂直于 x 轴的直线分别交抛物线和直线 AB 于点 E 和点 F设点 P 的横坐标为 m （1）点 A 的坐标为 （2）求这条抛物线所对应的函数表达式 （3）点 P 在线段 OA 上时，若以 B、E、F 为顶点的三角形与FPA 相似，求 m 的值 （4）若 E、F、P 三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外） ，称 E、F、P 三点为“共 谐点”直接写出 E、F、P 三点成为“共谐点”

46、时 m 的值 【答案】 （1） （4，0） （2）yx2+ x+2（3） ， （4）1 或 或 55 （3）P（m，0） ，E（m，m2+ m+2） ，F（m， m+2） ， 且BFEAEP， BEPAPF90或EBFAPF90， 则有 BEPE， E 点的纵坐标为 2， 解得 m0（舍去）或 m ， 如图 1，过点 E 作 ECy 轴于点 C， 则EBC+BEC90，ECm，BCm2+ m+22m2+ m， EBF90， EBC+ABO90， ABOBEC， RtECBRtBOA， , ,解得 m0（舍去）或m ， 解得，m ， 56 综上所述，以 B、E、F 为顶点的三角形与FPA 相似，m 的值 ， 【关键点拨】 本题考查了二次函数的图像