2019中考数学压轴题全揭秘精品专题10 四边形问题（教师版）

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1、 1 一、单选题一、单选题 1如图 1的矩形 ABCD中，有一点 E在 AD上，今以 BE为折线将 A点往右折，如图 2 所示，再作过 A点 且与 CD垂直的直线，交 CD于 F点，如图 3所示，若 AB=6，BC=13，BEA=60 ，则图 3中 AF的长 度为何？（ ） A2 B4 C2 D4 【答案】B 【关键点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加 常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 2在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置 图 1，图 2 2 中两张正方形纸片均有部分重叠

2、 ，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴影部 分的面积为，图 2中阴影部分的面积为当时，的值为 A2a B2b C D 【答案】B 【关键点拨】本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整 体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来. 3如图，已知AOBC 的顶点 O（0，0） ，A（1，2） ，点 B 在 x 轴正半轴上按以下步骤作图：以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OA，OB于点 D，E；分别以点 D，E 为圆心，大于 DE的长为 半径作弧，两弧在AOB内交于

3、点 F；作射线 OF，交边 AC于点 G，则点 G的坐标为（ ） A （1，2） B （，2） C （3，2） D （2，2） 【答案】A 【解析】 3 如图，过点 A 作 AHx 轴于 H，AG 与 y 轴交于点 M， 【关键点拨】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求 图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法 和规律 4如图，在矩形 ABCD 中，ADC的平分线与 AB交于 E，点 F在 DE的延长线上，BFE=90 ，连接 AF、 CF，CF与 AB交于 G有以下结论： AE=BC AF=CF

4、BF2=FGFC EGAE=BGAB 其中正确的个数是（ ） 4 A1 B2 C3 D4 【答案】C BFE=90 ，BFE=AED=45 ， BFE 为等腰直角三角形， 则有 EF=BF 又AEF=DFB+ABF=135 ，CBF=ABC+ABF=135 ， AEF=CBF 在AEF和CBF中，AE=BC，AEF=CBF，EF=BF， AEFCBF（SAS） AF=CF 假设 BF2=FGFC，则FBGFCB， FBG=FCB=45 ， ACF=45 ， ACB=90 ，显然不可能，故错误， BGF=180 -CGB，DAF=90 +EAF=90 +（90 -AGF）=180 -AGF，AG

5、F=BGC， DAF=BGF，ADF=FBG=45 ， ADFGBF， 5 ， EGCD， ， ，AD=AE， EGAE=BGAB，故正确， 故选 C 【关键点拨】 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵 活运用所学知识解决问题. 5如图，在矩形 ABCD 中，AD=AB，BAD 的平分线交 BC 于点 E，DHAE 于点 H，连接 BH 并延 长交CD于点 F， 连接 DE交 BF于点O， 下列结论： AED=CED； OE=OD； BH=HF； BCCF=2HE； AB=HF，其中正确的有（ ） A2 个 B3个 C4个 D5 个 【答

6、案】D ABEAHD（AAS） ， 6 BE=DH， AB=BE=AH=HD， ADE=AED=（180 45 ）=67.5 ， CED=18045 67.5 =67.5 ， AED=CED，故正确； AHB=（180 45 ）=67.5 ，OHE=AHB（对顶角相等） ， OHE=AED， OE=OH， DOH=9067.5 =22.5 ，ODH=67.545 =22.5 ， DOH=ODH， OH=OD， OE=OD=OH，故正确； EBH=9067.5 =22.5 ， EBH=OHD， 又 BE=DH，AEB=HDF=45 BEHHDF（ASA） ， BH=HF，HE=DF，故正确； 6

7、已知AOB=45，求作AOP=22.5，作法： （1）以 O 为圆心，任意长为半径画弧分别交 OA，OB 于点 N，M； 7 （2）分别以 N，M 为圆心，以 OM 长为半径在角的内部画弧交于点 P； （3）作射线 OP，则 OP 为AOB 的平分线，可得AOP=22.5 根据以上作法，某同学有以下 3 种证明思路： 可证明OPNOPM，得POA=POB，可得； 可证明四边形 OMPN 为菱形，OP，MN 互相垂直平分，得POA=POB，可得； 可证明PMN 为等边三角形，OP，MN 互相垂直平分，从而得POA=POB，可得 你认为该同学以上 3 种证明思路中，正确的有（ ） A B C D

8、【答案】A 【关键点拨】 本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和角平分线的基本作图，关键是掌握全等三角形的判定定理 7如图 1，分别沿长方形纸片 ABCD 和正方形纸片 EFGH 的对角线 AC，EG 剪开，拼成如图 2 所示的ALMN， 若中间空白部分四边形 OPQR 恰好是正方形，且ALMN 的面积为 50，则正方形 EFGH 的面积为（ ） 8 A24 B25 C26 D27 【答案】B 【关键点拨】 此题重点考查学生对于正方形和长方形的性质的理解，熟练掌握这两个性质是解题的关键. 8如图，在矩形 ABCD中，E是 AB边的中点，沿 EC对折矩形 ABCD，使 B 点落在点 P 处，折

9、痕为 EC， 连结 AP 并延长 AP 交 CD于 F点，连结 CP 并延长 CP 交 AD于 Q点给出以下结论： 四边形 AECF为平行四边形； PBA=APQ； FPC 为等腰三角形； APBEPC 其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】 9 如图，EC，BP 交于点 G； AFEC； AECF， 四边形 AECF是平行四边形， 故正确； 10 AFEC， FPC=PCE=BCE， PFC 是钝角， 当BPC是等边三角形，即BCE=30 时，才有FPC=FCP， 如右图，PCF不一定是等腰三角形， 故不正确； AF=EC，AD=BC=PC，ADF=EPC=

10、90 ， RtEPCFDA（HL） ， ADF=APB=90 ，FAD=ABP， 当 BP=AD或BPC是等边三角形时，APBFDA， APBEPC， 故不正确； 其中正确结论有，2个， 故选：B 【关键点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换， 平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 9如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAC，垂足为 E，BFAC 交 ED 的延长线于点 F，若 BC 恰好平分 ABF，AE=2BF给出下列四个结论：DE=DF；DB=DC；ADBC；AC=3BF，其中正确的结论 共有（ ） 11 A4 个

11、 B3 个 C2 个 D1 个 【答案】A 10如图，矩形 ABCD 与菱形 EFGH 的对角线均交于点 O，且 EGBC，将矩形折叠，使点 C 与点 O 重合， 折痕 MN 恰好过点 G 若 AB=，EF=2，H=120，则 DN 的长为（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 长 EG 交 DC 于 P 点，连接 GC、FH；如图所示： 则 CP=DP= CD=， GCP 为直角三角形， 四边形 EFGH 是菱形， EHG=120， GH=EF=2， OHG=60， EGFH，OG=GHsin60=2=，由折叠的性质得：CG=OG=，OM=CM，MOG=MCG， 12 PG=，OGCM

12、，MOG+OMC=180，MCG+OMC=180，OMCG，四 边形 OGCM 为平行四边形，OM=CM，四边形 OGCM 为菱形，CM=OG=，根据题意得：PG 是梯 形 MCDN 的中位线，DN+CM=2PG=，DN=；故选 C 11如图，在正方形 ABCD中，AB=9，点 E 在 CD边上，且 DE=2CE，点 P是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PD的最小值是（ ） A B C9 D 【答案】A 【关键点拨】此题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题找 出 P 点位置是解题的关键 12如图，正方形 ABCD的边长为 1，以对角线 AC为边作第二个正方

13、形 ACEF，再以对角线 AE为边作第 三个正方形 AEGH，依此下去，第 n 个正方形的面积为（ ） 13 A （）n1 B2n1 C （）n D2n 【答案】B 【关键点拨】本题考查了规律型：图形的变化类，正方形的性质，根据前后正方形边长之间的关系找到 Sn 的规律是解题的关键 13如图，ABC的周长为 19，点 D，E在边 BC上，ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 N，ACB的平 分线垂直于 AD，垂足为 M，若 BC=7，则 MN的长度为（ ） A B2 C D3 【答案】C 14 BA=BE， BAE是等腰三角形， 同理CAD是等腰三角形， 点 N是 AE 中点，点 M是 AD

14、中点（三线合一） ， MN 是ADE 的中位线， BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12， DE=BE+CD-BC=5， MN= DE= 故选：C 【关键点拨】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半是解题的关键 14如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AE 平分BAD，分别交 BC、BD 于点 E、P， 连接 OE，ADC=60 ，AB= BC=1，则下列结论： CAD=30 BD=S平行四边形ABCD=ABACOE= ADSAPO=，正确的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】D

15、15 EAC=ACE， AEB=EAC+ACE=60 ， ACE=30 ， ADBC， CAD=ACE=30 ， 故正确； BE=EC，OA=OC， OE= AB= ，OEAB， EOC=BAC=60 +30 =90 ， RtEOC中，OC=， 四边形 ABCD是平行四边形， BCD=BAD=120 ， ACB=30 ， ACD=90 ， 16 RtOCD中，OD=， BD=2OD=，故正确； 由知：BAC=90 ， SABCD=ABAC， 故正确； 由知：OE是ABC 的中位线， 又 AB= BC，BC=AD， OE= AB= AD，故正确； 【关键点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角

16、形的性质、直角三角形 30 度角的性质、三角形面积 和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明ABE 是等边三角形是解决问题的关键，并熟 练掌握同高三角形面积的关系 15如图，在正方形 ABCD 中，连接 AC，以点 A为圆心，适当长为半径画弧，交 AB、AC 于点 M，N， 分别以 M，N为圆心，大于 MN 长的一半为半径画弧，两弧交于点 H，连结 AH并延长交 BC 于点 E，再分 别以 A、E为圆心，以大于 AE长的一半为半径画弧，两弧交于点 P，Q，作直线 PQ，分别交 CD，AC，AB 于点 F， G， L， 交 CB的延长线于点 K， 连接 GE， 下列结论： LKB=

17、22.5 ， GEAB， tanCGF=， 17 SCGE：SCAB=1：4其中正确的是（ ） A B C D 【答案】A OG是 AE的中垂线， AG=EG， AEG=EAG=22.5 =BAE， EGAB， 故正确； LAO=GAO，AOL=AOG=90 ， ALO=AGO， CGF=AGO，BLK=ALO， CGF=BLK， 在 RtBKL中，tanCGF=tanBLK=， 18 故正确； 连接 EL， 【关键点拨】 本题考查了基本作图：角平分线和线段的垂直平分线，三角形相似的性质和判定，菱形的性质和判定，三 角函数，正方形的性质，熟练掌握基本作图是关键，在正方形中由于性质比较多，要熟记

18、各个性质并能运 用；是中考常考的选择题的压轴题 二、填空题二、填空题 16 如图， 在ABC 中， AD， CD 分别平分BAC和ACB， AECD， CEAD 若从三个条件： AB=AC； AB=BC；AC=BC 中，选择一个作为已知条件，则能使四边形为菱形的是_（填序号） 【答案】 19 【关键点拨】 本题考查的知识点是菱形的证明，解题关键是熟记菱形的性质. 17如图，CE 是ABCD的边 AB的垂直平分线，垂足为点 O，CE与 DA 的延长线交于点 E连接 AC，BE， DO，DO与 AC交于点 F，则下列结论： 四边形 ACBE 是菱形； ACDBAE； AF：BE2：3； S四边形A

19、FOE：SCOD2：3 其中正确的结论有_ （填写所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 20 ABEC， 四边形 ACBE是菱形，故正确， DCE=90 ，DA=AE， AC=AD=AE， ACD=ADC=BAE，故正确， OACD， ， ，故错误， 设AOF的面积为 a，则OFC 的面积为 2a，CDF的面积为 4a，AOC的面积=AOE的面积=3a， 四边形 AFOE的面积为 4a，ODC的面积为 6a S四边形AFOE：SCOD=2：3故正确. 故答案是： 【关键点拨】 此题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关 21 键是灵活运用所

20、学知识解决问题，学会利用参数解决问题. 18如图，在菱形 ABCD 中，ABC=120，将菱形折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 G 处（不与 B、D 重合） ，折痕为 EF，若 DG=2，BG=6，则 BE 的长为_ 【答案】2.8 在 RtEHG中，EG2=EH2+GH2，即(8-x)2=(x)2+(6- x)2， 解得，x=2.8，即 BE=2.8， 故答案为：2.8 【关键点拨】 本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换， 22 折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键 19如图 2，小靓用七巧板

21、拼成一幅装饰图，放入长方形 ABCD 内，装饰图中的三角形顶点 E，F 分别在边 AB，BC 上，三角形的边 GD 在边 AD 上，则的值是_ 【答案】 【关键点拨】 考查了矩形的性质，七巧板，关键是熟悉七巧板的特征，表示出 AB，BC 的长 20如图，ABCD中，AB=7，BC=3，连接 AC，分别以点 A和点 C为圆心，大于 AC的长为半径作弧， 两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 CD于点 E，连接 AE，则AED的周长是_ 【答案】10 23 【关键点拨】 本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质等，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键 21如图， ABCD 的对角线相交于点

22、O，且 ADCD，过点 O 作 OMAC，交 AD 于点 M如果CDM 的周长为 8，那么 ABCD 的周长是_ 【答案】16 【解析】 四边形 ABCD是平行四边形， OA=OC， OMAC， AM=CM， CDM的周长为 8， CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8， 平行四边形 ABCD的周长是：2 8=16. 故答案为:16. 【关键点拨】 本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形与线段垂直 平分线的性质. 22如图，点 E、F、G 分别在菱形 ABCD 的边 AB，BC，AD 上，AE= AB，CF= CB，AG= AD已知EFG

23、 24 的面积等于 6，则菱形 ABCD 的面积等于_ 【答案】27 【解析】 如图，在 CD 上截取一点 H，使得 CH= CD，连接 AC交 BD于 O，BD交 EF于 Q，EG 交 AC于 P， 25 【关键点拨】 本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等，综合性较强，有一定的难度， 正确添加辅助线、熟练掌握和应用相关的性质与定理是解题的关键. 23如图，M、N是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满足，连接 AC交 BN于点 E，连接 DE 交 AM于点 F，连接 CF，若正方形的边长为 6，则线段 CF的最小值是_ 【答案】 【解析】 如图， 在正方形

24、 ABCD中， 在和中， ， 26 ， ， 在和中， ， 【关键点拨】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质， 三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出 CF最小时点 F的位置是解题关键 24如图，在正方形 ABCD中，BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交 AD于点 E、F，连接 BD、 DP，BD与 CF 相交于点 H给出下列结论： ABEDCF；DP2=PHPB； 其中正确的是_ （写出所有正确结论的序号） 27 【答案】 PDH=PCD=30，DPH=DPC，DPHCPD，PB=CD， ，故正确； 如图， 过 P

25、作 PMCD， PNBC， 设正方形 ABCD 的边长是 4， BPC 为正三角形， PBC=PCB=60， PB=PC=BC=CD=4，PCD=30PN=PBsin60=4=，PM=PCsin30=2，S BPD =S四边 形PBCD SBCD=S PBC +S PDC SBCD=， 故答案为： 25如图，正方形 ABCD的边长为 12，点 E 在边 AB上，BE=8，过点 E 作 EFBC，分别交 BD、CD于 G、 F两点若点 P、Q分别为 DG、CE的中点，则 PQ的长为_ 28 【答案】2 ， 即， 解得，FG=4， FN=2， MN=62=4， QH=4， PH=PN+QM， PH

26、=6， PQ=2， 故答案为：2 【关键点拨】本题考查了三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，正确 29 添加辅助线、结合图形熟练应用相关性质和定理进行解题是关键. 26如图，已知正方形 ABCD，点 M 是边 BA 延长线上的动点（不与点 A 重合） ，且 AMAB，CBE 由DAM 平移得到若过点 E 作 EHAC，H 为垂足，则有以下结论：点 M 位置变化，使得DHC=60时，2BE=DM； 无论点 M 运动到何处，都有 DM=HM；无论点 M 运动到何处，CHM 一定大于 135其中正确结论 的序号为_ 【答案】 MHD=AHE=90 ，DHM是等腰直角三角

27、形， DM=HM，故正确； 当DHC=60 时，ADH=60 45 =15 ， ADM=45 15 =30 ， RtADM 中，DM=2AM， 即 DM=2BE，故正确； 点 M 是边 BA 延长线上的动点（不与点 A 重合） ，且 AMAB， AHMBAC=45 ， CHM135 ，故正确， 故答案为： 30 【关键点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质的综合 运用，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 27如图，在矩形 ABCD中，点 E 是 CD的中点，将BCE沿 BE 折叠后得到BEF、且点 F在矩形 ABCD 的内部，

28、将 BF延长交 AD于点 G若，则=_ 【答案】 31 【关键点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及翻折变换的性质， 熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键 28如图，已知MON=120，点 A，B 分别在 OM，ON 上，且 OA=OB=a，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转得到 OM，旋转角为 （0120且 60） ，作点 A 关于直线 OM的对称点 C，画直线 BC 交 OM于点 D，连接 AC，AD，有下列结论： AD=CD； ACD 的大小随着 的变化而变化； 当 =30时，四边形 OADC 为菱形； ACD 面积的最大值为a2； 其中正确的

29、是_ （把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】 MON=120 ， 32 BOE=60 ， OB=OE， OBE是等边三角形， E=60 ， A、C、B、E四点共圆， ACD=E=60 ，故不正确； 当 =30时，即AOD=COD=30 ， AOC=60 ， AOC 是等边三角形， OAC=60 ，OC=OA=AC， 由得：CD=AD， CAD=ACD=CDA=60 ， ACD是等边三角形， AC=AD=CD， OC=OA=AD=CD， 四边形 OADC 为菱形，故正确； 33 【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等， 综合性较强，有一定

30、的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键. 29如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB=OB，点 E、点 F 分别是 OA、OD 的中点，连接 EF，CEF=45 ，EMBC 于点 M，EM交 BD于点 N，FN=，则线段 BC的长为_ 【答案】 34 连接 BE， 【关键点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、 勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题 30如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD 且 BCAB，BD=8给出以下判断： AC 垂直平分 BD；

31、四边形 ABCD 的面积 S=ACBD； 顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形； 当 A，B，C，D 四点在同一个圆上时，该圆的半径为； 将ABD 沿直线 BD 对折，点 A 落在点 E 处，连接 BE 并延长交 CD 于点 F，当 BFCD 时，点 F 到直线 AB 的距离为 其中正确的是_ （写出所有正确判断的序号） 35 【答案】 将ABD 沿直线 BD对折，点 A落在点 E 处，连接 BE 并延长交 CD于点 F，如图所示， 连接 AF，设点 F到直线 AB的距离为 h， 由折叠可得，四边形 ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4， AO=E

32、O=3， S BDE = BD OE= BE DF， DF=， BFCD，BFAD， ADCD，GF=， S ABF =S梯形ABFDSADF， 5h= （5+5+ ） 5， 解得 h=，故错误， 故答案为： 36 【关键点拨】本题主要考查了菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决 问题的关键是利用图形面积的和差关系进行计算 三、解答题三、解答题 31如图，在矩形 ABCD 中，AB=2cm，ADB=30P，Q 两点分别从 A，B 同时出发，点 P 沿折线 ABBC 运 动，在 AB 上的速度是 2cm/s，在 BC 上的速度是 2cm/s；点 Q 在 BD 上以 2

33、cm/s 的速度向终点 D 运动，过 点 P 作 PNAD，垂足为点 N连接 PQ，以 PQ，PN 为邻边作PQMN设运动的时间为 x（s） ，PQMN 与矩形 ABCD 重叠部分的图形面积为 y（cm 2） （1）当 PQAB 时，x 等于多少； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （3）直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分时，直接写出 x 的值 【答案】 （1） s； （2）y=； （3）当 x= s 或 时，直线 AM 将矩形 ABCD 的面积 分成 1：3 两部分 37 (2)如图 1 中，当 0x 时，重叠部分是四边形 PQMN y=2

34、xx=2x2 如图中，当 x1 时，重叠部分是四边形 PQEN y= (2x+2x)x=x2+x. 如图 3 中，当 1x2 时，重叠部分是四边形 PNEQ y= (2x+2)x2(x1)=x23x+4； 38 综上所述，y= （3）如图 4 中，当直线 AM 经过 BC 中点 E 时，满足条件 则有：tanEAB=tanQPB， =， 解得 x= 如图 5 中，当直线 AM 经过 CD 的中点 E 时，满足条件 此时 tanDEA=tanQPB， =， 解得 x= ， 综上所述，当 x= 或 时，直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分 39 故答案为：(1) s；(2)y=

35、；(3)x= 或 【关键点拨】 本题考查四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关 键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题 32如图 1在ABC 中，矩形 EFGH的一边 EF在 AB上，顶点 G、H分别在 BC、AC上，CD是边 AB上 的高，CD交 GH 于点 I若 CI4，HI3，AD矩形 DFGI恰好为正方形 （1）求正方形 DFGI 的边长； （2）如图 2，延长 AB至 P使得 ACCP，将矩形 EFGH 沿 BP的方向向右平移，当点 G刚好落在 CP上 时，试判断移动后的矩形与CBP重叠部分的形状是三角

36、形还是四边形，为什么？ （3） 如图 3， 连接 DG， 将正方形 DFGI绕点 D顺时针旋转一定的角度得到正方形 DFGI， 正方形 DFGI 分别与线段 DG、DB相交于点 M、N，求MNG的周长 【答案】 （1）2； （2）三角形； （3）4 40 MDNNDF+MDINDF+DFRNDR45 ， DNDN，DMDR， NDMNDR， MNNRNF+RFNF+MI， MNG的周长MN+MG+NGMG+MI+NG+FR2IG4 【关键点拨】 本题考查的是四边形综合题，涉及了矩形的性质、正方形的性质、平行线等分线段定理、全等三角形的判 定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学

37、会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角 41 形解决问题，属于中考压轴题 33如图 1，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，以点 E 直角顶点的直角三角形 EFG 的两边 EF，EG 分别过点 B， C，F30. （1）求证：BECE （2）将EFG 绕点 E 按顺时针方向旋转，当旋转到 EF 与 AD 重合时停止转动.若 EF，EG 分别与 AB，BC 相交 于点 M，N.（如图 2） 求证：BEMCEN； 若 AB2，求BMN 面积的最大值； 当旋转停止时，点 B 恰好在 FG 上（如图 3） ，求 sinEBG 的值. 【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析；2；. 【解析】 （

38、1）如图 1中， 四边形 ABCD是矩形， AB=DC，A=D=90 ， E 是 AD中点， 42 AE=DE， BAECDE， BE=CE （2）解：如图 2 中， BEMCEN， BM=CN，设 BM=CN=x，则 BN=4-x， SBMN= x（4-x）=- （x-2）2+2， - 0， x=2时，BMN 的面积最大，最大值为 2 解：如图 3中，作 EHBG 于 H设 NG=m，则 BG=2m，BN=EN=m，EB=m 43 【关键点拨】 本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变 换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形

39、解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用 参数解决问题. 34（1） 如图 1， 将矩形 ABCD 折叠， 使 BC落在对角线 BD 上， 折痕为 BE， 点 C落在点 C处， 若ADB=46 ， 则DBE的度数为 （2）小明手中有一张矩形纸片 ABCD，AB=4，AD=9 （画一画） 如图 2，点 E在这张矩形纸片的边 AD上，将纸片折叠，使 AB 落在 CE 所在直线上，折痕设为 MN（点 M， N 分别在边 AD，BC上） ，利用直尺和圆规画出折痕 MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段 描清楚） ； （算一算） 如图 3，点 F在这张矩形纸片的边 BC上，将纸片折叠，使 FB

40、落在射线 FD上，折痕为 GF，点 A，B分别 落在点 A，B处，若 AG= ，求 BD 的长； （验一验） 如图 4，点 K在这张矩形纸片的边 AD上，DK=3，将纸片折叠，使 AB 落在 CK所在直线上，折痕为 HI， 点 A，B分别落在点 A，B处，小明认为 BI所在直线恰好经过点 D，他的判断是否正确，请说明理由 44 【答案】 （1）23； （2） 【画一画】画图见解析； 【算一算】DB =3； 【验一验】小明的判断不正确，理由见解 析. 【解析】 （1）如图 1中， （2）画一画：如图 2中， 45 算一算：如图 3 中， 46 理由：连接 ID，在 RtCDK中，DK=3，CD=

41、4， CK=5， ADBC， DKC=ICK， 由折叠可知，ABI=B=90 ， IBC=90=D， CDKIBC， ，即， 【关键点拨】 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、角平分线的作法、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用 等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关性质与定理、运用数形结合思想进行解题是关键. 35已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC点 E 为 CD边上一点，AE与 BE分别为DAB 和CBA 47 的平分线 （1）请你添加一个适当的条件 ，使得四边形 ABCD 是平行四边形，并证明你的结论； （2）作线段 AB 的垂直平分线交 AB于点 O，并以 AB 为直

42、径作O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不 写作法） ； （3）在（2）的条件下，O 交边 AD 于点 F，连接 BF，交 AE 于点 G，若 AE=4，sinAGF= ，求O的 半径 【答案】 （1）当 AD=BC时，四边形 ABCD 是平行四边形，理由见解析； （2）作出相应的图形见解析； （3） 圆 O 的半径为 2.5 （2）作出相应的图形，如图所示； （3）ADBC， DAB+CBA=180 ， AE与 BE 分别为DAB与CBA的平分线， EAB+EBA=90 ， AEB=90 ， 48 【关键点拨】此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，

43、以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键 36综合与实践 折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也 伴随着我们初中数学的学习 在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借 助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数 学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论 实践操作 如图 1， 将矩形纸片 ABCD沿对角线 AC翻折， 使点 B落在矩形 ABCD所在平面内， BC 和 AD相交于点 E， 连接 BD 解

44、决问题 (1)在图 1 中， BD和 AC 的位置关系为 ； 将AEC 剪下后展开，得到的图形是 ； (2)若图 1 中的矩形变为平行四边形时(ABBC)，如图 2所示，结论和结论是否成立，若成立，请挑选 其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由； (3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对 称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 ； 49 拓展应用 (4)在图 2 中，若B=30 ，AB=4，当ABD 恰好为直角三角形时，BC 的长度为 【答案】(1)BD/AC，菱形；(2)见解析；(3)1：1或：1；(4)4或 6 或 8或 12

45、. 将剪下后展开，得到的图形四边相等， 将剪下后展开，得到的图形四边是菱形 选择证明如下， 四边形是平行四边形， ， 将沿翻折至， ， 50 ， ， ， ， ， 设， ， 解得， ， ， 51 ， ， 当，时，如图 4， ， ， ， ， ， ， 52 ， ， 当时，如图 6， 【关键点拨】 本题考查折叠图形的性质与运用，解题的关键时能够知道在折叠过程中的变量与形成的新的关系. 37如图（1） ，已知点 G在正方形 ABCD的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GFCD，垂足为点 F （1）证明与推断： 53 求证：四边形 CEGF是正方形； 推断：的值为 ： （2）探究与证明： 将正方形 CEGF绕点 C顺时针方向旋转 角（0 45 ） ，如图（2）所示，试探究线段 AG与 BE 之间的 数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用： 正方形 CEGF在旋转过程中，当 B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 CG交 AD于点 H若 AG=6，GH=2，则 BC=