2019年中考数学专题拓展提高讲练专题05 中考图形旋转问题（教师版）

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1、 1 1.考点解析 旋转问题在近几年中考、竞赛试题中频频出现,这使得数学试题解题方法和技巧更加灵活多变。旋转变 换是几何变换中基本变换，由于旋转变换只改变图形的位置,而不改变其形状大小, 这使得原来分散的已知 条件和结论，通过旋转变换几何图形重新组合,产生新图形, 进而揭示条件与结论之间内在的联系,找出解题 的途径。 2.考点分类：考点分类见下表 考点分类 考点内容 考点解析与常见题型 常考热点 正三角形旋转与中心对称 选择题以及中心对称图形证明题，圆的旋转 一般考点 角度长度的计算， 坐标的变化 填空题中利用旋转求长度,三角函数 冷门考点 相似三角形 相似与旋转 1.旋转变换三要素有_旋转中

2、心_旋转角_旋转方向_ 2.旋转的性质： 旋转前后的图形_形状大小不变_； 对应点到旋转中心的距离 _相等_； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_旋转角_； 3.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过_对称中心_,而且被_平分 _；关于中心对称的两个图形是_全等的_ 4.中心对称图形：一个图形绕着定点_旋转 180 _后与_原图形_重合，这个图形成为中心对 称 图形。这个定点叫做该图形的_对称中心_。过该点的直线_平分_该图形的面积。 一、中考题型解析一、中考题型解析 中考图形旋转问题在近几年的中考中出现的频率还是非常高的，一般以填空题或者解答题的形式出现， 一般以角度

3、的计算，或者求线段长度的问题为主，占 4-6 分左右，此类题目难度简单，在后面的解答题目的 小问中也有可能出现，一般与中心对称图形一起出现的比较多，占分 8 分左右，难度中等，需要学生对旋 转图形前后的变化有充分的认识与理解。 # 2 二、典例精析二、典例精析 考点一：旋转后求角的度数考点一：旋转后求角的度数 典例一：典例一：如图，将ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50 后得到ABC若A=40 B=110，则BCA的度 数是【 】 A110 B80 C40 D30 【考点】【考点】旋转的性质，三角形内角和定理。 【总结】【总结】抓住旋转以后的旋转角相等，再根据三角形内角和 180 得出相应的数

4、量关系 典例二：典例二：如图，将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45 后得到AOB ，若 AOB=15 ，则AOB的度数是【 】 B A A B O A.25 B.30 C.35 D. 40 【考点】【考点】旋转的性质。 【解析】【解析】根据旋转的性质，旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，从而得出答案： 将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45 后得到AOB， AOA=45 ，AOB=AOB=15， AOB=AOAAOB=45 15 =30 。故选 B。 典例三：典例三：如图，小红做了一个实验，将正六边形 ABCDEF 绕点 F 顺 时针旋转后到达 3 ABCDEF的位置，所转过

5、的度数是【 】 A60 B72 C108 D120 【考点】【考点】旋转的性质，多边形内角和定理。 考点二：旋转与坐标转换考点二：旋转与坐标转换 典例一：典例一：平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为(3，1)，将 OA 绕原点按逆时针方向旋转 30 得 OB，则点 B 的坐标为【 】 A.(1，3) B.( 1，3) C.(0，2) D.(2，0) 【考点】【考点】坐标与图形的旋转变换，勾股定理，特殊角的三角函数值，全等三角形的判定和性质。 【解析】【解析】如图，作 ACx 轴于 C 点，BDy 轴于 D 点， 点 A 的坐标为（3，1） ，AC=1，OC=3。 OA= 2 2

6、3+1 =2。AOC=30 。 OA 绕原点按逆时针方向旋转 30 得 OB， AOB=30 ，OA=OB。BOD=30 。 RtOACRtOBD（AAS） 。 DB=AC=1，OD=OC=3。B 点坐标为（1，3） 。故选 A。 4 【总结】【总结】解决旋转坐标问题，第一先在平面直角坐标系中画出旋转前后的图形，然后抓住特殊的旋转角度 构造出直角三角形，利用直角三角形的定理，或者勾股定理来求出相关的线段长度，最终得出点坐标。 典例二：典例二：如图，A(3，1)，B(1，3)将AOB 绕点 O 旋转 l500得到AOB， ，则此时点 A 的对应点 A 的坐标为【 】 A(3，l) B(2，0)

7、C(l，3)或（2，0) D(3，1)或(2，0) 【考点】【考点】坐标和图形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，关于原点对称的点的坐标特征。 来源:Z.xx.k.Com 考点三：网格中的图形旋转问题考点三：网格中的图形旋转问题 典例一：典例一：如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，三角形 ABC 的顶点均落在格点上 （1）将ABC 绕点 O 顺时针旋转 90 后，得到A1B1C1在网格中画出A1B1C1； （2）求线段 OA 在旋转过程中扫过的图形面积； （结果保留 ） 5 （3）求BCC1的正切值 【考点】考点】网格问题，旋转变换作图，勾股定理，扇形面积，锐角三角函数的定义。

8、【答案】【答案】解： （1）画图如下： （2）由勾股定理得， 22 OA222 2， 线段 OA 在旋转过程中扫过的图形为以 OA 为半径， 1 AOA为圆心角的扇形， 1 2 OAA 902 2 S2 360 扇形 。 答：线段 OA 在旋转过程中扫过的图形面积为2 （3）在 Rt 1 BCC中， 1 1 1 BC21 tanBCC CC42 。 6 答：BCC1的正切值是 1 2 。 典例二：典例二： 如图， 在 4 4 的正方形网格中， 若将ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到ABC， 则BB的长为 【 】 来源: （A） （B） 2 （C）7 （D）6 【考点】【考点】旋转的性质，弧长的

9、计算。 【解析】【解析】根据图示知，BAB=45，BB的长为： 454 180 。故选 A。 # 考点四：旋转与等边三角形考点四：旋转与等边三角形 典例一：典例一：如图，O 是正ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60 得到线段 BO，下列结论：BOA 可以由BOC 绕点 B 逆时针旋转 60 得到；点 O 与 O的距离为 4； AOB=150 ； AOBO S=6+3 3 四形边 ； AOCAOB 9 3 SS6+ 4 其中正确的结论是【 】 A B C D 【考点】【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾

10、股定理的逆定理。 7 点 O 旋转至 O点易知AOO是边长为 3 的等边三角形，COO是边长为 3、4、5 的 直角三角形。 则 AOCAOBAOCOCOOAOO 113 39 3 SSSSS3 4+3=6+ 2224 。 故结论正确。 综上所述，正确的结论为：。故选 A。 来源来源:Zxxk.Com 典例二：典例二：如图，在等边三角形 ABC 中，AB=6，D 是 BC 上一点，且 BC=3BD，ABD 绕点 A 旋转后得到 ACE，则 CE 的长度为 【考点】【考点】等边三角形的性质，旋转的性质。 【解析】【解析】由在等边三角形 ABC 中，AB=6，D 是 BC 上一点，且 BC=3BD

11、，根据等边三角形三边相等的性质， 即可求得 BD= 1 3 BC= 1 3 AB =2。由旋转的性质，即可求得 CE=BD=2。 8 考点五：旋转过程中的路径问题考点五：旋转过程中的路径问题 典例一：典例一：如图，RtABC 的边 BC 位于直线 l 上，AC=3，ACB=90 ，A=30 若 RtABC 由现在的 位置向右滑动地旋转，当点 A 第 3 次落在直线 l 上时，点 A 所经过的路线的长为 （结果用含有 的式子表示） 典例二：典例二：如图，将边长为2cm 的正方形 ABCD 沿直线 l 向右翻动（不滑动） ，当正方形连续翻动 6 次后， 正方形的中心 O 经过的路线长是 cm （结

12、果保留 ） 【考点】【考点】正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长的计算。 2来源:Z#X#X#K 9 考点六：旋转过程中的面积问题考点六：旋转过程中的面积问题 典例一：典例一：如图，在 RtABC 中，C=900，AC=6，BC=8，把ABC 绕 AB 边上的点 D 顺时针旋转 90 得到 ABC，AC交 AB 于点 E，若 AD=BE，则ADE 的面积为 【考点】【考点】旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【解析】【解析】 在 RtABC 中， 由勾股定理求得 AB=10， 由旋转的性质可知 AD=AD， 设 AD=AD=BE=x， 则 DE=10-2x， 根据旋转 90 可

13、证ADEACB，利用相似比求 x，再求ADE 的面积： 在 RtABC 中，C=900，AC=6，BC=8，由勾股定理求 AB= 22 ACBC =10。 由旋转的性质，设 AD=AD=BE=x，则 DE=10-2x。 ABC 绕 AB 边上的点 D 顺时针旋转 90 得到ABC，A=A，ADE=C=90 。 ADEACB， DEBC A DAC ，即 102x8 x6 ，解得 x=3。 SADE= 1 2 DE AD= 1 2 （10-2 3） 3=6。 典例二：典例二： 如图， 把一个斜边长为2 且含有 300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C顺时针旋转 900到A1B1C， 则在旋转过程

14、中这个三角板扫过的图形的面积是【 】 10 A B3 C 33 + 42 D11 3 + 124 【考点】【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。 【解析】【解析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形 ACA1、 BCD 和ACD 计算即可： 1. 如图，两个边长相等的正方形 ABCD 和 EFGH，正方形 EFGH 的顶点 E 固定在正方形 ABCD 的对称中心 位置，正方形 EFGH 绕点 E 顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为 S，旋转的角度为 ，S 与 的函数 关系的大致图象是【 】 11 ABCD 【考点】【考点】旋转问题的函数图象，正方形的性

15、质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。 2. 正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为 度 【考点】【考点】旋转对称图形，正方形的性质。 【解析】【解析】正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形， 顶点处的周角被分成四个相等的角，360 4=90 。 这个正方形绕着它的中心旋转 90 的整数倍后，就能与它自身重合。 这个角度至少是 90 。 3. 把二次函数 y=（x1）2+2 的图象绕原点旋转 180 后得到的图象的解析式为 【考点】【考点】二次函数图象与几何变换，旋转的性质。 【解析】【解析】二次函数 y=（x1）2+2 顶点坐标为（1，2） ， 绕原点旋转 180

16、 后得到的二次函数图象的顶点坐标为（1，2） 。 12 旋转后的新函数图象的解析式为 y=（x+1）22。 4. 两块大小一样斜边为 4 且含有 30 角的三角板如图水平放置将CDE 绕 C 点按逆时针方向旋转，当 E 点恰好落在 AB 上时，CDE 旋转了 度，线段 CE 旋转过程中扫过的面积为 【考点】【考点】旋转的性质，含有 30 角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。 5. 如图，两块相同的三角板完全重合在一起，A=30 ，AC=10，把上面一块绕直角顶点 B 逆时针旋转到 ABC的位置，点 C在 AC 上，AC 与 AB 相交于点 D，则 CD= . 【考点】

17、【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定，三角形中位线的判定和性质。 【解析】【解析】A=30 ，AC=10，ABC=90 ，C=60 ，BC=BC= 1 2 AC=5。 BCC是等边三角形。CC=5。 ACB=CBC=60 ，CDBC。DC是ABC 的中位线。 DC= 1 2 BC= 5 2 。 6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OEFG 的顶点 F 的坐标为(4，2)，将矩形 OEFG来源:ZXXK 绕点 O 逆时针旋转，使点 F 落在 y 轴上，得到矩形 OMNP，OM 与 GF 相交于点A若经过点 A 的反比例 13 函数 k y(x0) x =的图象交 EF 于点

18、B，则点 B 的坐标为 . 7. 如图，直线 3 yx3 2 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，把AOB 绕点 A 旋转 90 后得到AOB，则点 B的坐标是 【考点】【考点】坐标与图形的旋转变化。 14 8.如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 x 上，ABO 是直角三角形，ABO=900，点 B 的坐标为（1，2） ， 将ABO 绕原点 O 顺时针旋转 900，得到Al BlO，则过 A1, B 两点的直线解析式为 。 【考点】【考点】勾股定理，旋转的性质， 待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 % 【解析】【解析】设 A（a，0） ， 点 B 的坐标为（1，2） ，OA=a，OB2=1222=5，AB2=（1a）2+22= a2+2 a+5。 ABO=900，OA2= AB2OB2，即 a2= a2+2 a+5+5，解得 a=5。即 A（5，0） 。 ABO 绕原点 O 顺时针旋转 900，得到Al BlO，Al（0，5） 。