2019年中考数学函数考点全突破专题07 二次函数的应用

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1、 1 考点分析考点分析：二次函数的实际应用考察销售利润方案问题是最常见的，并且 根据二次函数的性质，在一定的范围内，求出符合要求的最大值得出最大利润， 那么我们就要对销售利润问题的知识掌握熟练，以下知识点能很好的帮助我们解 决这类题目。 遇到二次函数的应用题我们需要考虑以下问题：遇到二次函数的应用题我们需要考虑以下问题： 1.看清题目，理清楚条件，弄懂题目的意思，知道要求什么，便于我们找准 合适的自变量 X 与相应的函数 Y，这是开头也是非常重要的。 2.条件整理清楚后，抓住数量关系列出函数关系式，如果要研究面积那就根 据求解面积来列式，如果要求利润那就列关于利润的表达式。 3.列完函数表达式

2、之后要求最值， 那么这里要首先写清楚自变量的取值范围， 这一点很容易被忽略掉，自变量的取值决定着函数的最值在哪里可以取。 【例 1】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产 的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得利润 P 1 100(x60) 241(万元)当地政府拟在 “十二 五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投 入 100 万元的销售投资， 在实施规划 5 年的前两年中， 每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于 修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 3 年中，该特产既 在本地销售，也在外

3、地销售在外地销售的投资收益为：每投入 x 万元，可获利润 Q 99 100 (100x)2294 5 (100x)160(万元) (1)若不进行开发，求 5 年所获利润的最大值是多少； (2)若按规划实施，求 5 年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少； (3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？ 【解析】(1)当x60 时，P最大且为 41 万元，故五年获利最大值是 415205(万元) 总利润=单个的利润 总数量 单个的利润= 售价进价 利润率=利润 成本 2 (2)前两年：0x50，此时因为P随x的增大而增大，所以x50 时，P值最大且为 40 万元，所以这两年获利最大为 402

4、80(万元) 后三年：设每年获利为y万元，当地投资额为x万元，则外地投资额为(100x)万元， 所以yPQ 1 100 x 241 99 100x 2294 5 x160 x 260x165(x 30) 21 065，表明 x30 时，y最大且为 1 065，那么三年获利最大为 1 06533 195(万 元)，故五年获利最大值为 803 1955023 175(万元) (3)有极大的实施价值 方法总结方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常 见的题目类型，解决这类问题的方法是： 1列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值 范

5、围 2在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值 同步练习同步练习 某服装店购进一批秋衣，价格为每件 30 元物价部门规定其销售单价不高 于每件 60 元，不低于每件 30 元经市场调查发现：日销售量 y(件)是销售单价 x(元)的一 次函数，且当 x60 时，y80；x50 时，y100.在销售过程中，每天还要支付其他费 用 450 元 (1)求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)求该服装店销售这批秋衣日获利 W(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式； (3)当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？ 【例 2】某

6、公司销售某一种新型通讯产品，已知每件产品的进价为 4 万元，每月销售该种 产品的总开支(不含进价)总计 11 万元 在销售过程中发现， 月销售量 y(件)与销售单价 x(万 3 元)之间存在着如图 322 所示的一次函数关系 (1)求 y 关于 x 的函数关系式(直接写出结果)； (2)试写出该公司销售该种产品的月获利 z(万元)关于销售单价 x(万元)的函数关系式， 当销 售单价 x 为何值时，月获利最大？并求这个最大值(月获利月销售额月销售产品总进 价月总开支)； 图 322 (3)若公司希望该产品一个月的销售获利不低于 5 万元，借助(2)中函数的图象，请你帮助 该公司确定销售单价的范围

7、在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为 多少万元 (2)根据题意得z(x4)y11 (x4) 1 2x8 11 1 2x 210x43 1 2(x10) 27， 当x10 万元时，最大月获利为 7 万元 (3)令z5，得 51 2x 210x43， 整理，得x 220x960， 解得x18，x212， 由图象(如答图)可知，要使月获利不低于 5 万元，销售单价应在 8 万元到 12 万元之间 销售单价越低，销售量越大， 要使销售量最大，又要使月获利不低于 5 万元，销售单价应定为 8 万元 第 5 题答图 4 同步练习同步练习 某公司销售A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息

8、：信息：销售A 种产品所获利润y(万元)与销售产品重量x(t)之间存在二次函数关系， 如图321所示； 信息：销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品重量x(t)之间存在正比例函数关系： y0.3x.根据以上信息，解答下列问题： (1)求二次函数的表达式； (2)该公司准备购进A，B两种产品共 10 t，求销售A，B两种产品获得的利润之和最大是 多少万元 图 321 (2)设购进A产品m t，购进B产品(10m)t，销售A，B两种产品获得的利润之和为W元， 则W0.1m 21.5m0.3(10m) 0.1m 21.2m30.1(m6)26.6， 0.10，当m6 时，W取得最大值，最大值为 6

9、.6 万元 答：当购进A产品 6 t，购进B产品 4 t 时，销售A，B两种产品获得的利润之和最大， 最大利润是 6.6 万元 练习： 5 1.某商人将进价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 100 件，已知这种商品每提 高 2 元，其销量就要减少 10 件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价(为偶数) 提高 ( ) A8 元或 10 元 B.12 元 C8 元 D.10 元 2某大学生利用业余时间销售一种进价为 60 元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文 化衫的相关信息如下： (1)月销量 y(件)与售价 x(元)的关系满足：y2x400； (2)工商部门限制销售价

10、 x 满足：70x150(计算月利润时不考虑其他成本)给出下列结 论： 这种文化衫的月销量最小为 100 件； 这种文化衫的月销量最大为 260 件； 销售这种文化衫的月利润最小为 2 600 元； 销售这种文化衫的月利润最大为 9 000 元 其中正确的是_(把所有正确结论的序号都填上) 【解析】 由题意知当 70x150 时，y2x400，20，y 随 x 的增大而减小， 当 x150 时，y 取得最小值，最小值为 100，故正确；当 x70 时，y 取得最大值， 最大值为 260，故正确；设销售这种文化衫的月利润为 W，则 W(x60)(2x400) 2(x130)29 800， 70x

11、150， 当 x70 时， W 取得最小值， 最小值为2(70 130)29 8002 600 元，故正确；当 x130 时，W 取得最大值，最大值为 9 800 元， 故错误故答案为. 3. 某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中x0，每件的售价为 18 万元， 每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量 x(件)成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n(n为整数，1n12)符合关系式x 6 2n 22kn9(k3)(k 为常数)，且得到了表中的数据 月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月) 120 100

12、(1)求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是 12 万元； (2)求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损； (3)在这一年 12 个月中，若第m个月和第(m1)个月的利润相差最大，求m. (2)将n1，x120 代入x2n 22kn9(k3)，得 12022k9k27，解得k13， x2n 226n144， 将n2，x100 代入x2n 226n144 也，等式成立，k13. 由题意，得 186600 x ，解得x50， 502n 226n144，即 n 213n470， (13) 241470，方程无实数根， 不存在某个月既不盈利也不亏损； (3)设第m个月的利润为W，则 Wx

13、(18y)18xx 6600 x 12(x50) 24(m 213m47)， 第(m1)个月的利润为W24(m1) 213(m1)4724(m211m35)， 若WW，则WW48(6m)，m取最小 1，WW取得最大值 240； 若WW，则WW48(m6)，由m112 知m取最大 11，WW取得最大值 240. 7 m1 或 11. 4.某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售，现准备在甲城市和乙城市两个不同地方按不 同销售方案进行销售，以便开拓市场 若只在甲城市销售，销售价格为y(元/件)，月销量为x(件)，y是x的一次函数，如表所 示： 月销量x(件) 1 500 2 000 销售价格y(元/

14、件) 185 180 成本为 50 元/件， 无论销售多少， 每月还需支出广告费 72 500 元， 设月利润为W甲(元)(利 润销售额成本广告费) 若只在乙城市销售，销售价格为 200 元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件(a 为常数，40a70)，当月销量为x(件)时，每月还需缴纳 1 100x 2 元的附加费，设月利润 为W乙(元)(利润销售额成本附加费) (1)当x1 000 时，y甲_190_元/件，W甲_67_500_元； (2)分别求出W甲，W乙与x间的函数关系式(不必写出x的取值范围)； (3)当x为何值时，在甲城市销售的月利润最大(销售价格不得低于成本)？若在乙城市销 售月利润的最大值与在甲城市销售月利润的最大值相同，求a的值； (4)如果某月要将 5 000 件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在甲城市还 是在乙城市销售才能使所获月利润较大？ (2)W甲 1 100x 2150x72 500， W乙 1 100x 2(200a)x； (3)y甲 1 100x20050，0x15 000， 8 当x 150 2 1 100 7 500 时，W甲最大 由题意，得0（200a） 2 4 1 100 4 1 100 （72 500）150 2 4 1 100 ， 解得a160，a2340(不合题意，舍去)，a60；