2019年中考数学函数考点全突破专题05 反比例函数的应用

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1、 1 考纲要求 命题趋势 1利用待定系数法确定反比例函数解析 式 2反比例函数与图形的面积问题 3能用反比例函数解决简单实际问题. 反比例函数的应用是中 考命题热点之一， ，经常与一 次函数、二次函数及几何图形 等知识综合考查考查形式以 选择题、填空题为主，以及与 一次函数的综合题. 知识梳理知识梳理 1利用待定系数法确定反比例函数解析式 由于反比例函数 yk x中只有一个待定系数，因此只要一对对应的 x，y 值，或已知其图 象上一个_的坐标即可求出 k，进而确定反比例函数的解析式 2反比例函数的实际应用 解决反比例函数应用问题时， 首先要找出存在反比例关系的两个变量， 然后建立反比例 函数模

2、型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决 3.反比例函数 K 的几何意义 4.反比例函数与图形面积问题 考点一、反比例函数解析式的确定 【例 1】如图，直线 y2x 与反比例函数 yk x的图象在第一象限的交点为 A，AB 垂直 于 x 轴，垂足为 B，已知 OB1，求点 A 的坐标和这个反比例函数的解析式 2 方法总结方法总结 反比例函数只有一个基本量k，故只需一个条件即可确定反比例函数这个 条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x，y的一对对应值 触类旁通触类旁通 1 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 一次函数 y2x 的图象与反比例函数 y k x的图象的一个交点为 A(1，n) (

3、1)求反比例函数 yk x的解析式； (2)若 P 是坐标轴上一点，且满足 PAOA，直接写出点 P 的坐标 【解析】(1)把 A 的坐标代入函数解析式即可求得 k 的值，即可得到函数解析式； (2)以 A 为圆心，以 OA 为半径的圆与坐标轴的交点就是 P. 解：解：(1)点 A(1，n)在一次函数 y2x 的图象上， n2 (1)2.点 A 的坐标为(1,2) 点 A 在反比例函数 yk x的图象上，k2. 反比例函数的解析式为 y2 x. (2)点 P 的坐标为(2,0)或(0,4) 考点二、反比例函数实际应用 【例 2】已知一艘轮船上装有 100 吨货物，轮船到达目的地后开始卸货设平均

4、卸货速度为 v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为 t（单位：小时） （1）求 v 关于 t 的函数表达式 （2）若要求不超过 5 小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ 3 （2）不超过 5 小时卸完船上的这批货物， t5， 则 v=20， 答：平均每小时至少要卸货 20 吨& 触类旁通触类旁通 2 某药品研究所开发一种抗菌新药， 经多年动物实验， 首次用于临床人体实验 测 得成人服药后血液中药物深度 y （微克/毫升） 与服药时间 x 小时之间的函数关系如图所示 （当 4x10 时，y 与 x 成反比） （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y 与

5、x 之间的函数关系式； （2）问血液中药物浓度不低于 4 微克/毫升的持续时间为多少小时？ 【解析】第 1 问先根据交点坐标求出两个函数关系式，第二问中找出 y=4 的时刻，然后分 别代入函数关系式求出对于的 x，从而求出符合要求的范围时间。 解： （1）当 0x4 时，设直线解析式为：y=kx，将（4，8）代入得：8=4k， 解得：k=2，故直线解析式为：y=2x，当 4x10 时，设直反比例函数解析式为：y= ， 将（4，8）代入得：8= ，解得：a=32，故反比例函数解析式为：y=； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为 y=2x（0x4） ， 下降阶段的函数关系式为 y=（4x10

6、） （2）当 y=4，则 4=2x，解得：x=2，当 y=4，则 4=，解得：x=8， 82=6（小时） ，血液中药物浓度不低于 4 微克/毫升的持续时间 6 小时 同步练习：同步练习：春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此， 4 某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过 5min 的集 中药物喷洒，再封闭宿舍 10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量 y （mg/m3）与药物在空气中的持续时间 x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满 足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示下面四个选项中错误的是（ ）

7、 A经过 5min 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 10mg/m3 B室内空气中的含药量不低于 8mg/m3的持续时间达到了 11min C当室内空气中的含药量不低于 5mg/m3且持续时间不低于 35 分钟，才能有效杀灭某种传 染病毒此次消毒完全有效 D当室内空气中的含药量低于 2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药 量达到 2mg/m3开始，需经过 59min 后，学生才能进入室内 【解析】利用图中信息一一判断即可； 考点三、反比例函数的比例系数 k 的几何意义 【例 3】已知点 P 在函数 y2 x(x0)的图象上，PAx 轴，PBy 轴，垂足分别为 A，B，

8、 则矩形 OAPB 的面积为_ 5 【解析】设 p 点坐标为（x，y） ，矩形 OAPB 的面积等于|xy|k|2. 方法总结方法总结 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；过双曲线 上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S1 2 |k|. 触类旁通触类旁通 3 3 一个反比例函数的图象如图所示， 若 A 是图象上任意一点， AMx 轴于 M， O 是原点，如果AOM 的面积是 3，那么这个反比例函数的解析式是_ 同步练习：同步练习：如图，平行于 x 轴的直线与函数 y=（k10，x0），y=（k20，x0） 的图象分别相交于 A，B

9、 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若ABC 的面 积为 4，则 k1k2的值为（ ） 6 A8 B8 C4 D4 【解析】 设 A （a， h） ， B （b， h） ， 根据反比例函数图象上点的坐标特征得出 ah=k1， bh=k2 根 据三角形的面积公式得到 SABC=AByA=（ab）h=（ahbh）=（k1k2）=4，求出 k1k2=8 考点四、反比例函数与图形面积问题 【例 4】如图，某反比例函数图象的一支经过点 A（2，3）和点 B（点 B 在点 A 的右侧）， 作 BCy 轴，垂足为点 C，连结 AB，AC （1）求该反比例函数的解析式； （2）若AB

10、C 的面积为 6，求直线 AB 的表达式 【解析】（1）把 A 的坐标代入反比例函数的解析式即可求得； （2）作 ADBC 于 D，则 D（2，b），即可利用 a 表示出 AD 的长，然后利用三角形的面 积公式可得到一个关于 b 的方程求得 b 的值， 进而求得 a 的值， 根据待定系数法， 可得答案 7 解：（1）由题意得，k=xy=2 3=6 反比例函数的解析式为 y= （2）设 B 点坐标为（a，b），如图， 作 ADBC 于 D，则 D（2，b） 方法总结方法总结 处理反比例函数中图形的面积问题，首先要设出未知点的点坐标，然后表示出 三角形或者四边形的面积， 借助于平面直角坐标系中的一

11、次函数或者反比例函数的解析式进 行坐标的表示。关键要抓住恰当的长度作为底和高。& 触类旁通触类旁通 4 如图，A（4，3）是反比例函数 y=在第一象限图象上一点，连接 OA，过 A 作 ABx 轴，截取 AB=OA（B 在 A 右侧），连接 OB，交反比例函数 y=的图象于点 P （1）求反比例函数 y=的表达式； 8 （2）求点 B 的坐标； （3）求OAP 的面积 解：（1）将点 A（4，3）代入 y=，得：k=12， 则反比例函数解析式为 y=； （2）如图，过点 A 作 ACx 轴于点 C， 则 OC=4、AC=3，OA=5， ABx 轴，且 AB=OA=5， 点 B 的坐标为（9，3

12、）； 9 同步练习：同步练习：如图，一次函数 y=x+4 的图象与反比例函数 y=（k 为常数且 k0）的图象交于 A（1，a），B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求此反比例函数的表达式； （2）若点 P 在 x 轴上，且 SACP=SBOC，求点 P 的坐标 【解析】（1）利用点 A 在 y=x+4 上求 a，进而代入反比例函数 y=求 k （2）联立方程求出交点，设出点 P 坐标表示三角形面积，求出 P 点坐标 解：（1）把点 A（1，a）代入 y=x+4，得 a=3， A（1，3） 把 A（1，3）代入反比例函数 y=k=3， 反比例函数的表达式为 y= 10 1.如图， 正方形 A

13、BOC 的边长为 2， 反比例函数 yk x的图象经过点 A， 则 k 的值是( ) A2 B2 C4 D4 2.如图，点 A 在双曲线 y1 x上，点 B 在双曲线 y 3 x上，且 ABx 轴，点 C 和点 D 在 x 轴上若四边形 ABCD 为矩形，则矩形 ABCD 的面积为_ 3.如图，一次函数 y2xb(b 为常数)的图象与反比例函数 yk x(k 为常数，且 k0)的 11 图象交于 A，B 两点，且点 A 的坐标为(1,4) (1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)求点 B 的坐标 4.据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据学校卫生工作条例 ， 为预

14、防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每 立方米含药量y(毫克)与燃烧时间 x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A 点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题： (1)写出从药物释放开始，y 与 x 之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于 2 毫克时，对人体无毒害作用，那么从消 毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？ 5如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于点 B，A，与反比 例函数的图象分别交于点 C，D，CEx 轴于点 E，tanABO1 2，

15、OB4，OE2. (1)求该反比例函数的解析式； (2)求直线 AB 的解析式 12 参考答案参考答案 品鉴经典考题品鉴经典考题 1D 因为正方形 ABOC 的边长为 2，所以面积为 4，根据反比例函数系数 k 的几何意 义，又图象在第二象限，所以 k4. 22 延长 BA 交 y 轴于点 E，则矩形 EBCO 的面积为 3，矩形 EADO 的面积为 1，所 以矩形 ABCD 的面积为 312. 4解：解：(1)药物燃烧后，设 y 与 x 的函数关系式为 yk1 x .把 B(25,6)代入得 6k1 25，解得 k1150. 药物燃烧后，y 与 x 的函数关系式为 y150 x . 令 y1

16、50 x 10，解得 x15.A(15,10) 药物燃烧时，设 y 与 x 的函数关系式为 yk2x. 把 A(15,10)代入得 1015k2， 解得 k22 3. 13 药物燃烧时 y 与 x 的函数关系式为 y2 3x(0x15)，药物燃烧后 y 与 x 的函数关系式 为 y150 x (x15) (2)把 y2 代入 y150 x ，得150 x 2，解得 x75， 从消毒开始，至少在 75 分钟内，师生不能进入教室 (2)OB4，B(4,0) tanABOOA OB 1 2，OA2，A(0,2) 设直线 AB 的解析式为 ykxb(k0) 将点 A，B 的坐标分别代入，得 b2， 4kb0. 解得 k1 2， b2. 直线 AB 的解析式为 y1 2x2.