2018-2019学年湖南师大附中高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答
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1、2018-2019 学年湖南师大附中高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)( ) A1+2i B12i C2+i D2i 2 (5 分)已知 UR,函数 yln(1x)的定义域为 M,集合 Nx|x2x0则下列 结论正确的是( ) AMNN BM(UN) CMNU DM(UN) 3 (5 分)已知命题 p:aR,且 a0,a+2,命题 q:x0R,sin x0+cos x0,则 下列判断正确的是( )
2、 Ap 是假命题 Bq 是真命题 Cp(q)是真命题 D (p)q 是真命题 4 (5 分)已知等差数列an的公差为 2,若 a1,a3,a4成等比数列,则an前 10 项的和为 ( ) A10 B8 C6 D8 5 (5 分)已知函数 f(x)ex+(aR) ,若 f(x)为奇函数,则曲线 yf(x)在 x0 处的切线方程为( ) Ay2x Byx Cy2x Dyx 6 (5 分)已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 E 为边 CD 的中点,则( ) A B C D 7 (5 分)某工厂生产的机器销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数:y117x2,生 产总成本 y2(
3、万元)也是产量 x(千台)的函数;y22x3x2(x0) ,为使利润最大, 应生产( ) A6 千台 B7 千台 C8 千台 D9 千台 8 (5 分)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a,点 N 为 B1B 的中点, 则|MN|( ) Aa Ba Ca Da 第 2 页(共 23 页) 9 (5 分)已知直线 l1:x1,l2:xy+10,点 P 为抛物线 y24x 上的任一点,则 P 到直线 l1,l2的距离之和的最小值为( ) A2 B C1 D 10 (5 分)已知 f(x),g(x)f(x)+x+m,若 g(x)存在两个零点, 则 m 的取值范围是( ) A1,+) B1
4、,0) C0,+) D1,+) 11 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设 F1,F2分别为双曲线 的左、右焦点,P 是双曲线左支上一点,M 是 PF1的中点,且 OMPF1,2|PF1|PF2|, 则双曲线的离心率为( ) A B C2 D 12 (5 分) 已知函数, g (x) x3+x2+5, 若对任意的, 都有 f(x1)g(x2)0 成立,则实数 a 的取值范围是( ) A (,24ln2 B (,1 C D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知 x1,观察下列不等式: x+
5、2; x2+3; x3+4; 按此规律,第 n 个不等式为 14 (5 分)若 x,y 满足约束条件,则 zx+y 的最小值为 15 (5 分)dxsinxdx 16 (5 分)若函数 f(x)ax2+xlnx 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 第 3 页(共 23 页) 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:
6、题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题: 60 分分 17 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,其面积为 S,且 b2+c2a2 S (1)求 A; (2)若 a5,cosB,求 c 18 (12 分)已知数列an,Sn是其前 n 项的和,且满足 3an2Sn+n(nN*) ()求证:数列an+为等比数列; ()记 TnS1+S2+Sn,求 Tn的表达式 19 (12 分)如图,五边形 ABSCD 中,四边形 ABCD 为长方形,三角形 SBC 是边长为 2 的 正三角形,将三角形 SBC 沿 BC 折起,使得点 S 在 ABCD 上的射影恰好在 AD 上
7、()证明:平面 SAB平面 SAD; ()若 AB1,求平面 SCD 与平面 SBC 所成锐二面角的余弦值 20 (12 分)已知圆 M:和点,Q 是圆 M 上任意一点,线 段 NQ 的垂直平分线和 QM 相交于点 P,P 的轨迹为曲线 E (1)求曲线 E 的方程; (2)点 A 是曲线 E 与 x 轴正半轴的交点,直线 xty+m 交 E 于 B、C 两点,直线 AB, AC 的斜率分别是 k1,k2,若 k1k29,求:m 的值;ABC 面积的最大值 21 (12 分)已知函数 f(x)x2+ax+lnx(aR) (1)讨论函数 f(x)在1,2上的单调性; (2)令函数 g(x)ex
8、1+x2+af(x) ,e2.71828是自然对数的底数,若函数 g(x) 有且只有一个零点 m,判断 m 与 e 的大小,并说明理由 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在分请考生在第第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第 4 页(共 23 页) 第一题计分第一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22(10 分) 已知在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程为( 为参数) 以 原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系 ()求圆 C 的普通方程及其极坐标方程;
9、()设直线 l 的极坐标方程为 sin()2,射线 OM:与圆 C 的交点为 P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x1|+|x+1| ()解不等式 f(x)2; ()设函数 f(x)的最小值为 m,若 a,b 均为正数,且+m,求 a+b 的最小值 第 5 页(共 23 页) 2018-2019 学年湖南师大附中高二(上)期末数学试卷(理科)学年湖南师大附中高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5
10、分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)( ) A1+2i B12i C2+i D2i 【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再利用虚数单位 i 的幂运算性质,求出 结果 【解答】解:2i, 故选:D 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,两个复数相 除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数 2 (5 分)已知 UR,函数 yln(1x)的定义域为 M,集合 Nx|x2x0则下列 结论正确的是( ) AMNN BM(UN) CMNU DM(UN) 【分析】分
11、别解出关于 M,N 的范围,然后判断即可 【解答】解:由 1x0,解得:x1, 故函数 yln(1x)的定义域为 M(,1) , 由 x2x0,解得:0x1, 故集合 Nx|x2x0(0,1) , MNN, 故选:A 【点评】本题考察了集合的包含关系,考察不等式问题,是一道基础题 3 (5 分)已知命题 p:aR,且 a0,a+2,命题 q:x0R,sin x0+cos x0,则 下列判断正确的是( ) Ap 是假命题 Bq 是真命题 Cp(q)是真命题 D (p)q 是真命题 第 6 页(共 23 页) 【分析】本题的关键是对命题 p:aR,且 a0,有,命题 q:xR, 的真假
12、进行判定,在利用复合命题的真假判定 【解答】解:对于命题 p:aR,且 a0,有, 利用均值不等式,显然 p 为真,故 A 错 命题 q:xR, 而 所以 q 是假命题,故 B 错 利用复合命题的真假判定, p(q)是真命题,故 C 正确 (p)q 是假命题,故 D 错误 故选:C 【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定,解决的办法是先判断组成复合命题 的简单命题的真假,再根据真值表进行判断 4 (5 分)已知等差数列an的公差为 2,若 a1,a3,a4成等比数列,则an前 10 项的和为 ( ) A10 B8 C6 D8 【分析】设公差 d2,运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式
13、和求和公式,计算 可得所求和 【解答】解:等差数列an的公差 d 为 2,若 a1,a3,a4成等比数列, 可得 a32a1a4, 即有(a1+4)2a1(a1+6) , 解得 a18, 则an前 10 项的和为810+109210 故选:A 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,等比中项的定义,考查方程思想和 运算能力,属于基础题 5 (5 分)已知函数 f(x)ex+(aR) ,若 f(x)为奇函数,则曲线 yf(x)在 x0 第 7 页(共 23 页) 处的切线方程为( ) Ay2x Byx Cy2x Dyx 【分析】利用函数是奇函数,求出 a,求出函数的导数,得到切线的斜率,切
14、点坐标,然 后求解切线方程 【解答】解:由题意,因为函数 f(x)ex+(aR)为奇函数,则 f(0)e0+ 0,解得 a1, 即 f(x)ex,则 f(x)ex+,所以 f(0)e0+2,即 k2, 且当 x0 时,f(0)e00,即切点的坐标为(0,0) , 所以切线的方程为 y2x, 故选:C 【点评】本题考查函数的极限以及函数的导数的应用,切线方程的求法,考查计算能力 6 (5 分)已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 E 为边 CD 的中点,则( ) A B C D 【分析】作出图形,利用向量加法的平行四边形法则,容易得解 【解答】解:如图, , , 故选:A 【点评】
15、此题考查了向量的加法法则,属容易题 7 (5 分)某工厂生产的机器销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数:y117x2,生 第 8 页(共 23 页) 产总成本 y2(万元)也是产量 x(千台)的函数;y22x3x2(x0) ,为使利润最大, 应生产( ) A6 千台 B7 千台 C8 千台 D9 千台 【分析】根据利润收入成本可得 yy1y2,求出 y讨论其大于小于 0 得到函数的 最大值 【解答】解:利润 yy1y218x22x3,y6x2+36x, 解 y0 得 0x6;解 y0 得 x6; 当 x6 时,y 取得最大值 故选:A 【点评】考查学生会利用导数求闭区间上函数最值的能
16、力 8 (5 分)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a,点 N 为 B1B 的中点, 则|MN|( ) Aa Ba Ca Da 【分析】以 AB,AD,AA1,分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,确定向量、 的坐标,可得的坐标,从而可得|MN| 【解答】解:以 AB,AD,AA1,分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0,0, 0) ,B(a,0,0) ,B1(a,0,a) ,C1(a,a,a) (a,a,a) , 点 N 为 B1B 的中点, (a,0,) |MN|a 故选:A 【点评】本题考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,确定向量的坐标是关键 9 (
17、5 分)已知直线 l1:x1,l2:xy+10,点 P 为抛物线 y24x 上的任一点,则 P 到直线 l1,l2的距离之和的最小值为( ) 第 9 页(共 23 页) A2 B C1 D 【分析】过点 P 分别作 PMl1,PNl2,垂足分别为 M,N设抛物线的焦点为 F,由 抛物线的定义可得|PM|PF|,求|PM|+|PN|转化为求|PN|+|PF|,当三点 N,P,F 共线时, |PN|+|PF|取得最小值利用点到直线的距离公式求解即可 【解答】解:过点 P 分别作 PMl1,PNl2,垂足分别为 M,N 抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0) ,l2:x+10 是抛物线 y24x
18、的准线方程 由抛物线的定义可得|PM|PF|, |PM|+|PN|PN|+|PF|,当三点 N,P,F 共线时,|PN|+|PF|取得最小值 故小值为点 F 到其最到直线 l2的距离,|FN|, 故选:B 【点评】本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的距离公式,考查转 化思想的应用,属于中档题 10 (5 分)已知 f(x),g(x)f(x)+x+m,若 g(x)存在两个零点, 则 m 的取值范围是( ) A1,+) B1,0) C0,+) D1,+) 【分析】由题意可得 g(x)0,即 f(x)xm 有两个不等实根,即有函数 yf(x) 和直线 yxm 有两个交点,作出 yf(
19、x)的图象和直线 yxm,平移直线即可 得到所求范围 【解答】解:g(x)f(x)+x+m,若 g(x)存在两个零点, 可得 g(x)0,即 f(x)xm 有两个不等实根, 即有函数 yf(x)和直线 yxm 有两个交点, 作出 yf(x)的图象和直线 yxm, 当m1,即 m1 时,yf(x)和 yxm 有两个交点, 故选:A 第 10 页(共 23 页) 【点评】本题考查函数的零点个数问题解法,注意运用转化思想和数形结合思想,考查 指数函数、对数函数的图象和运用,属于中档题 11 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设 F1,F2分别为双曲线 的左、右焦点,P 是双曲线左支上一点,M
20、是 PF1的中点,且 OMPF1,2|PF1|PF2|, 则双曲线的离心率为( ) A B C2 D 【分析】运用双曲线的定义和PF1F2为直角三角形,则|PF2|2+|PF2|2,|F1F2|2 ,由 离心率公式,计算即可得到离心率的范围 【解答】解:P 为双曲线左支上的一点, 则由双曲线的定义可得,|PF2|PF1|2a, 由|PF2|2|PF1|,则|PF2|4a,|PF1|2a, M 是 PF1的中点,且 OMPF1 由PF1F2为直角三角形,则|PF2|2+|PF2|2,|F1F2|2 5a2c2 即有 e 故选:B 第 11 页(共 23 页) 【点评】本题考查双曲线的定义和性质,
21、考查离心率的求法,考查运算能力,属于基础 题 12 (5 分) 已知函数, g (x) x3+x2+5, 若对任意的, 都有 f(x1)g(x2)0 成立,则实数 a 的取值范围是( ) A (,24ln2 B (,1 C D 【分析】根据不等式恒成立,利用参数分类法进行转化为 axx2lnx 在x2 上恒成 立,构造函数 h(x)xx2lnx,求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系求出 函数的最值即可 【解答】解:函数 g(x)的导数 g(x)3x2+2xx(3x2) , 函数 g(x)在,上递增,则,2上递减, g(),g(2)1, 若对任意的 x1,x2,2,都有 f(
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