2018-2019学年湖南省衡阳一中高二（上）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、2018-2019 学年湖南省衡阳一中高二（上）期末数学试卷（理科）一选择题（每题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）复数（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）设平面 的一个法向量为，平面 的一个法向量为 ，若 ，则 k（ ） A2 B4 C2 D4 3（5 分） 阅读如图所示的程序框图， 若输出的数据为 141， 则判断框中应填入的条件为 （ ）  Ak3 Bk4 Ck5 Dk6 4 （5 分）已知命题“xR，使 4x2+（a2）x+0”是假命题，则实数 a 的取值范围是 （ ） A （，0） B0

2、，4 C4，+） D （0，4） 5 （5 分） “方程1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆”的必要不充分条件是 （ ） A1m2 B0m2 Cm2 Dm2 6 （5 分）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A B C D 7 （5 分）若抛物线 x216y 上一点（x0，y0）到焦点的距离是该点到 x 轴距离的 3 倍，则 y0（ ） A2 B C1 D 8 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 A1C 与平面 ABCD 所成角的余弦值 是（ ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 9 （5 分）设 f（x）lnx+，则 f（sin）与 f（co

3、s）的大小关系是（ ） Af（sin）f（cos） Bf（sin）f（cos）  Cf（sin）f（cos） D大小不确定 10 （5 分）直线 x+4y+m0 交椭圆于 A，B，若 AB 中点的横坐标为 1，则 m （ ） A2 B1 C1 D2 11 （5 分）函数 yf（x）的定义域为 R，f（2）3，对任意 xR，f（x）3，则 f（x） 3x+9 的解集为（ ） A2，+） B2，2 C （，2 D （，+） 12 （5 分）已知点 A（0，1）是抛物线 x22py 的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为 抛物线上的点，且|PF|m|PA|，若双曲线 C 中心在原点，F

4、是它的一个焦点，且过 P 点， 当 m 取最小值时，双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 二填空题（每题二填空题（每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f'（x） ，且满足 f（x）3xf'（1）+2lnx，则 f'（1）   14（5分） 已知点P是双曲线y21 上的一点， F1， F2是双曲线的两个焦点， 若|PF1|+|PF2| 4，则PF1F2的面积为   15 （5 分）若函数 f（x）2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则 a 的 值为   16 （5

5、分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，将直线 y与直线 x1 及 x 轴所围成的图 第 3 页（共 21 页） 形绕 x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积 V圆锥（） 2dx 据 此类比：将曲线 yx2（x0）与直线 y2 及 y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一 个旋转体，该旋转体的体积 V   三解答题（三解答题（17 题题 10 分，其余各分，其余各 12 分）分） 17 （10 分）设 p：f（x）1+ax，在（0，2上 f（x）0 恒成立，q 函数 g（x）ax+2lnx 在其定义域上存在极值 （1）若 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）如果“pq”为

6、真命题， “pq”为假命题，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）已知数列an的第 1 项 a11，且 an+1 （1）计算 a2，a3，a4； （2）猜想 an的表达式，并用数学归纳法进行证明 19 （12 分）如图所示，抛物线 y1x2与 x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计 划在该区域内围出一块矩形地块 ABCD 作为工业用地，其中 A、B 在抛物线上，C、D 在 x 轴上已知工业用地每单位面积价值为 3a 元（a0） ，其它的三个边角地块每单位面积 价值 a 元 （）求等待开垦土地的面积； （）如何确定点 C 的位置，才能使得整块土地总价值最大 20 （12 分）在四棱锥

7、PABCD 中，侧面 PCD底面 ABCD，PDCD，E 为 PC 中点，底 第 4 页（共 21 页） 面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ADC90，ABADPD1，CD2 （）求证：BE平面 PAD； （）求证：BC平面 PBD； （）设 Q 为侧棱 PC 上一点，试确定 的值，使得二面角 QBDP 为 45 21 （12 分）已知焦点在 x 轴上的椭圆 C1的长轴长为 8，短半轴为 2，抛物线 C2的顶点 在原点且焦点为椭圆 C1的右焦点 （1）求抛物线 C2的标准方程； （2）过（1，0）的两条相互垂直的直线与抛物线 C2有四个交点，求这四个点围成四边 形的面积的最小值 22 （12

8、 分）已知函数 f（x）sinxax （）对于 x（0，1） ，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （）当 a1 时，令 h（x）f（x）sinx+lnx+1，求 h（x）的最大值； （）求证： 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年湖南省衡阳一中高二（上）期末数学试卷（理科）学年湖南省衡阳一中高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（每题一选择题（每题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）复数（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的运算法则、共轭复

9、数的定义、几何意义即可得出 【解答】 解：2i+2i+1i1+i 在复平面内对应的点 （1， 1）  故选：A 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题 2 （5 分）设平面 的一个法向量为，平面 的一个法向量为 ，若 ，则 k（ ） A2 B4 C2 D4 【分析】两个平面平行，可得法向量共线，列出关系式求出 k 即可 【解答】解：平面 的一个法向量为，平面 的一个法向量为 ， ，由题意可得， k4 故选：D 【点评】本题考查平面的法向量，涉及平面与平面的位置关系，属基础题 3（5 分） 阅读如图所示的程序框图， 若输出的数

10、据为 141， 则判断框中应填入的条件为 （ ）  Ak3 Bk4 Ck5 Dk6 第 6 页（共 21 页） 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值 ， 模 拟 程 序 的 运 行 过 程 ， 分 析 循 环 中 各 变 量 值 的 变 化 情 况 ， 可 得 答 案 【解答】解：当 S0，k1 时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，S1， k2， 当 S1，k2 时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，S6，k3， 当 S6，k3 时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，S21，k4， 当 S21，k4 时，不满足

11、输出条件，进行循环，执行完循环体后，S58，k5， 当 S58，k5 时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，S141，k6， 此时，由题意，满足输出条件，输出的数据为 141， 故判断框中应填入的条件为 k5， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟 循环的方法解答 4 （5 分）已知命题“xR，使 4x2+（a2）x+0”是假命题，则实数 a 的取值范围是 （ ） A （，0） B0，4 C4，+） D （0，4） 【分析】根据特称命题的真假关系即可得到结论 【解答】解：命题“xR，使 4x2+（a2）x+0”是假命题， 命题“xR，使

12、 4x2+（a2）x+0”是真命题， 即判别式（a2）2440， 即（a2）24， 则2a22，即 0a4， 故选：D 【点评】本题主要考查含有量词的命题的真假应用，利用一元二次不等式的性质是解决 第 7 页（共 21 页） 本题的关键 5 （5 分） “方程1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆”的必要不充分条件是 （ ） A1m2 B0m2 Cm2 Dm2 【分析】求出条件的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行求解即可 【解答】解：若方程1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆， 则等价为，得得 0m2， 则方程1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆的必要不充分条件 m2， 故选：C 【点

13、评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出对应的等价条件是解 决本题的关键 6 （5 分）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A B C D 【分析】 （1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在 P（x0，y0）处的切线斜率，进而得 到切线方程； （2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出 面积 【解答】解：若 yx3+x，则 y|x12，即曲线在点处的切线方 程是，它与坐标轴的交点是（，0） ， （0，） ，围成的三角形面积为， 故选 A 【点评】函数 yf（x）在 xx0处的导数的几何意义，就是曲线 yf（x）在点 P（x0， y0）处的切

14、线的斜率，过点 P 的切线方程为：yy0f（x0） （xx0） 7 （5 分）若抛物线 x216y 上一点（x0，y0）到焦点的距离是该点到 x 轴距离的 3 倍，则 y0（ ） 第 8 页（共 21 页） A2 B C1 D 【分析】利用抛物线的定义与性质，转化列出方程求解即可 【解答】解：拋物线 x216y 上一点（x0，y0） ，到焦点的距离是该点到 x 轴距离的 3 倍，  可得 y0+3y0，所以 y02 故选：A 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力 8 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 A1C 与平面 ABCD 所成角的余弦值

15、是（ ） A B C D 【分析】连接 AC，则A1CA 为直线 A1C 与平面 ABCD 所成角，在 RtA1AC 中求出 cos A1CA 即可 【解答】解：连接 AC， AA1平面 ABCD， A1CA 为直线 A1C 与平面 ABCD 所成角， 设正方体棱长为 1，则 AC，A1C， cosA1CA 故选：D 【点评】本题考查了线面角的计算，属于基础题 第 9 页（共 21 页） 9 （5 分）设 f（x）lnx+，则 f（sin）与 f（cos）的大小关系是（ ） Af（sin）f（cos） Bf（sin）f（cos）  Cf（sin）f（cos） D大小不确定 【分析】求

16、出函数 f（x）的单调区间，判断 sin与 cos的大小，从而求出 f（sin） 与 f（cos）的大小即可 【解答】解：f（x）lnx+，x0，f（x）， 令 f（x）0，解得：0x1， 故 f（x）在（0，1）递减， 而 sincos1， 故 f（sin）f（cos） ， 故选：A 【点评】本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题 10 （5 分）直线 x+4y+m0 交椭圆于 A，B，若 AB 中点的横坐标为 1，则 m （ ） A2 B1 C1 D2 【分析】设 A，B 点的坐标，代入椭圆方程，作差结合直线的斜率为，AB 中点横 坐标为 1，可求 AB 中点纵坐标，

17、从而得解 【解答】解：由题意，设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 ，两式相减， 结合直线的斜率为，AB 中点横坐标为 1， AB 中点纵坐标为， 将点（1，）代入直线 x+4y+m0 得 m2 故选：A 【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交的性质的应用，要注意灵活应用题目中的直线 第 10 页（共 21 页） 的中点及直线的斜率的条件的表示，本题中设而不求的解法是处理直线与圆锥取消相交 中涉及到斜率与中点时常用的方法，比较一般联立方程得方法可以简化基本运算 11 （5 分）函数 yf（x）的定义域为 R，f（2）3，对任意 xR，f（x）3，则 f（x） 3x+9 的解集为（ ）

18、 A2，+） B2，2 C （，2 D （，+） 【分析】设 F（x）f（x）（3x+9） ，则 F（x）f（x）3，由对任意 xR 总有 f（x）3，知 F（x）f（x）30，所以 F（x）f（x）3x9 在 R 上是增 函数，由此能够求出结果 【解答】解：设 F（x）f（x）（3x+9）f（x）3x9， 则 F（x）f（x）3， 对任意 xR 总有 f（x）3， F（x）f（x）20， F（x）f（x）3x9 在 R 上递增， f（2）3， F（2）f（2）3（2）90， f（x）3x+9， F（x）f（x）3x9F（2）0， x2 故选：A 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性的应用

19、，是中档题解题时要认真审题， 仔细解答，注意合理地进行等价转化 12 （5 分）已知点 A（0，1）是抛物线 x22py 的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为 抛物线上的点，且|PF|m|PA|，若双曲线 C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过 P 点， 当 m 取最小值时，双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】 求得抛物线的方程， 过 P 作准线的垂线， 垂足为 N， 则由抛物线的定义， 结合|PF| m|PA|，可得m，设 PA 的倾斜角为 ，则当 m 取得最小值时，sin 最小，此时 直线 PA 与抛物线相切，求出 P 的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心

20、率  【解答】解：点 A（0，1）是抛物线 C：x22py（p0）准线上的一点，可得 p2， 第 11 页（共 21 页） 抛物线的标准方程为 x24y， 则抛物线的焦点为 F（0，1） ，准线方程为 y1， 过 P 作准线的垂线，垂足为 N， 则由抛物线的定义可得|PN|PF|， |PF|m|PA|，|PN|m|PA|，则m， 设 PA 的倾斜角为 ，则 sinm， 当 m 取得最小值时，sin 最小，此时直线 PA 与抛物线相切， 设直线 PA 的方程为 ykx1，代入 x24y， 可得 x24（kx1） ， 即 x24kx+40， 16k2160，k1， P（2，1） ， 双曲

21、线的实轴长为|PA|PF|2（1） ， 双曲线的离心率为+1 故选：C 【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题 的能力，解答此题的关键是明确当 m 取得最小值时，sin 最小，此时直线 PA 与抛物线 相切，属中档题 二填空题（每题二填空题（每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f'（x） ，且满足 f（x）3xf'（1）+2lnx，则 f'（1） 1 第 12 页（共 21 页） 【分析】可以求出导函数，进而可以求出 f（1）3f（1）+2， 解出 f（1）即可 【解答】解：， f（

22、1）3f（1）+2， f（1）1 故答案为：1 【点评】考查基本初等函数的求导公式，以及已知函数求值的方法 14（5分） 已知点P是双曲线y21 上的一点， F1， F2是双曲线的两个焦点， 若|PF1|+|PF2| 4，则PF1F2的面积为 【分析】根据双曲线定义可条件得出 P 到两焦点的距离，根据余弦定理求出F1PF2，从 而得出三角形的面积 【解答】解：不妨设 P 在双曲线的右支上， 由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2，又|PF1|+|PF2|4， |PF1|3，|PF2|，又|F1F2|2c2， cosF1PF2，sinF1PF2， PF1F2的面积为 故答案为： 【点评】本题考查

23、了双曲线的定义与性质，属于中档题 15 （5 分）若函数 f（x）2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则 a 的 值为 3 【分析】本题由题意推导出 f（x）2x（3xa） ，x（0，+） ，当 a0 时，f（x） 2x（3xa）0，f（0）1，f（x）在（0，+）上没有零点；当 a0 时，f（x） 2x（3xa）0 的解为 x，f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增，由 f （x）只有一个零点，解得 a3 【解答】解：函数 f（x）2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点， f（x）2x（3xa） ，x（0，+） ， 当 a0 时，f（x）2x（3xa）0

24、， 第 13 页（共 21 页） 函数 f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）1， f（x）在（0，+）上没有零点，舍去； 当 a0 时，f（x）2x（3xa）0 的解为 x， f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增， 又 f（x）只有一个零点， f（）+10，解得 a3 故答案为：3 【点评】本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合 应用能力，属中档题 16 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，将直线 y与直线 x1 及 x 轴所围成的图 形绕 x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积 V圆锥（） 2dx 据 此类比：将曲线 yx2（x0）与直线 y2

25、 及 y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一 个旋转体，该旋转体的体积 V 2 【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积 【解答】解：根据类比推理得体积 Vydy，  故答案为：2 【点评】本题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决本题的关键 三解答题（三解答题（17 题题 10 分，其余各分，其余各 12 分）分） 17 （10 分）设 p：f（x）1+ax，在（0，2上 f（x）0 恒成立，q 函数 g（x）ax+2lnx 在其定义域上存在极值 （1）若 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）如果“pq”为真命题， “pq”为假命题，求实数

26、 a 的取值范围 第 14 页（共 21 页） 【分析】 （1）若 p 为真命题，则 a，x（0，2恒成立，进而得到得实数 a 的取值 范围； （2）如果“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，则命题 p 与 q 一真一假，进而得到 实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）若 p 为真命题，则 a，x（0，2恒成立，所以 a（）max， 即 a 的取值范围为，+） （2）若 q 为真命题： ，函数 g（x）ax+2lnx 在其定义域上存在极值； 由于 g（x）a+，x0 若 a0，g'（x）0，g（x）在定义域单调递增，在其定义域上不存在极值，不符合题 意； 若 a0，则

27、g（x）a+0，则 x， 当 0x时，g'（x）0，g（x）单调递增； 当 x时，g'（x）0，g（x）单调递减； x时，g（x）在 x时有极大值 所以，若 q 为真命题，则 a0， 因为“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，所以命题 p 与 q 一真一假， p 真 q 假时，则，解得 a0， p 假 q 真时，则，解得 a； 综上所述，a 的取值范围为（，）0，+） 【点评】本题考查了命题的真假判断，考查了函数恒成立问题，利用导数研究函数的极 值，复合命题等知识点，属于中档题 18 （12 分）已知数列an的第 1 项 a11，且 an+1 （1）计算 a2，a3

28、，a4； （2）猜想 an的表达式，并用数学归纳法进行证明 第 15 页（共 21 页） 【分析】 （1）利用递推关系式可求出 a2，a3，a4的值 （2）通过观察归纳出规律，从而猜想其通项公式，即可用数学归纳法证明 【解答】解： （1）由题意可得：a2， a3， a43 分 （2）通过观察归纳出规律：其通项应是一个真分数，分子为 1，分母与相应的下标相同， 故猜想 an（nN*） 6 分 用数学归纳法证明如下： 当 n1 时，猜想显然成立； 假设当 nk（kN*）时猜想成立，即：ak， 那么，ak+1， 所以，当 nk+1 时猜想也成立 根据，可知猜想对任何 nN*都成立14 分 【点评】本

29、题主要考查了数学归纳法的应用，正确理解递推关系并求出数列的前几项和 使用归纳推理是解题的关键，属于中档题 19 （12 分）如图所示，抛物线 y1x2与 x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计 划在该区域内围出一块矩形地块 ABCD 作为工业用地，其中 A、B 在抛物线上，C、D 在 x 轴上已知工业用地每单位面积价值为 3a 元（a0） ，其它的三个边角地块每单位面积 价值 a 元 （）求等待开垦土地的面积； （）如何确定点 C 的位置，才能使得整块土地总价值最大 第 16 页（共 21 页） 【分析】 （）先由定积分可求等待开垦土地的面积； （）进而可得工业用地面积，三个边角地块面积

30、，由此可得土地总价值，利用导数的 方法可求函数的最值 【解答】解： （）由， 故等待开垦土地的面积为（3 分） （）设点 C 的坐标为（x，0） ，则点 B（x，1x2）其中 0x1， （5 分） 土地总价值 （7 分） 由 y4a（13x2）0 得（9 分） 并且当时， 故当时，y 取得最大值（12 分） 答：当点 C 的坐标为时，整个地块的总价值最大（13 分） 【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，解题的关键是利用定积分知识 求面积，从而构建函数，同时考查利用导数求最值，综合性强 20 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，侧面 PCD底面 ABCD，PDCD，E 为 PC

31、中点，底 面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ADC90，ABADPD1，CD2 第 17 页（共 21 页） （）求证：BE平面 PAD； （）求证：BC平面 PBD； （）设 Q 为侧棱 PC 上一点，试确定 的值，使得二面角 QBDP 为 45 【分析】 （）取 PD 的中点 F，连接 EF、AF，由中位线得性质和 ABCD 及 AB1 证 出四边形 ABEF 为平行四边形，则 BEAF，根据线面平行的判定得 BE平面 PAD； （）由平面 PCD底面 ABCD，PDCD 证出 PDAD，利用三条线相互垂直关系， 建立直角坐标系，求出，即 BCDB，再由 PD平面 ABCD，可得 PDB

32、C， 即证 BC平面 PBD； （）利用（）建立的坐标系和结论，求出平面 PBD 的法向量，利用求 出 Q 的坐标，再利用垂直关系求平面 QBD 的法向量 的坐标，由两个法向量的数量积运 算表示二面角的余弦值，化简后求出 （0，1）的值 【解答】解： （）取 PD 的中点 F，连接 EF，AF， E 为 PC 中点，EFCD，且， 在梯形 ABCD 中，ABCD，AB1， EFAB，EFAB，四边形 ABEF 为平行四边形， BEAF，BE平面 PAD，AF平面 PAD， BE平面 PAD （4 分） （）平面 PCD底面 ABCD，PDCD，PD平面 ABCD， PDAD （5 分） 如图，

33、以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz 则 A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，C（0，2，0） ，P（0，0，1） （6 分） 第 18 页（共 21 页） ， ，BCDB， （8 分） 又由 PD平面 ABCD，可得 PDBC， BC平面 PBD （9 分） （）由（）知，平面 PBD 的法向量为， （10 分） ，且 （0，1） Q（0，2，1） ， （11 分） 设平面 QBD 的法向量为 （a，b，c） ， 由，得 ， ， （12 分） ， （13 分） 因 （0，1） ，解得 （14 分） 【点评】本题用了几何法和向量法进行证明平行及垂直关系、求值，有中点时通常构造 中位线

34、证明线线平行，根据线面平行的判定定理转化到线面平行；向量法主要利用数量 积为零证明垂直，对待二面角、线面角问题用向量法要简单些，建立坐标系要利用几何 体中的垂直条件 21 （12 分）已知焦点在 x 轴上的椭圆 C1的长轴长为 8，短半轴为 2，抛物线 C2的顶点 第 19 页（共 21 页） 在原点且焦点为椭圆 C1的右焦点 （1）求抛物线 C2的标准方程； （2）过（1，0）的两条相互垂直的直线与抛物线 C2有四个交点，求这四个点围成四边 形的面积的最小值 【分析】 （1）设半焦距为 c（c0） ，设抛物线 C2的标准方程为 y22px（p0） ，求出 p， 顶点抛物线 C2的标准方程 （

35、2）由题意易得两条直线的斜率存在且不为 0，设其中一条直线 l1的斜率为 k，直线 l1 方程为 yk （x1） ，则另一条直线 l2的方程为，分别联立直线与抛物线方程， 利用弦长公式求出|CD|、|AB|，求出四边形的面积四边形的面积 S|AB|CD|，利用基 本不等式求解最值 【解答】解： （1）设椭圆半焦距为 c（c0） ，由题意得 c 设抛物线 C2的标准方程为 y22px（p0） ，则，p4， 抛物线 C2的标准方程为 y28x （2）由题意易得两条直线的斜率存在且不为 0，设其中一条直线 l1的斜率为 k，直线 l1 方程为 yk（x1） ，则另一条直线 l2的方程为 y（x1）

36、， 联立得 k2x2（2k2+8）x+k20，32k2+640，设直线 l1与抛物线 C2的 交点为 A，B， 则则|AB|x2x1|， 同理设直线 l2与抛物线 C2的交点为 C，D， 则|CD|4 四边形的面积 S|AB|CD|4 ， 第 20 页（共 21 页） 令t +2 ， 则t 4 （ 当 且 仅 当k 1时 等 号 成 立 ）， 当两直线的斜率分别为 1 和1 时，四边形的面积最小，最小值为 96 【点评】本题考查题意方程的求法抛物线的求法，直线与题意以及抛物线的位置关系的 综合应用，考查转化思想以及计算能力 22 （12 分）已知函数 f（x）sinxax （）对于 x（0，1

37、） ，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （）当 a1 时，令 h（x）f（x）sinx+lnx+1，求 h（x）的最大值； （）求证： 【分析】 （）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出 a 的范围即可； （）求出 h（x）的导数，解关于导函数的不等式求出 h（x）的单调区间，从而求出 h （x）的最大值即可； （）构造函数 f（x）ln（1+x）x，利用导数法可证得 ln（1+x）x（当 x0 时， ln（1+x）x） ，令 x，利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立 【解答】解： （）f（x）sinxax0，sinxax0， 0x1，a， 令 g（x），g

38、9;（x） 令 m（x）xcosxsinx，m'（x）cosxxsinxcosxxsinx0， m（x）在（0，1）递减， m（x）m（0）0， g（x）0，g（x）在（0，1）递减， g（x）g（1）sin1， asin1； （）a1 时，h（x）lnxx+1， （x0） ， h（x）1， 令 h（x）0，解得：0x1，令 h（x）0，解得：x1， h（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减， h（x）的最大值是 h（1）0； 第 21 页（共 21 页） 证明： （）构造函数 g（x）ln（1+x）x， 则 g（x）1， 当1x0 时，g（x）0，g（x）在（1，0）上单调递增；

39、当 x0 时，g（x）0，g（x）在（0，+）上单调递减； 所以，当 x0 时，g（x）ln（1+x）x 取得极大值，也是最大值， 所以，g（x）g（0）0，即 ln（1+x）x，当 x0 时，ln（1+x）x 令 x， 则 ln（1+）ln（n+1）lnn，即 ln（n+1）lnn， ln2ln11，ln3ln2， lnnln（n1），ln（n+1）lnn， 以上 n 个不等式相加得：ln（n+1）ln11+， 即 【点评】本题考查函数的单调性、最值问题，考查不等式的证明，构造函数 g（x）ln （1+x）x，利用导数法证得 ln（1+x）x 是关键，也是难点，考查创新思维、化归思 想与推理论证能力，属于难题