2018-2019学年湖南省长沙市重点中学高二（下）期末数学试卷（文科）含详细解答

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1、（3 分）xy 是 lgxlgy 成立的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件  C充要条件 D既非充分又非必要条件 2 （3 分）设集合Ax|1x2，Bx|xa，若 AB，则 a 的取值范围是（ ） Aa|a2 Ba|a2 Ca|a1 Da|a2 3 （3 分）若点 P（3，4）是角 的终边上一点，则 sin2（ ） A B C D 4 （3 分）曲线 f（x）x32x+1 在点（l，f（1） ）处的切线方程为（ ） Ayx1 Byx+1 Cy2x2 Dy2x+2 5 （3 分）记等差数列an的前 n 项和为 Sn若 a53，S1391，则 a1+a11（ ） A7 B8 C9

2、 D10 6 （3 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S2a1+2a3，a41，则 S4（ ） A B C14 D15 7 （3 分）函数 f（x）sin（x+） （其中|）的图象如图所示，为了得到 yf（x） 的图象，只需把 ysinx 的图象上所有点（ ） A向右平移个单位长度  B向右平移个单位长度  C向左平移个单位长度  第 2 页（共 18 页） D向左平移个单位长度 8 （3 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别别为 a，b，c，且 2cosC（acosB+bcosA） ca1，b3 则 c（ ） A6 B7 C D9 9（3

3、分） 已知数列an满足an， 若对于任意的 nN*都有 anan+1， 则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，） B （0，） C （，） D （，1） 10 （3 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，若，且边， 则边 b（ ） A3 或 5 B3 C2 或 5 D5 11 （3 分）已知函数 f（x）ax32x2+x+c 在 R 上有极值点，则 a 的取值范围是（ ） A （0，） B （，0） C0，） D （） 12 （3 分）已知数列an的通项公式，设其前 n 项和为 Sn，则使 Sn4 成立的自然数 n 有（ ） A最大值 14 B最小值 14 C最大值 1

4、5 D最小值 15 13 （3 分）在ABC 中，A60，b1，其面积，则ABC 外接圆直径为（ ）  A B C D 14 （3 分）设数列an的前 n 项和 Sn，若+4n4，且 an0， 则 S100等于（ ） A5048 B5050 C10098 D10100 15 （3 分）已知函数 yf（x）对任意的 x（，）满足 f（x）cosx+f（x）sinx 0（其中 f（x）是函数 f（x）的导函数） ，则下列不等式成立的是（ ） Af（）f（） Bf（）f（）  Cf（0）2f（） Df（0）f（） 第 3 页（共 18 页） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题

5、共 5 小题小题.每小题每小题 3 分分.共共 15 分分. 16 （3 分）已知复数 za2+ai（aR） ，若，且 z 在复平面内对应的点位于第四象 限，复数 z   17 （3 分）已知向量 ， 方向相同，且 （1，） ，| |1，则   18 （3 分）函数 f（x）+cosx，x0，的最大值是   19 （3 分） 在数列an中， a11， 且对于任意正整数 n， 都有 an+1an+n， 则 a100    20 （3 分）若，则 SABC的最大值   三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题小题.每小题每小题

6、8 分，共分，共 40 分分.要求写出必要的文字说明、证明过程要求写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤或演算步骤. 21（8分） 在ABC中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 且满足  （I）求角 B 的大小； （II）若 b 是 a 和 c 的等比中项，求ABC 的面积 22 （8 分）已知向量 （，） ， （2，cos2x） （I）若，试判断 与 能否平行； （）若，求函数 f（x） 的最小值 23 （8 分）已知函数 f（x）2x33x212x+8 （）求函数 f（x）的单调区间； （）若 x2，3，求函数 f（x）的值域 24 （8 分）已知数列an的前

7、n 项和 Sn，对一切正整数 n，点（n，Sn）都在函数 f（x） 2x+24 的图象上 （I）求数列an的通项公式； （）设 bnanlog2an，求数列bn的前 n 项和 Tn 25 （8 分）已知函数 （1）当 a1 时，讨论函数 f（x）的单调性； （2）若不等式对于任意 xe 1，e成立，求正实数 a 的 取值范围 第 4 页（共 18 页） 2018-2019 学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷 （文科）（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 15 个小题个小题.每小题每小题

8、 3 分，共分，共 45 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中.只有一只有一 项是符合题目要求项是符合题目要求. 1 （3 分）xy 是 lgxlgy 成立的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件  C充要条件 D既非充分又非必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义结合对数函数的性质进行判断即可 【解答】解：由 lgxlgy 得：xy0， 故由 xy 推不出 xy0，不是充分条件， 由 xy0 能推出 xy，是必要条件， 故选：B 【点评】本题考查了充分必要条件，考查对数函数的性质，是一道基础题 2 （3 分）设集合Ax|1x2，Bx|xa，若 AB，则 a 的

9、取值范围是（ ） Aa|a2 Ba|a2 Ca|a1 Da|a2 【分析】在数轴上画出图形，结合图形易得 a2 【解答】解：在数轴上画出图形易得 a2 故选：A 【点评】本题考查集合的包含关系，解题时要作出图形，结合数轴进行求解 3 （3 分）若点 P（3，4）是角 的终边上一点，则 sin2（ ） A B C D 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得 sin、cos 的值，再利用二倍角的正弦公式 求得 sin2 的值 第 5 页（共 18 页） 【解答】解：点 P（3，4）是角 的终边上一点，sin，cos ， 则 sin22sincos， 故选：A 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的

10、定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础 题 4 （3 分）曲线 f（x）x32x+1 在点（l，f（1） ）处的切线方程为（ ） Ayx1 Byx+1 Cy2x2 Dy2x+2 【分析】求出曲线 f（x）x32x+1 在点（1，f（1） ）处的导数值，这个导数值即函数 图象在该点处的切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解即可 【解答】解：因为 f（x）x32x+1，f（1）0， 所以 f（x）3x22，f（1）1 所以曲线 yx32x+1 在点（1，0）处的切线的斜率为：1 此处的切线方程为 yx1； 故选：A 【点评】本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率，正确利用直线的点斜式方 程

11、，考查计算能力 5 （3 分）记等差数列an的前 n 项和为 Sn若 a53，S1391，则 a1+a11（ ） A7 B8 C9 D10 【分析】由 S1391 可得 a7值，可得 a1+a11a5+a7可得答案 【解答】解：由 S1313a791，可得 a77， 所以 a5+a710，从而 a1+a11a5+a710， 故选：D 【点评】本题主要考察等差数列的性质及等差数列前 n 项的和，由 S1391 得出 a7的值 是解题的关键 6 （3 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S2a1+2a3，a41，则 S4（ ） A B C14 D15 第 6 页（共 18 页） 【分析】

12、利用等比数列前 n 项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能 求出 S4 【解答】解：等比数列an的前 n 项和为 Sn，S2a1+2a3，a41， ， 解得， S415 故选：D 【点评】本题考查等比数列的前 4 项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查 推运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 7 （3 分）函数 f（x）sin（x+） （其中|）的图象如图所示，为了得到 yf（x） 的图象，只需把 ysinx 的图象上所有点（ ） A向右平移个单位长度  B向右平移个单位长度  C向左平移个单位长度  D向左平移个单位长度 【分析】 由

13、T， 可求得其周期 T， 继而可求得 ， 再利用函数 yAsin （x+） 的图象变换及可求得答案 【解答】解：由图知，T， T（0） ， 2； 第 7 页（共 18 页） 又+， ，又 A1， yf（x）sin（2x+） ，g（x）sin2x， g（x+）sin2（x+）sin（2x+） ， 为了得到 f（x）sin（2x+）的图象，则只要将 g（x）sin2x 的图象向左平移个 单位长度 故选：C 【点评】本题考查函数 yAsin（x+）的图象变换，求得 是关键，考查识图与运算 能力，属于中档题 8 （3 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别别为 a，b，c，且 2cosC（ac

14、osB+bcosA） ca1，b3 则 c（ ） A6 B7 C D9 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦函数化简已知条件，然后求 cosC 的值，根据余 弦定理即可计算得解 c 的值 【解答】解：2cosC（acosB+bcosA）c， 由正弦定理得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）sinC， 2cosCsin（A+B）sinC， A+B+C，A、B、C（0，） ， sin（A+B）sinC0， 2cosC1，cosC， a1，b3， 由余弦定理可得：c 故选：C 【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基 础题 9（3 分） 已知数列an

15、满足an， 若对于任意的 nN*都有 anan+1， 第 8 页（共 18 页） 则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，） B （0，） C （，） D （，1） 【分析】对于任意的 nN*都有 anan+1，可知：数列an单调递减，可得 0a1再 分类讨论即可得出 【解答】解：对于任意的 nN*都有 anan+1，数列an单调递减，可知 0a1 当时，n8，单调递减，而（n8）单调递减， 9+2a8 7，解得 a ，因此a1 当时，n8，单调递增，应舍去 综上可知：实数 a 的取值范围是a1 故选：D 【点评】熟练掌握一次函数和指数函数的单调性是解题的关键 10 （3 分）在ABC 中，

16、角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，若，且边， 则边 b（ ） A3 或 5 B3 C2 或 5 D5 【分析】由已知利用余弦定理即可解得 b28b+150，解方程可求 b 的值 【解答】解：因为， 所以由余弦定理得：，即 b28b+150， 解得 b3 或 b5 故选：A 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题  11 （3 分）已知函数 f（x）ax32x2+x+c 在 R 上有极值点，则 a 的取值范围是（ ） A （0，） B （，0） C0，） D （） 【分析】f（x）3ax24x+1根据函数 f（x）ax32x2+x+c 在 R

17、 上有极值点，可得 f（x）3ax24x+10 在 R 上有解对 a 分类讨论，利用0 即可得出 【解答】解：f（x）3ax24x+1 函数 f（x）ax32x2+x+c 在 R 上有极值点， f（x）3ax24x+10 在 R 上有解 第 9 页（共 18 页） a0 时，f（x）4x+10，解得 x，满足题意 a0 时，1612a0，解得 a，且 a0 综上可得：a 的取值范围是（，） 故选：D 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论 方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 12 （3 分）已知数列an的通项公式，设其前 n 项和为 Sn，则使 S

18、n4 成立的自然数 n 有（ ） A最大值 14 B最小值 14 C最大值 15 D最小值 15 【分析】anlog2log2nlog2（n+1） ，运用裂项相消求和求得 Snlog2（n+1） ，再 由对数不等式的解法可得 n 的范围，进而得到 n 的最大值 【解答】解：anlog2log2nlog2（n+1） ， 即有前 n 项和为 Snlog21log22+log22log23+log2nlog2（n+1） log2（n+1） ， 由 Sn4，即为 log2（n+1）4， 解得 n+116，即有 n15， 则 n 的最大值为 14 故选：A 【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，

19、考查对数的运算性质和不等式的解 法，考查运算能力，属于中档题 13 （3 分）在ABC 中，A60，b1，其面积，则ABC 外接圆直径为（ ）  A B C D 【分析】在ABC 中，由，A60，b1，其面积为，可求得 c，利用余弦定理 a2b2+c22bccosA 可以求得 a， 再利用正弦定理2R 可求得ABC 外接圆的直 径 【解答】解：在ABC 中，A60，b1，SABCbcsinA1csin60 ， 第 10 页（共 18 页） c4， 由余弦定理得：a2b2+c22bccosA1724113，解得 a； 由正弦定理得：2R， 2R 故选：B 【点评】本题考查正弦定理的应用

20、，重点考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题  14 （3 分）设数列an的前 n 项和 Sn，若+4n4，且 an0， 则 S100等于（ ） A5048 B5050 C10098 D10100 【分析】根据题意推知数列an的通项公式是 an2n（n2） ，然后由前 n 项和公式进行 解答即可 【解答】解：当 n1 时，0，则 a10 当 n2 时，+4n4， +4n8， +4n， 由得到：4， an0， an2n， 由得到：4， an+12n+2， an+1an2， 第 11 页（共 18 页） 数列an是等差数列，公差是 2， 综上所述，an， S100a1+a2+a3+a1

21、000+（1001）10098 故选：C 【点评】本题考查了数列求和解题的关键是求得数列an的通项公式，在求该通项公 式时，要分类讨论：n1 和 n2 两种情况，以防错解 15 （3 分）已知函数 yf（x）对任意的 x（，）满足 f（x）cosx+f（x）sinx 0（其中 f（x）是函数 f（x）的导函数） ，则下列不等式成立的是（ ） Af（）f（） Bf（）f（）  Cf（0）2f（） Df（0）f（） 【分析】根据条件构造函数 g（x），求函数的导数，利用函数的单调性和导数 之间的关系即可得到结论 【解答】解：构造函数 g（x）， 则 g（x）（f（x）cosx+f（x）s

22、inx） ， 对任意的 x（，）满足 f（x）cosx+f（x）sinx0， g（x）0，即函数 g（x）在 x（，）单调递增， 则 g（）g（） ，即， ，即f（）f（） ，故 A 正确 g（0）g（） ，即， f（0）2f（） ， 故选：A 第 12 页（共 18 页） 【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合 性较强，有一点的难度 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题小题.每小题每小题 3 分分.共共 15 分分. 16 （3 分）已知复数 za2+ai（aR） ，若，且 z 在复平面内对应的点位于第四象 限，复数 z 1i 【分析】由复

23、数模求得 a，则答案可求 【解答】解：za2+ai，且， ，即 a4+a220， 解得：a21， z 在复平面内对应的点位于第四象限，a1 则 z1i 故答案为：1i 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题 17 （3 分）已知向量 ， 方向相同，且 （1，） ，| |1，则 （，）  【分析】先求出| |2，再根据向量 ， 方向相同，| |1，得到 ，问题得以解 决 【解答】解： （1，） ， | |2， | |1， ， （，） ， 故答案为： （，） 【点评】本题的考点是向量的模，根据共线向量的方向和两个向量的模求解 18 （3 分）函数 f（x

24、）+cosx，x0，的最大值是 【分析】由已知得，由此利用导数性质能求出函数 f（x）+cosx， 第 13 页（共 18 页） x0，的最大值 【解答】解：f（x）+cosx， ， 由 f（x）0，得 x， f（0）1，f（），f（）， 函数 f（x）+cosx，x0，的最大值是 f（） 故答案为： 【点评】本题考查函数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质 的合理运用 19（3 分） 在数列an中， a11， 且对于任意正整数 n， 都有 an+1an+n， 则 a100 4951  【分析】由题意知 a2a11，a3a22，a100a9999，所以 a100a

25、1+（a2a1） +（a3a2）+（a100a99）1+1+2+994951 【解答】解：a11，an+1an+n， a2a11，a3a22，a100a9999， a100a1+（a2a1）+（a3a2）+（a100a99） 1+1+2+99 4951 答案：4951 【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答 20 （3 分）若，则 SABC的最大值 【分析】设 BCx，根据面积公式用 x 和 sinB 表示出三角形的面积，再根据余弦定理用 x 表示出 sinB，代入三角形的面积表达式，进而得到关于 x 的三角形面积表达式，再根据 三角形的两边之和大于第三边列出关于 x 的

26、不等式，求出不等式的解集得到 x 的范围， 根据 x 的范围求出被开方数中完全平方式为 0 时的 x 的值，把求出 x 的值代入即可得到 三角形面积的最大值 【解答】解：设 BCx，则 ACx， 第 14 页（共 18 页） 根据面积公式得 SABCABBCsinB2x， 又根据余弦定理得 cosB， 代入上式得： SABCx， 由三角形三边关系有：， 解得：22x2+2 所以当 x2时，x2120，此时 SABC取得最大值2 故答案为：2 【点评】本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用，当涉及最值问题时， 可考虑用函数的单调性和定义域等问题，本题的思路为：利用三角形的任两边之和大

27、于 第三边列出不等式，求出 x 的范围，进而根据 x 的范围求出完全平方式的最小值即为三 角形面积的最大值 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题小题.每小题每小题 8 分，共分，共 40 分分.要求写出必要的文字说明、证明过程要求写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤或演算步骤. 21（8分） 在ABC中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 且满足  （I）求角 B 的大小； （II）若 b 是 a 和 c 的等比中项，求ABC 的面积 【分析】 （I）题设利用两角和公式整理等式求得 sin（B+）的值，进而求得 B （II）根据等比中项性质可求得 b2

28、ac，代入余弦定理中求得 a 与 c 的值，进而可推断出 三角形为正三角形，进而求得三角形的面积 【解答】解： （I）由， 得， 由 B（0，）得，故， 得 （II）由 b 是 a 和 c 的等比中项得 b2ac 第 15 页（共 18 页） 又由余弦定理得 b2a2+c22accosBa2+c22accosa2+c2ac， 故 aca2+c2ac，得（ac）20，得 ac1， b1 故ABC 为正三角形 故 【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，两角和公式的化简求值考查了学生对基础 知识点综合运用 22 （8 分）已知向量 （，） ， （2，cos2x） （I）若，试判断 与 能否平行； （

29、）若，求函数 f（x） 的最小值 【分析】 （）若 与 平行，则 cos2x2，与|cos2x|1 相矛盾，从而 与 不能平行  （）f（x） 2sinx+，由 2sinx+22，能求出 函数 f（x）的最小值 【解答】解： （）向量 （，） ， （2，cos2x） ， 若 与 平行，则有2， 因为 x（0，sinx0，所以得 cos2x2， 这与|cos2x|1 相矛盾， 故 与 不能平行（6 分） （）向量 （，） ， （2，cos2x） ， f（x） 2sinx+， 又x（0，sinx（0， 2sinx+22， 当 2sinx，即 sinx时取等号 故函数 f（x）的最小值等于

30、 2（12 分） 第 16 页（共 18 页） 【点评】本题考查向量是否平行的判断，考查函数的最小值的求法，考查向量平行、向 量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 23 （8 分）已知函数 f（x）2x33x212x+8 （）求函数 f（x）的单调区间； （）若 x2，3，求函数 f（x）的值域 【分析】 （）由函数 f（x）2x33x212x+8，得 f（x）6x26x12，令 f（x） 0 时，解得：x2，x1，从而求出函数的单调区间 （）由（）得：f（x）在2，1，2，3递增，在（1，2）递减，再求出极值 和端点值，从而求出函数的值域 【解答】解： （）

31、函数 f（x）2x33x212x+8， f（x）6x26x12， 令 f（x）0 时，解得：x2，x1， f（x）在（1） ， （2，+）递增，在（1，2）递减； （）由（）得： f（x）在2，1，2，3递增，在（1，2）递减， 而 f（2）4，f（1）15，f（2）12，f（3）1， 函数 f（x）的值域为：12，15 【点评】本题考察了函数的单调性，求函数在闭区间上的最值问题，是一道基础题 24 （8 分）已知数列an的前 n 项和 Sn，对一切正整数 n，点（n，Sn）都在函数 f（x） 2x+24 的图象上 （I）求数列an的通项公式； （）设 bnanlog2an，求数列bn的前 n

32、 项和 Tn 【分析】 （I）要求数列的通项公式，当 n 大于等于 2 时可根据数列的前 n 项的和减去数 列的前 n1 项的和求出，然后把 n1 代入验证； （II）要求数列bn的前 n 项和 Tn可先求出该数列的通项公式，列举出数列的各项，然 后利用错位相减法得到数列的前 n 项的和即可 【解答】解： （I）由题意，Sn2n+24，n2 时， anSnSn12n+22n+12n+1 当 n1 时，a1S12344，也适合上式 数列an的通项公式为 an2n+1，nN*； 第 17 页（共 18 页） （II）bnanlog2an（n+1） 2n+1， Tn222+323+424+n2n+（

33、n+1） 2n+1 2Tn223+324+425+n2n+1+（n+1） 2n+2 得，Tn232324252n+1+（n+1） 2n+2 2323（2n 11）+（n+1） 2n+2（n+1） 2n+2232n1 （n+1） 2n+21n+2n2n+2 【点评】本题考查了利用做差法求数列通项公式，利用错位相减法求数列的前 n 项的和， 以及利用等比数列的前 n 项和的公式，学生做题时应注意利用做差法时讨论 n 的取值 25 （8 分）已知函数 （1）当 a1 时，讨论函数 f（x）的单调性； （2）若不等式对于任意 xe 1，e成立，求正实数 a 的 取值范围 【分析】 （1）求出函数的导数

34、，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）原题等价于对任意 x，e，有alnx+xae1 成立，设 g（x）alnx+xa，a 0，所以 g（x）maxe1，求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而确定 a 的范 围即可 【解答】解： （1）函数 f（x）的定义域为（0，+） ， f（x）x（a+1）+， 若 0a1， 当 0xa 或 x1 时，f（x）0，f（x）单调递增； 当 ax1 时，f（x）0，f（x）单调递减， 若 a0， 当 0x1 时，f（x）0，f（x）单调递减； 当 x1 时，f（x）0，f（x）单调递增 综上所述，当 a0 时，函数 f（x）在（1，+）上单

35、调递增，在（0，1）上单调递减；  当 0a1 时，函数 f（x）在（a，1）上单调递减，在（0，a）和（1，+）上单调递 增 第 18 页（共 18 页） （2）原题等价于对任意 x，e，有alnx+xae1 成立， 设 g（x）alnx+xa，a0，所以 g（x）maxe1， g（x）， 令 g（x）0，得 0x1；令 g（x）0，得 x1， 所以函数 g（x）在，1上单调递减，在（1，e上单调递增， g（x）maxmax（g（）a+e a，g（e）a+ea） ， 设 h（a）g（e）g（）eae a2a（a0） ， 则 h（a）ea+e a22 20， 所以 h（a）在（0，+）上单调递增， 故 h（a）h（0）0， 所以 g（e）g（） ， 从而 g（x）maxg（e）a+ea， 所以a+eae1，即 eaae+10， 设 （a）eaae+1（a0） ，则 （a）ea10， 所以 （a）在（0，+）上单调递增， 又 （1）0，所以 eaae+10 的解为 a1， 因为 a0，所以正实数 a 的取值范围为（0，1 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题