2020年4月湖南省长郡中学高三月第三次适应性考试数学（理）试题（含答案）

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1、 第 1 页 共 14 页 长郡中学长郡中学 2020 届高三第三次适应性考试数学（理）试题届高三第三次适应性考试数学（理）试题 一、选择题本大题共 12 小题，每小题 5 分共 60 分 1.集合 12 |xNz x 中含有的元素的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D.12 2.设,a bR i是虚数单位，则“复数zabi为纯虚数”是“0ab”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D 充分不必要条件 3. 2019 年 10 月 1 日上午，庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不 仅展示了我国的科技军事力量，

2、更是让世界感受到了中国的日新月异，今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他 们是院校科研方阵，他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建，若已知甲、乙、丙三人来 自上述三所学校，学历分别是学士，硕士，博士学位，现在知道甲不是军事学院的；来自军事学院的 不是博士；乙不是军事学院的；乙不是博士学位；国防科技大学的是研究生，则丙来自哪个院校的， 学位是什么（） A. 国防大学，博士 B. 国防科技大学，研究生 C. 国防大学，研究生 D 军事科学院，学士 4. 8 2 1 xy x 的展开式中 12 x y 的系数是（ ） A. 160 B. 240 C. 280 D320 5.已知 3 ln3,lo

3、g,logabe ce ，则下列关系正确的是（ ） A. cba B. abc C. bac Dbca 6.函数 2 ( ) ln(1) xx ee f x x 在 3,3上的图像大致是（ ） 第 2 页 共 14 页 A. B. C. D 7.一个几何体的三视图及尺寸如图，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几 何体的表面积是（ ） A. 8 28 B. 8 216 C. 16 28 D 16 2 16 8.已知(0,),(,0) 22 ， 13 cos(),cos() 4343 ，则cos() 2 （ ） A. 3 3 B. 3 3 C. 5 3 9 D 6 9 9

4、.已知 12 ,F F是双曲线 2 2 2 :1(0) x Cya a 的两个焦点， 过点 1 F且垂直于x轴的直线与C相交于,A B两点， 若2AB ，则 2 ABF的内切圆半径为（ ） A. 2 3 B. 3 3 C. 3 2 3 D 2 3 3 10.已知数列 n a的通项公式为22 n an，将这个数列中的项摆放处如图所示的数阵，记 n b为数阵从左 至右的 n 列，从上到下的 n 行共个数 2 n个和，则数列 n n b 的前 2020 项和为（ ） 第 3 页 共 14 页 A. 1011 2020 B. 2019 2020 C. 2020 2021 D 1010 2021 11.

5、上世纪末河南出土的以鹤的尺骨制成的骨笛（图 1） ，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学 水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系，图 2 为骨笛测量“春（秋）分” “夏（冬）至”的示意图， 图 3 是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲部分忽略不计） ，夏至（或冬至） （当日正午太阳光线）与春分 日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角，由此历法理论知：黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切 值即对应的年代如下表： 黄赤交角 23 41 23 57 2413 24 28 24 44 正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元前 2000 年

6、 公元前 4000 年 公元前 6000 年 公元前 8000 年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（ ） A. 早于公元前 6000 年 B. 公元前 2000 年到公元元年 C. 公元前 4000 年到公元前 2000 年 D 公元前 6000 年到公元前 4000 年 12.在满足04, ii yx iiii xyxy的实数对( ,)(1,2,3,., ) ii x yin中，使得 1231 .3 nn xxxxx ， 成立的正整数 n 的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D 9 二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分共 20 分 第 4 页 共

7、14 页 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增长，动力蓄电池 技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的注意动力，假定现在市场销售 的某款新能源汽车上车载动力蓄电池充电循环次数达到 2000 次的概率为 00 85，充放电循环次数达到 2500 次的概率是 0 0 35，若某用户的自用新能源汽车已经经过了 2000 次充电，那么他的车能够充电 2500 次的概 率是_ 14.动点P到直线1x的距离和他到点(1,0)F距离相等，直线AB过(4,0)且交点P的轨迹于,A B两点， 则以AB为直径的圆必过_. 15.已知 2 2

8、4 ( )ln , ( ) () e f xx g x xa ,如果函数( )( )( )h xf xg x有三个零点，则实数a的取值范围是 _ 16.如图，棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D，点,M N E分别是 1, ,AA AB AD的中点，以 A 为圆心，1 为半径，分别在面 11 ABB A和面ABCD内作弧,MN NE并将两弧五等分，分点依次是 1234 ,M P P P P N以 及 1234 ,N Q Q Q Q E，一只蚂蚁从点 P 出发，沿正方体的表面爬行至 4, Q则其爬行的最短距离为_ (参考数据：cos90.9877,cos180.9511,cos27

9、0.8910 ) 三、解答题：共 70 分 17.已知, ,a b c分别是ABC内角, ,A B C的对边，若ABC同时满足下列四个条件中的三个 2 63 33 baac cab ; 2 cos22cos1 2 A A;6a ;2 2b （1）满足有解三角形的序号有那些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC的面积（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一 种可能计分） 第 5 页 共 14 页 18.为提供市民的健身素质，某市把, ,A B C D四个篮球馆全部转为免费民用 （1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从, ,A B C D四场馆的使用

10、场数中依次抽取 1234 ,a a a a共 25 场，在 1234 ,a a a a中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望； （2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为x，其相应维修费用为y元，根据统计，得到如下表的数 据： x 10 15 20 25 30 35 40 y 10000 11761 13010 13980 14771 15440 16020 4343 0.12 y ze 2.99 3.49 4.05 4.50 4.99 5.49 5.99 用最小二乘法求z与x的回归直线方程； 40 y x 叫做篮球馆月惠值，根据的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时x的值 参考数据和公

11、式： 77 23 11 4.5,()700,()()70,20 iii ii zxxxx zze 7 1 7 2 1 ()() () ii i i i xx zz b xx ,azbx 19. 如 图 ， 三 棱 台 111 ABCABC中 ， 侧 面 11 AB BA与 侧 面 11 ACCA是 全 等 的 梯 形 ， 若 1111111 ,24AAAB AAAC ABABAA， 第 6 页 共 14 页 （1）若 1 2,2CDDA AEEB，证明：/DE平面 11 BCC B； （2）若二面角 11 CAAB为 3 ，求平面 11 AB BA与平面 11 C B BC所成的锐二面角的余弦

12、值 20.已知函数 2 1 ( )(1)ln (,0) 2 f xaxaxx aR a （1）求函数( )f x的单调递增区间 （2）记函数( )yF x的图象为曲线C，设点 1122 ( ,), (,)A x yB xy是曲线C上不同两点，如果在曲线C上 存在点 00 (,)M xy，使得 12 0 2 xx x ; 曲线C在点 M 处的切线平行于直线 AB，则称函数存在“中值 和谐切线” ，当2a时，函数( )f x是否存在“中值和谐切线”请说明理由 21.已知抛物线 2 :2G ypx，焦点为F，直线l交抛物线G于,A B两点，交抛物线G的准线于点C，如 图所示，当直线l经过焦点F时，点

13、F恰好是AC的中点，且 8 3 BC . （1）求抛物线G的方程； （2）点O是原点，设直线,OA OB的斜率分别是 12 ,k k，当直线l的纵截距为 1 时，有数列 n a满足 2 112n 1,16,4(2 n akaka ），设数列 1 n n a a 的前 n 项和为 n S，已知存在正整数m使得 2020 1mSm，求 m 的值. 22.选修 4-4 第 7 页 共 14 页 已知曲线C的及坐标方程是4cos ,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平 面直角坐标系，直线l的参数方程是 2 2 2 2 xmt yt （t 是参数） (1)若直线l与曲线C相交于,A

14、B两点，且14AB ，求实数m的值； （2）设( , )M x y为曲线C上任意一点，求xy的取值范围. 23.选修 4-5 已知函数( ) |1|f xxxa （1）若1a，求不等式( )1f x 的解集 （2）若,( ) |21|xR f xa 为假命题，求a的范围 试题答案部分 一、选择题 1-6：BCDCAB 7-12：ACBDAA 二、填空题 13. 7 17 14. 0,0 15. 3 , e 16. 1.7820 三、解答题： 17.解： （1） 2 63 33 baac cab 可化为 222 6 cos 23 acb B ac ， 535 cos, 626 B 2 1 22c

15、os1,cos, 223 A cs AAA 第 8 页 共 14 页 可得不能同时出现作为条件，所以满足条件的序号组合是：; （2）取 由正弦定理得： 62 2 ,sin1, sin2 sin 3 BB B 1 2,623 2 cS 18.解： （1）抽样比为 251 1004 ，所以 1234 ,a a a a分别是,6,7,8，5 所以两数之和所有可能取值是：10,12,13,15 1 10 6 p， 1 12 3 p， 1 13 3 p， 1 15 6 p 所以分布列为 期望为 1111 ( )1012131512.5 6336 E （2）因为 77 2 11 ()700,()()70,

16、 iii ii xxxx zz 所以 7 1 7 2 1 ()() () ii i i i xx zz b xx ， 701 ,4.50.1 252 70010 a， 0.12zx ； 4343 0.12 y ze0.12x， 设 2 40 1ln 4343ln ( ),( )4340 4040(40) x yx x g xg x xxx , 第 9 页 共 14 页 所以当0,20,( )0, ( )xg xg x递增，当20,),( )0, ( )xg xg x时递减 所以约惠值最大值时的x值为 20 19.解： （1）连接 11 ,AC BC 在梯形 11 ACCA中, 11 2ACAC

17、 因为 11 ,ACACD 1 2,CDDA 所以 1 2ADDA,2AEEB, 1 /DEBC 1 BC 平面 11, BCC B DE 平面 11 BCC B 所以/DE平面 11 BCC B (2) 1111 ,AAACAAAC 1 , 3 AAABBAC , 在平面内过点 A 作 AC 的垂线，尽量如图所示坐标系 则 11111 1,2,4AAABACAC 11 (0,0,1), (0,4,0), (2 3,2,0),( 3,1,1)ACBB 平面 11 AB BA的法向量为( , , )mx y z， 第 10 页 共 14 页 则 1 2 320 ,(1,3,0) 30 m ABx

18、y m m ABxyz 同理得平面 11 C B BC的法向量为(1, 3,2 3)n 1 cos 4 所以平面 11 AB BA与平面 11 C B BC所成的锐二面角的余弦值 1 4 . 20.(1)函数的定义域为0,，所以 1 (1)() ( ) a xx a fx x 当0a时，( )0,1fxx；( )0,01fxx， 所以函数( )f x在1,上单调递增 当0a时， 当 11 1,1,( )0,1afxx aa 时，函数在 1 ,0 a 上递增 1 1,1a a ,显然无增区间； 当 1 1, 10a a 时, 1 ( )0,1fxx a ,函数在 1 1, a 上递增, 综上当0

19、,a 函数在 1 ,1 a 上单调递增. 第 11 页 共 14 页 当1a时函数在 1 , a 上单调递增； 当1a时函数无单调递增区间 当10a 时函数在 1 1, a 上单调递增 (2)假设函数存在“中值相依切线” 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy是曲线( )yf x上不同的两个点，且 12 0xx 则 1111222 ln,lnyxxx yxxx 2121 21 2121 lnln 1 AB yyxx kxx xxxx 曲线在点 00 (,)M xy处的切线的斜率为 012 12 2 ()1kfxxx xx , 21 2112 2112 lnln2 1 xx xxxx

20、 xxxx 2 2121 2 21121 1 2(1) lnln2 ,ln0 1 x xxxx x xxxxx x . 令 2 1 x t x ，则 2 2 2(1)(1) ( )ln,( )0 1(1) tt h tth t tt t , ( )h t单调递增，( )(1)0h th， 故( )0h t 无解，假设不成立 综上，假设不成立，所以不存在“中值相依切线” 第 12 页 共 14 页 21.解： （1）设过抛物线焦点的直线方程为() 2 p yk x, 与抛物线方程联立得： 22 222 (2 )0 4 k p k xk pp x， 设 2 112221 ( ,), (,), 4

21、p A x yB xyy y , 所以 222 33 (,), (,),3 263 PP AkP BP k Pp， 2 2 22 38 3, 333 P kBCP , 2P, 所以抛物线方程为 2 4yx （2）设直线方程为 2 (1) 1 , 4 xm y xm y yx , 2 1212 440,4 ,4ymymy ym yym, 12 21 12 4 yy kk xx , 22 11 16(42)4,(1) nnnnnnn aaaaaa a , 1 1111 (1)1 nnnnn aa aaa , 11 1 () 11 n nnn a aaa , 2020 122320202021202

22、1 1111111 2020(.)2020 1S aaaaaaa 第 13 页 共 14 页 由 11 1,(1)1 nnn aaa a 得2019m. 22.（1）曲线的直角坐标方程为 22 (2)4xy, 直线的直角坐标方程为yxm, 所以 2022 ,1 222 m dm 或3m (2)圆的参数方程为 2sin 22cos y x 因为点在圆上，所以22cos2sin22sin() 4 xy 所以xy范围是22 2,22 2 23.解： （1）当1a时， 2,1 ( ) |1|1|2 , 11 2,1 x f xxxxx x 由( )1f x 得 1 2 x 故不等式的解集为 1 ,) 2 （2）因为原命题为假命题，所以,( ) |21|xR f xa 是真命题, max ( )|21|f xa, ( ) |1| |1| |1|f xxxaxxaa max ( )|1|,|1| |21|f xaaa , 22 (1)(21)aa,20a 第 14 页 共 14 页 所以a取值范围是 2,0