2018-2019学年湖南省长沙市天心区明德教育集团八年级（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019 学年湖南省长沙市天心区明德教育集团八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图 形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Ab3b32b3 Bx6x2x3 C （a3）2a6 D （a5）2a7 3 （3 分）一种新型病毒的直径约为 0.000023 毫米，用科学记数法表示为（ ）毫米 A0.2310 6 B2.3106 C2.310 5 D2.310 4 4 （3 分）计算的结果是（ ） A B

2、C D3 5 （3 分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A1，2，3 B2，3，4 C3，4，5 D4，5，6 6 （3 分）下列式子中，不是最简二次根式的是（ ） A B C D2 7 （3 分）若分式的值为 0，则 x 的值应为（ ） A1 B1 C3 D3 8 （3 分）到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点 A三个内角平分线 B三边垂直平分线  C三条中线 D三条高 9 （3 分）如图，一棵树在一次强台风中于离地面 4 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30 夹角，这棵树在折断前的高度为（ ）米 第 2 页（共 21 页） A4 B8 C12 D3+3

3、 10 （3 分）如果 x2+2mx+9 是一个完全平方式，则 m 的值是（ ） A3 B3 C6 D6 11 （3 分）关于 x 分式方程1 的解为正数，则 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm2 Cm2 且 m3 Dm1 12 （3 分）如图，在 Rt 直角ABC 中，B45，ABAC，点 D 为 BC 中点，直角 MDN 绕点 D 旋转，DM，DN 分别与边 AB，AC 交于 E，F 两点，下列结论：DEF 是等腰直角三角形；AECF；BDEADF；BE+CFEF，其中正确结论是 （ ） A B C D 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分

4、，共 18 分）分） 13 （3 分）分解因式：m2n4n   14 （3 分）比较大小：   3 （填“” 、 “”或“” ） 15 （3 分）一个等腰三角形的顶角为 80，则它的一个底角为   16 （3 分）约分的结果是   17 （3 分）要使在实数范围内有意义，x 应满足的条件是   18 （3 分）如图，BC90，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC，且ADC110， 则MAB   三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，第个小题，第 19，20 题每小题题每小题 6 分，第分，第 21，22 题每小题题每

5、小题 6 分，第分，第 23，24 题每小题题每小题 6 分，第分，第 25，26 题每小题题每小题 6 分，共分，共 66 分）分） 第 3 页（共 21 页） 19 （6 分）计算： （3.14）0+（） 1+|2 | 20 （6 分）先化简，再求值： （x+3） （x3）x（x2）+（x1）2，其中 x 21 （8 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线 的交点的三角形）ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为（4，5） ， （2，1） （1）写出点 C 及点 C 关于 y 轴对称的点 C的坐标； （2）请作出ABC 关于 y 轴对称的ABC； （3）求

6、ABC 的面积 22 （8 分）如图，ABC 中，ABBC，ABC90，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AECF （1）求证：ABECBF； （2）若CAE25，求ACF 的度数 23 （9 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 为 BC 上的一点，将ACD 沿 AD 折叠，点 C 恰好落在边 AB 上的 E 处，且 BD4，CD （1）求 BE 的长； （2）求 AC 的长 第 4 页（共 21 页） 24 （9 分） “一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司生产 A， B 两种机械设备，每台 B 种设备的成本是 A 种设备的 1.5

7、 倍，公司若投入 16 万元生产 A 种设备，36 万元生产 B 种设备，则可生产两种设备共 10 台请解答下列问题： （1）A，B 两种设备每台的成本分别是多少万元？ （2）A，B 两种设备每台的售价分别是 6 万元，10 万元，该公司生产两种设备各 30 台， 为更好地支持“一带一路”的战略构想，公司决定优惠卖给“一带一路”沿线的甲国，A 种设备按原来售价 8 折出售，B 种设备在原来售价的基础上优惠 10%，若设备全部售出， 该公司一共获利多少万元？ 25 （10 分）数学的趣味无处不在，在学习数学的过程中，小明发现了有规律的等式： （x21）（x1）x+1； （x31）（x1）+x2+

8、x+1； （x41）（x1）x3+x2+x+1； （x51）（x1）x4+x3+x2+x+1； （1）从计算过程中找出规律，可知： （x81）（x1）   ；   xn 1+xn2+x3+x2+x+1 （2）计算：2n+2n 1+x3+x2+x+1（结果用含 n 的式子表示） （3）对于算式：2（3+1） （32+1） （34+1） （38+1） （316+1） （332+1） （364+1）+1 计算出算式的值（结果用乘方表示） ； 直接写出结果的个位数字是几？ 26 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，3） ，B（3，0） ，AB6，作DBO ABO，点

9、H 为 y 轴上的点，CAHBAO，BD 交 y 轴于点 E，直线 DO 交 AC 于 点 C （1）证明：ABE 为等边三角形； （2）若 CDAB 于点 F，求线段 CD 的长； 第 5 页（共 21 页） （3）动点 P 从 A 出发，沿 AOB 路线运动，速度为 1 个单位长度每秒，到 B 点处停 止运动；动点 Q 从 B 出发，沿 BOA 路线运动，速度为 2 个单位长度每秒，到 A 点 处停止运动两点同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止在某时刻，作 PM CD 于点 M，QNCD 于点 N问两动点运动多长时间时OPM 与OQN 全等？ 第 6 页（共 21 页） 2018-20

10、19 学年湖南省学年湖南省长沙市天心区明德教育集团八年级（上）长沙市天心区明德教育集团八年级（上） 期末数学试卷期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图 形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各个汉字进行判断即可得解 【解答】解：A、 “大”是轴对称图形，故本选项不合题意； B、 “美”是轴对称图形，故本选项不合题意； C、 “中”是轴对称图形，故本选项不合题意； D、

11、“国”不是轴对称图形，故本选项符合题意 故选：D 【点评】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Ab3b32b3 Bx6x2x3 C （a3）2a6 D （a5）2a7 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案 【解答】解：A、b3b3b6，故此选项错误； B、x6x2x4，故此选项错误； C、 （a3）2a6，故此选项正确； D、 （a5）2a10，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法 则是解题关键 3 （3 分

12、）一种新型病毒的直径约为 0.000023 毫米，用科学记数法表示为（ ）毫米 第 7 页（共 21 页） A0.2310 6 B2.3106 C2.310 5 D2.310 4 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.0000232.310 5 故选：C 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 4 （3 分）计算的结

13、果是（ ） A B C D3 【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可 【解答】解：， 故选：B 【点评】本题主要考查二次根式的乘法运算法则，关键在于熟练正确的运用运算法则， 比较简单 5 （3 分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A1，2，3 B2，3，4 C3，4，5 D4，5，6 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形就是直角三角形最长边所对的角为直角由此判定即可 【解答】解：A、因为 12+2232，所以三条线段不能组成直角三角形； B、因为 22+3242，所以三条线段不能组成直角三角形； C、因为 32+4252

14、，所以三条线段能组成直角三角形； D、因为 42+5262，所以三条线段不能组成直角三角形 故选：C 【点评】此题考查勾股定理逆定理的运用，注意数据的计算 6 （3 分）下列式子中，不是最简二次根式的是（ ） A B C D2 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的 两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是 第 8 页（共 21 页） 【解答】解：A，不是二次根式； B是最简二次根式； C是最简二次根式； D2是最简二次根式； 故选：A 【点评】本题考查最简二次根式的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须 满足两个条件： （1）被

15、开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式 7 （3 分）若分式的值为 0，则 x 的值应为（ ） A1 B1 C3 D3 【分析】分式的值为零：分子为零，且分母不为零 【解答】解：由题意知 x10 且 x30， 解得：x1， 故选：A 【点评】本题考查了分式的值为零的条件若分式的值为零，需同时具备两个条件： （1） 分子为 0； （2）分母不为 0这两个条件缺一不可 8 （3 分）到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点 A三个内角平分线 B三边垂直平分线  C三条中线 D三条高 【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答 【解答】解：到三角形

16、三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点 故选：B 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解 题的关键 9 （3 分）如图，一棵树在一次强台风中于离地面 4 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30 夹角，这棵树在折断前的高度为（ ）米 第 9 页（共 21 页） A4 B8 C12 D3+3 【分析】根据直角三角形的性质求出 AB，计算即可 【解答】解：C90，A30， AB2BC8（米） 这棵树在折断前的高度4+812（米） ， 故选：C 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30角所对的直角边 等于斜边的一半是解题的关键 10

17、 （3 分）如果 x2+2mx+9 是一个完全平方式，则 m 的值是（ ） A3 B3 C6 D6 【分析】根据完全平方公式是和的平方加减积的 2 倍，可得 m 的值 【解答】解：x2+2mx+9 是一个完全平方式， 2m6， m3， 故选：B 【点评】本题考查了完全平方公式，完全平方公式是两数的平方和加减积的 2 倍，注意 符合条件的 m 值有两个 11 （3 分）关于 x 分式方程1 的解为正数，则 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm2 Cm2 且 m3 Dm1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出 x，由解为正数求出 m 的范围即可 【解答】解：去分母得：m3x

18、1， 第 10 页（共 21 页） 解得：xm2， 由分式方程的解为正数，得到 m20，且 m21， 解得：m2 且 m3 故选：C 【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为 0 12 （3 分）如图，在 Rt 直角ABC 中，B45，ABAC，点 D 为 BC 中点，直角 MDN 绕点 D 旋转，DM，DN 分别与边 AB，AC 交于 E，F 两点，下列结论：DEF 是等腰直角三角形；AECF；BDEADF；BE+CFEF，其中正确结论是 （ ） A B C D 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得CADB45，根据同角的余角相等求出 ADFBDE，然后利用“角边角”

19、证明BDE 和ADF 全等，判断出正确；根据 全等三角形对应边相等可得 DEDF、BEAF，从而得到DEF 是等腰直角三角形，判 断出正确；再求出 AECF，判断出正确；根据 BE+CFAF+AE，利用三角形的任 意两边之和大于第三边可得 BE+CFEF，判断出错误 【解答】解：B45，ABAC， ABC 是等腰直角三角形， 点 D 为 BC 中点， ADCDBD，ADBC，CAD45， CADB， MDN 是直角， ADF+ADE90， BDE+ADEADB90， ADFBDE， 第 11 页（共 21 页） 在BDE 和ADF 中， BDEADF（ASA） ， 故正确； DEDF、BEAF

20、， DEF 是等腰直角三角形， 故正确； AEABBE，CFACAF， AECF， 故正确； BE+CFAF+AE BE+CFEF， 故错误； 综上所述，正确的结论有； 故选：C 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相 等的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）分解因式：m2n4n n（m+2） （m2） 【分析】原式提取 n，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式n（m24）n（m+2） （m2）

21、， 故答案为：n（m+2） （m2） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 14 （3 分）比较大小： 3 （填“” 、 “”或“” ） 【分析】先求出 3，再比较即可 【解答】解：32910， 3， 故答案为： 【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根 第 12 页（共 21 页） 号内的方法 15 （3 分）一个等腰三角形的顶角为 80，则它的一个底角为 50 【分析】 由已知顶角为 80， 根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理， 即可求出它的一个底角的值 【解答】解：等腰三角形的顶角为 8

22、0， 它的一个底角为（18080）250 故填 50 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理通过三角形内角和， 列出方程求解是正确解答本题的关键 16 （3 分）约分的结果是 【分析】先分解出分子和分母的公因式，再约去即可得 【解答】解：， 故答案为： 【点评】本题考查了分式的约分，是基础知识要熟练掌握 17 （3 分）要使在实数范围内有意义，x 应满足的条件是 x2 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，列不等式求解 【解答】解：要使在实数范围内有意义， x 应满足的条件 x20，即 x2 【点评】主要考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性质

23、： 二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 18 （3 分）如图，BC90，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC，且ADC110， 则MAB 35 【分析】作 MNAD 于 N，根据平行线的性质求出DAB，根据角平分线的判定定理得 第 13 页（共 21 页） 到MABDAB，计算即可 【解答】解：作 MNAD 于 N， BC90， ABCD， DAB180ADC70， DM 平分ADC，MNAD，MCCD， MNMC， M 是 BC 的中点， MCMB， MNMB，又 MNAD，MBAB， MABDAB35， 故答案为：35 【点评】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的

24、平分线上的点到角的两边的距 离相等是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，第个小题，第 19，20 题每小题题每小题 6 分，第分，第 21，22 题题每小题每小题 6 分，第分，第 23，24 题每小题题每小题 6 分，第分，第 25，26 题每小题题每小题 6 分，共分，共 66 分）分） 19 （6 分）计算： （3.14）0+（） 1+|2 | 【分析】本题涉及绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简 4 个考点在计算 时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解： （3.14）0+（） 1+|2 | 1+2+23 3

25、 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决 此类题目的关键是熟练掌握绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式等考点的运算  第 14 页（共 21 页） 20 （6 分）先化简，再求值： （x+3） （x3）x（x2）+（x1）2，其中 x 【分析】原式利用平方差公式，单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合 并得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式x29x2+2x+x22x+1x28， 当 x时，原式385 【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 21 （8 分）如图，在正方形网格中

26、，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线 的交点的三角形）ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为（4，5） ， （2，1） （1）写出点 C 及点 C 关于 y 轴对称的点 C的坐标； （2）请作出ABC 关于 y 轴对称的ABC； （3）求ABC 的面积 【分析】 （1）直接利用平面坐标系，结合关于 y 轴对称点的性质得出答案； （2）直接利用关于 y 轴对称点的性质得出答案； （3）直接利用ABC 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案 【解答】解： （1）如图所示：点 C（1，3） ，点 C（1，3） ； （2）如图所示：ABC，即为所求； （3）ABC 的面积为：3423

27、12424 第 15 页（共 21 页） 【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题 关键 22 （8 分）如图，ABC 中，ABBC，ABC90，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AECF （1）求证：ABECBF； （2）若CAE25，求ACF 的度数 【分析】 （1）运用 HL 定理直接证明ABECBF，即可解决问题 （2）证明BAEBCF25；求出ACB45，即可解决问题 【解答】证明： （1）在 RtABE 与 RtCBF 中， ， ABECBF（HL） （2）ABECBF， BAEBCF20； ABBC，ABC90， ACB45

28、， 第 16 页（共 21 页） ACF65 【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出图形中隐含 的相等或全等关系是解题的关键 23 （9 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 为 BC 上的一点，将ACD 沿 AD 折叠，点 C 恰好落在边 AB 上的 E 处，且 BD4，CD （1）求 BE 的长； （2）求 AC 的长 【分析】 （1）由折叠即可得到 CDDE，CAED90，再根据勾股定理， 即可得到 RtBDE 中，BE； （2）设 ACAEx，在 RtABC 中，根据勾股定理得方程，解方程即可得到 AC 的长  【解答】解： （1）由折

29、叠知ACDAED， CDDE，CAED90， 在 RtBDE 中，由勾股定理得，BE3， BE3； （2）由折叠知 ACAE，设 ACAEx 在 RtABC 中，由勾股定理得： AB2AC2+BC2， 即（x+3）2x2+， 解得， AC 【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴 对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定 理列出方程求出答案 24 （9 分） “一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司生产 A， 第 17 页（共 21 页） B 两种机械设备，每台 B 种设备的成本是 A 种设

30、备的 1.5 倍，公司若投入 16 万元生产 A 种设备，36 万元生产 B 种设备，则可生产两种设备共 10 台请解答下列问题： （1）A，B 两种设备每台的成本分别是多少万元？ （2）A，B 两种设备每台的售价分别是 6 万元，10 万元，该公司生产两种设备各 30 台， 为更好地支持“一带一路”的战略构想，公司决定优惠卖给“一带一路”沿线的甲国，A 种设备按原来售价 8 折出售，B 种设备在原来售价的基础上优惠 10%，若设备全部售出， 该公司一共获利多少万元？ 【分析】 （1）设 A 种设备每台的成本是 x 万元，B 种设备每台的成本是 1.5x 万元根据 数量总价单价结合“投入 16

31、 万元生产 A 种设备，36 万元生产 B 种设备，则可生产 两种设备共 10 台” ，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据“利润售价成本”计算 【解答】解： （1）设 A 种设备每台的成本是 x 万元，则 B 种设备每台的成本是 1.5x 万元  根据题意得： 解得：x4 经检验 x4 是分式方程的解 1.5x6 答：A 种设备每台的成本是 4 万元，B 种设备每台的成本是 6 万元 （2）优惠后 A 种的售价为：4.8 万元 优惠后 B 种的售价为：9 万元 （4.84）30+（96）30114（万元） 答：设备全部售出，该公司一共获利 114 万

32、元 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键  25 （10 分）数学的趣味无处不在，在学习数学的过程中，小明发现了有规律的等式： （x21）（x1）x+1； （x31）（x1）+x2+x+1； （x41）（x1）x3+x2+x+1； （x51）（x1）x4+x3+x2+x+1； 第 18 页（共 21 页） （1）从计算过程中找出规律，可知： （x81）（x1） x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1 ； （xn1）（x1） xn 1+xn2+x3+x2+x+1 （2）计算：2n+2n 1+x3+x2+x+1（结果用含 n 的式子表示） （3

33、）对于算式：2（3+1） （32+1） （34+1） （38+1） （316+1） （332+1） （364+1）+1 计算出算式的值（结果用乘方表示） ； 直接写出结果的个位数字是几？ 【分析】 （1）根据所给出的规律可求（x81）（x1） ； 根据所给出的规律可求（xn1）（x1）xn 1+xn2+x3+x2+x+1 （2）由规律可得（xn+11）（x1）xn+xn 1+xn2+x3+x2+x+1，再把 x2 代入 计算即可求解； （3）变形为（31） （3+1） （32+1） （34+1） （38+1） （316+1） （332+1） （364+1）+1，再 根据平方差公式即可求解； 先

34、计算 313，329，3327，3481，35243，36729 等数字的值，找到个位数 字的变化规律，进而推算出 3128的个位数字 【解答】解： （1）（x81）（x1）x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1； （xn1）（x1）xn 1+xn2+x3+x2+x+1 （2）由（1）知（xn1）（x1）xn 1+xn2+x3+x2+x+1， 所以（xn+11）（x1）xn+xn 1+xn2+x3+x2+x+1， 当 x2 时， （2n+11）（21）2n+2n 1+x3+x2+x+12n+11， 所以原式2n+11 （3）2（3+1） （32+1） （34+1） （38+1） （316+

35、1） （332+1） （364+1）+1 （31） （3+1） （32+1） （34+1） （38+1） （316+1） （332+1） （364+1）+1 31281+1 3128； 313，329，3327，3481，35243，36729 个位数字是按 3，9、7、1 循环 的； 128432， 即 3128的个位数字是第 32 组末位数，为 1 故答案为：x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1； （xn1）（x1） 第 19 页（共 21 页） 【点评】本题考查了平方差公式、尾数特征、整式的除法，解题的关键是注意指数的变 化 26 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，

36、3） ，B（3，0） ，AB6，作DBO ABO，点 H 为 y 轴上的点，CAHBAO，BD 交 y 轴于点 E，直线 DO 交 AC 于 点 C （1）证明：ABE 为等边三角形； （2）若 CDAB 于点 F，求线段 CD 的长； （3）动点 P 从 A 出发，沿 AOB 路线运动，速度为 1 个单位长度每秒，到 B 点处停 止运动；动点 Q 从 B 出发，沿 BOA 路线运动，速度为 2 个单位长度每秒，到 A 点 处停止运动两点同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止在某时刻，作 PM CD 于点 M，QNCD 于点 N问两动点运动多长时间时OPM 与OQN 全等？ 【分析】 （1）

37、由“ASA”证得AOBEOB，得出 AOEO3，BEAB6，即可得 出结论； （2） 由 （1） 知ABEBEAEAB60， 求得AOF30， 得出 AFOA， 求出 AOAC，CF，BF，BD9，由勾股定理求得 DF，即可得出结 果； （3）设运动的时间为 t 秒，当点 P、Q 分别在 y 轴、x 轴上时，当点 P、Q 都在 y 轴上时，当点 P 在 x 轴上，Q 在 y 轴且二者都没有提前停止时，当点 P 在 x 轴上， Q 在 y 轴且点 Q 提前停止时，列方程即可得到结论 【解答】 （1）证明：在AOB 与EOB 中， AOBEOB （ASA） ， AOEO3，BEAB6， 第 20

38、页（共 21 页） AEBEAB6， ABE 为等边三角形； （2）解：由（1）知ABEBEAEAB60， CDAB， AOF30， AFOA， 在 RtAOF 中，OF， CAHBAO60， CAF60，ACFAOF30， OA2AF，AC2AF， AOAC，又 CDAB， CF， AB6，AF， BF， 在 RtBDF 中，DBF60，D30， BD9， 由勾股定理得：DF， CDDF+CF+； （3）解：设运动的时间为 t 秒， 当点 P、Q 分别在 y 轴、x 轴上时，POQO 得：，解 得（秒） ； 当点 P、Q 都在 y 轴上时，POQO 得：，解得 （秒） ； 当点 P 在 x 轴上， Q 在 y 轴且二者都没有提前停止时，则 POQO 得： ，解得（秒）不合题意，舍去； 当点 P 在 x 轴上，Q 在 y 轴且点 Q 提前停止时，有 t33，解 第 21 页（共 21 页） 得 t6（秒） ； 综上所述：当两动点运动时间为、6 秒时，OPM 与OQN 全等 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形 的性质、勾股定理、坐标与图形的性质，熟练掌握勾股定理与正确理解题意是解题的关 键