2019-2020学年湖南省株洲市醴陵市八年级（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2019-2020 学年湖南省株洲市醴陵市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）下列各数中比 3 大比 4 小的无理数是（ ） A B C3.1 D 2 （4 分）下列运算正确的是（ ） A2 B （2）26 C+ D 3 （4 分）解分式方程2 时，去分母变形正确的是（ ） A1+x12（x2） B1x12（x2）  C1+x1+2（2x） D1x12（x2） 4 （4 分）当 x 为下列何值时，二次根式有意义（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 5 （4 分）下列长度的三条线段能组成三角形

2、的是（ ） A1，2，3 B2，2，4 C3，4，5 D3，4，8 6 （4 分）如图，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DEFE，FCAB，若 AB4，CF 3，则 BD 的长是（ ） A0.5 B1 C1.5 D2 7 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC，A40，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE，则CBE 的度数为（ ） A70 B80 C40 D30 第 2 页（共 22 页） 8 （4 分）关于 x 的不等式组的解集为 x3，那么 a 的取值范围为（ ） Aa3 Ba3 Ca3 Da3 9 （4 分）如图所示的正方形网格中，网格线的

3、交点称为格点已知 A、B 是两格点，如果 点 C 也是图中的格点，且使得ABC 为等腰直角三角形，则点 C 的个数是（ ） A5 个 B6 个 C8 个 D9 个 10 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 3，E 在 BC 上，且 BE2，P 在 BD 上，则 PE+PC 的最小值为（ ） A B C D 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11 （4 分）的平方根为   12 （4 分）已知 a0，b0，化简   13 （4 分）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄通常规定以树干

4、 离地面 1.5m 的地方作为测量部位某树栽种时的树围为 5cm，以后树围每年增长约 3cm假设这棵数生长 x 年其树围才能超过 2.4m列满足 x 的不等关系：   14 （4 分）如图，RtABC 中，ACB90，BC5，AC12，D 是 AB 的中点，则 CD   15 （4 分）如图，ABCD，B68，E20，则D 的度数为   度 第 3 页（共 22 页） 16 （4 分）如图，在ABC 中，B90AB3，BC5将ABC 折叠，使点 C 与点 A 重合，拆痕为 DE，则ABE 的周长为   17 （4 分）若关于 x 的分式方程+2m 有增根

5、，则 m 的值为   18 （4 分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的 “特征值” 若等腰ABC 中，A80，则它的特征值 k   三、解答题（三、解答题（本大题本大题 8 个小题，共个小题，共 78 分）分） 19 （6 分）计算： 20 （8 分）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解  21 （8 分）如图，已知 ABCD，DEAC，BFAC，垂足分别是点 E，F，AECF 求证：ABCD 22 （10 分）如图，ABC 中，ABAC，点 E，F 在边 BC 上，BECF，点 D 在 AF 的延 长线

6、上，ADAC （1）求证：ABEACF； （2）若BAE30，则ADC   第 4 页（共 22 页） 23 （10 分） 某商店以固定进价一次性购进一种商品， 3 月份按一定售价销售， 销售额为 2400 元，为扩大销量，减少库存，4 月份在 3 月份售价基础上打 9 折销售，结果销售量增加 30 件，销售额增加 840 元 （1）求该商店 3 月份这种商品的售价是多少元？ （2）如果该商店 3 月份销售这种商品的利润为 900 元，那么该商店 4 月份销售这种商品 的利润是多少元？ 24 （10 分） 如图所示， 已知ACD 是ABC 的外角， 有以下三个条件： ACEDCE；

7、ABEC；ACBC （1）在以上三个条件中选两个作为已知，另一个作为结论写出一个正确命题，并加以证 明 （2）若 ABEC，作B 的平分线交射线 CE 于点 F，判断BCF 的形状，并说明理由  25 （13 分）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八 年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动在此次活动中，若每位老师带队 14 名学生，则还剩 10 名学生没老师带；若每位老师带队 15 名学生，就有一位老师少带 6 名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400

8、320 学校计划此次研学活动的租金总费用不超过 3000 元，为安全起见，每辆客车上至少要有 2 名老师 （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有 2 名老师，可知租车总辆 第 5 页（共 22 页） 数为   辆； （3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 26 （13 分）问题背景： 如图 1：在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120，BADC90，E，F 分 别是 BC，CD 上的点，且EAF60探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DGB

9、E连结 AG，先证明ABE ADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是   ； 探索延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E，F 分别是 BC，CD 上的 点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30的 A 处，舰艇乙在 指挥中心南偏东 70的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰 艇甲向正东方向以 60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80 海里/小 时的速度前进，1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到

10、达 E，F 处，且两舰艇 之间的夹角为 70，试求此时两舰艇之间的距离 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年湖南省株洲市醴陵市八年级（上）期末数学试卷学年湖南省株洲市醴陵市八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）下列各数中比 3 大比 4 小的无理数是（ ） A B C3.1 D 【分析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的 定义即可求解 【解答】解：四个选项中是无理数的只有和，而4，34 选项中比 3

11、 大比 4 小的无理数只有 故选：A 【点评】此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数， 无限不循环小数为无理数 2 （4 分）下列运算正确的是（ ） A2 B （2）26 C+ D 【分析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可 【解答】解：A：2，故本选项错误； B：12，故本选项错误； C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确 故选：D 【点评】本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，属于基础计算能力 的考查，本题较为简单 3 （4 分）解分式方程2 时，去分母变形正确的是（

12、 ） A1+x12（x2） B1x12（x2）  C1+x1+2（2x） D1x12（x2） 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果 【解答】解：去分母得：1x12（x2） ， 第 7 页（共 22 页） 故选：D 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 4 （4 分）当 x 为下列何值时，二次根式有意义（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据二次根式的性质被开方数大于等于 0，就可以求解 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：2x0， 解得：x2 故选：C 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，注意掌握被开方数为非负数这个条

13、件 5 （4 分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A1，2，3 B2，2，4 C3，4，5 D3，4，8 【分析】根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断 【解答】解：A、1+23，不能构成三角形，故 A 错误； B、2+24，不能构成三角形，故 B 错误； C、3+45，能构成三角形，故 C 正确； D、3+48，不能构成三角形，故 D 错误 故选：C 【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任 意两边之差小于第三边 6 （4 分）如图，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DEFE，FCAB，若 AB4，CF 3，则 BD 的长

14、是（ ） A0.5 B1 C1.5 D2 【分析】根据平行线的性质，得出AFCE，ADEF，根据全等三角形的判定， 得出ADECFE，根据全等三角形的性质，得出 ADCF，根据 AB4，CF3，即 可求线段 DB 的长 【解答】解：CFAB， 第 8 页（共 22 页） AFCE，ADEF， 在ADE 和FCE 中， ADECFE（AAS） ， ADCF3， AB4， DBABAD431 故选：B 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定ADE FCE 是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等 7 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC，A4

15、0，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE，则CBE 的度数为（ ） A70 B80 C40 D30 【分析】由等腰ABC 中，ABAC，A40，即可求得ABC 的度数，又由线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，可得 AEBE，继而求得ABE 的度数，则可求 得答案 【解答】解：等腰ABC 中，ABAC，A40， ABCC70， 线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E， AEBE， ABEA40， CBEABCABE30 故选：D 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注 第 9 页（共

16、22 页） 意掌握数形结合思想的应用 8 （4 分）关于 x 的不等式组的解集为 x3，那么 a 的取值范围为（ ） Aa3 Ba3 Ca3 Da3 【分析】先解第一个不等式得到 x3，由于不等式组的解集为 x3，则利用同大取大可 得到 a 的范围 【解答】解：解不等式 2（x1）4，得：x3， 解不等式 ax0，得：xa， 不等式组的解集为 x3， a3， 故选：D 【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各 不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解 集解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 9 （4

17、 分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知 A、B 是两格点，如果 点 C 也是图中的格点，且使得ABC 为等腰直角三角形，则点 C 的个数是（ ） A5 个 B6 个 C8 个 D9 个 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：AB 为等腰ABC 底边；AB 为等 腰ABC 其中的一条腰 【解答】解：如上图：分情况讨论 AB 为等腰直角ABC 底边时，符合条件的 C 点有 2 个； AB 为等腰直角ABC 其中的一条腰时，符合条件的 C 点有 4 个 故选：B 第 10 页（共 22 页） 【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件 的图形，

18、再利用数学知识来求解数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想 10 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 3，E 在 BC 上，且 BE2，P 在 BD 上，则 PE+PC 的最小值为（ ） A B C D 【分析】要求 PE+PC 的最小值，PE，PC 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化 PE， PC 的值，从而找出其最小值求解 【解答】解：如图，连接 AE， 因为点 C 关于 BD 的对称点为点 A， 所以 PE+PCPE+AP， 根据两点之间线段最短可得 AE 就是 AP+PE 的最小值， 正方形 ABCD 的边长为 3，BE2， AE， PE+PC 的最小值是 故选：B 【点评

19、】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11 （4 分）的平方根为 第 11 页（共 22 页） 【分析】根据平方根的定义求解 【解答】解：的平方根为 故答案为： 【点评】本题考查了平方根的知识，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数 12 （4 分）已知 a0，b0，化简 ba 【分析】根据已知得到 ba0，根据二次根式的性质化简即可 【解答】解：a0，b0， ba0， |ab|ba， 故答案为：ba 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键

20、 13 （4 分）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄通常规定以树干 离地面 1.5m 的地方作为测量部位某树栽种时的树围为 5cm，以后树围每年增长约 3cm假设这棵数生长 x 年其树围才能超过 2.4m列满足 x 的不等关系： 5+3x240  【分析】 因为树栽种时的树围为 5cm， 以后树围每年增长约 3cm， x 年后树围将达到 （5+3x） cm 不等关系：x 年其树围才能超过 2.4m 【解答】解：根据题意，得 5+3x240 故答案为：5+3x240 【点评】本题注意： （1）栽种时的树围已经为 5cm； （2）单位的统一 14 （4 分）如图，RtA

21、BC 中，ACB90，BC5，AC12，D 是 AB 的中点，则 CD 6.5 【分析】由勾股定理求出 AB13，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案 【解答】解：RtABC 中，ACB90，BC5，AC12， 第 12 页（共 22 页） AB13， D 是 AB 的中点， CDAB6.5； 故答案为：6.5 【点评】本题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握勾股定理和 直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键 15 （4 分）如图，ABCD，B68，E20，则D 的度数为 48 度 【分析】根据平行线的性质得BFDB68，再根据三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角

22、和，得DBFDE，由此即可求D 【解答】解：ABCD，B68， BFDB68， 而DBFDE682048 故答案为：48 【点评】此题主要运用了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内 角和 16 （4 分）如图，在ABC 中，B90AB3，BC5将ABC 折叠，使点 C 与点 A 重合，拆痕为 DE，则ABE 的周长为 8 【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对 应角相等 【解答】解：由折叠的性质知，AECE， ABE 的周长AB+BE+AEAB+BE+CEAB+BC3+58 故答案为：8 第 13 页（共 22 页） 【点评】本题考查了翻

23、折变换的知识，利用折叠的性质得出ABE 的周长AB+BE+AE AB+BE+CEAB+BC 是解题关键 17 （4 分）若关于 x 的分式方程+2m 有增根，则 m 的值为 1 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能 值，让最简公分母 x20，得到 x2，然后代入化为整式方程的方程算出 m 的值 【解答】解：方程两边都乘 x2，得 x2m2m（x2） 原方程有增根， 最简公分母 x20， 解得 x2， 当 x2 时，m1 故 m 的值是 1， 故答案为 1 【点评】本题考查了分式方程的增根增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为 0 确定增根； 化分式方程为

24、整式方程； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值  18 （4 分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的 “特征值” 若等腰ABC 中，A80，则它的特征值 k 或 【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数从而可求解 【解答】解： 当A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：50 特征值 k 当A 为底角时，顶角的度数为：180808020 特征值 k 综上所述，特征值 k 为或 故答案为或 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注 意到本题中，已知A 的度数，要分A 是顶角和底角两种情况，以免造成

25、答案的遗漏  三、解答题（本大题三、解答题（本大题 8 个小题，共个小题，共 78 分）分） 第 14 页（共 22 页） 19 （6 分）计算： 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案 【解答】解：原式 2 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 20 （8 分）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解  【分析】一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式 的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集 方法与步骤： 求不等式组中每个不等式的解集； 利用数轴求公

26、共部分 解集的规律： 同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 【解答】解： 解不等式，x3， 解不等式，x2， 3x2， 解集在数轴上表示如下： x 的整数解为2，1，0，1，2 【点评】本题考查了不等式的解集，正确理解数轴上不等式解集的意义是解题的关键 21 （8 分）如图，已知 ABCD，DEAC，BFAC，垂足分别是点 E，F，AECF 求证：ABCD 【分析】由全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行 即可得证，所以通过证AC，那么就需证明这两个角所在的三角形全等 第 15 页（共 22 页） 【解答】解：如图，DEAC，BFAC， DECBFA9

27、0 又AECF， AE+EFCF+EF，即 AFCE， 在 RtAFB 与 RtCED 中， ， AFBCED（HL） AC ABCD 【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；题目采用从结论开始推理容易突破有 平行推出需要找到有关角相等，进而分析需证三角形全等 22 （10 分）如图，ABC 中，ABAC，点 E，F 在边 BC 上，BECF，点 D 在 AF 的延 长线上，ADAC （1）求证：ABEACF； （2）若BAE30，则ADC 75 【分析】 （1）要证明ABEACF，由题意可得 ABAC，BACF，BECF，从 而可以证明结论成立； （2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质

28、可以求得ADC 的度数 【解答】 （1）证明：ABAC， BACF， 在ABE 和ACF 中， ， ABEACF（SAS） ； （2）ABEACF，BAE30， 第 16 页（共 22 页） BAECAF30， ADAC， ADCACD， ADC75， 故答案为：75 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问 题需要的条件，利用数形结合的思想解答 23 （10 分） 某商店以固定进价一次性购进一种商品， 3 月份按一定售价销售， 销售额为 2400 元，为扩大销量，减少库存，4 月份在 3 月份售价基础上打 9 折销售，结果销售量增加 30 件，销售额增加

29、840 元 （1）求该商店 3 月份这种商品的售价是多少元？ （2）如果该商店 3 月份销售这种商品的利润为 900 元，那么该商店 4 月份销售这种商品 的利润是多少元？ 【分析】 （1）设该商店 3 月份这种商品的售价为 x 元，则 4 月份这种商品的售价为 0.9x 元，根据数量总价单价结合 4 月份比 3 月份多销售 30 件，即可得出关于 x 的分式方 程，解之经检验即可得出结论； （2）设该商品的进价为 y 元，根据销售利润每件的利润销售数量，即可得出关于 y 的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用 4 月份的利润每件的利润销 售数量，即可求出结论 【解答】解： （1）设

30、该商店 3 月份这种商品的售价为 x 元，则 4 月份这种商品的售价为 0.9x 元， 根据题意得：30， 解得：x40， 经检验，x40 是原分式方程的解 答：该商店 3 月份这种商品的售价是 40 元 （2）设该商品的进价为 y 元， 根据题意得： （40y）900， 解得：y25， 第 17 页（共 22 页） （400.925）990（元） 答：该商店 4 月份销售这种商品的利润是 990 元 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）找 准等量关系，正确列出分式方程； （2）找准等量关系，正确列出一元一次方程 24 （10 分） 如图所示， 已知A

31、CD 是ABC 的外角， 有以下三个条件： ACEDCE； ABEC；ACBC （1）在以上三个条件中选两个作为已知，另一个作为结论写出一个正确命题，并加以证 明 （2）若 ABEC，作B 的平分线交射线 CE 于点 F，判断BCF 的形状，并说明理由  【分析】 （1）如图所示，已知ACD 是ABC 的外角，若ACEDCE，ABEC， 则 ACBC （答案不唯一） （2）如图所示BCF 是等腰三角形理由平行线的性质证明即可 【解答】解： （1）如图所示，已知ACD 是ABC 的外角，若ACEDCE，ABEC， 则 ACBC 证明：ABECACEBAC，DCEABC ACEDCEAB

32、CBACACBC， （2）如图所示BCF 是等腰三角形 理由：ABCE， BFCABF， ABFCBF， BFCCBF， CBCF， 第 18 页（共 22 页） BCF 是等腰三角形 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型 25 （13 分）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八 年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动在此次活动中，若每位老师带队 14 名学生，则还剩 10 名学生没老师带；若每位老师带队 15 名学生，就有一位老师少带 6 名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和

33、租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次研学活动的租金总费用不超过 3000 元，为安全起见，每辆客车上至少要有 2 名老师 （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有 2 名老师，可知租车总辆 数为 8 辆； （3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 【分析】 （1）设参加此次研学活动的老师有 x 人，学生有 y 人，根据“若每位老师带队 14 名学生，则还剩 10 名学生没老师带；若每位老师带队 15 名学生，就有一位老师少带 6 名学生” ，即可得出

34、关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2） 利用租车总辆数师生人数35 结合每辆客车上至少要有 2 名老师， 即可得出租车 总辆数为 8 辆； （3）设租 35 座客车 m 辆，则需租 30 座的客车（8m）辆，根据 8 辆车的座位数不少 于师生人数及租车总费用不超过 3000 元， 即可得出关于 m 的一元一次不等式组， 解之即 可得出 m 的取值范围，结合 m 为正整数即可得出租车方案数，设租车总费用为 w 元，根 据租车总费用400租用 35 座客车的数量+320租用 30 座客车的数量，即可得出 w 关于 m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解答】

35、解： （1）设参加此次研学活动的老师有 x 人，学生有 y 人， 依题意，得：， 第 19 页（共 22 页） 解得： 答：参加此次研学活动的老师有 16 人，学生有 234 人 （2）（234+16）357（辆）5（人） ，1628（辆） ， 租车总辆数为 8 辆 故答案为：8 （3）设租 35 座客车 m 辆，则需租 30 座的客车（8m）辆， 依题意，得：， 解得：2m5 m 为正整数， m2，3，4，5， 共有 4 种租车方案 设租车总费用为 w 元，则 w400m+320（8m）80m+2560， 800， w 的值随 m 值的增大而增大， 当 m2 时，w 取得最小值，最小值为 2

36、720 学校共有 4 种租车方案，最少租车费用是 2720 元 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的 应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据师生人 数，确定租车辆数； （3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组 26 （13 分）问题背景： 如图 1：在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120，BADC90，E，F 分 别是 BC，CD 上的点，且EAF60探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DGBE连结 AG，先证明ABE ADG，再证

37、明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 EFBE+FD ； 第 20 页（共 22 页） 探索延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E，F 分别是 BC，CD 上的 点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30的 A 处，舰艇乙在 指挥中心南偏东 70的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰 艇甲向正东方向以 60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80 海里/小 时的速度前进，1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，

38、F 处，且两舰艇 之间的夹角为 70，试求此时两舰艇之间的距离 【分析】问题背景中，根据小亮的设计可以得到所要的结论； 探索延伸中，先判断结论是否成立，然后根据图形和题目中条件，作出合适的辅助线， 进行说明即可； 在实际应用中，根据题目中的条件进行合理的推导，只要能说明符合探索延伸的条件， 即可解答本题 【解答】解：问题背景： 小王同学探究此问题的方法是， 延长 FD 到点 G 使 DGBE 连结 AG， 先证明ABE ADG，再证明AEFAGF， EFFG，FGFD+DGFD+BE， EFBE+FD， 故答案为：EFBE+FD； 探索延伸： 上述结论 EFBE+FD 成立， 理由：如图 2，

39、延长 FD 到点 G，使得 DGBE，连接 AG， B+ADC180，ADG+ADC180， 第 21 页（共 22 页） BADG， ABAD， ABEADG（SAS） ， AEAG，BAEDAG， EAFBAD， GAFDAG+DAFDAF+BAEBADEAFBAD， GAFEAF， 又AGAE，AFAF， AFGAFE（SAS） ， EFGF， GFDF+DGDF+BE， EFBE+FD； 实际应用： 如图 3，连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C， 在四边形 AOBC 中， AOB30+90+（9070）140，FOE70， 又OAOB，OAC+OBC（9030）+（70+50）60+120180，  图 3 符合探索延伸的条件， EFAE+FB1.5（60+80）210（海里） ， 即此时两舰艇之间的距离 210 海里 【点评】本题考查三角形综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件， 利用数形结合的思想进行解答