2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区二校联考八年级（下）第一次段考数学试卷（含详细解答）

《2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区二校联考八年级（下）第一次段考数学试卷（含详细解答）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区二校联考八年级（下）第一次段考数学试卷（含详细解答）（23页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、2018-2019 学年湖南省长沙市岳麓区二校联考八年级（下）第一次段数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）下列各点不在直线 yx+2 上的是（ ） A （3，1） B （2，0） C （1，1） D （3，5） 2 （3 分）下列计算中，正确的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列说法正确的是（ ） A三条边相等的四边形是菱形 B对角线相等的平行四边形是矩形 C对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 4 （3 分） 如图， 平行四边形 ABCD 中， AE 平分DA

2、B， B100， 则DEA 等于 （ ） A100 B80 C60 D40 5 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，CEAB，E 为垂足如果A118，则BCE （ ） A28 B38 C62 D72 6 （3 分）如图，若 DE 是ABC 的中位线，ABC 的周长为 1，则ADE 的周长为（ ） A1 B2 C D 第 2 页（共 23 页） 7 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（3，0） ， （2，0） ，点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是（ ） A （5，4） B （4，5） C （4，4） D （5，3） 8 （3 分）菱形

3、的两条对角线长分别为 6，8，则它的周长是（ ） A5 B10 C20 D24 9 （3 分）顺次连接矩形的四边形中点所得的四边形一定是（ ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 10 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 CD、BC 上，且 BFCE，连接 BE、 AF 相交于点 G，则下列结论不正确的是（ ） ABEAF BDAFBEC CAFB+BEC90 DAGBE 11 （3 分）矩形 ABCD 中 AB10，BC8，E 为 AD 边上一点，沿 CE 将CDE 对折，点 D 正好落在 AB 边上的 F 点则 AE 的长是（ ） A3 B4 C5 D6 12

4、（3 分）如图，ABC 是等边三角形，P 是形内一点，PDAB，PEBC，PFAC，若 ABC 的周长为 18，则 PD+PE+PF（ ） 第 3 页（共 23 页） A18 B9 C6 D条件不够，不能确定 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分分） 13 （3 分）在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 14 （3 分）一次函数 ykx3 的图象经过点（1，3） ，则 k 15 （3 分）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 a 16 （3 分）如图，ABCD 中，AEBC 于 E，AFDC 于 F，BC5，AB4，AE3，则 A

5、F 的长为 17 （3 分）已知：如图，在ABCD 中，BAD，ADC 的平分线 AE，DF 分别与线段 BC 相交于点 E， F， AE 与 DF 相交于点 G 若 AD10， AB6， AE4， 则 DF 的长为 18 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 BC 上一点，CE 5，F 为 DE 的中点若 OF 的长为，则CEF 的周长为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 66 分）分） 19 （6 分）计算：|3|+（1）2019（3）0+（） 2 第 4 页（共 23 页） 20 （6 分）先化简，再求值： （a+b）

6、2+b（ab）4ab，其中 a2，b 21 （8 分）解下列分式方程： （1） （2） 22 （8 分）已知：x2+，y2 （1）求代数式 x23xy+y2的值； （2）若一个菱形的对角线的长分别是 x 和 y，求这个菱形的面积 23 （9 分）如图，ABC 中，ABAC，AD 是ABC 的角平分线，点 O 为 AB 的中点，连 接 DO 并延长到点 E，使 OEOD，连接 AE，BE （1）求证：四边形 AEBD 是矩形 （2）当ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由 24 （9 分）如图，A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 800 千米的 B 处，以 50 千

7、米/ 时的速度向北偏西 60的 BF 方向移动，距台风中心 500 千米范围内是受台风影响的区 域 （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果 A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 25 （10 分）如图，在边长为 m 的菱形 ABCD 中，DAB60，E 是 AD 上不同于 A，D 两点的一动点，F 是 CD 上一动点，且 AE+CFm （1）证明：无论 E，F 怎样移动，BEF 总是等边三角形； （2）求BEF 面积的最小值 第 5 页（共 23 页） 26 （10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB6cm，BC12cmB30点 P 在 B

8、C 上由点 B 向点 C 出发，速度为每秒 2cm；点 Q 在边 AD 上，同时由点 D 向点 A 运动， 速度为每秒 1cm，当点 P 运动到点 C 时，P、Q 同时停止运动连接 PQ，设运动时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时四边形 ABPQ 为平行四边形？ （2）设四边形 ABPQ 的面积为 y，求 y 与 t 之间的函数关系式 （3）当 t 为何值时，四边形 ABPQ 的面积是四边形 ABCD 的面积的四分之三，并求出此 时PQD 的度数 （4）连结 AP，是否存在某一时刻 t，使ABP 为等腰三角形？并求出此刻 t 的值 第 6 页（共 23 页） 2018-2019 学年湖南省长

9、沙市岳麓区二校联考八年级（下）第一次段学年湖南省长沙市岳麓区二校联考八年级（下）第一次段 考数学试卷考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选一、选择题（共择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）下列各点不在直线 yx+2 上的是（ ） A （3，1） B （2，0） C （1，1） D （3，5） 【分析】分别计算出自变量为 3、2、1 和3 时所对应的函数值，然后根据一次函数图 象上点的坐标特征进行判断 【解答】解：当 x3 时，yx+21；当 x2 时，yx+20；当 x1 时，y x+23；当 x3 时，yx+25，

10、所以点（3，1） 、 （2，0） 、 （3，5）在直线 yx+2 上，而点（1，1）不在直线 y x+2 上 故选：C 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数 ykx+b， （k0，且 k，b 为常数）的图象是一条直线它与 x 轴的交点坐标是（，0） ；与 y 轴的交点坐标是 （0，b） 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 ykx+b 2 （3 分）下列计算中，正确的是（ ） A B C D 【分析】根据二次根式的加减法对 A、B 进行判断；根据二次根式的除法法则对 C 进行 判断；根据二次根式的乘法法则对 D 进行判断 【解答】解：A、原式2，所以 A 选项错误； B、原式

11、2+3，所以 B 选项错误； C、原式2，所以 C 选项错误； D、原式4，所以 D 选项正确 故选：D 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次 根式的乘除运算，然后合并同类二次根式 3 （3 分）下列说法正确的是（ ） 第 7 页（共 23 页） A三条边相等的四边形是菱形 B对角线相等的平行四边形是矩形 C对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【分析】利用菱形、矩形、平行四边形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的 选项 【解答】解：A、四条边相等的四边形是菱形，故原命题错误； B、对角线相等的平

12、行四边形是矩形，正确； C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误， 故选：B 【点评】本题考查了平行四边形及特殊平行四边形的判定方法，解题的关键是了解有关 的判定定理，难度不大 4 （3 分） 如图， 平行四边形 ABCD 中， AE 平分DAB， B100， 则DEA 等于 （ ） A100 B80 C60 D40 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质求解 【解答】解：在ABCD 中， ADBC， DAB180B18010080 AE 平分DAB， AEDDAB40 故选：D 【点评】本题考查

13、了平行四边形的性质，并利用了两直线平行，同旁内角互补和角的平 分线的性质 5 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，CEAB，E 为垂足如果A118，则BCE （ ） 第 8 页（共 23 页） A28 B38 C62 D72 【分析】由在平行四边形 ABCD 中，A118，可求得B 的度数，又由 CEAB， 即可求得答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， B180A18011862， CEAB， BCE90B28 故选：A 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质注意平行四边形的邻角 互补 6 （3 分）如图，若 DE 是ABC 的中位线，ABC 的周长为 1

14、，则ADE 的周长为（ ） A1 B2 C D 【分析】根据三角形的中位线定理，DE 是ABC 的中位线，ABC 的周长为 1，得 DE ，AD，AE而解得 【解答】解：DE 是ABC 的中位线，ABC 的周长为 1， DE，AD，AE ADE 的周长为 故选：C 【点评】根据三角形的中位线定理，得三角形 ADE 的边长是三角形 ABC 边长的此 题主要是根据三角形的中位线定理进行分析计算 7 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（3，0） ， 第 9 页（共 23 页） （2，0） ，点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是（ ） A （5，4）

15、 B （4，5） C （4，4） D （5，3） 【分析】首先根据菱形的性质求出 AB 的长度，再利用勾股定理求出 DO 的长度，进而得 到点 C 的坐标 【解答】解：菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（3，0） ， （2，0） ，点 D 在 y 轴 上， ABAO+OB5， ADABCD5， DO4， 点 C 的坐标是： （5，4） 故选：A 【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定 理求出 DO 的长度 8 （3 分）菱形的两条对角线长分别为 6，8，则它的周长是（ ） A5 B10 C20 D24 【分析】根据菱形的性质即可求出答案 【解答】

16、解：由于菱形的两条对角线的长为 6 和 8， 菱形的边长为：5， 菱形的周长为：4520， 故选：C 【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型 9 （3 分）顺次连接矩形的四边形中点所得的四边形一定是（ ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线 第 10 页（共 23 页） 相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形 【解答】解：连接 AC、BD， 在ABD 中， AHHD，AEEB EHBD， 同理 FGBD，HGAC，EFAC， 又在矩形 ABCD 中，ACBD， EHHGG

17、FFE， 四边形 EFGH 为菱形 故选：C 【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据， 常用三种方法：定义，四边相等，对角线互相垂直平分 10 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 CD、BC 上，且 BFCE，连接 BE、 AF 相交于点 G，则下列结论不正确的是（ ） ABEAF BDAFBEC CAFB+BEC90 DAGBE 【分析】分析图形，根据正方形及三角形性质找到各角边的关系就很容易求解 【解答】解：ABCD 是正方形 ABFC90，ABBC BFCE 第 11 页（共 23 页） ABFBCE AFBE（第一个正确）

18、BAFCBE，BFABEC（第三个错误） BAF+DAF90，BAF+BFA90 DAFBEC（第二个正确） BAFCBE，BAF+AFB90 CBE+AFB90 AGBE（第四个正确） 所以不正确的是 C，故选 C 【点评】此题主要考查了学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况 11 （3 分）矩形 ABCD 中 AB10，BC8，E 为 AD 边上一点，沿 CE 将CDE 对折，点 D 正好落在 AB 边上的 F 点则 AE 的长是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得 CFDC10，DEEF，由勾股定理可求 BF 的长，即可得 AF4，由勾股定理可求

19、AE 的长 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形 ABCD10，BCAD8，ADB90， 折叠 CDCF10，EFDE， 在 RtBCF 中，BF6 AFABBF1064， 在 RtAEF 中，AE2+AF2EF2， AE2+16（8AE）2， AE3 故选：A 第 12 页（共 23 页） 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是本题的 关键 12 （3 分）如图，ABC 是等边三角形，P 是形内一点，PDAB，PEBC，PFAC，若 ABC 的周长为 18，则 PD+PE+PF（ ） A18 B9 C6 D条件不够，不能确定 【分析】因为要求证明 PD+PE+

20、PF 的值，而 PD、PE、PF 并不在同一直线上，构造平行 四边形，求出等于 AB，根据三角形的周长求出 AB 即可 【解答】解：延长 EP 交 AB 于点 G，延长 DP 交 AC 与点 H， PDAB，PEBC，PFAC， 四边形 AFPH、四边形 PDBG 均为平行四边形， PDBG，PHAF 又ABC 为等边三角形， FGP 和HPE 也是等边三角形， PEPHAF，PFGF， PE+PD+PFAF+BG+FGAB6， 故选：C 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的 关键平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种 性

21、质，在应用时应注意它们的区别与联系 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 第 13 页（共 23 页） 13 （3 分）在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于 0 即可求解 【解答】解：在函数 y中，有 x20，解得 x2， 故其自变量 x 的取值范围是 x2 故答案为 x2 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式

22、是二次根式时，被开方数为非负数 14 （3 分）一次函数 ykx3 的图象经过点（1，3） ，则 k 6 【分析】因为一次函数的图象经过点（1，3） ，所以（1，3）能使 ykx3 左右相 等，把点的坐标代入函数关系式可以求得 k 的值 【解答】解；把（1，3）代入 ykx3 中， k （1）33， 解得：k6， 故答案为：6 【点评】此题主要考查了待定系数法求函数关系式，是一个常规题，比较基础 15 （3 分）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 a 7 【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个 二次根式叫做同类二次根式 【解答】解：是最简二次根式

23、，且它与是同类二次根式，而4， a+92， a7， 故答案为：7 【点评】本题主要考查了同类二次根式，判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先 要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同 16 （3 分）如图，ABCD 中，AEBC 于 E，AFDC 于 F，BC5，AB4，AE3，则 AF 的长为 第 14 页（共 23 页） 【分析】平行四边形的面积底高，根据已知，代入数据计算即可 【解答】解：连接 AC， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC， 在ABC 和CDA 中， ， ABCCDA（SSS） ， SABCSCDA， 即BCAECDAF， CDAB4， AF

24、故答案为： 【点评】 “等面积法”是数学中的重要解题方法在三角形和四边形中，以不同的边为底 其高也不相同，但面积是定值，从而可以得到不同底的高的关系 17 （3 分）已知：如图，在ABCD 中，BAD，ADC 的平分线 AE，DF 分别与线段 BC 相交于点 E， F， AE 与 DF 相交于点 G 若 AD10， AB6， AE4， 则 DF 的长为 8 【分析】利用相似三角形的性质求出 AG，EG，再利用勾股定理求出 DG，FG 即可解决 第 15 页（共 23 页） 问题 【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，ADBC，BCAD10， DAEAEB，ADFDFC 由（1）得BAEAEB

25、，CDFDFC ABDC6， BEAB6，FCCD6 ECBCBE4 EFFCEC2 ADBC， DAGFEG，ADGEFG AGDEGF， ， AE4， AG4，EG， 在平行四边形 ABCD 中，ABDC， BAD+ADC180 AE，DF 分别是BAD，ADC 的平分线， DAEBAEBAD，ADFCDFADC DAE+ADFBAD+ADC90 AGD90 DG，EG， DFDG+FG8， 故答案为 8 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质解题时，一 定要数形结合，便于求得相关线段间的数量关系 第 16 页（共 23 页） 18 （3 分）如图，在正方形 AB

26、CD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 BC 上一点，CE 5，F 为 DE 的中点若 OF 的长为，则CEF 的周长为 18 【分析】先证 OF 是BDE 的中位线得 BE2OF7，据此知 CDBC12，利用勾股定 理得出 DE13，再根据 F 为 DE 中点得 DFEFCFDE，从而得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， O 为 BD 中点，BCCD、DCE90， F 为 DE 的中点且 OF， OF 是BDE 的中位线， BE2OF7， CE5， CDBCBE+CE12， 在 RtCDE 中，DE13， OF 是BDE 的中位线， F 是 DE 中点， 则 D

27、FEFCFDE， 所以CEF 的周长为 CF+EF+CE+518， 故答案为：18 【点评】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等 知识，难度适中 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 66 分）分） 19 （6 分）计算：|3|+（1）2019（3）0+（） 2 【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答 案 第 17 页（共 23 页） 【解答】解：原式3113+4 3 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20 （6 分）先化简，再求值： （a+b）2+b（ab）4ab，其中 a2，b 【

28、分析】首先计算完全平方，计算单项式乘以多项式，然后再合并同类项，化简后，再 代入 a、b 的值，进而可得答案 【解答】解：原式a2+2ab+b2+abb24aba2ab， 当 a2，b时，原式4+15 【点评】此题主要考查了整式的混合运算化简求值，关键是先按运算顺序把整式化 简，再把对应字母的值代入求整式的值 21 （8 分）解下列分式方程： （1） （2） 【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即 可得到分式方程的解 【解答】解： （1）去分母得：2+2xx0， 解得：x2， 经检验 x2 是分式方程的解； （2）去分母得：2x+23x+3x+3， 解

29、得：x1， 经检验 x1 是增根，分式方程无解 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 22 （8 分）已知：x2+，y2 （1）求代数式 x23xy+y2的值； （2）若一个菱形的对角线的长分别是 x 和 y，求这个菱形的面积 【分析】 （1）求出 xy，xy 的值，利用整体的思想解决问题； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可； 【解答】解： （1）x2+，y2， 第 18 页（共 23 页） xy2，xy422， x23xy+y2（xy）2xy826 （2）S菱形ABCDxy（2+） （2）1 【点评】本题考查菱形的性质，二次根式的加减乘除运算法

30、则等知识，解题的关键是学 会利用整体的思想进行化简计算，属于中考常考题型 23 （9 分）如图，ABC 中，ABAC，AD 是ABC 的角平分线，点 O 为 AB 的中点，连 接 DO 并延长到点 E，使 OEOD，连接 AE，BE （1）求证：四边形 AEBD 是矩形 （2）当ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由 【分析】 （1）利用平行四边形的判定首先得出四边形 AEBD 是平行四边形，进而由等腰 三角形的性质得出ADB90，即可得出答案； （2）利用等腰直角三角形的性质得出 ADBDCD，进而利用正方形的判定得出即可 【解答】 （1）证明： 点 O 为 AB 的中

31、点， OAOB OEOD， 四边形 AEBD 是平行四边形， ABAC，AD 是BAC 的角平分线， ADBC， ADB90， 平行四边形 AEBD 是矩形； （2）当BAC90时，矩形 AEBD 是正方形 理由：BAC90，ABAC，AD 是BAC 的角平分线， ABDBAD45， ADBD， 第 19 页（共 23 页） 由（1）得四边形 AEBD 是矩形， 矩形 AEBD 是正方形 【点评】 此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识， 熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键 24 （9 分）如图，A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 800 千米的 B 处

32、，以 50 千米/ 时的速度向北偏西 60的 BF 方向移动，距台风中心 500 千米范围内是受台风影响的区 域 （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果 A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 【分析】 （1）根据题意得出 AC 的长，进而得出答案； （2）首先求出 CD 的长，进而得出 DE 的长，进而求出 A 市受这次台风影响的时间 【解答】解： （1）A 市会受到台风的影响 理由：过点 A 作 ACBF 于 C RtABC 中，ABC30， ACAB400km500km， A 市会受到台风的影响； （2）以 A 为圆心，500km 为半径画弧交

33、 BF 于点 D、E 在 RtACD 中，CD300（km） ， DE2CD600（km） A 市受这次台风影响的时间为：12（小时） 第 20 页（共 23 页） 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键 25 （10 分）如图，在边长为 m 的菱形 ABCD 中，DAB60，E 是 AD 上不同于 A，D 两点的一动点，F 是 CD 上一动点，且 AE+CFm （1）证明：无论 E，F 怎样移动，BEF 总是等边三角形； （2）求BEF 面积的最小值 【分析】 （1）连接 BD，得到ABD 是等边三角形，又 AE+CFm，所以 AEDF，利用 边角边可以证

34、明ABE、DBF 全等 （2）边长最小面积就最小，当 BEAD 时边长最小，利用勾股定理求出 BE 及BEF 的 高，则其面积就不难得到了 【解答】解： （1）连接 BD， DAB60， ABD 是等边三角形， ABDB， 又AE+CFm， AEDF， 在ABE 和DBF 中， ABEDBF（SAS） ， BEBFEBFABD60， BEF 是等边三角形 （2）当 BEAD 时面积最小，此时 BEm， BEF 的 EF 边上的高m， SBEFmmm2 第 21 页（共 23 页） 【点评】作辅助线构造出等边三角形和全等三角形，结合菱形的性质和等边三角形的性 质求解 26 （10 分）如图，在平

35、行四边形 ABCD 中，AB6cm，BC12cmB30点 P 在 BC 上由点 B 向点 C 出发，速度为每秒 2cm；点 Q 在边 AD 上，同时由点 D 向点 A 运动， 速度为每秒 1cm，当点 P 运动到点 C 时，P、Q 同时停止运动连接 PQ，设运动时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时四边形 ABPQ 为平行四边形？ （2）设四边形 ABPQ 的面积为 y，求 y 与 t 之间的函数关系式 （3）当 t 为何值时，四边形 ABPQ 的面积是四边形 ABCD 的面积的四分之三，并求出此 时PQD 的度数 （4）连结 AP，是否存在某一时刻 t，使ABP 为等腰三角形？并求出此刻 t

36、 的值 【分析】 （1）利用平行四边形的对边相等 AQBP 建立方程求解即可； （2）先构造直角三角形，求出 AE，再用梯形的面积公式即可得出结论； （3）利用面积关系求出 t，即可求出 DQ，进而判断出 DQPQ，即可得出结论； （4）分三种情况，利用等腰三角形的性质，两腰相等建立方程求解即可得出结论 【解答】解： （1）由运动知，AQ12t，BP2t， 四边形 ABPQ 为平行四边形， AQBP， 12t2t t4， 即：t4s 时，四边形 ABPQ 是平行四边形； （2）如图 1， 第 22 页（共 23 页） 过点 A 作 AEBC 于 E， 在 RtABE 中，B30，AB6， AE

37、3， 由运动知，BP2t，DQt， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC12， AQ12t， yS四边形ABPQ（BP+AQ） AE（2t+12t）3t+18（0t6） （3）由（2）知，AE3， BC12， S四边形ABCD12336， 由（2）知，yS四边形ABPQt+18（0t6） ， 四边形 ABPQ 的面积是四边形 ABCD 的面积的四分之三 t+1836， t6； 如图 3， 当 t6 时，点 P 和点 C 重合，DQ6， CDAB6， DPDQ， DQCDPQ， DB30， DQP75； （4）当 ABBP 时，BP6， 即 2t6，t3； 当 APBP 时，如图 2， B30， 第 23 页（共 23 页） 过 P 作 PM 垂直于 AB，垂足为点 M， BM3，BP2， 2t2， t 当 ABAP 时，同（2）的方法得，BP6， 2t6， t3 所以，当 t3 或 或 3时，ABP 为等腰三角形 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，含 30的直角三角形的 性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是利用 AQBP 建立方程，解（2）的关键是 求出梯形的高，解（3）的关键是求出 t，解（4）的关键是分类讨论的思想思考问题