2019-2020学年湖南师大附中高新实验中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）含详细解答

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1、2019-2020 学年湖南师大附中高新实验中学八年级（上）月考数学试卷（10 月份）一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1 （3 分）下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）如图，ABC 与ABC关于直线 l 对称，则B 的度数为（ ） A30 B50 C90 D100 3 （3 分）在平面直角坐标系中，有点 A（2，1） ，点 A 关于 y 轴的对称点是（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （1，2） 4 （3 分）在ABC 中，其两个内角如下，则能判定ABC 为等腰三角形的是（ ） A

2、A40，B50 BA40，B60 CA20，B80 DA40，B80 5（3 分） 已知等腰三角形的一边长为 5， 另一边长为 10， 则这个等腰三角形的周长为 （ ） A25 B25 或 20 C20 D15 6（3 分） 如图， 在ABC 中， ABAC， ADBC 于点 D， 则下列结论不一定成立的是 （ ） AADBD BBDCD C12 DBC 7 （3 分）下列各式中，正确的是（ ） 第 2 页（共 27 页） Am2m3m6 B （xn+1）3x3n+1 C （ab）2a2b2 Dm5+m52m10 8 （3 分）等腰三角形一个角的度数为 50，则顶角的度数为（ ） A50 B8

3、0 C65 D50或 80 9 （3 分）如图，RtABC 中，ACB90，A50，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A处，折痕为 CD，则ADB（ ） A40 B30 C20 D10 10 （3 分）如图，在ABC 中，B90，ABBD，ADCD，则CAD 的度数为（ ） A22.5 B30 C45 D60 11 （3 分）如图所示，l 是四边形 ABCD 的对称轴，ADBC，现给出下列结论： ABCD；ABBC；ABBC；AOOC其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 12 （3 分）如图，MNP 中，P60，MNNP，MQPN，垂足为 Q，延长 MN 至 G，

4、 取 NGNQ，若MNP 的周长为 12，MQa，则MGQ 周长是（ ） 第 3 页（共 27 页） A8+2a B8+a C6+a D6+2a 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 13 （3 分）已知点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，PA6，则 PB 14 （3 分）已知点 A（x，4）与点 B（3，y）关于 x 轴对称，那么 x+y 的值为 15 （3 分）若 3x+236，则 16 （3 分） 已知AOB30， 点 P 在 OA 上， 且 OP2， 点 P 关于直线 OB 的对称点是 Q， 则 PQ 17 （3 分） 如图， 在ABC 中，

5、 DE 是 AC 的垂直平分线，AE3cm，ABD 的周长为 13cm， 则ABC 的周长是 cm 18 （3 分）在ABC 中，ABAC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50， 则底角B 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 0 分，共分，共 12 分）分） 19计算： （1） （x2y3）2+（xy）3xy3 （2） 20如图，ADBC，BD 平分ABC求证：ABAD 第 4 页（共 27 页） 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 54 分；分；21、22 题各题各 8 分，分，23、24 题各题各 9 分；分

6、；25、26 题题 各各 10 分）分） 21 （8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的坐标系网格中，点 A、B、C 都 是格点 （1）画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1； （2）将A1B1C1向左平移 7 个单位，得到A2B2C2，请画出A2B2C2； （3）已知ABC 的边 AC 上有一点 D（m，n） ，则点 D 在（1） （2）中的两次操作后对 应A2B2C2的点 E 坐标为 22 （8 分）已知，如图点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，BE 和 CD 相交于点 O，ABAC，AD AE；求证：OBOC 23 （9 分）解答下列问题 （1）已知 2xa，

7、2yb，求 2x+y的值； （2）已知 3m5，3n2，求 33m+2n+1的值； （3）若 3x+4y30，求 27x81y的值 第 5 页（共 27 页） 24 （9 分）如图，ABC 和CDE 都是等边三角形，B、C、D 三点在一条直线上，AD 与 BE 相交于点 P，BE 相交于点 M，AD、CE 相交于点 N （1）求证：ACDBCE； （2）求APM 的度数； （3）连接 MN，求证：CMN 是等边三角形 25 （10 分）如图（1） ，已知ABC 是边长 12cm 的等边三角形，动点 P 以 1cm/s 的速度由 A 向 B 匀速运动，动点 Q 以 2cm/s 的速度由向 C 匀

8、速运动，当点 Q 到达点 C 时，P，Q 两点停止运动设点 P 的运动时间为 t（s） （1）当 t 为何值时，PBQ 是等边三角形？ （2）当PBQ 是等边三角形时，作点 C 关于直线 PQ 的对称点 E，连接 AE 交 PQ 于点 F， 求证：F 为 PQ 的中点； 点 M 在线段 PQ 上运动，当 MA+MC 取最小值时，延长 AM 交 BC 于 N，求 CN 的长 26 （10 分）如图 1，直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，OC 平分AOB 交 AB 于 点 C，点 D 为线段 AB 上一点，过点 D 作 DEOC 交 y 轴于点 E，已知 AOm，BOn， 且

9、m、n 满足（n6）2+|n2m|0 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）若点 D 为 AB 中点，求 OE 的长； 第 6 页（共 27 页） （3）如图 2，若点 P（x，2x+6）为直线 AB 在 x 轴下方的一点，点 E 是 y 轴的正半轴 上一动点，以 E 为直角顶点作等腰直角PEF，使点 F 在第一象限，且 F 点的横、纵坐 标始终相等，求点 P 的坐标 第 7 页（共 27 页） 2019-2020 学年湖南师大附中高新实验中学八年级（上）月考数学年湖南师大附中高新实验中学八年级（上）月考数 学试卷（学试卷（10 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（

10、本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1 （3 分）下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重 合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 【解答】解：根据轴对称图形定义可知： A、不是轴对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意 故选：A 【点评】掌握轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后 可重合 2 （3 分）如图，ABC 与ABC关于直线 l

11、 对称，则B 的度数为（ ） A30 B50 C90 D100 【分析】由已知条件，根据轴对称的性质可得CC30，利用三角形的内角和 等于 180可求答案 第 8 页（共 27 页） 【解答】解：ABC 与ABC关于直线 l 对称， AA50，CC30； B18080100 故选：D 【点评】主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是 180 度；求角的度数常常要用到 “三角形的内角和是 180 3 （3 分）在平面直角坐标系中，有点 A（2，1） ，点 A 关于 y 轴的对称点是（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （1，2） 【分析】直接利用关于 y 轴对称点的性质进而

12、得出答案 【解答】解：点 A（2，1） ， 点 A 关于 y 轴的对称点是： （2，1） 故选：A 【点评】此题主要考查了关于 y 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键 4 （3 分）在ABC 中，其两个内角如下，则能判定ABC 为等腰三角形的是（ ） AA40，B50 BA40，B60 CA20，B80 DA40，B80 【分析】根据等腰三角形性质，利用三角形内角定理对 4 个选项逐一进行分析即可得到 答案 【解答】解；当顶角为A40时，C7050， 当顶角为B50时，C6540 所以 A 选项错误 当顶角为B60时，A6040， 当A40时，B7060， 所以 B 选项错误 当顶

13、角为A40时，C70B， 所以 C 选项正确 当顶角为A40时，B7080， 当顶角为B80时，A5040 所以 D 选项错误 故选：C 第 9 页（共 27 页） 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解 答此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理 5（3 分） 已知等腰三角形的一边长为 5， 另一边长为 10， 则这个等腰三角形的周长为 （ ） A25 B25 或 20 C20 D15 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为 5 和 10，而没有明确腰、底分别是多少，所 以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形 【解答】解：分两种情况： 当腰

14、为 5 时，5+510，所以不能构成三角形； 当腰为 10 时，5+1010，所以能构成三角形，周长是：10+10+525 故选：A 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的 题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解 答，这点非常重要，也是解题的关键 6（3 分） 如图， 在ABC 中， ABAC， ADBC 于点 D， 则下列结论不一定成立的是 （ ） AADBD BBDCD C12 DBC 【分析】由在ABC 中，ABAC，ADBC，根据等边对等角与三线合一的性质求解即 可求得答案 【解答】解：ABAC，ADBC， B

15、DCD，12，BC 故 A 错误，B，C，D 正确 故选：A 【点评】此题考查了等腰三角形的性质注意掌握三线合一性质的应用是解此题的关键 7 （3 分）下列各式中，正确的是（ ） Am2m3m6 B （xn+1）3x3n+1 C （ab）2a2b2 Dm5+m52m10 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及合 第 10 页（共 27 页） 并同类项的法则逐一判断即可 【解答】解：m2m3m5，故选项 A 不合题意； （xn+1）3x3n+3，故选项 B 不合题意； （ab）2a2b2，正确，故选项 C 符合题意； m5+m52m5，故选项 D 不合题意 故

16、选：C 【点评】本题主题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，熟记 相关运算法则是解答本题的关键 8 （3 分）等腰三角形一个角的度数为 50，则顶角的度数为（ ） A50 B80 C65 D50或 80 【分析】等腰三角形一内角为 50，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况 【解答】解： （1）当 50角为顶角，顶角度数为 50； （2）当 50为底角时，顶角18025080 故选：D 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或 底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键 9 （3 分）如图，RtABC 中，

17、ACB90，A50，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A处，折痕为 CD，则ADB（ ） A40 B30 C20 D10 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得ADBCAD B，又折叠前后图形的形状和大小不变，CADA50，易求B90A 40，从而求出ADB 的度数 【解答】解：RtABC 中，ACB90，A50， B905040， 第 11 页（共 27 页） 将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A处，折痕为 CD，则CADA， CAD 是ABD 的外角， ADBCADB504010 故选：D 【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质关键是要理解折叠是一种对

18、称 变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置 变化解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等 10 （3 分）如图，在ABC 中，B90，ABBD，ADCD，则CAD 的度数为（ ） A22.5 B30 C45 D60 【分析】利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质解决问题即可 【解答】解：BABD，B90， ADBBAD45， DCDA， CCAD， ADBA+CAD， ACAD22.5， 故选：A 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是 熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 11 （3 分）如图所示，l

19、是四边形 ABCD 的对称轴，ADBC，现给出下列结论： ABCD；ABBC；ABBC；AOOC其中正确的结论有（ ） 第 12 页（共 27 页） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据轴对称图形的性质，四边形 ABCD 沿直线 l 对折能够完全重合，再根据两 直线平行，内错角相等可得CADACBBACACD，然后根据内错角相等， 两直线平行即可判定 ABCD，根据等角对等边可得 ABBC，然后判定出四边形 ABCD 是菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分即可判定 AOOC；只有四边形 ABCD 是正方 形时，ABBC 才成立 【解答】解：l 是四边形 ABCD 的对称轴， CA

20、DBAC，ACDACB， ADBC， CADACB， CADACBBACACD， ABCD，ABBC，故正确； 又l 是四边形 ABCD 的对称轴， ABAD，BCCD， ABBCCDAD， 四边形 ABCD 是菱形， AOOC，故正确， 菱形 ABCD 不一定是正方形， ABBC 不成立，故错误， 综上所述，正确的结论有共 3 个 故选：C 【点评】本题考查了轴对称的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，熟记对称轴两 边的部分能够完全重合是解题的关键 12 （3 分）如图，MNP 中，P60，MNNP，MQPN，垂足为 Q，延长 MN 至 G， 取 NGNQ，若MNP 的周长为 12，MQa

21、，则MGQ 周长是（ ） A8+2a B8+a C6+a D6+2a 第 13 页（共 27 页） 【分析】MNP 中，P60，MNNP，MQPN，根据等腰三角形的性质求解 【解答】解：MNP 中，P60，MNNP MNP 是等边三角形 又MQPN，垂足为 Q， PMPNMN4，NQNG2，MQa，QMN30，PNM60， NGNQ， GQMN， QGMQa， MNP 的周长为 12， MN4，NG2， MGQ 周长是 6+2a 故选：D 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，认识到MNP 是等边三角形 是解决本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题

22、，共 18 分）分） 13 （3 分）已知点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，PA6，则 PB 6 【分析】直接根据线段垂直平分线的性质进行解答即可 【解答】解：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，PA6， PBPA6 故答案为：6 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两 端点的距离相等是解答此题的关键 14 （3 分）已知点 A（x，4）与点 B（3，y）关于 x 轴对称，那么 x+y 的值为 7 【分析】根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得 x、y 的 值，进而可得 x+y 的值 【解答】解：点 A（x，4）与点 B（

23、3，y）关于 x 轴对称， 第 14 页（共 27 页） x3，y4， x+y7， 故答案为：7 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律 15 （3 分）若 3x+236，则 2 【分析】 根据同底数幂的乘法的性质等式左边可以转化为 3x3236， 即可求得 3x的值， 然后把 3x的值代入所求代数式求解即可 【解答】解：原等式可转化为：3x3236， 解得 3x4， 把 3x4 代入得，原式2 故答案为：2 【点评】本题考查了同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键，注意运用整 体思想解题可以简化运算 16 （3 分） 已知AOB30， 点 P 在

24、 OA 上， 且 OP2， 点 P 关于直线 OB 的对称点是 Q， 则 PQ 2 【分析】连 OQ，由点 P 关于直线 OB 的对称点是 Q，根据轴对称的性质得到 OB 垂直平 分 PQ，则POBQOB30，OPOQ，得到POQ 为等边三角形，根据等边三角 形的性质得 PQPO2 【解答】解：如图，连 OQ， 点 P 关于直线 OB 的对称点是 Q， OB 垂直平分 PQ， POBQOB30，OPOQ， POQ60， POQ 为等边三角形， 第 15 页（共 27 页） PQPO2 故答案为 2 【点评】本题考查了轴对称的性质：关于某直线对称的两图象全等，即对应角相等，对 应线段相等；对应点

25、的连线段被对称轴垂直平分也考查了等边三角形的判定与性质 17 （3 分） 如图， 在ABC 中， DE 是 AC 的垂直平分线，AE3cm，ABD 的周长为 13cm， 则ABC 的周长是 19 cm 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到 ADCD，AC2AE，结合 周长，进行线段的等量代换可得答案 【解答】解：DE 是 AC 的垂直平分线， ADCD，AC2AE6cm， 又ABD 的周长AB+BD+AD13cm， AB+BD+CD13cm， 即 AB+BC13cm， ABC 的周长AB+BC+AC13+619cm 故答案为 19 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂

26、直平分线上任意一点，到线段两端 点的距离相等） ，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键 18 （3 分）在ABC 中，ABAC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50， 则底角B 70或 20 【分析】由于ABC 的形状不能确定，故应分ABC 是锐角三角形与钝角三角形两种情 况进行讨论 【解答】解：如图，当 AB 的中垂线与线段 AC 相交时，则可得ADE50， 第 16 页（共 27 页） AED90， A905040， ABAC， BC70； 如图，当 AB 的中垂线与线段 CA 的延长线相交时，则可得ADE50， AED90， DAE905040， BAC140， AB

27、AC， BC20 底角 B 为 70或 20 故答案为：70或 20 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线 段两端点的距离相等是解答此题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 0 分，共分，共 12 分）分） 19计算： （1） （x2y3）2+（xy）3xy3 （2） 【分析】 （1）依据积的乘方法则、幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则进行计算即可； （2）依据积的乘方法则的逆运算进行计算即可 【解答】解： （1） （x2y3）2+（xy）3xy3 x4y6x4y6 0； 第 17 页（共 27 页） （2） （

28、0.25）15415+ （0.254）15+ 1+（1） 1 【点评】本题主要考查了积的乘方法则、幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则，幂的 乘方的底数指的是幂的底数，性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘， 这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别 20如图，ADBC，BD 平分ABC求证：ABAD 【分析】根据 ADBC，可求证ADBDBC，利用 BD 平分ABC 和等量代换可求 证ABDADB，然后即可得出结论 【解答】证明：ADBC， ADBDBC， BD 平分ABC， ABDDBC， ABDADB， ABAD 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的

29、理解和掌握，此 题很简单，属于基础题 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 54 分；分；21、22 题各题各 8 分，分，23、24 题各题各 9 分；分；25、26 题题 各各 10 分）分） 21 （8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的坐标系网格中，点 A、B、C 都 是格点 （1）画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1； 第 18 页（共 27 页） （2）将A1B1C1向左平移 7 个单位，得到A2B2C2，请画出A2B2C2； （3）已知ABC 的边 AC 上有一点 D（m，n） ，则点 D 在（1） （2）中的两次操作后对 应A2B

30、2C2的点 E 坐标为 （m7，n） 【分析】 （1）首先确定 A、B、C 三点关于 x 轴对称点 A1、B1、C1，再连接即可； （2）首先确定 A1、B1、C1向左平移 7 个单位的对应点 A2、B2、C2，再连接即可； （3）根据关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标相反，向左平移 7 个单位，纵坐标不变， 横坐标减 7，进而可得答案 【解答】解： （1）如图： （2）如图： （3）点 E 坐标为（m7，n） 故答案为： （m7，n） 【点评】此题主要考查了平移作图，以及轴对称变换，关键是正确确定图形关键点的对 称点和对应点位置 第 19 页（共 27 页） 22 （8 分）已知，如图点

31、D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，BE 和 CD 相交于点 O，ABAC，AD AE；求证：OBOC 【分析】根据题目中的条件，可以证明ABE 和ACD 全等，从而可以得到ABE ACD，再根据 ABAC，可以得到ABCACB，从而可以得到OBCOCD，进而 得到 OBOC 成立 【解答】证明：在ABE 和ACD 中 ， ABEACD（SAS） ， ABEACD， ABAC， ABCACB， OBCOCD， OBOC 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明 确题意，利用数形结合的思想解答 23 （9 分）解答下列问题 （1）已知 2xa，2yb，求

32、2x+y的值； （2）已知 3m5，3n2，求 33m+2n+1的值； （3）若 3x+4y30，求 27x81y的值 【分析】 （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可； （3）由 3x+4y30 可得 3x+4y3，再据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可 【解答】解： （1）2xa，2yb， 第 20 页（共 27 页） 2x+y2x2yab； （2）3m5，3n2， 33m+2n+1（3m）3 （3n）2353223125431500； （3）由 3x+4y30 可得 3x+4y3， 27x81y 33x34y 33x+4y 33 27

33、 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则 是解答本题的关键 24 （9 分）如图，ABC 和CDE 都是等边三角形，B、C、D 三点在一条直线上，AD 与 BE 相交于点 P，BE 相交于点 M，AD、CE 相交于点 N （1）求证：ACDBCE； （2）求APM 的度数； （3）连接 MN，求证：CMN 是等边三角形 【分析】 （1）根据等边三角形的性质和题意，可以得到ACDBCE 的条件，从而可 以证明结论成立； （2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质、三角形内角和可以求得APM 的度数； （3）根据（1）中的结论和等边三角形的判定可以证明CMN

34、是等边三角形 【解答】 （1）证明：ABC 和CDE 都是等边三角形， BCAC，CECD，BCAECD60， BCA+ACEECD+ACE，ACE60， 第 21 页（共 27 页） BCEACD， 在ACD 和BCE 中 ， ACDBCE（SAS） ； （2）由（1）知，ACDBCE， 则DACEBC， 即PAMCBM， AMPBMC， APMBCM， BCM60， APM60； （3）由（1）知，ACDBCE， 则ADCBEC， 即CDNCEM， ACE60，ECD60， MCENCD， 在MCE 和NCD 中， ， MCENCD（AAS） ， CMCN， MCN60， MCN 是等边三

35、角形 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关 第 22 页（共 27 页） 键是明确题意，利用数形结合的思想解答 25 （10 分）如图（1） ，已知ABC 是边长 12cm 的等边三角形，动点 P 以 1cm/s 的速度由 A 向 B 匀速运动，动点 Q 以 2cm/s 的速度由向 C 匀速运动，当点 Q 到达点 C 时，P，Q 两点停止运动设点 P 的运动时间为 t（s） （1）当 t 为何值时，PBQ 是等边三角形？ （2）当PBQ 是等边三角形时，作点 C 关于直线 PQ 的对称点 E，连接 AE 交 PQ 于点 F， 求证：F 为 PQ 的中点；

36、 点 M 在线段 PQ 上运动，当 MA+MC 取最小值时，延长 AM 交 BC 于 N，求 CN 的长 【分析】 （1）根据 BPBQ 构建方程即可解决问题 （2）连接 PC，AQ，PE利用全等三角形的性质，翻折变换的性质证明 PAQE，PE AQ，可得四边形 PAQE 是平行四边形 如图 3 中， 作点 C 关于 PQ 的对称点 E， 连接 AE 交 PQ 于 M， 此时 MA+MC 的值最小 想 办法证明点 M 是ABC 的重心即可解决问题 【解答】 （1）解：如图 1 中， ABC 是等边三角形， B60， 当 BPBQ 时，BPQ 是等边三角形， 第 23 页（共 27 页） PAt

37、，BQ2t，ABBC12， PB12t， 12t2t， 解得 t4， t4s 时，PBQ 是等边三角形 （2）证明：如图 2 中，连接 PC，AQ，PE BABC，BQBP，BB， ABQCBP（SAS） ， AQCP， 由翻折可知：PCPE，CQQE， PEAQ， ABBC，BPBQ， APCQ， PAEQ， 四边形 APEQ 是平行四边形， PFFQ， F 为 PQ 的中点 解：如图 3 中，作点 C 关于 PQ 的对称点 E，连接 AE 交 PQ 于 M，此时 MA+MC 的值 最小 第 24 页（共 27 页） 由可知，PMMQ，连接 BM，延长 BM 交 AC 于 H BPQ 是等边

38、三角形，PMMQ， BMPQ， BPQBAC60， PQAC， BHAC， AHCH， PQAC， 2， BM2MH， 点 M 是ABC 的重心， AN 是ABC 的中线， BNCN6 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，平行四边形的判 定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造特殊四边形 解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题 26 （10 分）如图 1，直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，OC 平分AOB 交 AB 于 点 C，点 D 为线段 AB 上一点，过点 D 作 DEOC 交 y 轴于点 E，已知 A

39、Om，BOn， 且 m、n 满足（n6）2+|n2m|0 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）若点 D 为 AB 中点，求 OE 的长； （3）如图 2，若点 P（x，2x+6）为直线 AB 在 x 轴下方的一点，点 E 是 y 轴的正半轴 上一动点，以 E 为直角顶点作等腰直角PEF，使点 F 在第一象限，且 F 点的横、纵坐 第 25 页（共 27 页） 标始终相等，求点 P 的坐标 【分析】 （1）根据非负数的性质，得出方程（n6）20，|n2m|0，求得 m3，n 6，即可得到 A、B 两点的坐标； （2）延长 DE 交 x 轴于点 F，延长 FD 到点 G，使得 DGDF，连接 B

40、G，构造全等三角 形，再根据 BGBE 列出关于 x 的方程，即可求得 OE 的长； （3）分别过点 F、P 作 FMy 轴于点 M，PNy 轴于点 N，设点 E 为（0，m） ，构造全 等三角形，再根据 F 点的横坐标与纵坐标相等，得出方程 m+2x6m+x，解得：x6， 即可得到点 P 为（6，6） 【解答】解： （1）（n6）2+|n2m|0，且（n6）20，|n2m|0， （n6）20，|n2m|0， m3，n6， OA3，OB6， 点 A 为（3，0） ，点 B 为（0，6） ； （2）如图，延长 DE 交 x 轴于点 F，延长 FD 到点 G，使得 DGDF，连接 BG， 设 OE

41、x， OC 平分AOB， BOCAOC45， DEOC， EFOFEOBEGBOCAOC45， OEOFx， 在ADF 和BDG 中， 第 26 页（共 27 页） ， ADFBDG（SAS） ， BGAF3+x，GAFE45， GBEG45 BGBE6x 6x3+x， 解得：x1.5， OE1.5； （3）分别过点 F、P 作 FMy 轴于点 M，PNy 轴于点 N， 设点 E 为（0，m） ， 点 P 的坐标为（x，2x+6） ， PNx，ENm+2x6， PEF90， PEN+FEM90， FMy 轴， MFE+FEM90， PENMFE， 在EFM 和PEN 中， ， EFMPEN（AAS） ， MENPx，FMENm+2x6， 点 F 为（m+2x6，m+x） ， F 点的横坐标与纵坐标相等， m+2x6m+x， 解得：x6， 点 P 为（6，6） 第 27 页（共 27 页） 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了非负数的性质，等腰直角三角形的性质以 及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形， 根据全等三角形的对应边相等进行计算求解解题时注意方程思想的运用