山东省烟台市2020年4月高考诊断性测试数学试题（含答案）

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1、绝密启用前 2020 年高考诊断性测试数学年高考诊断性测试数学试卷试卷 一、 单项选择题:本题共 8 小题， 每小题 5 分共 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求。 1.已知集合ln1 x Mx yxNy ye （ ）, ，则MN A 1,0 B 1（， ） C 0（ ， ） DR 2.已知复数z满足1i2iz（ ） （i 为虚数单位） ，则z A 1 i B 1 i C 1 2i D12i 3.设xR，则 2 2123 0xxx“”是“ ”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4.数列 1212 :1,(2) nnnn FFFF

2、FFn ， 最初记载于意大利数学家斐波那契在 1202 年所著的 算盘 全书 ，若将数列 n F 的每一项除以 2 所得的余数按原来项的顺序构成新的数列 n a ，则数列 n a 的前 50 项和为 A 33 B 34 C 49 D50 5.设 ABCD 为平行四边形，4,6, 3 ABADBAD 若点 M，N 满足 ,2,BMMC ANND则NM AM A 23 B 17 C 15 D9 6.右图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间 留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球 槽内。若小球下

3、落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落号球槽的概率为 A 3 32 B 15 64 C 5 32 D 5 16 7.设 P 为直线344 0xy 上的动点，PA PB，为圆 C: 22 21xy（） 的两条切线，A B，为切点，则 四边形 APBC 面积的最小值为 A 3 B 2 3 C 5 D2 5 8.已知函数( ) xx xx ee f x ee ，实数m n，满足不等式220fm nfn（）（），则下列不等关系成立的 是 A 1m n B 1m n C 1m n D1m n 二、多项选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选

4、对 的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9.2020 年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延，疫情就是命令，防控就是责任。在党中央 的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战 争。右侧的图表展示了 2 月 14 日至 29 日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是 A.16 天中每新增确诊病例数量呈下降趋势且 19 日的降幅最大 B.16 天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数 C.16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于 2000 D.19 至 29 日每日新增治愈

5、病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和 10.已知 P 是双曲线 C: 22 1 3 xy m 上任一点， A， B 是双曲线上关于坐标原点对称的两点， 设直线PA PB， 的斜率分别为 121 20kk k k ， （），若 2 kkt 1 恒成立，且实数 t 的最大值为 2 3 3 则下列说法正确的 A.双曲线的方程为 2 2 1 3 x y B.双曲线的离心率为 2 C.函数log10,1 a yxaa（） 的图象恒过 C 的一个焦点 D.直线230xy与 C 有两个交点 11.如图， 在棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D中，P M，分别为棱 1 CDCC，的中点， Q为面

6、对角线 1 AB 上任一点，则下列说法正确的是 A.平面 APM 内存在直线与 11 AD平行 9 B.平面 APM 截正方体 1111 ABCDABC D所得截面面积为 9 8 C.直线 AP 和 DQ 所成角可能为60 D.直线 AP 和 DQ 所成角可能为 30 12.关于函数sin x f xeaxx （ ） ，（，+ ），下列说法正确的是 A.当1a时，f x（ ）在00f，（ ）处的切线方程为21xy 0 B.当1a时，f x（ ）存在唯一极小值点 00 10xf x且（ ） C.对任意0a，f x（ ）在（， ）上均存在零点 D.存在0a，f x（ ）在（， ）上有且只有一个零点

7、 三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分 13.已知tan2则2 2 cos(） 14. 36 1 12)xx x （ ） (的展开式中 3 x项的系数是（用数字作答） 15.已知点 A，B.C 在半径为 2 的球面上，满足1ABAC，3BC.若 S 是球面上任意一点，则三棱锥 S-ABC 体积的最大值为 16.已知 F 为抛物线 2 20xpy p的焦点，点pA（1, ）M 为抛物线上任意一点，MAMF的最小值 为 3，则抛物线方程为_若线段 AF 的垂直平分线交抛物线于 P,Q 两点，则四边形 APFQ 的面积为 _（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题:本题

8、共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（10 分） 已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为ab c， ， 2 cos3cosaAB （bcosCc） （1）求角 A； （2）若2 3b，BC 边上的高为 3，求 c. 18.（12 分） 已知等差数列 n a 的前 n 项和为 n S, n b 是各项均为正数的等比数列， 14 _ab . 213 834bbb ，是否存在正整数 k，使得数列 1 n S 的前 k 项和 15 16 n T 若存在，求出 k 的最小值； 若不存在，说明理由. 从 433342 2023SSaaab ， ，这三个条件中任选

9、一个，补充到上面问题中井作答. 注:如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分 19.（12 分） 如图，三棱锥PABC中，点 E，F 分别是ABPB，的中点，点 G 是BCE 的重心. （1）证明:GFPAC平面； （2） 若P A BA B C平面平面，2PA PB PAPB ACBCABBC， 求平面EFG与平面PFG 所成的锐二面角的余弦值. 20.（12 分） 推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对 垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取 1000 名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布 表如下: （1）从该社区随机抽取

10、一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于 60 分的概率: （2） 将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”(得分不低于 60 分） 和“不太了解” （得分低于 60） 两类， 完成 2 2 列联表，并判断是否有 95的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？ （3） 从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中， 按照性别进行分层抽样， 共抽取 10 人， 连同 * n nN（） 名男性调查员一起组成 3 个环保宣传队.若从这 n10 人中随机取 3 人作为队长，且男性队长人数的期望 不小于 2.求 n 的最小值 21.（12 分） 已知函数 1ln R x f xa a x （

11、 ）（） （1）若0f x （ ）在0,上恒成立，求a的取值范围，并证明:对任意的 * nN，都 有 111 1ln1 23 n n （ ）; （2）设 2 1 x g xxe（ ）（）讨论方程f xg x（ ）（ ）实数根的个数 22.（12 分） 已知椭圆 C: 22 22 10 xy ab ab （ ）过点22M （ ， ），且焦距为 4. （1）求椭圆 C 的标准方程 （2）设 P 为直线l:2 2y上一点，Q 为椭圆 C 上一点，以 PQ 为直径的圆恒过坐标原点 O. （i）求 22 4OPOQ的取值范围: （ii）是否存在圆心在原点的定圆恒与直线 PQ 相切？若存在，求出该定圆的方程； 若不存在，说明理由