第24讲 函数中相似形存在问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)
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1、 2019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 24 函数中相似形存在问题函数中相似形存在问题 【难点突破】着眼思路,方法点拨【难点突破】着眼思路,方法点拨, 疑难突破;疑难突破; 存在性问题是根据已知的条件,探索制定适合某个问题的结论的数值、点、直线或其图形是否存在的 题目,对于相似三角形存在问题在中考中函数图象中点的存在问题是重点,其解题思路是:先对结论作 出肯定的假设,然后由肯定假设出发,结合已知条件进行正确的计算、推理,若导出矛盾,则否定先前假 设,若推出合理的结论,则说明假设正确,由此得出问题的结论它主要考查考生的观察、分析、比较、 归纳、推理等方面的能力,由
2、于这类题目的综合性极强因此中考常以压轴题出现 相似三角形的判定定理有 3 个,其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件,因此探求两个 三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检 验 应用判定定理 1 解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等 应用判定定理 3 解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组) 【名师原创】原创检测,关注素养,提炼主题;【名师原创】原创检测,关注素养,提炼主题; 【原创【原创 1】如图,二次函数 y=ax2+bx+c(aO)与
3、x 轴交于点 A、B两点,其中点 A 在点 B 的左侧,其坐标 为(-1,0),与 y 轴交于点 C(0,4),抛物线的对称轴为 x=1,连接 BC (1)求此二次函数的解析式; (2) 若点 D 为线段 BC 上的一动点,作 DE 垂直 x 轴,交 x 轴于点 E,交抛物线于点 F,试求线段 DF 的最 大长度是多少? (3)在该抛物线对称轴上是否存在点 P,使BEP 与BOC 相似?若存在,请直接写出所有满足条件的 P 点的坐标;若不存在,请说明理由 解: (1)二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴交于点 A(-1,0) ,且与 y 轴交于点(0,-4) ,对称轴为 x=1,
4、可列方程组得: 0 4 2 abc c ab 即: 4 3 4 8 3 a c b 二次函数解析式为:y= 4 3 x2+ 8 3 x+4. (2)点 C(0,4) ,B(3,0) , 故可设 BC 所在的直线为: 1 ykxm,则有 4 30 m km , 即 4 4 3 m k BC 所在的直线即为: 1 4 4 3 yx 则在线段 BC 上方抛物线上动点 F 到线段 BC 的距离 DF= 4 3 x2+ 8 3 x+4-( 4 4 3 x)= 2 411 () 323 x 4 0 3 ,且 1 03 2 故 DF 的最大值为 1 3 。 (3)由题意可得:OB=3,OC=4, 则 OC
5、OB = 4 3, 当BEPBOC 时, PE BE= OC OB = 4 3,或者 BE PE= OC OB = 4 3, 可得:PE= 8 3,或 PE= 3 2, 则 PE= 8 3时, 当BEPBOC 时, 故 P1(1, 8 3 )或 P2(1, 8 3 ) ; 当 PE= 3 2 时, 当BEPCOB 时, 可得:P3(1, 3 2 )或 P4(1, 3 2 ). 综上所述:点 P 的坐标为: (1, 8 3 ) , (1, 8 3 ) , (1, 3 2 ) , (1, 3 2 ) 【典题精练】典例精讲,运筹帷幄,举一反三;【典题精练】典例精讲,运筹帷幄,举一反三; 【例题【例题
6、 1】 (】 (2017 日照)日照)如图所示,在平面直角坐标系中,C 经过坐标原点 O,且与 x 轴,y 轴分别相交 于 M(4,0) ,N(0,3)两点已知抛物线开口向上,与C 交于 N,H,P 三点,P 为抛物线的顶点,抛 物线的对称轴经过点 C 且垂直 x 轴于点 D (1)求线段 CD 的长及顶点 P 的坐标; (2)求抛物线的函数表达式; (3) 设抛物线交 x 轴于 A, B 两点, 在抛物线上是否存在点 Q, 使得 S四边形OPMN=8SQAB, 且QABOBN 成立?若存在,请求出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)连接 OC,由勾股定理可求得 MN 的长,
7、则可求得 OC 的长,由垂径定理可求得 OD 的长,在 RtOCD 中,可求得 CD 的长,则可求得 PD 的长,可求得 P 点坐标; (2)可设抛物线的解析式为顶点式,再把 N 点坐标代入可求得抛物线解析式; (3)由抛物线解析式可求得 A、B 的坐标,由 S四边形OPMN=8SQAB可求得点 Q 到 x 轴的距离,且点 Q 只能 在 x 轴的下方,则可求得 Q 点的坐标,再证明QABOBN 即可 【解答】解: (1)如图,连接 OC, M(4,0) ,N(0,3) , OM=4,ON=3, MN=5, OC=MN=, CD 为抛物线对称轴, OD=MD=2, 在 RtOCD 中,由勾股定理
8、可得 CD=, PD=PCCD=1, P(2,1) ; (2)抛物线的顶点为 P(2,1) , 设抛物线的函数表达式为 y=a(x2)21, 抛物线过 N(0,3) , 3=a(02)21,解得 a=1, 抛物线的函数表达式为 y=(x2)21,即 y=x24x+3; (3)在 y=x24x+3 中,令 y=0 可得 0=x24x+3,解得 x=1 或 x=3, A(1,0) ,B(3,0) , AB=31=2, ON=3,OM=4,PD=1, S四边形OPMN=SOMP+SOMN= OMPD+OMON= 4 1+ 4 3=8=8SQAB, SQAB=1, 设 Q 点纵坐标为 y,则 2 |y
9、|=1,解得 y=1 或 y=1, 当 y=1 时,则QAB 为钝角三角形,而OBN 为直角三角形,不合题意,舍去, 当 y=1 时,可知 P 点即为所求的 Q 点, D 为 AB 的中点, AD=BD=QD, QAB 为等腰直角三角形, ON=OB=3, OBN 为等腰直角三角形, QABOBN, 综上可知存在满足条件的点 Q,其坐标为(2,1) 【例题【例题 2】 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y1 6x 2bxc 过点 A(0,4)和 C(8,0),P(t,0)是 x 轴正半轴上的一个动点,M 是线段 AP 的中点,将线段 MP 绕点 P 顺时针旋转 90 得线段 PB.过
10、点 B 作 x 轴 的垂线,过点 A 作 y 轴的垂线,两直线相交于点 D. (1)求 b,c 的值; (2)当 t 为何值时,点 D 落在抛物线上; (3)是否存在 t,使得以 A,B,D 为顶点的三角形与AOP 相似?若存在,求此时 t 的值;若不存在,请说 明理由 解:(1)A(0,4),C(8,0)在抛物线上, c4, 01 6 8 28bc,解得 b5 6, c4; (2)AOPPEB90 , OAP90 APOEPB, AOPPEB,AO PE AP PB, AO4,AP2MP2PB, PE2,OEOPPEt2, 又DEOA4, 点 D 的坐标为(t2,4), 当点 D 落在抛物线
11、上时, 有1 6(t2) 25 6(t2)44, 解得 t3 或 t2, t0, t3,故当 t 为 3 时,点 D 落在抛物线上; (3)存在 t,能够使得以 A,B,D 为顶点的三角形与AOP 相似 理由如下:当 0t8 时,若POAADB, 则PO AD AO BD,即 t t2 4 41 2t 整理,得 t2160, t 无解; 若POABDA, 同理,解得 t2 2 5(负值舍去); 当 t8 时,若POAADB,则PO AD AO BD, 即 t t2 4 41 2t , 解得 t8 4 5(负值舍去); 若POABDA,同理,解得 t 无解 综上所述,当 t22 5或 84 5时
12、, 以 A,B,D 为顶点的三角形与AOP 相似. 【最新试题】名校直考,巅峰冲刺,一步到位。【最新试题】名校直考,巅峰冲刺,一步到位。 1. 如图 1,抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于 A(1, 0)、B(3, 0)两点,与 y 轴交于点 D,顶点为 C (1)求此抛物线的解析式; (2) 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M, 过 M 作 MNx 轴于点 N, 使以 A、 M、 N 为顶点的三角形与BCD 相似?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 图 1 【解析】AMN 是直角三角形,因此必须先证明BCD 是直角三角形一般情况下,根据直角边对应成比 例分两种情况列方程
13、 (1)抛物线的解析式为 yx24x3 (2)由 yx24x3(x2)21,得 D(0,3),C(2, 1) 如图 3-2,由 B(3, 0)、D(0,3)、C(2, 1),可知CBO45 ,DBO45 所以CBD90 ,且 21 33 2 BC BD 图 2 图 3 图 4 设点 M、N 的横坐标为 x,那么 NMyM,而 NA 的长要分 N 在 A 的右边或左边两种情况,因此列方程要 “两次分类”: 当 N 在 A 右侧时,NAx1,分两种情况列方程: 当3 NABD NMBC 时, 1 3 (1)(3) x xx 解得 10 3 x 此时 M 107 (,) 39 (如图 3) 当 1
14、3 NABC NMBD 时, 11 (1)(3)3 x xx 解得 x6此时 M(6,15)(如图 5) 当 N 在 A 左侧时,NA1x,也要分两种情况列方程: 当3 NABD NMBC 时, 1 3 (1)(3) x xx 解得 8 3 x 1,不符合题意(如图 4) 当 1 3 NABC NMBD 时, 11 (1)(3)3 x xx 解得 x0,此时 M(0,3)(如图 6) 图 5 图 6 2. 如图,抛物线 y=x2+x+2 与 x 轴交于点 A,B,与 y 轴交于点 C (1)试求 A,B,C 的坐标; (2)将ABC 绕 AB 中点 M 旋转 180 ,得到BAD 求点 D 的
15、坐标; 判断四边形 ADBC 的形状,并说明理由; (3)在该抛物线对称轴上是否存在点 P,使BMP 与BAD 相似?若存在,请直接写出所有满足条件的 P 点的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)直接利用 y=0,x=0 分别得出 A,B,C 的坐标; (2)利用旋转的性质结合三角形各边长得出 D 点坐标; 利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形 ADBC 的形状; (3)直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案 【解答】解: (1)当 y=0 时,0=x2+x+2, 解得:x1=1,x2=4, 则 A(1,0) ,B(4,0) , 当 x=0 时,y
16、=2,故 C(0,2) ; (2)过点 D 作 DEx 轴于点 E, 将ABC 绕 AB 中点 M 旋转 180 ,得到BAD, DE=2,AO=BE=1,OM=ME=1.5, D(3,2) ; 将ABC 绕 AB 中点 M 旋转 180 ,得到BAD, AC=BD,AD=BC, 四边形 ADBC 是平行四边形, AC= ,BC=2 , AB=5,AC2+BC2=AB2, ACB 是直角三角形,ACB=90 ,四边形 ADBC 是矩形; (3)由题意可得:BD=,AD=2, 则=, 当BMPADB 时, =, 可得:BM=2.5, 则 PM=1.25, 故 P(1.5,1.25) , 当BMP
17、1ABD 时,P1(1.5,1.25) , 当BMP2BDA 时,可得:P2(1.5,5) , 当BMP3BDA 时,可得:P3(1.5,5) , 综上所述:点 P 的坐标为: (1.5,1.25) , (1.5,1.25) , (1.5,5) , (1.5,5) 3. 如图 1-1,抛物线 2 13 4 82 yxx与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点左侧) ,与 y 轴交于点 C动直线 EF(EF/x 轴)从点 C 开始,以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴负方向平移,且分别交 y 轴、线段 BC 于 E、F 两点, 动点 P 同时从点 B 出发, 在线段 OB 上以每秒 2 个单
18、位的速度向原点 O 运动 是否存在 t, 使得BPF 与ABC 相似若存在,试求出 t 的值;若不存在,请说明理由 图 1 【解析】BPF 与ABC 有公共角B,那么我们梳理两个三角形中夹B 的两条边 ABC 是确定的由 2 13 4 82 yxx,可得 A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4) 于是得到 BA4,BC4 5还可得到 1 2 CECO EFOB BPF 中,BP2t,那么 BF 的长用含 t 的式子表示出来,问题就解决了 在 RtEFC 中,CEt,EF2t,所以5CFt 因此4 555(4)BFtt 于是根据两边对应成比例,分两种情况列方程: 当 BABP BCBF 时
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