第22讲 函数中四边形存在问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲（解析版）

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1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 2222 函数中四边形存在问题函数中四边形存在问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 四边形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊四边形的问题，如：平行四边形、菱形、 梯形的存在性等，往往结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算等 解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算难点在于寻找 分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四

2、个顶点，符合条件的有 3 个点：以已知三个定点为三角形的顶 点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生 3 个交点 如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况 根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便 具体的解题思路：具体的解题思路：寻找定量，结合特殊四边形判定确定分类；转化四边形的存在性为点的存在性或三 角形的存在性；借助几何特征建等式 难点拆解：难点拆解：平行四边形存在性，由定线分别作边、对角线分类，通过平移或旋转画图，借助坐标间关系 及中点坐标公式建等式求解菱

3、形存在性可转化为等腰三角形存在性处理等腰梯形存在性通常直接 表达两腰长，利用两腰相等建等式；两腰不易表达，借助对称性和中点坐标公式联立求解直角梯形存 在性关键是利用好直角 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1】如图，二次函数 y=ax2+bx+c（aO）与 x 轴交于点 A、B两点，其中点 A 在点 B 的左侧，其坐标 为（-1，0），与 y 轴交于点 C（0，4），抛物线的对称轴为 x=1，连接 BC （1）直接写出 a、b、c 的值。 （2）对称轴上是否存在两点，并与 A、B 两点为顶点组成正方形，若存在求出这两点的坐标，若

4、不存在， 请说出理由。 （3）若点 G 为直线 BC 上方的抛物线上的一动点，试判断以 A、B、G、C 为顶点的四边形面积有最大值还 是有最小值，其数值是多少？ （4）若点 H 为对称轴上的一个动点，点 P 为抛物线上的一动点，当 H、P、B、C 四点为顶点的四边形为平 行四边形时，求出点 H 的坐标。 【分析】 （1）将点 A、C 两点的坐标代入函数 y=ax2+bx+c 再结合坐标轴 x=1 得到 a、b 的数量关系，写出其 值即可。 （2）确定 A、B 两点，组成正方形，线段 AB 可能是边，也可能是对角线，结合题意分析，只能是对角线， 故从 AB 的长度上可以得到在对称轴上的另外两点的

5、坐标。 （4）动态的变化转变成静态的来计算，对于任意的四边形面积很难一下求解，需要对四边形进行切割，化 整为零来求解，写出面积 S 与动点 G 横坐标 x 的关系，利用二次函数的性质来判断是否存在最值。 （5）四点为顶点构成平行四边形，B、C 为定点，可分 BC 为平行四边形的一条边及对角线两种情况进行讨 论得到点 H 的坐标 【解答】 （1）a= 4 3 ; b= 8 3 ; c=4; (2)存在： A、B 两点确定，则 AB 为边为对角线，根据图像可知另外两点只能在对称轴上，判定 AB 只能为对角线， 利用图像性质可知 AB=4.故另外两点坐标分别为（1，2） （1，-2）. （3）设动点

6、 G 的坐标为（x, 2 48 4 33 xx） 则过点 G 作 GG垂直x轴，如图 S四边形ABGC=SAOC+S梯形COGG+SGBG = 1 2 14+ 1 2 x（ 2 48 4 33 xx）+ 1 2 （ 2 48 4 33 xx） （3-x） = 2 268xx= 325 2() 22 x -2OC. (1)求线段 OA，OC 的长 (2)证明ADECOE，并求出线段 OE 的长 (3)直接写出点 D 的坐标 (4)若F是直线AC上的一个动点，在平面直角坐标系内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形 是菱形？若存在，请直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1

7、)解 x212x320 得 x18，x24. 边 OC，OA 的长是关于 x 的一元二次方程 x212x320 的两个根，且 OAOC， OA8，OC4. (2)把矩形 OABC 沿对角线 AC 所在的直线折叠，点 B 落在点 D 处，DC 与 y 轴相交于点 E， ADABCO，ADEABCCOE， 又AEDCEO， ADECOE(AAS)， CEAEOAOE8OE. 在 RtOEC 中，由勾股定理得 OE2OC2CE2， 即 OE242(8OE)2， OE3. (3)如图所示，作 DMx 轴于点 M， 则COECMD， OE DM CO CM CE CD， 即 3 DM 4 4OM 5 8

8、， OM12 5 ，DM24 5 ， 点 D 的坐标为(12 5 ，24 5 ) (4)存在 如图所示，点 P 的坐标为(5 4， 1 2)； 如图所示，点 P 的坐标为(4，5)； 如图所示，点 P 的坐标为 P3( 5，32 5)； 如图所示，点 P 的坐标为 P4( 5，32 5) 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A（2，0）、B（4，0）两点， 与 y 轴交于点 C，且 OC2OA （1）试求抛物线的解析式； （2）直线 ykx+1（k0）与 y 轴交于点 D，与抛物线交于点 P，与直线 BC 交于点 M，记 m，试求 m 的最大值及此

9、时点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，点 Q 是 x 轴上的一个动点，点 N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点 Q、N， 使得以 P、D、Q、N 四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由 【分析】（1）因为抛物线 yax2+bx+c 经过 A（2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设 ya（x+2）（x 4），求出点 C 坐标代入求出 a 即可； （2）由CMDFMP，可得 m，根据关于 m 关于 x 的二次函数，利用二次函数的性质即可解 决问题； （3）存在这样的点 Q、N，使得以 P、D、Q、N 四点组成的四边形是矩形分两种情形分别求解即可：

10、 当 DP 是矩形的边时，有两种情形；当 DP 是对角线时； 【解答】解：（1）因为抛物线 yax2+bx+c 经过 A（2，0）、B（4，0）两点， 所以可以假设 ya（x+2）（x4）， OC2OA，OA2， C（0，4），代入抛物线的解析式得到 a， y（x+2）（x4）或 yx2+x+4 或 y（x1）2+ （2）如图 1 中，作 PEx 轴于 E，交 BC 于 F CDPE， CMDFMP， m， 直线 ykx+1（k0）与 y 轴交于点 D，则 D（0，1）， BC 的解析式为 yx+4， 设 P（n， n2+n+4），则 F（n，n+4）， PFn2+n+4（n+4）（n2）2+

11、2， m（n2）2+， 0， 当 n2 时，m 有最大值，最大值为，此时 P（2，4） （3）存在这样的点 Q、N，使得以 P、D、Q、N 四点组成的四边形是矩形 当 DP 是矩形的边时，有两种情形， a、如图 21 中，四边形 DQNP 是矩形时， 有（2）可知 P（2，4），代入 ykx+1 中，得到 k， 直线 DP 的解析式为 yx+1，可得 D（0，1），E（，0）， 由DOEQOD 可得， OD2OEOQ， 1OQ， OQ， Q（，0） 根据矩形的性质，将点 P 向右平移个单位，向下平移 1 个单位得到点 N， N（2+，41），即 N（ ，3） b、如图 22 中，四边形 PDN

12、Q 是矩形时， 直线 PD 的解析式为 yx+1，PQPD， 直线 PQ 的解析式为 yx+， Q（8，0）， 根据矩形的性质可知，将点 D 向右平移 6 个单位，向下平移 4 个单位得到点 N， N（0+6，14），即 N（6，3） 当 DP 是对角线时，设 Q（x，0），则 QD2x2+1，QP2（x2）2+42，PD213， Q 是直角顶点， QD2+QP2PD2， x2+1+（x2）2+1613， 整理得 x22x+40，方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的点 N 坐标为（，3）或（6，3） 4. （2017 山东临沂山东临沂）如图，抛物线 y=ax2+bx3 经过点 A（

13、2，3） ，与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于 点 C，且 OC=3OB （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 在 y 轴上，且BDO=BAC，求点 D 的坐标； （3）点 M 在抛物线上，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）待定系数法即可得到结论； （2）连接 AC，作 BFAC 交 AC 的延长线于 F，根据已知条件得到 AFx 轴，得到 F（1，3） ，设 D （0，m） ，则 OD=|m 即可得到结论； （3）设 M（a，a22a3） ，N（1，

14、n） ，以 AB 为边，则 ABMN，AB=MN，如图 2，过 M 作 ME对 称轴 y 于 E，AFx 轴于 F，于是得到ABFNME，证得 NE=AF=3，ME=BF=3，得到 M（4，5）或（ 2，11） ；以 AB 为对角线，BN=AM，BNAM，如图 3，则 N 在 x 轴上，M 与 C 重合，于是得到结论 【解答】解： （1）由 y=ax2+bx3 得 C（03） ， OC=3， OC=3OB， OB=1， B（1，0） ， 把 A（2，3） ，B（1，0）代入 y=ax2+bx3 得， a=1,b=-2， 抛物线的解析式为 y=x22x3； （2）设连接 AC，作 BFAC 交

15、AC 的延长线于 F， A（2，3） ，C（0，3） ， AFx 轴， F（1，3） ， BF=3，AF=3， BAC=45 ， 设 D（0，m） ，则 OD=|m|， BDO=BAC， BDO=45 ， OD=OB=1， |m|=1， m= 1， D1（0，1） ，D2（0，1） ； （3）设 M（a，a22a3） ，N（1，n） ， 以 AB 为边，则 ABMN，AB=MN，如图 2，过 M 作 ME对称轴 y 于 E，AFx 轴于 F， 则ABFNME， NE=AF=3，ME=BF=3， |a1|=3， a=3 或 a=2， M（4，5）或（2，11） ； 以 AB 为对角线，BN=AM

16、，BNAM，如图 3， 则 N 在 x 轴上，M 与 C 重合， M（0，3） ， 综上所述，存在以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（2，11）或（0，3） 5. （2017 山东泰安）如图，是将抛物线 y=x2平移后得到的抛物线，其对称轴为 x=1，与 x 轴的一个交点 为 A（1，0） ，另一个交点为 B，与 y 轴的交点为 C （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 N 为抛物线上一点，且 BCNC，求点 N 的坐标； （3）点 P 是抛物线上一点，点 Q 是一次函数 y=x+的图象上一点，若四边形 OAPQ 为平行四边形，这 样的点 P、Q 是否存在？若

17、存在，分别求出点 P，Q 的坐标；若不存在，说明理由 【分析】 （1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式； （2）首先求得 B 和 C 的坐标，易证OBC 是等腰直角三角形，过点 N 作 NHy 轴，垂足是 H，设点 N 纵坐标是（a，a2+2a+3） ，根据 CH=NH 即可列方程求解； （3）四边形 OAPQ 是平行四边形，则 PQ=OA=1，且 PQOA，设 P（t，t2+2t+3） ，代入 y=x+，即 可求解 【解答】解： （1）设抛物线的解析式是 y=（x1）2+k 把（1，0）代入得 0=（11）2+k， 解得 k=4， 则抛物线的解析式是 y=（

18、x1）2+4，即 y=x2+2x+3； （2）在 y=x2+2x+3 中令 x=0，则 y=3，即 C 的坐标是（0，3） ，OC=3 B 的坐标是（3，0） ， OB=3， OC=OB，则OBC 是等腰直角三角形 OCB=45 ， 过点 N 作 NHy 轴，垂足是 H NCB=90 ， NCH=45 ， NH=CH， HO=OC+CH=3+CH=3+NH， 设点 N 纵坐标是（a，a2+2a+3） a+3=a2+2a+3， 解得 a=0（舍去）或 a=1， N 的坐标是（1，4） ； （3）四边形 OAPQ 是平行四边形，则 PQ=OA=1，且 PQOA， 设 P（t，t2+2t+3） ，代

19、入 y=x+ ，则t2+2t+3=（t+1）+ ， 整理，得 2t2t=0， 解得 t=0 或 t2+2t+3 的值为 3 或 P、Q 的坐标是（0，3） ， （1，3）或（，） 、 （，） 6. （2017 甘肃天水）甘肃天水）如图所示，在平面直角坐标系中 xOy 中，抛物线 y=ax 22ax3a（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，经过点 A 的直线 l：y=kx+b 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个 交点为 D，且 CD=4AC （1）求 A、B 两点的坐标及抛物线的对称轴； （2）求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示）

20、 ； （3）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为，求 a 的值； （4）设 P 是抛物线对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？ 若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 【分析】 （1）解方程即可得到结论； （2）根据直线 l：y=kx+b 过 A（1，0） ，得到直线 l：y=kx+k，解方程得到点 D 的横坐标为 4，求得 k=a， 得到直线 l 的函数表达式为 y=ax+a； （3）过 E 作 EFy 轴交直线 l 于 F，设 E（x，ax22ax3a） ，得到 F（x，ax+a） ，求出 EF=ax23

21、ax4a， 根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （4）令 ax22ax3a=ax+a，即 ax23ax4a=0，得到 D（4，5a） ，设 P（1，m） ，若 AD 是矩形 ADPQ 的一条边，若 AD 是矩形 APDQ 的对角线，列方程即可得到结论www.21-cn- 【解答】解： （1）当 y=0 时，ax22ax3a=0， 解得：x1=1，x2=3， A（1，0） ，B（3，0） ， 对称轴为直线 x=1； （2）直线 l：y=kx+b 过 A（1，0） ， 0=k+b， 即 k=b， 直线 l：y=kx+k， 抛物线与直线 l 交于点 A，D， ax22ax3a=kx+k， 即

22、ax2（2a+k）x3ak=0， CD=4AC， 点 D 的横坐标为 4， 3=1 4， k=a， 直线 l 的函数表达式为 y=ax+a； （3）过 E 作 EFy 轴交直线 l 于 F，设 E（x，ax22ax3a） ， 则 F（x，ax+a） ，EF=ax22ax3aaxa=ax23ax4a， SACE=SAFESCEF= （ax23ax4a） （x+1） （ax23ax4a）x= （ax23ax4a）= a（x） 2 a，21 教育网 ACE 的面积的最大值=a， ACE 的面积的最大值为， a=， 解得 a=； （4）以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能成为矩形， 令 ax22ax

23、3a=ax+a，即 ax23ax4a=0， 解得：x1=1，x2=4， D（4，5a） ， 抛物线的对称轴为直线 x=1， 设 P（1，m） ， 若 AD 是矩形 ADPQ 的一条边， 则易得 Q（4，21a） ， m=21a+5a=26a，则 P（1，26a） ， 四边形 ADPQ 是矩形， ADP=90 ， AD2+PD2=AP2， 52 +（5a）2+32+（265a）2=2 2+（26a）2， 即 a2=， a0， a=， P（1，） ； 若 AD 是矩形 APDQ 的对角线， 则易得 Q（2，3a） ， m=5a（3a）=8a，则 P（1，8a） ， 四边形 APDQ 是矩形， APD=90 ， AP2+PD2=AD2， （11）2+（8a）2+（14）+（8a5a）2=52+（5a）2， 即 a2=， a0， a=， P（1，4） ， 综上所述，点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点 P（1，）或（1，4）