第21讲 函数中三角形存在问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲（解析版）

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1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 2121 函数中三角形存在问题函数中三角形存在问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、 等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等 式计算 主要思路为：由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；分类讨论，画图；建等式，对结果验 证取舍对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为： 从角度入手，通过角 的对应关系尝试画

2、出一种情形解决第一种情形能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、 或线段长转坐标代入函数表达式求解； 不能直接表达线段长的， 观察点的位置， 考虑联立函数表达式求解 分类讨论，类比解决其他情形分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题 解题策略可以从以下几方面进行分析：解题策略可以从以下几方面进行分析：直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦 图模型、直线 k 值乘积为；等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合 一找相似建等式；全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助 函数或几何特征建等式分类不仅要考虑

3、图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并 验根一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程有时根据直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题 联系在一起 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三 角形，这样列比例方程比较简便在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到怎样画直角三角形 的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边， 那

4、么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点） 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1】如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c 与坐标轴分别相交于点 A、B、C，其坐标分别为 A（3，0） ，B（0， 3） ，C（-1，0） ，直线 y=kx+d 经过 A、B 两点，点 D 为抛物线的顶点. （1）求此抛物线的解析式; （2）在 x 轴上是否存在点 N 使ADN 为直角三角形？若存在，确定点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）是否存在点 P,使以 A,B,C,P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 P

5、 的坐标；若不存 在，请说明理由 解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴交点为（0，3），故 c=3， 又因为 A（3，0） ，C（-1，0） ， 代入抛物线 y=ax2+bx+c 有， 30 9330 ab ab 1 2 a b 抛物线的解析式 y=-x2+2x+3 （2）由抛物线解析式为 y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， 得 D（1，4） ， A（3，0）,点 N 在 x 轴上，显然DAN=90 不成立. DNA=90 ，易得 N1（1，0）. ADN=90 设 N（x，0）. 过 D 作 DEx 轴于 E，易证ADEDNE， 得 DE2=NEEA, 42=（1-x）

6、2x=-7，N2（-7 ，0）. （3）答：P1（2 ，-3）,P2（-4 ，3） ，P3（4 ，3）. 当 PC/AB 时，有两个点存在，可看作线段 AB 向下平移三个单位，向左平移一个单位，或者看作线段 AB 向左平移四个单位，即有 P1（2 ，-3）或 P2（-4 ，3） ； 当 CP 为对角线时，则 BP/CA，可以看作点 B 向右平移四个单位，即（4 ，3） ； 综上所述，点 P 的坐标为（2 ，-3） 、 （-4 ，3）或（4 ，3）. 【原创 2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+2x+c 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是

7、该抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式； （2）请在 y 轴上找一点 M，使BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？ 若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）设交点式 ya（x+1）（x3），展开得到2a2，然后求出 a 即可得到抛物线解析式；再 确定 C（0，3），然后利用待定系数法求直线 AC 的解析式； （2）利用二次函数的性质确定 D 的坐标为（1，4），作 B 点关于 y 轴的对称点 B，连接 DB交 y 轴于 M， 如图

8、 1，则 B（3，0），利用两点之间线段最短可判断此时 MB+MD 的值最小，则此时BDM 的周长最 小，然后求出直线 DB的解析式即可得到点 M 的坐标； （3）过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，如图 2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线 PC 的解析式为 yx+b，把 C 点坐标代入求出 b 得到直线 PC 的解析式为 yx+3，再解方程组 得此时 P 点坐标；当过点 A 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P 时，利用同样的方法可求出 此时 P 点坐标 【解答】解：（1）设抛物线解析式为 ya（x+1）（x3）， 即 yax22ax3a， 2a2，解得 a1， 抛物线

9、解析式为 yx2+2x+3； 当 x0 时，yx2+2x+33，则 C（0，3）， 设直线 AC 的解析式为 ypx+q， 把 A（1，0），C（0，3）代入得，解得， 直线 AC 的解析式为 y3x+3； （2）yx2+2x+3（x1）2+4， 顶点 D 的坐标为（1，4）， 作 B 点关于 y 轴的对称点 B，连接 DB交 y 轴于 M，如图 1，则 B（3，0）， MBMB， MB+MDMB+MDDB，此时 MB+MD 的值最小， 而 BD 的值不变， 此时BDM 的周长最小， 易得直线 DB的解析式为 yx+3， 当 x0 时，yx+33， 点 M 的坐标为（0，3）； （3）存在 过

10、点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，如图 2， 直线 AC 的解析式为 y3x+3， 直线 PC 的解析式可设为 yx+b， 把 C（0，3）代入得 b3， 直线 PC 的解析式为 yx+3， 解方程组，解得或，则此时 P 点坐标为（，）； 过点 A 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，直线 PC 的解析式可设为 yx+b， 把 A（1，0）代入得+b0，解得 b， 直线 PC 的解析式为 yx， 解方程组，解得或，则此时 P 点坐标为（，）， 综上所述，符合条件的点 P 的坐标为（，）或（，）， 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；

11、 【例题【例题 1】等腰三角形存在】等腰三角形存在性问题性问题 如图，直线 y3x3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，过 A，B 两点的抛物线交 x 轴于另一点 C(3，0) (1)求点 A，B 的坐标 (2)求抛物线对应的函数表达式 (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 Q 的坐标； 若不存在，请说明理由 【分析】 (1)令一次函数表达式中的 x 或 y 为 0，即可求出图象与 y 轴或 x 轴的交点坐标 (2)求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法本题利用一般式法或交 点式法都比较简单 (3)x1 (

12、1，a)三 AQBQ，ABBQ，AQAB 【解析】：(1)直线 y3x3， 当 x0 时，y3，当 y0 时，x1， 点 A 的坐标为(1，0)，点 B 的坐标为(0，3) (2)设抛物线对应的函数表达式为 yax2bxc，由题意，得 0abc， 3c， 09a3bc， 解得 a1， b2， c3. 抛物线对应的函数表达式为 yx22x3. (3)抛物线对应的函数表达式为 yx22x3，配方，得 y(x1)24， 抛物线的对称轴为直线 x1，设 Q(1，a) 当 AQBQ 时，如图，设抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，过点 B 作 BFDQ 于点 F. 由勾股定理，得 BQ BF2QF2 （1

13、0）2（3a）2， AQ AD2QD2 22a2， 得（10）2（3a）2 22a2，解得 a1， 点 Q 的坐标为(1，1) 当 ABBQ 时，如图， 由勾股定理，得 （10）2（a3）2 10， 解得 a0 或 6， 当点 Q 的坐标为(1，6)时，其在直线 AB 上，A，B，Q 三点共线，舍去，点 Q 的坐标是(1，0) 当 AQAB 时，如图， 由勾股定理，得 22a2 10，解得 a 6，此时点 Q 的坐标是(1， 6)或(1， 6) 综上所述，存在符合条件的点 Q，点 Q 的坐标为(1，1)或(1，0)或(1， 6)或(1， 6) 【归纳】对于等腰三角形的分类应分三种情况可以设一个

14、未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形 的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况特别注意求出的值需检验能否构成三角形 【例题【例题 2】直角三角形、全等三角形存在性问题】直角三角形、全等三角形存在性问题 如图，已知直线 ykx6 与抛物线 yax2bxc 相交于 A，B 两点，且点 A(1，4)为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上 (1)求抛物线对应的函数表达式 (2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P，使POB与POC全等？若存在，求出点P的坐 标；若不存在，请说明理由 (3)若点 Q 是 y 轴上一点，且ABQ 为直角三角形，求点 Q 的坐标 【解析】(1)顶点

15、点 B 待定系数 (2)点 A，B，Q 解：(1)把(1，4)代入 ykx6，得 k2， 直线 AB 对应的函数表达式为 y2x6. 令 y0，解得 x3，点 B 的坐标是(3，0) 点 A 为抛物线的顶点， 设抛物线对应的函数表达式为 ya(x1)24， 把(3，0)代入，得 4a40， 解得 a1， 抛物线对应的函数表达式为 y(x1)24x22x3. (2)存在OBOC3，OPOP， 当POBPOC 时，POBPOC， 此时 OP 平分第二象限， 即直线 PO 对应的函数表达式为 yx. 设 P(m，m)，则mm22m3， 解得 m1 13 2 m1 13 2 0，舍去 ， 点 P 的坐

16、标为 1 13 2 ， 131 2 . (3)如图，当Q1AB90 时，DAQ1DOB， AD OD DQ1 DB ，即 5 6 DQ1 3 5， DQ15 2，OQ1 7 2， 即点 Q1的坐标为 0，7 2 ； 当Q2BA90 时，BOQ2DOB， OB OD OQ2 OB ，即3 6 OQ2 3 ， OQ23 2，即点 Q2的坐标为 0，3 2 ； 当AQ3B90 时，过点 A 作 AEy 轴于点 E， 则BOQ3Q3EA， OB Q3E OQ3 AE ，即 3 4OQ3 OQ3 1 ， OQ324OQ330，OQ31 或 3， 即点 Q3的坐标为(0，1)或(0，3) 综上，点 Q 的

17、坐标为 0，7 2 或 0，3 2 或(0，1)或(0，3) 【归纳】本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方 程、分类讨论和数形结合等思想解题 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 1. 如图，已知直线 ykx6 经过点 A(1,4)，与 x 轴相交于点 B若点 Q 是 y 轴上一点，且ABQ 为直角 三角形，求点 Q 的坐标 【解析】将 A(1,4)代入 ykx6，可得 k2所以 y2x6，B(3,0) 设 OQ 的长为 m分三种情况讨论直角三角形 ABQ： 如图 4-2，当AQB90 时，BOQQ

18、HA， BOQH OQHA 所以 34 1 m m 解得 m1 或 m3所以 Q(0,1)或(0,3) 如图 4-3，当BAQ90 时，QHAAGB， QHAG HAGB 所以 42 14 m 解得 7 2 m 此时 7 (0,) 2 Q 如图 4-4，当ABQ90 时，AGBBMQ， AGBM GBMQ 所以 2 43 m 解得 3 2 m 此时 3 (0, ) 2 Q 图 4-2 图 4-3 图 4-4 2. 已知抛物线 c1的顶点为 A(1，4)，与 y 轴的交点为 D(0，3)，抛物线 c1关于 y 轴对称的抛物线记作 c2. (1)求 c2的解析式； (2)若 c2与 x 轴正半轴交

19、点记作 B，试在 x 轴上求点 P，使PAB 为等腰三角形. 解：(1)抛物线的顶点为 A(1，4)，c1设的解析式为：ya(x1)24，抛物线 c1与 y 轴的交点为 D(0，3)3a4，即a1，y(x1)24.抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，c2：y x22x3 (2)c2与x轴正半轴交点记作B，点B(3，0)，点A(1，4)，AB 42424 2，当PBAB时， 点 P(34 2，0)或(34 2，0)；当PAAB 时，点P(5，0)；当PAPB 时，点P(1，0)，所以，当点 P 为(34 2，0)或(34 2，0)或(5，0)或(1，0)时，PAB 为等腰三角形 3. 如图

20、1，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO ，抛物线 y1 2x 2bxc 经过矩形 ABCO 的顶点 B(4，3)， C，D 为 BC 的中点，直线 AD 与 y 轴交于 E 点，与抛物线交于第四象限的 F 点 (1)求该抛物线解析式与 F 点坐标； (2)如图 2，动点 P 从点 C 出发，沿线段 CB 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动；同时，动点 M 从点 A 出发，沿线段 AE 以每秒 13 2 个单位长度的速度向终点 E 运动过点 P 作 PHOA ，垂足为 H , 连结 MP ，MH.设点 P 的运动时间为 t 秒若PMH 是等腰三角形，求出此时 t 的值 解：(1)矩形A

21、BCO，B点坐标为(4，3)，C点坐标为(0，3)，抛物线y1 2x 2bxc经过矩形ABCO 的顶点 B，C， c3， 84bc3，解得： c3， b2，该抛物线解析式 y 1 2x 22x3，设直线 AD 的解析 式 为 y k1x b1， A(4 ， 0) ， B(2 ， 3) ， 4k1b10， 2k1b13， k13 2， b16， y 3 2 x 6 ， 联 立 y3 2x6， y1 2x 22x3，F 点在第四象限，F(6，3) (2)如图过M作MNOA交OA于N，AMNAEO，AM AE AN AO MN EO，ANt，MN 3 2t，如 图，当 PMHM 时，M 在 PH 的

22、垂直平分线上，MN1 2PH，MN 3 2t 3 2，t1； 如图，当 HMHP 时，MH3，MN3 2t，HNOAANOH42t，在 RtHMN 中，MN 2HN2MH2，(3 2 t)2(42t)232，解得：t12(舍去)，t214 25； 如图，如图，当PHPM时，PM3，MT|33 2 t|，PTBCCPBT|42t|，在 RtPMT 中，MT2PT2PM2，即(33 2t) 2(42t)232，解得：t 1 16 5 ，t24 5.综上所述：t 14 25或 4 5或 1 或 16 5 . 4. 如图，抛物线4 2 bxaxy经过 A（3，6） ，B（5，4）两点，与 y 轴交于点

23、 C，连接 AB，AC， BC （1）求抛物线的表达式； （2）求证：AB 平分CAO； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得ABM是以 AB 为直角边的直角三角形若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 解:（1）将 A，B 两点的坐标分别代入， 得 ，44525 , 0439 ba ba 解得 , 6 5 , 6 1 b a 故抛物线的表达式为 y4 6 5 6 1 2 xxy （2）证明：设直线 AB 的表达式为 ykxb， 则 , 45 , 03 bk bk 解得 , 2 3 , 2 1 b k 故直线 AB 的表达式为 y 2 3 2 1 x 设直线 AB 与 y 轴的交

24、点为点 D，则点 D 的坐标为（0， 2 3 ） 易得点 C 的坐标为（0，4） ， 则由勾股定理，可得 AC5)04(30 22 ）（ 设点 B 到直线 AC 的距离为 h， 则5 2 1 3 2 1 2 1 CDCDACh, 解得 h4 易得点 B 到 x 轴的距离为 4， 故 AB 平分CAO （3）存在 易得抛物线的对称轴为直线 2 5 x， 设点 M 的坐标为（m， 2 5 ） 由勾股定理， 得 AB25(3)2(40)280， AM2 2 5 (3)2(m0)2 4 121 m2， BM2 （ 2 5 5）2m(4)2m28m 4 89 当 AM 为该直角三角形的斜边时， 有 AM

25、2AB2BM2，即 4 121 m280m28m 4 89 ， 解得 m9， 故此时点 M 的坐标为（ 2 5 ，9） 当 BM 为该直角三角形的斜边时， 有 BM2AB2AM2，即 m28m 4 89 80 4 121 m2， 解得 m11， 故此时点 M 的坐标为（ 2 5 ，11） 综上所述，点 M 的坐标为（ 2 5 ，9）或（ 2 5 ，11） 5.如图，抛物线 yax2bx6 过点 A(6，0)，B(4，6)，与 y 轴交于点 C (1)求该抛物线的解析式； (2)如图 1，直线 l 的解析式为 yx，抛物线的对称轴与线段 BC 交于点 P，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 点

26、 H，连接 OP，求OPH 的面积； (3)把图1中的直线yx向下平移4个单位长度得到直线yx4， 如图2，直线yx4与x轴交于点G， 点 P 是四边形 ABCO 边上的一点，过点 P 分别作 x 轴，直线 l 的垂线，垂足分别为点E，F.是否存在点 P， 使得以 P，E，F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由 解：(1)将 A(6，0)，B(4，6)代入 yax2bx6 中，得 36a6b60， 16a4b66， 解得 a1 2， b2. 该抛物线的解析式为 y1 2x 22x6. (2)该抛物线的对称轴为直线 x 2 2 （1 2） 2，点

27、 C 的坐标为(0，6)， BCx 轴，CP2. 如解图 1 所示，延长 HP 交 y 轴于点 M. 直线 l 的解析式为 yx， AOHCOH45 ， OMH 和CMP 均为等腰直角三角形， CMCP2， OMOCCM628. 由勾股定理，可得 OHMH4 2. SOPHSOMHSOPM1 2 4 2 4 2 1 2 8 21688. (3)存在点 P，使得以 P，E，F 为顶点的三角形是等腰三角形，点 P 的坐标为(0，4)或(103 2，9 212) 或(4，6)或(106 2，6) 当点 P 在线段 OC 上运动时，如解图 2 所示，则PHFHPF45 .当 PEPF 时，设 PEPF

28、t， 则 PH 2PF 2t.由平移的性质，可知 OH4， 2t4t，解得 t4 24.4 246，此种情 况不存在.当 FPFE 时，PFE90 .PFEPFH90 ，此种情况不存在.当 EPEF 时，PEF90 ，此时点 F 和点 G 重合，此时点 P 的坐标为(0，4) 当点 P 在线段 BC 上运动时，如解图 3 所示，则HPFOGH45 .当 PEPF6 时，PH 2PF 6 2，EHEGPHPE6 26，OEOGEG106 2，此时点 P 的坐标为(106 2， 6).当 FPFE 时，PFE90 ，当点 E 和点 G 重合时，满足PFE90 ，此时点 P 的坐标为(4， 6).当

29、 EPEF 时，PEF90 ，此种情况不存在当点 P 在线段 AB 上运动时.当点 P 在直线 l 的上方时，如解图 4 所示，EPF45 ，PFE90 ，PEF 不可能为等腰三角形.当点 P 在直线 l 的下方时，如解图5所示，FPE135 ，若PEF为等腰三角形，则PEPF，点P在FGA的平分线 上方法一：设FGA 的平分线为直线 l，由题可求得 l的解析式为 y( 21)x44 2.联立直线 l和直 线 AB 的解析式，得 y（ 21）x44 2， y3x18， 解得 x103 2， y9 212. 此时点 P 的坐标为(103 2，9 212)方法二：如解图 6 所示设 P(m，3m1

30、8)，则 H(m，m 4)，PE3m18，PH4m22.在 RtPFH 中，PH PF 2，即 4m22 3m18 2，解得 m103 2， 此时点 P 的坐标为(103 2，9 212)综上所述，存在点 P，使得以 P，E，F 为顶点的三角形是等腰三 角形，点 P 的坐标为(0，4)，(103 2，9 212)，(4，6)，(106 2，6) 6.如图 1，抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于点 A（1，0）和点 B（3，0） （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图 2，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 F，点 D（2，3）在该抛物线上 求四边形 ACFD 的面积； 点 P

31、 是线段 AB 上的动点（点 P 不与点 A、B 重合），过点 P 作 PQx 轴交该抛物线于点 Q，连接 AQ、 DQ，当AQD 是直角三角形时，求出所有满足条件的点 Q 的坐标 【分析】（1）由 A、B 两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）连接 CD，则可知 CDx 轴，由 A、F 的坐标可知 F、A 到 CD 的距离，利用三角形面积公式可求得 ACD 和FCD 的面积，则可求得四边形 ACFD 的面积；由题意可知点 A 处不可能是直角，则有ADQ 90 或AQD90 ，当ADQ90 时，可先求得直线 AD 解析式，则可求出直线 DQ 解析式，联立直线 DQ 和抛物线解

32、析式则可求得 Q 点坐标；当AQD90 时，设 Q（t，t2+2t+3），设直线 AQ 的解析式为 yk1x+b1，则可用 t 表示出 k，设直线 DQ 解析式为 yk2x+b2，同理可表示出 k2，由 AQDQ 则可得到关 于 t 的方程，可求得 t 的值，即可求得 Q 点坐标 【解答】解： （1）由题意可得，解得， 抛物线解析式为 yx2+2x+3； （2）yx2+2x+3（x1）2+4， F（1，4）， C（0，3），D（2，3）， CD2，且 CDx 轴， A（1，0）， S四边形ACFDSACD+SFCD 2 3+ 2 （43）4； 点 P 在线段 AB 上， DAQ 不可能为直角，

33、 当AQD 为直角三角形时，有ADQ90 或AQD90 ， i当ADQ90 时，则 DQAD， A（1，0），D（2，3）， 直线 AD 解析式为 yx+1， 可设直线 DQ 解析式为 yx+b， 把 D（2，3）代入可求得 b5， 直线 DQ 解析式为 yx+5， 联立直线 DQ 和抛物线解析式可得，解得或， Q（1，4）； ii当AQD90 时，设 Q（t，t2+2t+3）， 设直线 AQ 的解析式为 yk1x+b1， 把 A、Q 坐标代入可得，解得 k1（t3）， 设直线 DQ 解析式为 yk2x+b2，同理可求得 k2t， AQDQ， k1k21，即 t（t3）1，解得 t ， 当 t

34、时，t2+2t+3， 当 t时，t2+2t+3， Q 点坐标为（，）或（，）； 综上可知 Q 点坐标为（1，4）或（，）或（，） 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线 ykx4k+4 与抛物线 yx2x 交于 A、B 两点 （1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标； （2）点 P 在抛物线上，当 k时，解决下列问题： 在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，使得PAB 的面积等于 20； 连接 OA，OB，OP，作 PCx 轴于点 C，若POC 和ABO 相似，请直接写出点 P 的坐标 【分析】（1）变形为不定方程 k（x4）y4，然后根据 k 为任意不为 0 的实数得到 x40，y40，

35、然后求出 x、y 即可得到定点的坐标； （2）通过解方程组得 A（6，3）、B（4，8）； 如图 1，作 PQy 轴，交 AB 于点 Q，设 P（x， x2x），则 Q（x， x+6），则 PQ（x+6） （x2x），利用三角形面积公式得到 SPAB（x1）2+20，然后解方程求出 x 即可得到点 P 的坐标； 设 P（x， x2x），如图 2，利用勾股定理的逆定理证明AOB90 ，根据三角形相似的判定，由于 AOBPCO， 则当时， CPOOAB， 即； 当时， CPOOBA， 即，然后分别解关于 x 的绝对值方程即可得到对应的点 P 的坐标 【解答】解：（1）ykx4k+4k（x4）+4，

36、 即 k（x4）y4， 而 k 为任意不为 0 的实数， x40，y40，解得 x4，y4， 直线过定点（4，4）； （2）当 k时，直线解析式为 yx+6， 解方程组得或，则 A（6，3）、B（4，8）； 如图 1，作 PQy 轴，交 AB 于点 Q， 设 P（x， x2x），则 Q（x， x+6）， PQ（x+6）（x2x）（x1）2+， SPAB （6+4） PQ（x1）2+20， 解得 x12，x24， 点 P 的坐标为（4，0）或（2，3）； 设 P（x， x2x），如图 2， 由题意得：AO3，BO4，AB5， AB2AO2+BO2， AOB90 ， AOBPCO， 当时，CPOOAB， 即， 整理得 4|x2x|3|x|， 解方程 4（x2x）3x 得 x10（舍去），x27，此时 P 点坐标为（7，）； 解方程 4（x2x）3x 得 x10（舍去），x21，此时 P 点坐标为（1，）； 当时，CPOOBA， 即， 整理得 3|x2x|4|x|， 解方程 3（x2x）4x 得 x10（舍去），x2，此时 P 点坐标为（，）； 解方程 3（x2x）4x 得 x10（舍去），x2，此时 P 点坐标为（，） 综上所述，点 P 的坐标为：（7，）或（1，）或（，）或（，）