第19讲 线段的最值问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲（解析版）

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1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 1919 线段的最值问题线段的最值问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 两条动线段的和的最小值问题， 常见的是典型的“牛喝水”问题， 关键是指出一条对称轴“河流” （如图 1） 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两 条对称轴“反射镜面”（如图 2） 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最 大值就是第三边的长如图 3，PA 与 PB 的差的最大值就是 AB，

2、此时点 P 在 AB 的延长线上，即 P 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创】【原创】如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴交于点 A（0，2），与 x 轴交于一点（-2+ 2 ，0），对称轴为 直线 x=2，抛物线上存在 B、C 两点，点 B 在对称轴左侧，点 C 在对称轴右侧，BC=6 且平行于 x 轴。 （1）求此抛物线的解析式 （2）求ABC 的面积. （3）点 P 在 x 轴负半轴上，且 PA+PB 的最小值为，求点 P 的坐标直线 CP 将线段

3、 AB 分成 1：3 两 部分，试求点 P 的坐标。 【解答】解：（1）由题意得：x=2，b=4a，c=2， 又过点（-2+ 2 ，0），代入 y=ax2+4ax+2，解得 a=1，故 b=4 则此抛物线的解析式为 y=x2+4x+2； （2）抛物线对称轴为直线 x=2，BC=6， B 横坐标为5，C 横坐标为 1， 把 x=1 代入抛物线解析式得：y=7， 又点 A 的坐标为（0，2），故点 A 到 BC 的距离为 7-2=5， ABC 的面积=5 6 2=15. （3）由（2）题可知 B（5，7），C（1，7）， 设直线 PC 解析式为 y=kx+b，交 AB 与点 D， 过点 A 作 A

4、E/BC，交 PC 于点 E， 当 AD：BD=1：3 时，则有 AE：BC=1：3 又BC=6，故 AE=2，从而得到点 E 的坐标为（-2，2） 则代入 PC 解析式可得： 7 22 kb kb 解得： 5 3 16 3 k b 则直线 PC 解析式为 y= 5 3 x+16 3 ，则可得点 P 的坐标为（0， 16 5 ） 当 AD：BD=3：1 时，则有 AE：BC=3：1 同理可得到点 E 的坐标为（-18，2） 则代入 PC 解析式可得： 7 182 kb kb 解得： 5 19 128 19 k b 则直线 PC 解析式为 y= 5 19 x+ 128 19 ，则可得点 P 的坐

5、标为（0， 128 5 ） 综上所述可得点 P 的坐标为（0， 16 5 ）或（0， 128 5 ）. 【典题精练】典例精讲，【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；运筹帷幄，举一反三； 【例题【例题 1】如图 1，菱形 ABCD 中，AB2，A120 ，点 P、Q、K 分别为线段 BC、CD、BD 上的任意 一点，求 PKQK 的最小值 图 1 【解析】如图 2，点 Q 关于直线 BD 的对称点为 Q，在KPQ中，PKQK 总是大于 PQ的如图 3，当点 K 落在 PQ上时，PKQK 的最小值为 PQ如图 4，PQ的最小值为 QH，QH 就是菱形 ABCD 的高，QH 3 这道题目应用了两

6、个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短 图 2 图 3 图 4 【例题【例题 2】如图 1，已知 A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a1, 0)，求 a 为何值时，四边形 ABEF 周长最小？请 说明理由 图 1 【解析】在四边形 ABEF 中，AB、EF 为定值，求 AEBF 的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条 线段有公共端点 如图 2，将线段 BF 向左平移两个单位，得到线段 ME 如图 3，作点 A 关于 x 轴的对称点 A，MA与 x 轴的交点 E，满足 AEME 最小 由AOEBHF，得 OEHF OAHB 解方程 6(2) 24 aa ，得 4

7、3 a 图 2 图 3 【例题【例题 3】在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（2，0） ，点 B（0，2） ，点 E，点 F 分别为 OA，OB 的 中点若正方形 OEDF 绕点 O 顺时针旋转，得正方形 OEDF，记旋转角为 （）如图，当 =90时，求 AE，BF的长； （）如图，当 =135时，求证 AE=BF，且 AEBF； （）若直线 AE与直线 BF相交于点 P，求点 P 的纵坐标的最大值（直接写出结果即可） 【分析】 （1）利用勾股定理即可求出 AE，BF的长 （2）运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题 （3）首先找到使点 P 的纵坐标最大时点 P 的位置（

8、点 P 与点 D重合时） ，然后运用勾股定理及 30 角所对 的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点 P 的纵坐标的最大值 【解答】解： （）当 =90时，点 E与点 F 重合，如图 点 A（2，0）点 B（0，2） ， OA=OB=2 点 E，点 F 分别为 OA，OB 的中点， OE=OF=1 正方形 OEDF是正方形 OEDF 绕点 O 顺时针旋转 90 得到的， OE=OE=1，OF=OF=1 在 RtAEO 中， AE= 在 RtBOF中， BF= AE，BF的长都等于 （）当 =135时，如图 正方形 OEDF是由正方形 OEDF 绕点 O 顺时针旋转 135 所得， AOE=BO

9、F=135 在AOE和BOF中， ， AOEBOF（SAS） AE=BF，且OAE=OBF ACB=CAO+AOC=CBP+CPB，CAO=CBP， CPB=AOC=90 AEBF （）BPA=BOA=90 ，点 P、B、A、O 四点共圆， 当点 P 在劣弧 OB 上运动时，点 P 的纵坐标随着PAO 的增大而增大 OE=1，点 E在以点 O 为圆心，1 为半径的圆 O 上运动， 当 AP 与O 相切时，EAO（即PAO）最大， 此时AEO=90，点 D与点 P 重合，点 P 的纵坐标达到最大 过点 P 作 PHx 轴，垂足为 H，如图所示 AEO=90，EO=1，AO=2， EAO=30，A

10、E= AP=+1 AHP=90 ，PAH=30 ， PH=AP= 点 P 的纵坐标的最大值为 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 1. 如图 1，菱形 ABCD 中，A60 ，AB3，A、B 的半径分别为 2 和 1，P、E、F 分别是边 CD、B 和A 上的动点，则 PEPF 的最小值是 图 1 【解析】E、F、P 三个点都不确定，怎么办？BE1，AF2 是确定的，那么我们可以求 PBPA3 的最 小值，先求 PBPA 的最小值（如图 2） 如图 3，PBPA 的最小值为AB，AB6所以 PEPF 的最小值等于 3 图 2 图 3 2. 如图

11、，在 RtABC 中，B=90 ，AB=4，BCAB，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的平行四边形 ADCE 中，DE 的最小值是 【解析】首先证明 BCAE，当 DEBC 时，DE 最短，只要证明四边形 ABDE 是矩形即可解决问题解： 四边形 ADCE 是平行四边形， BCAE， 当 DEBC 时，DE 最短， 此时B=90 ， ABBC， DEAB， 四边形 ABDE 是平行四边形， B=90 ， 四边形 ABDE 是矩形， DE=AB=4， DE 的最小值为 4 故答案为 4 3. 如图，如图，M、N 是正方形是正方形 ABCD 的边的边 CD 上的两个动点，满足上的两个动点，

12、满足 AM=BN，连接，连接 AC 交交 BN 于点于点 E，连接，连接 DE 交交 AM 于点于点 F，连接，连接 CF，若正方形的边长为，若正方形的边长为 4，则线段，则线段 CF 的最小值是的最小值是_ 【解析】【解析】分析：根据正方形的性质可得 AD=BC=CD，ADC=BCD，DCE=BCE，然后利用“HL”证明 RtADM 和 RtBCN 全等，根据全等三角形对应角相等可得1=2，利用“SAS”证明DCE 和BCE 全 等，根据全等三角形对应角相等可得2=3，从而得到1=3，然后求出AFD=90 ，取 AD 的中点 O， 连接 OF、OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可

13、得 OF=AD=2，利用勾股定理列式求出 OC， 然后根据三角形的三边关系可知当 O、F、C 三点共线时，CF 的长度最小 详解：在正方形 ABCD 中，AD=BC=CD，ADC=BCD，DCE=BCE在 RtADM 和 RtBCN 中， ADBC AMBN ，RtADMRtBCN（HL） ，1=2在DCE 和BCE 中， BCCD DCEBCE CECE ，DCEBCE（SAS） ，2=3，1=3 ADF+3=ADC=90 ，1+ADF=90 ，AFD=180 90 =90 ，取 AD 的中点 O，连接 OF、 OC，则 OF=DO= 1 2 AD=2在 RtODC 中，OC= 2 5，根据

14、三角形的三边关系，OF+CFOC，当 O、 F、C 三点共线时，CF 的长度最小，最小值=OCOF=2 5-2 故答案为：2 52 4. 如图 1，ABC 中，ACB90 ，AC2，BC1点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，当点 A 在 x 轴上运动时，点 C 也随之在 y 轴上运动在整个运动过程中，则点 B 到原点的最大距离是 图 1 【解析】如果把 OB 放在某一个三角形中，这个三角形的另外两条边的大小是确定的，那么根据两边之和大 于第三边，可知第三边 OB 的最大值就是另两边的和 显然OBC 是不符合条件的，因为 OC 边的大小不确定 如图 2，如果选 AC 的中点 D，那么

15、 BD、OD 都是定值，OD1，BD2 在OBD 中，总是有 OBODBD 如图 3，当点 D 落在 OB 上时，OB 最大，最大值为21 图 2 图 3 5. 如图，RtABC 中，ABBC，AB=6，BC=4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则 线段 CP 长的最小值为 。 【分析】首先证明点 P 在以 AB 为直径的O 上，连接 OC 与O 交于点 P，此时 PC 最小，利用勾股定理 求出 OC 即可解决问题 【解答】解：ABC=90 ， ABP+PBC=90 ， PAB=PBC， BAP+ABP=90 ， APB=90 ， 点 P 在以 AB 为直径的O 上，连接

16、OC 交O 于点 P，此时 PC 最小， 在 RTBCO 中，OBC=90 ，BC=4，OB=3， OC=5， PC=OC=OP=53=2 PC 最小值为 2 6. 如图，在RtABC中，AB=3，BC=5， P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，Q为EF中点， 则AQ的最小值为 . 【解析】连结 AP，在ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10， BAC=90 ， PEAB，PFAC， 四边形 AFPE 是矩形， EF=AP M 是 EF 的中点， AM= 1 2 AP， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即 APBC 时，AP 最短，同样 AM 也最短， 当 A

17、PBC 时，ABPCBA， AP AC = AB BC ， 8 AP = 6 10 ， AP 最短时，AP=4.8 当 AM 最短时，AM= 2 AP =2.4 7. 如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形 ABCD，其中BAC45 ，ACD30 ，点 E 为 CD 边上的中点，连接 AE，将ADE 沿 AE 所在直线翻折得到ADE，DE 交 AC 于 F 点若 AB62 cm. (1)AE 的长为_43_cm； (2)试在线段 AC 上确定一点 P，使得 DPEP 的值最小，并求出这个最小值； (3)求点 D到 BC 的距离 解：（1）BAC=45 ，B=90 ， AB=BC=6cm，

18、AC=12cm， ACD=30 ，DAC=90 ，AC=12cm， CD=AC cos30 =12 3 2 =122 3 3 =8（cm）， 点 E 为 CD 边上的中点， AE= 1 2 DC=4cm 故答案为：4； (2)RtADC 中，ACD30 ， ADC60 . E 为 CD 边上的中点， DEAE, ADE 为等边三角形将ADE 沿 AE 所在直线翻折得ADE, ADE 为等边三角形， AED60 ， EACEADDAC30 ， EFA90 ， 即 AC 所在的直线垂直平分线段 ED， 点 E，D关于直线 AC 对称， 连接 DD交 AC 于点 P, 此时 DPEP 值为最小，且

19、DPEPDD， ADE 是等边三角形，ADAE43， DD21 2 AD32 612, 即 DPEP 最小值为 12 cm； (3)连接 CD，BD，过点 D作 DGBC 于点 G, AC 垂直平分线 ED， AEAD，CECD， AEEC，ADCD4， 在ABD和CBD中，AB=BC,BD=BD,AD=CD ABDCBD(SSS), DBG45 ， DGGB, 设 DG 长为 x cm，则 CG 长为(62x)cm， 在 RtGDC 中，x2 (62x)2 (43)2 , 解得 x1326，x2326 (不合题意舍去), 点 D到 BC 边的距离为(326)cm. 8. 几何模型： 条件：如

20、下图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点 问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小 方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB 交 l 于点 P，则 PA+PB=AB 的值最小（不必 证明） 模型应用： （1） 如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点连接 BD，由正 方形对称性可知，B 与 D 关于直线 AC 对称连接 ED 交 AC 于 P，则 PB+PE 的最小值是 ； （2）如图 2，O 的半径为 2，点 A、B、C 在O 上，OAOB，AOC=60 ，P 是 OB 上一 动点，求 PA+PC 的最小值； （3

21、） 如图 3，AOB=45 ，P 是AOB 内一点，PO=10，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求 PQR 周长的最小值 解：(1) 四边形 ABCD 是正方形， AC 垂直平分 BD， PB=PD， 由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE， 在ADE 中，根据勾股定理得，DE=； (2) 作 A 关于 OB 的对称点 A，连接 AC，交 OB 于 P， PA+PC 的最小值即为 AC 的长， AOC=60 AOC=120 作 ODAC 于 D，则AOD=60 OA=OA=2 AD= ； (3) 分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 M、N，连接 OM、ON、MN，MN 交 OA、

22、OB 于点 Q、 R，连接 PR、PQ，此时PQR 周长的最小值等于 MN 由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，MOA=POA，NOB=POB， MON=2AOB=245 =90 ， 在 RtMON 中，MN=10 即PQR 周长的最小值等于 10 9. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB4，AD12，将矩形纸片折叠，使点 C 落在 AD 边上的点 M 处，折 痕为 PE，此时 PD3. (1)求 MP 的值； (2)在 AB 边上有一个动点 F，且不与点 A，B 重合，当 AF 等于多少时，MEF 的周长最小？ (3)若点 G，Q 是 AB 边上的两个动点，且不与点 A，B 重合，G

23、Q2，当四边形 MEQG 周长最小时，求最 小周长值(计算结果保留根号) 解：(1)MP5；(2)如图 1，作点 M 关于 AB 的对称点 M，连接 ME 交 AB 于点 F，则点 F 即为所求， 过点 E 作 ENAD，垂足为 N.AMADMPPD15534， AMAM4.矩形 ABCD 折叠，使点 C 落在 AD 边上的点 M 处，折痕为 PE， CEPMEP，而CEPMPE， MEPMPE，MEMP5，在 RtENM 中，MN3， NM11.AFNE，AFMNEM， MN MAENAF ，即11 4 4 AF，解得 AF1116，即 AF1116时，MEF 的周长最小； (3)如图 2，

24、由(2)知点 M是点 M 关于 AB 的对称点，连接 MG， 在 EN 上截取 ER2，连接 MR 交 AB 于点 G，再过点 E 作 EQRG，交 AB 于点 Q， EQRG，ERGQ，四边形 ERGQ 是平行四边形， QEGR.GMGM，MGQEGMGRMR， 此时 MGEQ 最小，四边形 MEQG 的周长最小， 在 RtMRN 中，NR422，MR5，ME5，GQ2， 四边形 MEQG 的最小周长值是 75. 10. 如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 AB 交于 A（4，4） ，B（0，4）两点，直线 AC：y= 1 2 x6 交 y 轴于点 C点 E 是直线 AB 上的动点，过

25、点 E 作 EFx 轴交 AC 于点 F，交抛物线于点 G （1）求抛物线 y=x2+bx+c 的表达式； （2）连接 GB，EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标； （3）在 y 轴上存在一点 H，连接 EH，HF，当点 E 运动到什么位置时，以 A，E，F，H 为顶点的四边形 是矩形？求出此时点 E，H 的坐标； 在的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为E 上一动点，求 1 2 AM+CM 它的最小值 【分析】 （1）利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可； （3

26、）先判断出要以点 A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形，只有 EF 为对角线，利用中点坐标公式建立 方程即可； 先取 EG 的中点 P 进而判断出PEMMEA 即可得出 PM= 1 2 AM，连接 CP 交圆 E 于 M，再求出点 P 的坐标即可得出结论 【解答】解： （1）点 A（4，4） ，B（0，4）在抛物线 y=x2+bx+c 上， ， ， 抛物线的解析式为 y=x22x+4； （2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+n 过点 A，B， ， ， 直线 AB 的解析式为 y=2x+4， 设 E（m，2m+4） ， G（m，m22m+4） ， 四边形 GEOB 是平行四边形， EG=OB

27、=4， m22m+42m4=4， m=2， G（2，4） ； （3）如图 1， 由（2）知，直线 AB 的解析式为 y=2x+4， 设 E（a，2a+4） ， 直线 AC：y= 1 2 x6， F（a， 1 2 a6） ， 设 H（0，p） ， 以点 A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形， 直线 AB 的解析式为 y=2x+4，直线 AC：y= 1 2 x6， ABAC， EF 为对角线， 1 2 （4+0）= 1 2 （a+a） ， 1 2 （4+p）= 1 2 （2a+4 1 2 a6） ， a=2，P=1， E（2，0） H（0，1） ； 如图 2， 由知，E（2，0） ，H（0，1）

28、，A（4，4） ， EH=5，AE=25， 设 AE 交E 于 G，取 EG 的中点 P， PE= 5 2 ， 连接 PC 交E 于 M，连接 EM， EM=EH=， 5 2 5 PE ME =， 5 2 5 ME AE = 1 2 ， PEME MEAE = 1 2 ，PEM=MEA， PEMMEA， PEME MEAE = 1 2 ， PM= 1 2 AM， 1 2 AM+CM 的最小值=PC， 设点 P（p，2p+4） ， E（2，0） ， PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2， PE= 5 2 ， 5（p+2）2= 5 4 ， p= 5 2 或 p= 3 2 （由于 E（2，0） ，所以舍去） ， P（ 5 2 ，1） ， C（0，6） ， PC= 5 5 2 ， 即： 1 2 AM+CM= 5 5 2