第18讲 圆知识综合问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲（解析版）

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1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 1818 圆知识综合问题圆知识综合问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 圆的基本性质解题要领：出现垂直于直径的弦(条件是线段可延长变为弦)，考虑垂径定理；过圆心 作弦的垂线，构造直角三角形，是根据圆的性质计算时的重要辅助线；充分利用弧或弦的中点这个条件， 往往连接圆心；特别注意无图的计算题，要注意分类讨论，不可遗漏其他的情况 解题要领：在同圆中，注意运用圆心角、圆周角、弦、弧等量关系的转化；圆的直径与直径所对 的圆周角为直角的转化；如果题干中无对应图形时，避免遗

2、漏符合条件的图形的其他情形 圆内特殊角的解题要领：把握问题中关键点，如弧的中点、弦的中点、直径、垂直以及 60 角等； 求线段长度时，常常用到垂径定理，灵活运用锐角三角函数、相似三角形求解 圆内二心的解题要领：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，也是三边垂直平分线的交点，特别地， 直角三角形的外心是斜边的中点；三角形的内心是三角形内切圆的圆心，也是三角形角的平分线的交点， 特别地，直角三角形内切圆的半径 r 2 abc (c 是斜边). 切线的解题要领：与圆的切线有关的三种辅助线，见切线，连半径，得垂直；无公共点，作垂线 段，证 dr，得切线；有公共点，连半径，证垂直，得切线 正多边形与圆的解题

3、要领：正多边形外接圆半径、内切圆半径与半弦组成的直角三角形，是计算正 多边形有关问题的基础图形；解答时，常常运用勾股定理及锐角三角函数求解 弧线长计算的解题要领：已知圆的半径 R 及弧所对的圆心角 n ，那么这个弧就是一段确定的弧，求其 长度除了利用弧长公式，很多时候可以通过2 360 n lR 来计算，特殊的 60 的弧长 1 2 6 lR，45 的弧长 1 2 8 lR等 扇形面积的解题要领：已知圆的半径 R 及弧所对的圆心角 n ，则这个扇形就确定了，求其面积除了 利用扇形面积公式，很多时候可以通过 2 360 n sR 扇形 来计算，特殊的 60 的 2 1 6 sR 扇形 ，45 的

4、 2 1 8 sR 扇形 等；求阴影部分的面积时，一是把不规则图形，通过割补转化为规则图形，二是通过规则 图形的面积的和差来求解 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1】如图，将一个直角三角尺 ABC 的 60 的顶点放在半径为 2 的圆上，其顶点 A 也恰好落在圆上， 另一直角边和斜边分别和圆相交于点 D、连接 DE。 （1）求证：BE=EC+DC. （2）若 AB=AD 时，求 DE 的长。 （3）若ABC 满足移动过程中至少与圆有四个交点上，求边 AB 的取值范围。 【分析】 （1）连接因为 A、B、E、D 四点都在圆上，A

5、=90 ，所以DEB=90 ，在 BE 上取 EC=EC，可 证明 RtDECRtDEC,从而得到 DC=DC，因为B 为 60 ，可以得到DBC=BDC，则 BC=CD， 问题即可解决问题； （2）若 AB=AD 时，因为半径为 2，连接 BD，即可求出 BD、AD、AB 的长度，再设 DE 长度为 x，可根 据相似解答，即可解决问题； （3）满足移动过程中三角形 ABC 至少与圆有四个交点，则最小情况时直径为 BC 的长度时有三个交点，则 满足大于直径长度； 【解答】 （1）证明：A=90 DEB=90 ，在 BE 上取 EC=EC，连接 BD、DE 则 RtDECRtDEC, DC=DC

6、 又DCE=30，DBE=60 -45 =15 BDC=30-15 =15 BC=CD BE=EC+DC （2）在ABD 中，AB=AD，BD=4 AB=AD=2 2 BC=4 2 设 DE 的长度为 x，则 DC 为 2x， 根据（1）的结论，则有 BE=EC+DC 即 2x +2 3x+=42 ，解得：x= 62 即 DE 的长度为 62 。 （3）满足移动过程中三角形 ABC 至少与圆有四个交点，则最小情况时直径为 BC 的长度时有四个交点，则 满足大于直径长度；故边 AB 的取值范围为 2OC. 【原创【原创 2】已知：如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点

7、 D，过点 D 作 DEAC 于 点 E求证：DE 是O 的切线 【分析】连接 OD，只要证明 ODDE 即可 【解答】证明：连接 OD； ODOB， BODB， ABAC， BC， CODB， ODAC， ODEDEC； DEAC， DEC90 ， ODE90 ， 即 DEOD， DE 是O 的切线 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题【例题 1】如图，在ABC 中，CA=CB，ACB=90 ，AB=2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心 角为 90 的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为（ ）

8、A 1 22 B 1 4 C 1 42 D 1 42 【解析】连接 CD，作 DMBC，DNAC，AAS 证明DMGDNH，则 S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得 扇形 FDE 的面积，则阴影部分的面积即可求得 解答：解：连接 CD，作 DMBC，DNAC CA=CB，ACB=90 ，点 D 为 AB 的中点， DC=AB=1，四边形 DMCN 是正方形，DM= 2 2 则扇形 FDE 的面积是：= CA=CB，ACB=90 ，点 D 为 AB 的中点， CD 平分BCA， 又DMBC，DNAC， DM=DN， GDH=MDN=90 ， GDM=HDN， 则在DMG 和DNH 中， ，

9、， DMGDNH（AAS） ， S四边形DGCH=S四边形DMCN= 则阴影部分的面积是： 【例题【例题 2】如图，在ABC 中，ABC=90 ，以 AB 为直径的O 与 AC 边交于点 D，过点 D 的直线交 BC 边于点 E，BDE=A （1）判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由 （2）若O 的半径 R=5，tanA=，求线段 CD 的长 【解析】切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质 （1）连接 OD，利用圆周角定理以及等腰三角 形的性质得出 ODDE，进而得出答案； （2）得出BCDACB，进而利用相似三角形的性质得出 CD 的长 【解答】解： （1）直线 DE 与O 相

10、切 理由如下：连接 OD OA=OD ODA=A 又BDE=A ODA=BDE AB 是O 直径 ADB=90 即ODA+ODB=90 BDE+ODB=90 ODE=90 ODDE DE 与O 相切； （2）R=5， AB=10， 在 RtABC 中 tanA= = BC=ABtanA=10= 15 2 ， AC= ， ， BDC=ABC=90 ，BCD=ACB BCDACB 【例题【例题 3】已知：AB 是O 的直径，点 P 在线段 AB 的延长线上，BP=OB=2，点 Q 在O 上，连接 PQ （1）如图，线段 PQ 所在的直线与O 相切，求线段 PQ 的长； （2）如图，线段 PQ 与O

11、 还有一个公共点 C，且 PC=CQ，连接 OQ，AC 交于点 D 判断 OQ 与 AC 的位置关系，并说明理由； 求线段 PQ 的长 【分析】 （1）如图，连接 OQ利用切线的性质和勾股定理来求 PQ 的长度 （2）如图，连接 BC利用三角形中位线的判定与性质得到 BCOQ根据圆周角定理推知 BCAC， 所以，OQAC （3）利用割线定理来求 PQ 的长度即可 【解答】解： （1）如图，连接 OQ 线段 PQ 所在的直线与O 相切，点 Q 在O 上， OQOP 又BP=OB=OQ=2， PQ= =2，即 PQ=2； （2）OQAC理由如下： 如图，连接 BC BP=OB， 点 B 是 OP

12、的中点， 又PC=CQ， 点 C 是 PQ 的中点， BC 是PQO 的中位线， BCOQ 又AB 是直径， ACB=90 ，即 BCAC， OQAC （3）如图，PCPQ=PBPA，即PQ2=2 6， 解得 PQ=2 【例题【例题 4】如图,O 的直径 AB=10,弦 AC=6,ACB 的平分线交O 于点 D,过点 D 作 DEAB 交 CA 延长 线于点 E,连接 AD,BD. （1）ABD 的面积是多少 （2）求证:DE 是O 的切线: （3）求线段 DE 的长. 【分析】（1） 由直径所对的圆周角是直角可得ACB=90 ， 因为 CD 平分ACB， 所以 AD=BD， 则 DOAB，

13、所以 SABD= 1 2 ABDO = 1 2 10 5=25； （2） 连接 OD， 由已知可得ACD=45 ， 由 （1） 得AOD=90 ， 而 DEAB， 所以ODE=90 ， 即 ODDE， 由且切线的判定可得 DE 是O 的切线； （3）在直角三角形 ABC 中，由勾股定理可得 BC=8，过点 A 作 AFDE 于点 F，根据正方形的判定可得四 边形 AODF 是正方形，所以 AF=OD=FD=5，EAF=90 CAB=ABC，tanEAF=tanCBA，即 ,将已知条件代入可求得 EF=15 4 ，所以 DE=DF+EF= 15 4 +5=. 【解答】 （1）解：AB 是直径，A

14、CB=90 ， CD 平分ACB，AD=BD， SABD= 10 5=25； （2）解：如图，连接 OD， AB 为直径，CD 平分ACB，ACD=45 ，AOD=90 ， DEAB，ODE=90 ， ODDE，DE 是O 的切线； （3）解：AB=10，AC=6，BC= 22 ABAC=8， 过点 A 作 AFDE 于点 F， 则四边形 AODF 是正方形， AF=OD=FD=5， EAF=90 CAB=ABC， tanEAF=tanCBA， EFAC AFBC ，即 6 58 EF ，EF=15， DE=DF+EF= +5= 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。【最新试题】名校直考，

15、巅峰冲刺，一步到位。 一、选择题： 1. 如图，O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，若A30 ，APD70 ，则B 等于（ ） A30 B35 C40 D50 【分析】欲求B 的度数，需求出同弧所对的圆周角C 的度数；APC 中，已知了A 及外角APD 的 度数，即可由三角形的外角性质求出C 的度数，由此得解 【解答】解：APD 是APC 的外角， APDC+A； A30 ，APD70 ， CAPDA40 ； BC40 ； 故选：C 2. 如图，在O 中，弦 BC1，点 A 是圆上一点，且BAC30 ，则的长是（ ） A B C D 【分析】连接 OB，OC首先证明OBC 是等边三角形，再利

16、用弧长公式计算即可 【解答】解：连接 OB，OC BOC2BAC60 ， OBOC， OBC 是等边三角形， OBOCBC1， 的长， 故选：B 3. 如图，经过原点的P 与两坐标轴分别交于点 A，B，点 C 是上的任意一点（不与点 O，B 重合）如 果 tanBCO，则点 A 和点 B 的坐标可能为（ ） AA（2，0）和 B（0，2） BA（2，0）和 B（0，2） CA（，0）和 B（0，2） DA（2，0）和 B（0，） 【分析】连接 AB，根据正切的定义得到 tanBAC，得BAC30 ，可得 A，B 两点的坐标 【解答】解：连接 AB，如图， AOB90 ， AB 是P 的直径，

17、BCOBAO， tanBAOtanBCO， BAO30 ， 有可能 A（2，0）和 B（0，2） 故选：A 4. 如图， 四边形 ABCD 内接于O， 点 I 是ABC 的内心， AIC124 ， 点 E 在 AD 的延长线上， 则CDE 的度数为（ ） A56 B62 C68 D78 【分析】 由点 I 是ABC 的内心知BAC2IAC、 ACB2ICA， 从而求得B180 （BAC+ACB） 180 2（180 AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案 【解答】解：点 I 是ABC 的内心， BAC2IAC、ACB2ICA， AIC124 ， B180 （BAC+ACB） 18

18、0 2（IAC+ICA） 180 2（180 AIC） 68 ， 又四边形 ABCD 内接于O， CDEB68 ， 故选：C 5. 如图， 已知O 的半径是 2， 点 A、 B、 C 在O 上， 若四边形 OABC 为菱形， 则图中阴影部分面积为 （ ） A2 B C2 D 【分析】连接 OB 和 AC 交于点 D，根据菱形及直角三角形的性质先求出 AC 的长及AOC 的度数，然后求 出菱形 ABCO 及扇形 AOC 的面积，则由 S扇形AOCS菱形ABCO可得答案 【解答】解：连接 OB 和 AC 交于点 D，如图所示： 圆的半径为 2， OBOAOC2， 又四边形 OABC 是菱形， OB

19、AC，ODOB1， 在 RtCOD 中利用勾股定理可知：CD，AC2CD2， sinCOD， COD60 ，AOC2COD120 ， S菱形ABCO OB AC 2 22 ， S扇形AOC， 则图中阴影部分面积为 S扇形AOCS菱形ABCO2， 故选：C 二、填空题： 6. 如图，BD 是O 的直径，点 A、C 在圆周上，CBD20 ，则A 的度数为 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得BCD90 ，然后由直角三角形的两个锐角互余、同弧所对的 圆周角相等求得AD70 【解答】解：BD 是O 的直径， BCD90 （直径所对的圆周角是直角）， CBD20 ， D70 （直角三角形的两个锐角互余

20、）， AD70 （同弧所对的圆周角相等）； 故答案是：70 7. 如图，AB 是O 的直径，点 P 是O 上的一动点，当AOP与APB 相似时，BAP 等于 45 【分析】需要分类讨论：APBAOP 和APBAPO利用相似三角形的对应角相等和圆周角定理解 答 【解答】解：如图，AB 是O 的直径， APB90 当APBAOP 时，BAPPAO，APBAOP90 ，此时 OPAB， 由垂径定理知，OP 垂直平分 AB，此时AOP 是等腰直角三角形， PAO45 当APBAPO 时，需要APBAPO，很明显，不成立，舍去 故答案是：45 8. 如图，将半径为 4，圆心角为 90 的扇形 BAC 绕

21、 A 点逆时针旋转 60 ，点 B、C 的对应点分别为点 D、E 且点 D 刚好在上，则阴影部分的面积为 【分析】直接利用旋转的性质结合扇形面积求法以及等边三角形的判定与性质得出 S阴影S扇形ADES弓形AD S扇形ABCS 弓形AD，进而得出答案 【解答】解：连接 BD，过点 B 作 BNAD 于点 N， 将半径为 4，圆心角为 90 的扇形 BAC 绕 A 点逆时针旋转 60 ， BAD60 ，ABAD， ABD 是等边三角形， ABD60 ， 则ABN30 ， 故 AN2，BN2， S阴影S扇形ADES弓形ADS扇形ABCS弓形AD （ 4） 故答案为： 9. 如图，在 ABCD 中，以

22、点 A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与 CD 相切于点 C，交 AD 于点 E，延长 BA 与A 相交于点 F若的长为，则图中阴影部分的面积为 【分析】求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组的很显然图中阴影部 分的面积ACD 的面积扇形 ACE 的面积，然后按各图形的面积公式计算即可 【解答】解：连接 AC， DC 是A 的切线， ACCD， 又ABACCD， ACD 是等腰直角三角形， CAD45 ， 又四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， CADACB45 ， 又ABAC， ACBB45 ， FADB45 ， 的长为， ， 解得：r2， S阴影SACD

23、S 扇形ACE 故答案为： 10. （2018 四川宜宾 3 分）在ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立依 据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE=4，EF=3，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运 动，则 PF2+PG2的最小值为 。 【分析】设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN，则 MN、PM 的长度是定值，利用三角形的 三边关系可得出 NP 的最小值，再利用 PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论 【解答】解：设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN 交

24、半圆于点 P，此时 PN 取最小值 DE=4，四边形 DEFG 为矩形， GF=DE，MN=EF， MP=FN= 1 2 DE=2， NP=MNMP=EFMP=1， PF2+PG2=2PN2+2FN2=2 12+2 22=10 三、解答题： 11. 如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的圆 O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作 DFAC， 垂足为 F。（1）求证：DF 为O 的切线； （2） 若过 A 点且与 BC 平行的直线交 BE 的延长线于 G 点， 连接 CG， 当ABC 是等边三角形时， 求AGC 的度数。 【解答】解：（1）连接 AD，OD， AB

25、是O 的直径， ADBC， ABC 是等腰三角形， BD=DC， AO=BO， ODAC， DFAC， DFOD， DF 是O 的切线； （2）AB 是O 的直径， BGAC， ABC 是等边三角形， BG 是 AC 的垂直平分线， GA=GC， 又AGBC，ACB=60 ， CAG=ACB=60 ， ACG 是等边三角形， AGC=60 。 12. 如图，等腰ABC 内接于半径为 5 的O，ABAC，tanABC 1 3 求 BC 的长 【分析】连接 AO，交 BC 于点 E，连接 BO，求出，根据垂径定理得出 OABC，BC2BE，设 AE x，则 BE3x，OE5x，根据勾股定理得出方程

26、（3x）2+（5x）252，求出方程的解即可 【解答】解：连接 AO，交 BC 于点 E，连接 BO， ABAC， ， 又OA 是半径， OABC，BC2BE， 在 RtABE 中，tanABC 1 3 ， 1 3 ， 设 AEx，则 BE3x，OE5x， 在 RtEO 中，BE2+OE2OB2， （3x）2+（5x）252， 解得：x10（舍去），x21， BE3x3， BC2BE6 13. 如图，AG 是HAF 的平分线，点 E 在 AF 上，以 AE 为直径的O 交 AG 于点 D，过点 D 作 AH 的垂 线，垂足为点 C，交 AF 于点 B （1）求证：直线 BC 是O 的切线； （

27、2）若 AC=2CD，设O 的半径为 r，求 BD 的长度 【分析】 （1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得 ODAC，证明 ODCB，可得结论； （2）在 RtACD 中，设 CD=a，则 AC=2a，AD= 5a，证明ACDADE，表示 a= ，由平行线分 线段成比例定理得：，代入可得结论 【解答】 （1）证明：连接 OD， AG 是HAF 的平分线， CAD=BAD， OA=OD， OAD=ODA， CAD=ODA， ODAC， ACD=90 ， ODB=ACD=90 ，即 ODCB， D 在O 上， 直线 BC 是O 的切线； （4 分） （2）解：在 RtACD 中，设 CD=

28、a，则 AC=2a，AD= 5a， 连接 DE， AE 是O 的直径， ADE=90 ， 由CAD=BAD，ACD=ADE=90 ， ACDADE， ， 即， a=， 由（1）知：ODAC， ，即， a=，解得 BD=r 14. 如图，AB 是O 的直径，ED 切O 于点 C，AD 交O 于点 F，AC 平分BAD，连接 BF （1）求证：ADED； （2）若 CD=4，AF=2，求O 的半径 【分析】 （1）连接 OC，如图，先证明 OCAD，然后利用切线的性质得 OCDE，从而得到 ADED； （2）OC 交 BF 于 H，如图，利用圆周角定理得到AFB=90 ，再证明四边形 CDFH 为矩形得到 FH=CD=4， CHF=90 ，利用垂径定理得到 BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出 AB，从而得到O 的半径 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图， AC 平分BAD， 1=2， OA=OC， 1=3， 2=3， OCAD， ED 切O 于点 C， OCDE， ADED； （2）解：OC 交 BF 于 H，如图， AB 为直径， AFB=90 ， 易得四边形 CDFH 为矩形， FH=CD=4，CHF=90 ， OHBF， BH=FH=4， BF=8， 在 RtABF 中，AB= =2， O 的半径为