第16讲 四边形综合问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲（解析版）

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1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 1616 四边形综合问题四边形综合问题 【难点突破】【难点突破】着眼思路，方法点拨着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 解题要领：利用平行四边形的性质求角度时，常常运用平行线的性质和平行四边形对角相等进行等 角的转化；利用平行四边形的性质求线段的长度或图形面积时，一是运用平行四边形对边相等，对角线 互相平分进行等线段转化，二是运用勾股定理或相似三角形或三角函数求解 解题要领：初步判断已知或可直接获得判定平行四边形的边或角的相等，再分析出需要的另外条件； 防止陷阱：“一组对边平行，而另一组对边相等”不是正确的判

2、定方法 解题要领：判定四边形是矩形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形；矩形的内角是直 角和对角线相等，相对于平行四边形来说是矩形特殊的性质；利用矩形的性质计算或证明时，常常运用 勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解 解题要领：判定四边形是菱形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是菱形；菱形的邻边相等 和对角线垂直，相对于平行四边形来说是菱形特殊的性质；利用菱形的性质计算或证明时，常常运用勾 股定理，锐角三角函数或相似三角形求解；求线段和的最小值时，往往运用菱形的轴对称的性质转化为 求线段的长度 解题要领：判定四边形是正方形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形或菱形，最后判定 这

3、个四边形是正方形；正方形是最特殊的四边形，在正方形的计算或证明时，要特别注意线段或角的等 量转化 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1】如图所示，在菱形 ABCD 中，BAD=120 ，AB=3，M,N 分别从 B,C 两点同时出发，以相同的 速度分别向终点 C，D 移动，连接 MN.在移动的过程中，MN 的最小值为（ ）. N M D CB A A 3 3 4 B 2 3 3 C 4 3 3 D 3 3 2 【解析】 N M D CB A 连接 AM,AC,AN, ABCD, BAD=120 B =60 又四边形 ABCD 是

4、菱形， AB=BC, ABC 为正三角形，故 AB=AC. 在ABM 和ACN 中， ABAC BACN BMCN =60 ABMACN BAM=CAN,AM=AN MAN=MAC+CAN=MAC+BAM=60 故AMN 为正三角形 AM=MN N M D CB A 当 AM 最短时，即 AMBC 时， 在 RtAMB 中，B=60 ， AM= 3 3 2 ，故 MN 的最小值为 3 3 2 ，故选 D。 【原创【原创 2】如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是 BC 边的中点，点 P 在线段 AD 上，过作 PFAE 于 F，设 PAx （1）求证：PFAABE； （2） 当点 P

5、 在线段 AD 上运动时， 设 PAx， 是否存在实数 x， 使得以点 P， F， E 为顶点的三角形也与ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由； （3）探究：当以 D 为圆心，DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共点时，请直接写出 x 满足的条 件： 【分析】（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似； （2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当PEFEAB 时，则得到四边 形 ABEP 为矩形，从而求得 x 的值；当PEFAEB 时，再结合（1）中的结论，得到等腰APE再 根据等腰三角形的三线合一得到 F

6、 是 AE 的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解 （3）首先计算圆 D 与线段相切时，x 的值，在画出圆 D 过 E 时，半径 r 的值，确定 x 的值，半径比这时大 时符合题意，根据图形确定 x 的取 值范围 【解答】（1）证明：矩形 ABCD， ABE90 ，ADBC， PAFAEB， 又PFAE， PFA90 ABE， PFAABE （2）解：分二种情况： 若EFPABE，如图 1，则PEFEAB， PEAB， 四边形 ABEP 为矩形， PAEB3，即 x3 若PFEABE，则PEFAEB， ADBC PAFAEB， PEFPAF PEPA PFAE， 点 F 为 AE 的中

7、点， RtABE 中，AB4，BE3， AE5， EFAE， PFEABE， ， ， PE，即 x 满足条件的 x 的值为 3 或 （3）如图 3，当D 与 AE 相切时，设切点为 G，连接 DG， APx， PDDG6x， DAGAEB，AGDB90 ， AGDEBA， ，x， 当D 过点 E 时，如图 4，D 与线段有两个公共点，连接 DE，此时 PDDE5， APx651， 当以 D 为圆心，DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共点时，x 满足的条件：x或 0x1； 故答案为：x或 0x1（12 分） 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反

8、三； 【例题【例题 1】 正方形 ABCD 的边长是 4，点 P 是 AD 边的中点，点 E 是正方形边上的一点，若PBE 是等腰三 角形，则腰长为_2 5或5 2或 65 2 _ 【解析】如图，当 E，C 重合时，PBPC2 5；在 AB 上取 E 使 PEEB，如图，设 AEx，(4 x)2x24，解得 x3 2，使 PE 5 2；在 BP 上取中点 M，如图，作 MEPB 交 DC 于 E.设 ECx，由 PE BE 知 42x222(4x)2，解得 x1 2，PE 22（41 2） 2 65 2 . 【例题【例题 2】 （2018潍坊） 如图， 点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上

9、一点， 连接 AM， 作 DEAM 于点 E， BFAM 于点 F，连接 BE （1）求证：AE=BF； （2）已知 AF=2，四边形 ABED 的面积为 24，求EBF 的正弦值 【分析】（1）通过证明ABFDEA 得到 BF=AE； （2）设 AE=x，则 BF=x，DE=AF=2，利用四边形 ABED 的面积等于ABE 的面积与ADE 的面积之和得 到xx+x2=24，解方程求出 x 得到 AE=BF=6，则 EF=x2=4，然后利用勾股定理计算出 BE，最后利 用正弦的定义求解 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 为正方形， BA=AD，BAD=90 ， DEAM 于点 E，BFAM

10、 于点 F， AFB=90 ，DEA=90 ， ABF+BAF=90 ，EAD+BAF=90 ， ABF=EAD， 在ABF 和DEA 中 ， ABFDEA（AAS）， BF=AE； （2）解：设 AE=x，则 BF=x，DE=AF=2， 四边形 ABED 的面积为 24， xx+x2=24，解得 x1=6，x2=8（舍去）， EF=x2=4， 在 RtBEF 中，BE=2， sinEBF= 【例题【例题 3】（2018泰安）如图，ABC 中，D 是 AB 上一点，DEAC 于点 E，F 是 AD 的中点，FGBC 于点 G，与 DE 交于点 H，若 FG=AF，AG 平分CAB，连接 GE，

11、CD （1）求证：ECGGHD； （2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC请你帮助小亮同学证明这一结论 （3）若B=30 ，判定四边形 AEGF 是否为菱形，并说明理由 【分析】（1）依据条件得出C=DHG=90 ，CGE=GED，依据 F 是 AD 的中点，FGAE，即可得 到 FG 是线段 ED 的垂直平分线，进而得到 GE=GD，CGE=GDE，利用 AAS 即可判定ECGGHD； （2）过点 G 作 GPAB 于 P，判定CAGPAG，可得 AC=AP，由（1）可得 EG=DG，即可得到 RtECGRtGPD，依据 EC=PD，即可得出 AD=AP+PD=AC+EC； （3）依据B

12、=30 ，可得ADE=30 ，进而得到 AE=AD，故 AE=AF=FG，再根据四边形 AECF 是平行 四边形，即可得到四边形 AEGF 是菱形 【解答】解：（1）AF=FG， FAG=FGA， AG 平分CAB， CAG=FGA， CAG=FGA， ACFG， DEAC， FGDE， FGBC， DEBC， ACBC， C=DHG=90 ，CGE=GED， F 是 AD 的中点，FGAE， H 是 ED 的中点， FG 是线段 ED 的垂直平分线， GE=GD，GDE=GED， CGE=GDE， ECGGHD； （2）证明：过点 G 作 GPAB 于 P， GC=GP，而 AG=AG， C

13、AGPAG， AC=AP， 由（1）可得 EG=DG， RtECGRtGPD， EC=PD， AD=AP+PD=AC+EC； （3）四边形 AEGF 是菱形， 证明：B=30 ， ADE=30 ， AE=AD， AE=AF=FG， 由（1）得 AEFG， 四边形 AECF 是平行四边形， 四边形 AEGF 是菱形 【例题【例题4】 在四边形ABCD中， 对角线AC、 BD相交于点O， 将COD绕点O按逆时针方向旋转得到C1OD1， 旋转角为 （0 90 ） ，连接 AC1、BD1，AC1与 BD1交于点 P （1）如图 1，若四边形 ABCD 是正方形 求证：AOC1BOD1 请直接写出 AC

14、1 与 BD1的位置关系 （2）如图 2，若四边形 ABCD 是菱形，AC=5，BD=7，设 AC1=k BD1判断 AC1与 BD1的位置关系，说明 理由，并求出 k 的值 （3）如图 3，若四边形 ABCD 是平行四边形，AC=5，BD=10，连接 DD1，设 AC1=kBD1请直接写出 k 的 值和 AC12+（kDD1）2的值 【解析】 （1）如图 1，根据正方形的性质得 OC=OA=OD=OB，ACBD，则AOB=COD=90 ，再根据 旋转的性质得O C1=OC， O D1=OD， CO C1=DO D1， 则O C1=O D1， 利用等角的补角相等得AO C1=BO D1，然后根

15、据“SAS”可证明AO C1BOD1； 由AOB=90 ，则O AB+ABP+OB D1=90 ，所以O AB+ABP+O AC1=90 ，则APB=90 所 以 AC1BD1； （2）如图 2，根据菱形的性质得 OC=OA=AC，OD=OB=BD，ACBD，则AOB=COD=90 ，再根据旋 转的性质得 O C1=OC， O D1=OD， CO C1=DO D1， 则 O C1=OA， O D1=OB， 利用等角的补角相等得AO C1=BO D1，加上 1 1 OCOA ODOB ，根据相似三角形的判定方法得到AO C1BOD1，得到O AC1=OB D1， 由AOB=90 得O AB+AB

16、P+OB D1=90 ，则O AB+ABP+O AC1=90 ，则APB=90 ，所以 AC1BD1；然后根据相似比得到 1 1 ACOAAC BDOBBD = 5 7 ， 所以 k= 5 7 ； （3）与（2）一样可证明AO C1BOD1，则 1 1 ACOAAC BDOBBD = 1 2 ，所以 k= 1 2 ；根据旋转的性质得 O D1=OD，根据平行四边形的性质得 OD=OB，则 OD1=OB=OD，于是可判断BDD1为直角三角形，根据勾 股定理得 BD12+DD12=BD2=100，所以（2AC1）2+DD12=100，于是有 AC12+（kDD1）2=25 【解答】 （1）证明：如

17、图 1， 四边形 ABCD 是正方形， OC=OA=OD=OB，ACBD， AOB=COD=90 ， COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到C1OD1， O C1=OC，O D1=OD，CO C1=DO D1， O C1=O D1，AO C1=BO D1=90 +AOD1， 在AO C1和BOD1中, 11 11 OAOB AOCBOD OCOD ， AO C1BOD1（SAS） ； AC1BD1； （2）AC1BD1 理由如下：如图 2， 四边形 ABCD 是菱形， OC=OA=AC，OD=OB=BD，ACBD， AOB=COD=90 ， COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到C1OD1，

18、O C1=OC，O D1=OD，CO C1=DO D1， O C1=OA，O D1=OB，AO C1=BO D1， 1 1 OCOA ODOB ， AO C1BOD1， O AC1=OB D1， 又AOB=90 ， O AB+ABP+OB D1=90 ， O AB+ABP+O AC1=90 ， APB=90 AC1BD1； AO C1BOD1， 1 1 ACOA BDOB = 1 2 1 2 AC BD = AC BD = 5 7 ，k= 5 7 ； （3）如图 3，与（2）一样可证明AO C1BOD1， 1 1 ACOAAC BDOBBD = 1 2 ， k=； COD 绕点 O 按逆时针方

19、向旋转得到C1OD1， O D1=OD， 而 OD=OB， OD1=OB=OD， BDD1为直角三角形， 在 RtBDD1中，BD12+DD12=BD2=100， （2AC1）2+DD12=100， AC12+（kDD1）2=25 【最新试题】名校【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。直考，巅峰冲刺，一步到位。 一、选择题： 1. 如图，点 P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EFBC，分别交 AB，CD 于 E、F，连接 PB、 PD若 AE=2，PF=8则图中阴影部分的面积为（ ） A10 B12 C16 D18 【分析】想办法证明 SPEB=SPFD解答即可

20、【解答】解：作 PMAD 于 M，交 BC 于 N 则有四边形 AEPM，四边形 DFPM，四边形 CFPN，四边形 BEPN 都是矩形， SADC=SABC，SAMP=SAEP，SPBE=SPBN，S PFD=SPDM，SPFC=SPCN， SDFP=SPBE= 2 8=8， S阴=8+8=16， 故选：C 2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA，OC 分别在 x 轴和 y 轴上，并且 OA=5，OC=3若 把矩形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转 ， 使点 A 恰好落在 BC 边上的 A1处， 则点 C 的对应点 C1的坐标为 （ ） A（， ） B（， ） C（，

21、） D（， ） 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出ONC1三边关系，再利用勾股定理得出答案 【解答】解：过点 C1作 C1Nx 轴于点 N，过点 A1作 A1Mx 轴于点 M， 由题意可得：C1NO=A1MO=90 ， 1=2=3， 则A1OMOC1N， OA=5，OC=3， OA1=5，A1M=3， OM=4， 设 NO=3x，则 NC1=4x，OC1=3， 则（3x）2+（4x）2=9， 解得：x= （负数舍去）， 则 NO=，NC1=， 故点 C 的对应点 C1的坐标为：（，） 故选：A 3. 矩形 ABCD 与 CEFG，如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G 共线，连

22、接 AF，取 AF 的中点 H，连 接 GH若 BC=EF=2，CD=CE=1，则 GH=（ ） A1 B C D 【分析】延长 GH 交 AD 于点 P，先证APHFGH 得 AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得 PG=，从而得出答案 【解答】解：如图，延长 GH 交 AD 于点 P， 四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形， ADC=ADG=CGF=90 ，AD=BC=2、GF=CE=1， ADGF， GFH=PAH， 又H 是 AF 的中点， AH=FH， 在APH 和FGH 中， ， APHFGH（ASA）， AP=GF=1，GH=PH=PG， PD=ADAP=

23、1， CG=2、CD=1， DG=1， 则 GH=PG= =， 故选：C 4. 如图，菱形 ABCD 的边长是 4 厘米，B60 ，动点 P 以 1 厘米秒的速度自 A 点出发沿 AB 方向运动至 B 点停止，动点 Q 以 2 厘米/秒的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停止若点 P、Q 同时出发运动 了 t 秒，记BPQ 的面积为 S 厘米 2，下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是（ ） A B CD 【分析】应根据 0t2 和 2t4 两种情况进行讨论把 t 当作已知数值，就可以求出 S，从而得到函数的 解析式，进一步即可求解 【解答】解：当 0t2 时，S 2t

24、 （4t）t2+2t； 当 2t4 时，S 4 （4t）t+4； 只有选项 D 的图形符合 故选：D 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上， 反比例函数 y=（k0，x0）的图象与正方形 OABC 的两边 AB、BC 分别交于点 M、N，NDx 轴，垂 足为 D，连接 OM、ON、MN，则下列选项中的结论错误的是（ ） AONCOAM B四边形 DAMN 与OMN 面积相等 CON=MN D若MON=45 ，MN=2，则点 C 的坐标为（0， +1） 【解答】解：点 M、N 都在 y= k x 的图象上，SONC=

25、SOAM= 1 2 k，即 1 2 OCNC= 1 2 OAAM 四边形 ABCO 为正方形，OC=OA，OCN=OAM=90 ，NC=AM，OCNOAM，A 正确； SOND=SOAM= 1 2 k，而 SOND+S四边形DAMN=SOAM+SOMN，四边形 DAMN 与MON 面积相等，B 正 确； OCNOAM，ON=OM k 的值不能确定，MON 的值不能确定，ONM 只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形， ONMN，C 错误； 作 NEOM 于 E 点，如图所示： MON=45 ，ONE 为等腰直角三角形，NE=OE，设 NE=x，则 ON= 2x，OM= 2x，EM= 2xx=（

26、21）x在 RtNEM 中，MN=2 MN2=NE2+EM2，即 22=x2+（21）x2，x2=2+ 2，ON2=（2x）2=4+2v CN=AM，CB=AB，BN=BM，BMN 为等腰直角三角形，BN= 2 2 MN= 2，设正方形 ABCO 的边长为 a，则 OC=a，CN=a2在 RtOCN 中，OC2+CN2=ON2，a2+（a2）2=4+2，解得 a1= 2+1，a2=1（舍去） ，OC= 2+1，C 点坐标为（0，2 +1） ，D 正确 故选 C 二、填空题： 6. 如图所示，在正方形 ABCD 中，以 AB 为边向正方形外作等边三角形 ABE，连接 CE、BD 交于点 G，连

27、接 AG，那么AGD 的底数是 度 【分析】根据已知可求得BEC 的度数，根据三角形外角定理可求得AGD 的度数 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABBCADCD，ABC90 ，ADGCDG，ABD45 ， GDGD， ADGCDG， AGDCGD， CGDEGB， AGDEGB， ABE 是等边三角形， ABBE，ABE60 ， BEBC，EBC150 ， BECECB15 ， BGE180 BECEBG180 15 60 45 60 ， AGD60 故答案为 60 7. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=4cm，ADC=120 ，点 E、F 同时由 A、C 两点出发，分别沿 AB

28、、CB 方 向向点 B 匀速移动（到点 B 为止） ，点 E 的速度为 1cm/s，点 F 的速度为 2cm/s，经过 t 秒DEF 为等边三 角形，则 t 的值为 【解析】延长 AB 至 M，使 BM=AE，连接 FM，证出DAE 和EMF，得到BMF 是等边三角形，再利 用菱形的边长为 4 求出时间 t 的值 【解答】解：延长 AB 至 M，使 BM=AE，连接 FM， 四边形 ABCD 是菱形，ADC=120 AB=AD，A=60 ， BM=AE， AD=ME， DEF 为等边三角形， DEA=DFE=60 ，DE=EF=FD， MEF+DEA120，ADE+DEA=180 A=120

29、， MEF=ADE， 在DAE 和EMF 中， DAE 和EMF（SAS） ， AE=MF，M=A=60 ， 又BM=AE， BMF 是等边三角形， BF=AE， AE=t，CF=2t， BF=CF+BF=2t+t=3t， BF=4， 3t=4， t= 故答案为： 8. 如图，把矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中，使 OA、OC 分别落在 x 轴、y 轴上，连接 OB，将纸片 OABC 沿 OB 折叠，使点 A 落在点 A的位置，若 OB，tanBOC，则点 A的坐标为 【分析】如图，作辅助线；根据题意首先求出 AB、BC 的长度；借助面积公式求出 AD、OD 的长度，即可 解决问题 【

30、解答】解：如图，过点 A作 ADx 轴与点 D； 设 AD，OD； 四边形 ABCO 为矩形， OABOCB90 ；四边形 ABAD 为梯形； 设 ABOC，BCAO； OB，tanBOC， ， 解得：2，1； 由题意得：AOAO1；ABOABO； 由勾股定理得：2+21， 由面积公式得：； 联立并解得：， 故答案为（，） 9. 如图， 矩形 ABCD 中， AB4， AD6， 点 E 为 AD 中点， 点 P 为线段 AB 上一个动点， 连接 EP， 将APE 沿 PE 折叠得到FPE，连接 CE，CF，当ECF 为直角三角形时，AP 的长为 或 1 【分析】分两种情况进行讨论：当CFE90

31、 时，ECF 是直角三角形；当CEF90 时，ECF 是直角 三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可 【解答】解：如图所示，当CFE90 时，ECF 是直角三角形， 由折叠可得，PFEA90 ，AEFEDE， CFP180 ，即点 P，F，C 在一条直线上， 在 RtCDE 和 RtCFE 中， ， RtCDERtCFE（HL）， CFCD4， 设 APFPx，则 BP4x，CPx+4， 在 RtBCP 中，BP2+BC2PC2，即（4x）2+62（x+4）2， 解得 x，即 AP； 如图所示，当CEF90 时，ECF 是直角三角形， 过 F 作 FHAB 于 H，作 FQAD 于

32、 Q，则FQED90 ， 又FEQ+CED90 ECD+CED， FEQECD， FEQECD， ，即， 解得 FQ，QE， AQHF，AH， 设 APFPx，则 HPx， RtPFH 中，HP2+HF2PF2，即（x）2+（）2x2， 解得 x1，即 AP1 综上所述，AP 的长为 1 或 10. 如图，在矩形 ABCD 中，AB2，AD，在边 CD 上有一点 E，使 EB 平分AEC若 P 为 BC 边上 一点，且 BP2CP，连接 EP 并延长交 AB 的延长线于 F给出以下五个结论： 点 B 平分线段 AF；PFDE；BEFFEC；S矩形ABCD4SBPF；AEB 是正三角形 其中正确

33、结论的 序号是 【分析】由角平分线的定义和矩形的性质可证明AEBABE，可求得 AEAB2，在 RtADE 中可求 得 DE1，则 EC1，又可证明PECPBF，可求得 BF2，可判定；在 RtPBF 中可求得 PF，可 判定；在 RtBCE 中可求得 BE2，可得BEFF，可判定；容易计算出 S矩形ABCD和 SBPF；可判 定；由 AEABBE 可判定；可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， ABCD， CEBABE， 又BE 平分AEC， AEBCEB， AEBABE， AEAB2， 在 RtADE 中，AD，AE2，由勾股定理可求得 DE1， CECDDE211， DCAB

34、， PCEPBF， ，即， BF2， ABBF， 点 B 平分线段 AF， 故正确； BCAD， BP， 在 RtBPF 中，BF2，由勾股定理可求得 PF， DE1， PFDE， 故正确； 在 RtBCE 中，EC1，BC，由勾股定理可求得 BE2， BEBF， BEFF， 又ABCD， FECF， BEFFEC， 故正确； AB2，AD， S矩形ABCDABAD2 2， BF2，BP， SBPF BFBP 2 ， 4SBPF ， S矩形ABCD4SBPF， 故不正确； 由上可知 ABAEBE2， AEB 为正三角形， 故正确； 综上可知正确的结论为： 故答案为： 三、解答题： 11. 如图

35、，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AB、CD 上，且 EDDB，FBBD （1）求证：AEDCFB； （2）若A30 ，DEB45 ，求证：DADF 【分析】（1）由四边形 ABCD 为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再 由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用 ASA 即可得证； （2） 过 D 作 DH 垂直于 AB， 在直角三角形 ADH 中， 利用 30 度所对的直角边等于斜边的一半得到 AD2DH， 在直角三角形 DEB 中， 利用斜边上的中线等于斜边的一半得到 EB2DH， 易得四边形 EBFD 为平行四边形，

36、利用平行四边形的对边相等得到 EBDF，等量代换即可得证 【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形， ADCB，AC，ADCB，ABCD， ADBCBD， EDDB，FBBD， EDBFBD90 ， ADECBF， 在AED 和CFB 中， ， AEDCFB（ASA）； （2）作 DHAB，垂足为 H， 在 RtADH 中，A30 ， AD2DH， 在 RtDEB 中，DEB45 ， EB2DH， EDDB，FBBD DEBF，ABCD， 四边形 EBFD 为平行四边形， FDEB， DADF 12. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，PAQ45 ，将PAQ 绕着正方形的顶点

37、A 旋转，使它与正方 形 ABCD 的两个外角EBC 和FDC 的平分线分别交于点 M 和 N，连接 MN （1）求证：ABMNDA； （2）连接 BD，当BAM 的度数为多少时，四边形 BMND 为矩形，并加以证明 【分析】（1）由正方形 ABCD，BM、DN 分别是正方形的两个外角平分线，可证得ABMADN135 ， 又由MAN45 ，可证得BAMAND45 DAN，即可证得ABMNDA； （2）证出四边形 BMND 是平行四边形，再证出BDN90 ，继而求得答案 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ABCADCBAD90 ， BM、DN 分别是正方形的两个外角平分线， AB

38、MADN135 ， MAN45 ， BAMAND45 DAN， ABMNDA； （2）解：当BAM22.5 时，四边形 BMND 为矩形；理由如下： BAM22.5 ，EBM45 ， AMB22.5 ， BAMAMB， ABBM， 同理 ADDN， ABAD，BMDN， 四边形 ABCD 是正方形 ABDADB45 ， BDNDBM90 BDN+DBM180 ， BMDN 四边形 BMND 为平行四边形， BDN90 ， 四边形 BMND 为矩形 13. 问题情境 在四边形 ABCD 中，BABC，DCAC，过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于点 E，M 是边 AD 的中点， 连接 M

39、B，ME. 特例探究 (1)如图 1，当ABC90 时，线段 MB 与 ME 的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)如图 2，当ABC120 时，试探究线段 MB 与 ME 的数量关系，并证明你的结论； 拓展延伸 (3)如图 3，当ABC 时，请直接用含 的式子表示线段 MB 与 ME 之间的数量关系 解：(1)MBME，MBME. (2)ME 3MB 证明如下：连接 CM，如解图所示 DCAC，M 是边 AD 的中点， MCMAMD BABC， BM 垂直平分 AC ABC120 ，BABC， MBE1 2ABC60，BACBCA30 ，DCE60 . ABDE， ABEDEC180 ， D

40、EC60 ， DCEDEC60 ， CDE 是等边三角形， ECED MCMD， EM 垂直平分 CD，EM 平分DEC， MEC1 2DEC30 ， MBEMEB90 ，即BME90 . 在 RtBME 中，MEB30 ， ME 3MB (3)MEMB tan 2. 14. 如图 1， 在矩形 ABCD 中， P 为 CD 边上一点 （DPCP） ， APB=90 将ADP 沿 AP 翻折得到ADP， PD的延长线交边 AB 于点 M，过点 B 作 BNMP 交 DC 于点 N （1）求证：AD2=DPPC； （2）请判断四边形 PMBN 的形状，并说明理由； （3）如图 2，连接 AC，分

41、别交 PM，PB 于点 E，F若=，求的值 【解答】解： （1）过点 P 作 PGAB 于点 G， 易知四边形 DPGA，四边形 PCBG 是矩形， AD=PG，DP=AG，GB=PC APB=90 ， APG+GPB=GPB+PBG=90 ， APG=PBG， APGPBG， ， PG2=AGGB， 即 AD2=DPPC； （2）DPAB， DPA=PAM， 由题意可知：DPA=APM， PAM=APM， APBPAM=APBAPM， 即ABP=MPB AM=PM，PM=MB， PM=MB， 又易证四边形 PMBN 是平行四边形， 四边形 PMBN 是菱形； （3）由于=， 可设 DP=1，

42、AD=2， 由（1）可知：AG=DP=1，PG=AD=2， PG2=AGGB， 4=1GB， GB=PC=4， AB=AG+GB=5， CPAB， PCFBAF， =， ， 又易证：PCEMAE，AM=AB= = ， EF=AFAE=AC=AC， = 15. 如图 1，点 E 是正方形 ABCD 边 CD 上任意一点，以 DE 为边作正方形 DEFG，连接 BF，点 M 是线段 BF 中点，射线 EM 与 BC 交于点 H，连接 CM （1）请直接写出 CM 和 EM 的数量关系和位置关系； （2）把图 1 中的正方形 DEFG 绕点 D 顺时针旋转 45 ，此时点 F 恰好落在线段 CD 上

43、，如图 2，其他条件 不变， （1）中的结论是否成立，请说明理由； （3）把图 1 中的正方形 DEFG 绕点 D 顺时针旋转 90 ，此时点 E、G 恰好分别落在线段 AD、CD 上，如图 3，其他条件不变， （1）中的结论是否成立，请说明理由 【解答】解： （1）如图 1，结论：CM=EM，CMEM 理由：ADEF，ADBC，BCEF，EFM=HBM在FME 和BMH 中， FMEBMH，HM=EM，EF=BH CD=BC，CE=CH1HCE=90 ，HM=EM，CM=ME，CMEM （2 如图 2，连接 AE， 四边形 ABCD 和四边形 EDGF 是正方形，FDE=45 ，CBD=45 ，点 B、E、D 在同一条直线上 BCF=90 ，BEF=90 ，M 为 AF 的中点，CM= 1 2 AF，EM= 1 2 AF，CM=ME EFD=45 ，EFC=135 CM=FM=ME，MCF=MFC，MFE=MEF，MCF+MEF=135 ，CME=360 135 135 =90 ，CMME （3）如图 3，连接 CF，MG，作 MNCD 于 N， 在EDM 和GDM 中，EDMGDM，ME=MG，MED=MGD M 为 BF 的中点，FGMNBC，