第13讲 函数相关性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲（解析版）

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1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 1313 函数相关性问题函数相关性问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 1、一次函数图像与实际情景探究：分析函数图象与实际情境中量的意义确定坐标轴表示的意义； 确定图象上的点表示的意义；确定上升线及下降线表示的意义；确定每段图象对应的自变量的取值 范围及图象的最值等. 解题时根据条件判断一次函数图象时，关键是找出突破点，如能用排除法解决的，就 不需要逐一分析图象. 2、反比例函数综合探究：求反比例函数解析式中的 k，就是求出双曲线上某点的坐标或横、纵坐标 的积；

2、先设反比例函数图象上关键点的坐标，再利用该点的坐标和已知表示出其他数量关系，是求解这 类问题常用的方法。 解题过程要注意以下几点：求直线与双曲线的交点，需建立由 ykxb 和 y k x 组成的方程组，并 解之；求一般图形的面积可转化为边在坐标轴上的图形的面积 3、二次函数的图像研究问题：对于抛物线 yax2bxc，抛物线开口方向决定 a 的正负，c 是抛物 线与 y 轴交点的纵坐标， 结合对称轴的位置确定 b； 结合一元二次方程的判别式， 确定与 x 轴交点的个数； 抛物线一定过(1，abc)，(1，abc)和(2，4a2bc)；数形结合看不等式成立与否 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼

3、主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1】ABC 两边 AC、AB 上分别存在 E、F 两点, 同时从某一边长为 2 的等边三角形的顶点 A 出发， 点 E 沿着 A-C-B 的方向按照 1 单位/秒的速度运动动，点 F 沿着 A-B 的方向匀速运动，且运动的速度是点 E 运动速度的 1 3 ，当其中一点运动到点 B 时，另一点也同时停止运动.设运动的时间为 t 秒，AEF 的面积为 y，那么 y 与 t 函数关系的图象大致可以是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 【解析】当点 E 在 AC 边上运动时，即 0t2 时， 则有 AE=t，AF= 1 3 t.

4、由 A=60 可得AEF 的高为 3 2 t， AEF S= 1 13 t 2 32 t= 2 3 12 t（0t2） ， 此函数是一个开口向上，经过原点的二次函数图象的一部分； 当点 E 在 BC 边上运动时，即 2t4 时，则 BE=4-t，AEF 的高为 3 (4) 2 t，AF= 1 3 t AEF S= 1 13 (4) 2 32 tt= 2 33 (2) 123 t（2t4） ， 此函数是一个开口向下，以 t=2 为对称轴的二次函数图象的一部分. 故选 D。 【原创【原创 2】如图，已知反比例函数 ym x(m0)的图象经过点(1，4)，一次函数 yxb 的图象经过反比例 函数图象

5、上的点 Q(4，n) (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)一次函数的图象分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为 P 点，连接 OP， OQ，求OPQ 的面积 解：(1)反比例函数 ym x( m0)的图象经过点(1，4)， 4m 1，解得 m4， 反比例函数的解析式为 y4 x. 将 Q(4，n)代入 y4 x中， 得44 n，解得 n1， Q 点的坐标为(4，1) 将 Q(4，1)代入 yxb 中， 得1(4)b，解得 b5， 一次函数的解析式为 yx5. (2)联立一次函数与反比例函数的解析式，得 yx5， y4 x， 解得 x1， y4 或 x

6、4， y1. 点 P 的坐标为(1，4) 在一次函数 yx5 中， 令 y0，得x50，解得 x5， 点 A 的坐标为(5，0)， OA5， SOPQSOPASO QA1 2OA (|yP|yQ|) 1 2 5 (41) 15 2 . 【原创【原创 3】已知顶点坐标是（1,2）的二次函数 y=ax2bxc (a 0)的图像如图所示，有下列 4 个结论： b24ac0；（a+c）2b2；3a+c=2；方程 ax2+bx+c2=0 有两个相等的实数根. 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 解析：解析：抛物线与 x 轴有两个交点，0,即 b24ac0，正确； 当 x=-1 时，y0，

7、即 a-b+c0， （a-b+c） （a+b+c）0，即（a+c-b） （a+c+b）0， （a+c）2-b20， （a+c）2b2，正确； 对称轴 x= 2 b a =1，b=-2a. 又二次函数的顶点为（1,2） ，a+b+c=2,即-a+c=2，错误； 由已知得只有 x=1 时，ax2+bx+c=2， 方程 ax2+bx+c-2=0 有两个相等的实数根，正确，故选 C 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题【例题 1】如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，点 P 从点 B 沿折线 BEEDDC 运动到点 C 时停 止；点

8、Q 从点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止，速度均为每秒 1 个单位长度如果点 P、Q 同时开始运动，设 运动时间为 t，BPQ 的面积为 y，已知 y 与 t 的函数图象如图所示以下结论：BC=10；cosABE= 3 5 ；当 0t10 时，y= 2 5 t2；当 t=12 时，BPQ 是等腰三角形；当 14t20 时，y=1105t 中正确的 有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】根据题意，确定 10t14，PQ 的运动状态，得到 BE、BC、ED 问题可解 【解答】解：由图象可知，当 10t14 时，y 值不变，则此时，Q 点到 C，P 从 E 到 D BE=BC

9、=10，ED=4 故正确 AE=6 RtABE 中，AB= 22 106 =8 cosABE= 4 5 AB BE ；故错误 当 0t10 时，BPQ 的面积为 2 12 sinABE 25 PB QBt 正确； t=12 时，P 在点 E 右侧 2 单位，此时 BPBE=BC PC= 22 28= 2 17BPQ 不是等腰三角形错误； 当 14t20 时，点 P 由 D 向 C 运动，Q 在 C 点， BPQ 的面积为 1 10 (22t) 2 =110-5t ， 则正确 故选：B 【点评】本题为双动点问题，解答时既要注意两个动点相对位置变化又要注意函数图象的变化与动点位置 变化之间的关联

10、【例题【例题 2】 如图，一次函数 ykxb(k，b 为常数，且 k0)的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，且与反 比例函数 yn x(n 为常数，且 n0)的图象在第二象限交于点C，CDx 轴，垂足为点D，若OB2OA3OD 12. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)记两函数图象的另一个交点为 E，求CDE 的面积； (3)直接写出不等式 kxbn x的解集 解：(1)OB2OA3OD12， OA6，OD4， A(6，0)，B(0，12)，D(4，0) CDx 轴，OBCD， ABOACD， OA DA OB DC，即 6 10 12 DC， DC20，C(4，20)

11、 将 A(6，0)，B(0，12)代入 ykxb 中， 得 6kb0， b12， 解得 k2， b12. 一次函数的解析式为 y2x12. 将 C(4，20)代入 yn x中，得 nxy80， 反比例函数的解析式为 y80 x . (2)联立一次函数和反比例函数的解析式，得 y2x12， y80 x ， 解得 x10， y8 或 x4， y20. 点 E 的坐标为(10，8)， SCDESCDASEDA1 2CD DA 1 2DA |yE| 1 2DA (CD|yE|) 1 2 10 28140. (3)不等式 kxbn x的解集为 x10 或4x0. 【例题【例题 3】如图，抛物线 y1a（

12、x+2）23 与 y2（x3）2+1 交于点 A（1，3），过点 A 作 x 轴的平行 线，分别交两条抛物线于点 B，C则以下结沦：无论 x 取何值，y2的值总是正数；2a1；当 x 0 时，y2y14；2AB3AC；其中正确结论是（ ） A B C D 【分析】利用二次函数的性质得到 y2的最小值为 1，则可对进行判断；把 A 点坐标代入 y1a（x+2）2 3 中求出 a， 则可对进行判断； 分别计算 x0 时两函数的对应值， 再计算 y2y1的值， 则可对进行判断； 利用抛物线的对称性计算出 AB 和 AC，则可对进行判断 【解答】解：y2（x3）2+1， y2的最小值为 1，所以正确；

13、 把 A（1，3）代入 y1a（x+2）23 得 a（1+2）233， 3a2，所以错误； 当 x0 时，y1（x+2）23，y2 （x3）2+1， y2y1 +，所以错误； 抛物线 y1a（x+2）23 的对称轴为直线 x2，抛物线 y2 （x3）2+1 的对称轴为直线 x3， AB2 36，AC2 24， 2AB3AC，所以正确 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次 函数 yax2+bx+c（a0），二次项系数 a 决定 抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和 二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当

14、a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时 （即 ab0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c）也考 查了二次函数的性质 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 一、选择题：一、选择题： 1. （2018通辽）小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段 时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程 s（单位：m）与时间 r（单位：min）之间函数关系的大致图象是 （ ） A B C D 【分析】根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定

15、出图象即可 【解答】解：根据题意得：小刚从家到学校行驶路程 s（单位：m）与时间 r（单位：min）之间函数关系的 大致图象是 故选：B 2. 二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ） Aa0 Bc0 Cb24ac0 Da+b+c0 【分析】根据二次函数的开口方向，与 y 轴的交点，与 x 轴交点的个数，当 x1 时，函数值的正负判断正 确选项即可 【解答】解：A、二次函数的开口向下，a0，正确，不符合题意； B、二次函数与 y 轴交于正半轴，c0，正确，不符合题意； C、二次函数与 x 轴有 2 个交点，b24ac0，正确，不符合题意； D、当 x1 时，函

16、数值是负数，a+b+c0，错误，符合题意， 故选：D 3. 某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为 3 米的小正方形组成，且每个小正方形 的种植方案相同其中的一个小正方形 ABCD 如图乙所示，DG=1 米，AE=AF=x 米，在五边形 EFBCG 区 域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积 y 与 x 的函数图象大致是（ ） 。 A. B. C. D. 【分析】先求出AEF 和DEG 的面积，然后可得到五边形 EFBCG 的面积，继而可得 y 与 x 的函数关系式。 【解析】 【解答】SAEF= 1 2 AE AF= 2 1 2 x，SDEG= 1 2 DG DE= 1

17、 2 1 （3x）= 3 2 x ， S五边形EFBCG=S正方形ABCDSAEFSDEG= 2 13 9 22 x x = 2 1115 222 xx， 则 y=4 （ 2 1115 222 xx）= 2 2230xx， AEAD，x3，综上可得： 2 2230yxx （0x3） 故答案为：A 4. 如图，已知 A，B 是反比例函数 y=（k0，x0）图象上的两点，BCx 轴，交 y 轴 于点 C，动点 P 从坐标原点 O 出发，沿 OABC（图中“”所示路线）匀速运动，终 点为 C，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M设三角形 OMP 的面积为 S，P 点运动时间为 t，则 S 关于 x 的

18、函数图象大致为（ ） A B C D 【考点】动点问题的函数图象 【分析】结合点 P 的运动，将点 P 的运动路线分成 OA、AB、BC 三段位置来进行分 析三角形 OMP 面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案 【解答】解：设AOM=，点 P 运动的速度为 a， 当点 P 从点 O 运动到点 A 的过程中，S=a2cossint2， 由于 及 a 均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且 S 随着 t 的增大而增大； 当点 P 从 A 运动到 B 时，由反比例函数性质可知OPM 的面积为 1 2 k，保持不变， 故本段图象应为与横轴平行的线段； 当点 P 从 B 运

19、动到 C 过程中，OM 的长在减少，OPM 的高与在 B 点时相同， 故本段图象应该为一段下降的线段； 故选：A 5. （2018达州）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴的交点 B 在（0， 2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x=2 下列结论：abc0；9a+3b+c0；若点 M（1 2 ，y1），点 N（ ，y2）是函数图象上的两点，则 y1 y2； a 其中正确结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案 【解答】解：由开口可知：a0， 对称轴 x=0， b0，

20、 由抛物线与 y 轴的交点可知：c0， abc0，故正确； 抛物线与 x 轴交于点 A（1，0）， 对称轴为 x=2， 抛物线与 x 轴的另外一个交点为（5，0）， x=3 时，y0， 9a+3b+c0，故正确； 由于2， 且（，y2）关于直线 x=2 的对称点的坐标为（，y2）， ， y1y2，故正确， =2， b=4a， x=1，y=0， ab+c=0， c=5a， 2c3， 25a3， a，故正确 故选：D 二、填空题二、填空题 6. （2018枣庄）如图 1，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，沿 BCA 匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时， 线段 BP 的长度 y 随时间 x

21、 变化的关系图象，其中 M 为曲线部分的最低点，则ABC 的面积是 【分析】根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大，而从 C 向 A 运动时，BP 先变小后变大， 从而可求出 BC 与 AC 的长度 【解答】解：根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大， 由图象可知：点 P 从 B 向 C 运动时，BP 的最大值为 5， 即 BC=5， 由于 M 是曲线部分的最低点， 此时 BP 最小， 即 BPAC，BP=4， 由勾股定理可知：PC=3， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， PA=3， AC=6， ABC 的面积为： 4 6=12 故答案为：12 7.

22、 如图， OABC 中顶点 A 在 x 轴负半轴上，B、C 在第二象限，对角线交于点 D，若 C、D 两点在反比例 函数的图象上，且 OABC 的面积等于 12，则 k 的值是 【分析】根据平行四边形的性质的性质及反比例函数 k 的几何意义，判断出 OEEF，再由AOC 的面积， 可得关于 k 的方程，解出即可 【解答】解：如图所示： OABC 的面积等于 12， AOC 的面积为 6， 点 D 是线段 AC 的中点，CEDF， DF 是ACE 的中位线， CE2DF，AFEF， 又SOCESODF ， OF2OE，SADF，SACE|k|， SACE+SOCESAOC6，即 6， 又k0（反

23、比例函数在第二象限）， k4 故答案为：4 8. 如图，在平面直角坐标系中，OB 在 x 轴上，ABO90 ，点 A 的坐标为（2，4），将AOB 绕点 A 逆 时针旋转 90 ，点 O 的对应点 C 恰好落在反比例函数 y的图象上，则 k 的值为 【分析】根据题意和旋转的性质，可以得到点 C 的坐标，由点 C 在反比例函数 y的图象上，从而可以 得到 k 的值，本题得以解决 【解答】解：OB 在 x 轴上，ABO90 ，点 A 的坐标为（2，4），将AOB 绕点 A 逆时针旋转 90 ，点 O 的对应点 C 恰好落在反比例函数 y的图象上， 点 C 的坐标为（6，2）， 2， 解得，k12，

24、 故答案为：12 9. 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 y= (x0)的图象上,有一动点 P,以点 P 为圆心,以一个定值 R 为半 径作P 在点 P 运动过程中,若P 与直线 y=-x+4 有且只有 3 次相切时,则定值 R 为_. 【解析】如图， 过点 P 作 PQAB 于点 Q，过点 P 作 PRx 轴交 AB 于点 R，则PQR 是等腰直角三角形，PR= 2PQ， 根据反比例函数的轴对称性，P 与直线 y=-x+4 有且只有 3 次相切时，线段 PQ 在第一象限的角平分线上， 所以 Q（2，2） 设 P（a， 2 a ）(a0)，则 a= 2 a ，解得 x= 2， 所以 P(2

25、，2)，得 R（4-2，2），则 PR=4- 2 2， 所以 PQ= 2 PR = 42 2 2 = 2 22， 故答案为2 22. 10. 二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，给出下列说法： abc0；方程 ax2+bx+c0 的根为 x11、x23；当 x1 时，y 随 x 值的增大而减小；当 y0 时，1x3其中正确的说法是 【分析】根据抛物线的开口方向确定 a 的取值范围；根据对称轴的位置确定 b 的取值范围；根据抛物线与 y 轴的交点确定 c 的取值范围； 根据图象与 x 轴的交点坐标确定方程 ax2+bx+c0 的根，也可以确定当 y0 时 x 的取值范围；根据抛物线 的

26、开口方向和对称轴我的抛物线的增减性 【解答】：抛物线的开口方向向下，a0， 对称轴在 y 轴的右边，b0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方，c0，abc0，故正确； 根据图象知道抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1 或 x3， 方程 ax2+bx+c0 的根为 x11、x23，故正确； 根据图象知道当 x1 时，y 随 x 值的增大而减小，故正确； 根据图象知道当 y0 时，1x3，故正确 故选 三、解答题三、解答题 11. （2018吉林）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途 改为步行，到达图书馆恰好用 30min小东骑自行车以 300m

27、/min 的速度直接回家，两人离家的路程 y（m） 与各自离开出发地的时间 x（min）之间的函数图象如图所示 （1）家与图书馆之间的路程为 4000 m，小玲步行的速度为 200 m/min； （2）求小东离家的路程 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）求两人相遇的时间 【分析】（1）认真分析图象得到路程与速度数据； （2）采用方程思想列出小东离家路程 y 与时间 x 之间的函数关系式； （3）两人相遇实际上是函数图象求交点 【解答】解：（1）结合题意和图象可知，线段 CD 为小玲路程与时间函数图象，折现 OAB 为为小东 路程与时间图象 则家与图书馆之间路程为 40

28、00m，小玲步行速度为 2000 10=200m/s 故答案为：4000，200 （2）小东从离家 4000m 处以 300m/min 的速度返回家，则 xmin 时， 他离家的路程 y=4000300x 自变量 x 的范围为 0x （3）由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前 4000300x=200x 解得 x=8 两人相遇时间为第 8 分钟 12. 如图所示，四边形 ABCD 是菱形，边 BC 在 x 轴上，点 A（0，4） ，点 B（3，0） ，双曲线 y= k x 与直线 BD 交于点 D、点 E （1）求 k 的值； （2）求直线 BD 的解析式； （3）求CDE 的面积 【解答

29、】解： （1）点 A（0，4） ，点 B（3，0） ， OA=4，OB=3， 由勾股定理得：AB=5， 过 D 作 DFx 轴于 F，则AOB=DFC=90 ， 四边形 ABCD 是菱形， AB=DC=CD=AD=5，ADBC， AO=DF=4， ADBC，AOOB，DFx 轴， DAO=AOF=DFO=90 ， 四边形 AOFD 是矩形， AD=OF=5， D 点的坐标为（5，4） ， 代入 y= k x 得：k=5 4=20； （2）设直线 BD 的解析式为 y=ax+b， 把 B（3，0） ，D（5，4）代入得： 30 54 ab ab ， 解得：a=2，b=6， 所以直线 BD 的解析

30、式是 y=2x6； （3）由（1）知：k=20， 所以 y= 20 x ， 解方程组 20 26 y x yx 得： 1 1 5 4 x y ， 2 2 2 10 x y ， D 点的坐标为（5，4） ， E 点的坐标为（2，10） ， BC=5， CDE 的面积 S=SCDB+SCBE= 1 5 4 2 + 1 5 10 2 =3 5 13. （2018眉山）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只 4 元，按要求在 20 天内完成为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第 x 天生产的粽子数 量为 y 只，y 与 x 满足如下关系： y= （1

31、）李明第几天生产的粽子数量为 280 只？ （2）如图，设第 x 天生产的每只粽子的成本是 p 元，p 与 x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画若李 明第 x 天创造的利润为 w 元， 求 w 与 x 之间的函数表达式， 并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？ （利润=出厂价成本） 【分析】（1）把 y=280 代入 y=20x+80，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本 p 与 x 之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到 W 与 x 的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答； 【解答】解：（1）设李明第 x 天生产的粽子数量为 280 只， 由

32、题意可知：20x+80=280， 解得 x=10 答：第 10 天生产的粽子数量为 420 只 （2）由图象得，当 0x10 时，p=2； 当 10x20 时，设 P=kx+b， 把点（10，2），（20，3）代入得， 解得， p=0.1x+1， 0x6 时，w=（42） 34x=68x，当 x=6 时，w最大=408（元）； 6x10 时，w=（42） （20x+80）=40x+160， x 是整数， 当 x=10 时，w最大=560（元）； 10x20 时，w=（40.1x1） （20x+80）=2x2+52x+240， a=30， 当 x=13 时，w最大=578（元）； 综上，当 x=13 时，w 有最大值，最大值为 578