第11讲 思想方法性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)
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1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 1111 思想方法性问题思想方法性问题 【难点突破】着眼思路,方法点拨【难点突破】着眼思路,方法点拨, 疑难突破;疑难突破; 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,是解决数学问题的根本策略数学思 想方法是把知识转化为能力的桥梁,灵活运用各种数学思想方法是提高解题能力的根本所在. 因此,在复习 时要注意总结体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法,培养用数学思想方法解决问 题的意识和能力 类型一 分类讨论思想 分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素,无法用统一的方法或结论给
2、出统一的表述 时,按可能出现的所有情况来分别讨论,得出各情况下相应的结论分类的原则:(1)分类中的每一部分是 相互独立的;(2)一次分类必须是同一个标准;(3)分类讨论要逐级进行;(4)分类必须包含所有情况,既不能 重复,也不能有遗漏 类型二 数形结合思想 数形结合思想是把抽象思维和形象思维结合起来分析问题,将抽象的数学语言和直观的图形语言结合 起来表示问题,从而解决问题的数学思想运用数形结合思想解决问题,关键是要找到数与形的契合点数 形结合在不等式(组)、函数等知识中有着广泛的应用,综合题中始终渗透着对数形结合思想的考查 类型三 转化与化归思想 转化与化归思想是一种最基本的数学思想,用于解决
3、问题时的基本思想是化未知为已知,把复杂的问 题简单化,把生疏的问题熟悉化,把非常规的问题化为常规问题,把实际问题数学化,实现不同的数学问 题间的相互转化,这也体现了把不易解决的问题化为有章可循、容易解决问题的思想 类型四 数学建模思想 数学建模思想就是构造数学模型的思想,即用数学的语言公式、符号、图表等刻画一个实际问题, 然后经过数学的处理计算解决问题利用模型思想解决问题的关键:(1)抓住关键的字、词、句,把生 活中的语言转化为数学语言,结合生活中的经验,灵活运用数学知识进行解决;(2)充分利用各种数学思想 把实际问题转化为数学问题,然后解答 【名【名师原创】原创检测,关注素养,提炼主题;师原
4、创】原创检测,关注素养,提炼主题; 【原创【原创 1】若关于 x 的一元二次方程 mx24x+3=0 的一个根是 3,以此方程的两根为边长的等腰三角形的周 长是( ) A5 B7 C5 或 7 D9 【解析】 :【解析】 : 把 3 代入 mx24x+3=0 中, 得 m=1, 解方程 x24x+3=0 得另一根为 1, 若等腰三角形的腰长为 1, 则三边分别是 1,1,3,不能构成三角形,若腰长为 3,三边分别是 1,3,3,能构成三角形,则周长为 7故选 B 【原创【原创 2】如图,将矩形 ABCD(纸片)折叠,使点 B 与 AD 边上的点 K 重合,EG 为折痕;点 C 与 AD 边 上
5、的点 K 重合,FH 为折痕已知1=67.5 ,2=75 ,EF=+1,求 BC 的长是 【分析】由题意知3=180 21=45 、4=180 22=30 、BE=KE、KF=FC,作 KMBC,设 KM=x, 知 EM=x、MF=x,根据 EF 的长求得 x=1,再进一步求解可得 【解答】由题意,得:3=180 21=45 ,4=180 22=30 ,BE=KE、KF=FC, 如图,过点 K 作 KMBC 于点 M, 设 KM=x,则 EM=x、MF=x, x+x=+1, 解得:x=1, EK=、KF=2, BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+, BC 的长为 3+ 【原创【原创
6、3】如图所示,以正方形 ABCD 平行于边的对称轴为坐标轴建立直角坐标系,若正方形的边长为 4 (1)求过 B、E、F 三点的二次函数的解析式; (2)求此抛物线的顶点坐标(先转化为点的坐标,再求函数解析式) 【分析】(1)根据 B、E、F 三点的坐标,设函数解析式为 y=ax2+bx+c,即可求解;(2)把函数解析式化 为顶点式后即可得出答案 【解答】解:(1)由题意知:点 B(2,2),点 E(0,2),点 F(2,0), 分别代入 y=ax2+bx+c, 解得:a=,b=,c=2, 故函数解析式为:; (2)y=x2+x+2=+, 顶点坐标为(,) 【原创【原创 4】为了调查平昌冬奥会某
7、项目参赛运动员的年龄情况,奥组委做了一次年龄抽样调查,根据运动员 的年龄绘制出如下两幅不完整的统计图 请你根据以上提供的信息,解答下列问题: (1)请结合计算结果补全条形统计图. (2)请用样本思想求这组运动员年龄数据的平均数、众数和中位数 (3)请计算 20 岁运动员所对的圆心角的度数,若参参赛运动员有 1920 人,据此猜测 20 岁的运动员有多 少名? 分析: (1)条形统计图中 19 岁的人数为 10 人,结合扇形统计图可知占被调查总人数的 1 6 ,因此得总人数 为 60 人,求差可以得到 21 岁的运动员有 12 名;结合计算结果补全统计图。 (2)根据平均数、众数和中位数的定义求
8、解即可 (3)解: (1) 601 3606 ,所以 19 岁的人数占被调查总人数的 1 6 , 所以调查的总人数为 101 6 =60(人) , 所以 21 岁的运动员有 60-4-10-16-18=12(人) ; 补全条形统计图如下: (2)平均数=(18 4+19 10+20 16+21 12+22 18) 60=20.5, 22 出现 18 次,次数最多,众数为 22; 60 个数据顺序排列,第 30,31 两数的平均数为中位数,即 2021 20.5 2 , 所以参赛运动员的年龄情况的平均数为 20.5,众数为 22,中位数为 20.5。 (3)计算可得, 16 36096 60 ,
9、 故 20 岁所对的圆心角为 96 样本中 20 岁的运动员约占样本容量的 1 6 , 所以在所有参赛运动员中 20 岁的运动员约占了 1 1920320 6 人. 【原创【原创 5】如图,已知抛物线 2 yaxbxc与 x 轴交于 A(-2,0) ,B(4,0)两点,与 y 轴交于 C(0,2) , 直线ykxb过 C、B 两点,点 P 是抛物线 2 yaxbxc在第一象限内一动点,过点 P 作 PEx 轴, 垂足为 E,交直线ykxb于点 F 图2 图1 F E P O x y AB C C BA y x O (1)试求该抛物线的表达式; (2)若 PF=EF,求 P 点的坐标; (3)设
10、 Q 为 x 轴一点,在抛物线上是否存在点 D 使得以点 D,C,O,Q 为顶点的四边形为平行四边形,若存 在求出点 D 的坐标,否则,请说明理由. 分析: (1)将 A(-2,0) ,B(4,0)代入交点式+24ya xx,再将 C(0,2)代入,求得解析式为 2 11 2 42 yxx ; (2) 求得直线 BC 的解析式为 1 +2 2 yx , 设 P (m, 2 11 2 42 mm) , 则 F (m, 1 +2 2 m) , 当 PF=EF 时,则 PE=2EF,列方程求解即可; (3)已知平行四边形的对边平行且相等,所以 CO=DQ,得 D 的纵坐标为-2 或 2,代入求得符合
11、条件的横 坐标即可。 解: (1)将 A(-2,0) ,B(4,0)代入两根式得+24ya xx, 再将 C(0,2)代入,解得 1 4 a , 抛物线的表达式为 2 11 2 42 yxx . (2)由 C(0,2) ,B(4,0)在直线ykxb上得 04 2 kb b , 解得 1 2 2 k b , 1 +2 2 yx . 设 P(m, 2 11 2 42 mm) ,则 F(m, 1 +2 2 m) , PF=EF,PE=2EF, 得 2 111 22+2 422 mmm, 解得 1 2m , 2 4m (舍去) , 则点 P 的坐标为(2,2). (3)存在点 D 使得以点 D,C,O
12、,Q 为顶点的四边形为平行四边形,理由如下: 已知平行四边形的对边平行且相等,所以 CO=DQ,得 D 的纵坐标为-2 或 2 Q D 图3 AB C Ox y 设 D(m, 2 11 2 42 mm) ,由题知 2 11 22 42 mm , 解得 1 117m , 2 117m , 2 11 22 42 mm, 34 0,2mm舍去, 因此可得 D 坐标为 117, 2, 117, 2,2,2. 【典题精练】典例精讲,运筹帷幄,举一反三;【典题精练】典例精讲,运筹帷幄,举一反三; 【例题【例题 1】分类讨论思想】分类讨论思想 (2018 临沂中考)将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 (
13、0360 ),得到矩形 AEFG. (1)如图,当点 E 在 BD 上时,求证:FDCD; (2)当 为何值时,GCGB?画出图形,并说明理由 【分析】 (1)先判定四边形 BDFA 是平行四边形,可得 FDAB,再根据 ABCD,即可得出 FDCD; (2)当 GCGB 时,点 G 在 BC 的垂直平分线上,分情况讨论,即可得到旋转角 的度数 【解答】(1)如图 1,连接 AF. 由四边形 ABCD 是矩形,结合旋转可得 BDAF,EAFABD. ABAE,ABDAEB, EAFAEB,BDAF, 四边形 BDFA 是平行四边形,FDAB. ABCD,FDCD. (2)如图 2,当点 G 位
14、于 BC 的垂直平分线上,且在 BC 的右边时,连接 DG,CG,BG, 易知点 G 也是 AD 的垂直平分线上的点,DGAG. 又AGAD, ADG 是等边三角形, DAG60 ,60 . 如图 3,当点 G 位于 BC 的垂直平分线上,且在 BC 的左边时,连接 CG,BG,DG, 同理,ADG 是等边三角形, DAG60 ,此时 300 . 综上所述,当 为 60 或 300 时,GCGB. 【归纳】在数学中,如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况,难以统一解答,那么就需要按可能出 现的各种情况分类讨论,最后综合归纳问题的正确答案 【例题【例题 2】数形结合思想】数形结合思想 如图,在
15、在四边形 ABCD 中,ADBC,B=90 ,且 AD=12cm,AB=8cm,DC=10cm,若动点 P 从 A 点 出发,以每秒 2cm 的速度沿线段 AD 向点 D 运动;动点 Q 从 C 点出发以每秒 3cm 的速度沿 CB 向 B 点运 动,当 P 点到达 D 点时,动点 P、Q 同时停止运动,设点 P、Q 同时出发,并运动了 t 秒,回答下列问题: (1)BC= 18 cm; (2)当 t= 秒时,四边形 PQBA 成为矩形 (3)当 t 为多少时,PQ=CD? (4)是否存在 t,使得DQC 是等腰三角形?若存在,请求出 t 的值;若不存在,说明理由 【解答】解:根据题意得:PA
16、=2t,CQ=3t,则 PD=ADPA=122t, (1)如图,过 D 点作 DEBC 于 E,则四边形 ABED 为矩形, DE=AB=8cm,AD=BE=12cm, 在 RtCDE 中,CED=90 ,DC=10cm,DE=8cm, EC=6cm, BC=BE+EC=18cm 故答案为 18; (2)ADBC,B=90 当 PA=BQ 时,四边形 PQBA 为矩形, 即 2t=183t, 解得 t=秒, 故当 t=秒时,四边形 PQBA 为矩形; 故答案为; (3) 当 PQCD 时,如图, ADBC, 四边形 CDPQ是平行四边形, PQ=CD,DP=CQ, 122t=3t, t=秒,
17、如图,梯形 PDCQ 是等腰梯形时,PQ=CD, 易证,四边形 PDEF 是矩形, EF=DP=122t, 易证,CDEQPF, FQ=CE=6, CQ=FQ+EF+CE=6+122t+6=3t, t= (4)DQC 是等腰三角形时,分三种情况讨论: 当 QC=DC 时,即 3t=10, t=; 当 DQ=DC 时, =6, t=4; 当 QD=QC 时,3t=5, t= 故存在 t,使得DQC 是等腰三角形,此时 t 的值为秒或 4 秒或秒 【归纳】把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来,并充分利用这种结合寻找解题的思 路,使问题得以解决 【例题【例题 3】转化与化归思想】转化
18、与化归思想 (2017 江西中考)如图 1,研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角” 约为 20 ,而当手指 接触键盘时,肘部形成的“手肘角” 约为 100 .图 2 是其侧面简化示意图,其中视线 AB 水平,且与屏幕 BC 垂直 (1)若屏幕上下宽 BC20 cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕的最短距离 AB 的长; (2)若肩膀到水平地面的距离DG100 cm,上臂DE30 cm,下臂EF水平放置在键盘上,其到地面的距离 FH72cm.请判断此时 是否符合科学要求的 100 ? (参考数据:sin 6914 15,cos 21 14 15,tan 20 4 11,tan 43
19、 14 15,所有结果精确到个位) 【分析】 (1)在 RtABC 中利用三角函数即可直接求解; (2)延长 FE 交 DG 于点 I,利用三角函数求得DEI 即可求得 的度数,从而作出判断 【解答】(1)RtABC 中,tan ABC AB, AB BC tan A BC tan 20 20 4 11 55(cm) (2)如图,延长 FE 交 DG 于点 I,则四边形 GHFI 为矩形, IGFH, DIDGFH1007228(cm) 在 RtDEI 中,sinDEI DI DE 28 30 14 15, DEI69, 180 69 111100, 此时 不符合科学要求的 100 . 【归纳
20、】把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题可以有效地解决问题在解三角形中,将非直角三 角形问题转化为解直角三角形问。 【例题 4】方程思想方程思想 (2018 娄底中考)如图,C,D 是以 AB 为直径的O 上的点,AC BC ,弦 CD 交 AB 于点 E. (1)当 PB 是O 的切线时, 求证:PBDDAB; (2)求证:BC2CE2CE DE; (3)已知 OA4,E 是半径 OA 的中点,求线段 DE 的长 【分析】 (1)由 AB 是O 的直径知BADABD90 ,由 PB 是O 的切线知PBDABD90 , 据此可得证; (2)连接OC,设圆的半径为r,证ADECBE,由AC B
21、C 知AOCBOC90 ,再根据勾股定理即 可得证; (3)先求出 BC,CE,再根据 BC2CE2CE DE 计算可得 【解答】 (1)AB 是O 的直径, ADB90 ,BADABD90 . PB 是O 的切线, ABP90 ,PBDABD90 , BADPBD. (2)ADCB,AEDCEB, ADECBE, DE BE AE CE,即 DE CEAE BE. 如图,连接 OC. 设圆的半径为 r, 则 OAOBOCr, 则 DE CEAE BE(OAOE)(OBOE)r2OE2. AC BC , AOCBOC90 , CE2OE2OC2OE2r2, BC2BO2CO22r2, 则 BC
22、2CE22r2(OE2r2)r2OE2, BC2CE2DE CE. (3)OA4,OBOCOA4, BC OB2OC24 2. 又E 是半径 OA 的中点, AEOE2, 则 CE OC2OE2 42222 5. BC2CE2DE CE, (4 2)2(2 5)2DE 2 5, 解得 DE6 5 5 . 【归纳】在解决数学问题时,有一种从未知转化为已知的手段就是设元,寻找已知与未知之间的等量关 系,构造方程或方程组,然后求解方程完成未知向已知的转化 【例题【例题 5】函数思想】函数思想 (2017 杭州中考)在面积都相等的所有矩形中,当其中一个矩形的一边长为 1 时,它的另一边长为 3. (1
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- 第11讲 思想方法性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲解析版 11 思想 方法 问题 2019 年中 数学 复习 巅峰 冲刺 28 解析
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