第10讲 折叠翻转性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)
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1、20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 1010 折叠翻转性问题折叠翻转性问题 【难点突破】着眼思路,方法点拨【难点突破】着眼思路,方法点拨, 疑难突破;疑难突破; 有关图形折叠的相关计算,首先要熟知折叠是一种轴对称变换,即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴 对称;然后根据图形折叠的性质,即折叠前、后图形的对应边和对应角相等,对应点的连线被折痕垂直平 分进行相关计算,折叠问题常常伴随着勾股定理,这是解决问题的关键所在 图形的折叠通常和动点问题结合在一起进行考查,常见的问题类型有以下 3 种: (1)求线段的取值范 围; (2)求最值问题; (3)分类讨论线段长
2、度. 其中第(3)种类型在河南中招考试中为常考类型,解决此 类型题,一般运用等量代换,并结合勾股定理或相似三角形的性质来构造方程,进而求解线段的长度. 【名师原创】原创检测,关注素养,提炼主题;【名师原创】原创检测,关注素养,提炼主题; 【原创【原创 1】如图,把一张长方形纸片 ABCD 进行折叠之后,恰好使其对角顶点 A 与 C 能够重合,且使的折 痕与 BC 的交点恰好在其三等分点处,则下列图形长度能够满足题意的是( ) AAB=10,BC=20 B AB=10,BC=30 C AB=103,BC=20 D AB=103,BC=30 【解析】 :根据折叠图形的性质,利用勾股定理求出 AF=
3、2BF,AB=3BF,由此即可判定 D 正确 解:选项 D 正确理由是根据题意可知 AF=2BF,利用勾股定理或者 30 的直角三角形判断计算 AB= AB=3BF, 根据线段之间的关系可选得答案。故选 D 【原创【原创 2】如图,D 是等边ABC 边 AB 上的一点,且 AD:DB=1:3,现将ABC 折叠,使点 C 与 D 重 合,折痕为 EF,点 E,F 分别在 AC 和 BC 上,则 CE:CF=_ 【解析】【解析】设 AD=k,则 DB=3k, ABC 为等边三角形, AB=AC=4k,A=B=C=EDF=60 , EDA+FDB=120 , 又EDA+AED=120 , FDB=A
4、ED,AEDBDF, 由折叠,得 CE=DE,CF=DF AED 的周长为 5k,BDF 的周长为 7k, AED 与BDF 的相似比为 5:7 CE:CF=DE:DF=5:7 故答案为 5:7 【原创【原创 3】如图 1,矩形 OABC 的对角线 OB、AC 相交于点 D,,OC6,sinBOC= 4 5 .反比例函数 y k x (x 0)的图像经过点 D, (1)求反比例函数的关系式; (2)如图 2,将 AOC 沿过 C 点的直线折叠,使点 A 落在 x 轴上的点 E 处,折痕所在直线交 y 轴正半轴 于点 F,求直线 CF 的解析式. (3)如图 3,将图 2 中的直线 CF 向上平
5、移 m 个单位,与反比例函数 y k x (x0)的图像相交,当直线与反 比例函数的图像只有一个交点时,求 m 的值. 解解:(1)作 DMx 轴,四边形 OABC 是矩形,D 为 BO 的中点, OCBC,DMxDM= 1 2 BC,OM= 1 2 OC OC6,sinBOC= 4 5 设 BC=4x,OC=3x,则 OB=5x 得,OC6,解得 x=2,所以 BC=8,DM=4 D(3,4) 代入 y k x ,k12反比例函数的关系式为:y 12 x (2)OC=6,BC=8 M OB=AC=10 将 AOC 沿过 C 点的直线折叠得到 CEF, ACFECF AF=EF,AC=EC=1
6、0 OE=4 设 OF=x,则 AF=EF=8-x 由勾股定理得(8-x)2-x2=16 解得 x=3, F 点的坐标为(0,3) 设直线 CF 的解析式为 y=tx+b,把 C(6,0)C(0,3)代入得 t=- 1 2 ,b=3 直线 CF 的解析式为 y= 1 2 x+3 (3)设平移后的直线解析式为 y= 1 2 x+3+m 由 12 x = 1 2 x+3+m 得 x2-(6+2m)x+24=0 平移后的直线与反比例函数的图像只有一个交点 =(6+2m)2-96=0 解得 m1=2 63m2=2 63(舍去) m 的值为2 63 【典题精练】典例精讲,运筹帷幄,举一反三;【典题精练】
7、典例精讲,运筹帷幄,举一反三; 【例题【例题 1】求线段的取值范围求线段的取值范围: 如图,有一矩形纸片 ABCD,AB=8,AD=17,将此矩形纸片折叠,使顶点 A 落在 BC 边的 A处,折痕所在 直线同时经过边 AB、AD(包括端点) ,设 BA=x,则 x 的取值范围是 分析:作出图形,根据矩形的对边相等可得 BC=AD,CD=AB,当折痕经过点 D 时,根据翻折的性质可得 AD=AD,利用勾股定理列式求出 AC,再求出 BA;当折痕经过点 B 时,根据翻折的性质可得 BA=AB, 此两种情况为 BA的最小值与最大值的情况,然后写出 x 的取值范围即可 解:如图,四边形 ABCD 是矩
8、形,AB=8,AD=17,BC=AD=17,CD=AB=8, 当折痕经过点 D 时,由翻折的性质得,AD=AD=17, 在 RtACD 中,AC= 22 A DCD= 22 178=15, BA=BCAC=1715=2; 当折痕经过点 B 时,由翻折的性质得,BA=AB=8, x 的取值范围是 2x8故答案为:2x8 归纳:本题考查了翻折变换的性质,勾股定理的应用,难点在于判断出 BA的最小值与最大值时的情况,作 出图形更形象直观 【例题【例题 2】求最值问题求最值问题: 如图,现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD,点 P 为正方形 AD 边上的一点(不与点 A,D 重合),将正方 形纸
9、片折叠,使点 B 落在 P 处,点 C 落在 G 处,PG 交 DC 于点 H,折痕为 EF,连结 BP,BH. (1)求证:APBBPH. (2)当点 P 在边 AD 上移动时,PDH 的周长是否发生变化?并证明你的结论 (3)设 AP 为 x,四边形 EFGP 的面积为 S,求出 S 关于 x 的函数表达式,试问 S 是否存在最小值?若存在, 求出这个最小值;若不存在,请说明理由 解:(1)由折的叠性质,得 PEBE,EPHEBC90 ,EBPEPB, EPHEPBEBCEBP,即PBCBPH. 又ADBC,APBPBC. APBBPH. (2)PHD 的周长不变,为定值 8.证明如下:
10、如解图,过点 B 作 BQPH,垂足为 Q. 由(1)知APBBPH, 又ABQP90 ,BPBP, ABPQBP.APQP,ABBQ. 又ABBC,BCBQ. 又CBQH90 ,BHBH, BCHBQH.CHQH. PDH 的周长PDPHDHPDPQQHDHPDHCAPDHADCD8. (3)如解图,过点 F 作 FMAB,垂足为 M,则 FMBCAB. 又EF 为折痕,EFBP. EFMMEFABPBEF90 , EFMABP. 又AEMF90 ,EFMPBA. EMAPx. 在 RtAPE 中,AE2AP2PE2,即(4BE)2x2BE2, 解得 BE2x 2 8 . CFBEEM2x
11、2 8 x. 又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等, S1 2(BECF) BC 1 2 4x 2 4 x 4, 即 S1 2x 22x8. 配方得,S1 2(x2) 26, 当 x2 时,S 有最小值 6. 【例题【例题 3】分类讨论线段长度分类讨论线段长度. 对一张矩形纸片 ABCD 进行折叠,具体操作如下: 第一步:先对折,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 MN,展开 第二步:再一次折叠,使点 A 落在 MN 上的点 A处,并使折痕经过点 B,得到折痕 BE,同时,得到线段 BA,EA,展开,如图. 第三步:再沿EA所在的直线折叠,使点B落在AD上的点B处,得到折痕EF,同时得
12、到线段BF,展开, 如图. (1)求证:ABE30 . (2)求证:四边形 BFBE 为菱形 解:(1)对折后 AD 与 BC 重合,折痕是 MN, 点 M 是 AB 的中点, A是 EF 的中点 BAEA90 , BA垂直平分 EF, BEBF, ABEABF. 由折叠的性质,得ABEABE, ABEABEABF, ABE1 3 90 30 . (2)由折叠的性质,得 BEBE,BFBF. BEBF, BEBEBFBF,故四边形 【例题 4】涉及折叠的函数与几何图形综合问题: 已知抛物线 yx22xa(a0)与 y 轴相交于点 A,顶点为 M.直线 y1 2xa 分别与 x 轴,y 轴相交于
13、 B,C 两点,并且与直线 AM 相交于点 N. (1)填空:试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标,则点 M()1,a1 ,N 4 3a, 1 3 a . (2)如图,将NAC 沿 y 轴翻折,若点 N 的对应点 N恰好落在抛物线上,AN与 x 轴交于点 D,连结 CD, 求 a 的值和四边形 ADCN 的面积 (3)在抛物线 yx22xa(a0)上是否存在一点 P,使得以 P,A,C,N 为顶点的四边形是平行四边形?若 存在,求出 P 点的坐标;若不存在,试说明理由 解:(1)点 M()1,a1 ,N 4 3a, 1 3 a . (2)由题意得:点 N 与点 N关于 y 轴对称
14、, 点 N 4 3a, 1 3a , 将点 N的坐标代入 yx22xa 得1 3a 16 9 a28 3aa,解得 a10(不合题意,舍去),a2 9 4. 点 N 3,3 4 ,点 N 到 y 轴的距离为 3. 点 A 0,9 4 ,N 3,3 4 , 直线 AN的表达式为 yx9 4,它与 x 轴的交点为 D 9 4,0 , 点 D 到 y 轴的距离为9 4. S四边形ADCNSACNSACD 1 2 9 2 3 1 2 9 2 9 4 189 16 . (3)当点 P 在 y 轴的左侧时,若 ACPN 是平行四边形,则 PN 平行且等于 AC, 把点 N 向上平移2a 个单位得到点 P,
15、坐标为 4 3a, 7 3a ,代入抛物线的表达式, 得7 3a 16 9 a28 3aa, 解得 a10(不合题意,舍去),a23 8, 点 P 1 2, 7 8 . 当点 P 在 y 轴的右侧时,若 APCN 是平行四边形,则 AC 与 PN 互相平分, OAOC,OPON. P 与 N 关于原点对称,点 P 4 3a, 1 3a , 将点 P 的坐标代入抛物线的表达式,得1 3a 16 9 a28 3aa,解得 a10(不合题意,舍去),a2 15 8 , 点 P 5 2, 5 8 . 存在这样的点 P1 1 2, 7 8 或 P2 5 2, 5 8 ,能使得以 P,A,C,N 为顶点的
16、四边形是平行四边形 【最新试题】名校直考,巅峰冲刺,一步到位。【最新试题】名校直考,巅峰冲刺,一步到位。 一、选择题:一、选择题: 1. 如图,D 是等边ABC 边 AB 上的一点,且 AD=1,BD=2,现将ABC 折叠,使点 C 与 D 重合,折痕 EF,点 E、F 分别在 AC 和 BC 上,若 BF=1.2,则 AE=( ) A. B. C. D. 【解析】:ABC 为等边三角形, AC=AB=3,A=B=C=60 由翻折的性质可知:EDF=60 FDB+EDA=120 EDA+AED=120 , AED=FDB AEDBDF AEBD ADFB ,即 2 11.2 AE 解得:AE=
17、 5 3 CE=3-AE=3- 5 3 = 4 3 故选:B 2. 如图,将边长为 4的菱形 ABCD 纸片折叠,使点A 恰好落在对角线的交点O 处若折痕 EF2 3,则A ( ) A120 B100 C60 D30 【解析】 如答图,连结 AC,四边形 ABCD 是菱形,ACBD, A 沿 EF 折叠与 O 重合,EFAC,EF 平分 AO, ACBD,EFBD,E,F 分别为 AB,AD 的中点, EF 为ABD 的中位线,EF1 2BD, BD2EF4 3,BO2 3,AO AB2BO22, AO1 2AB,ABO30 ,BAO60 , BAD120 . 3. 如图, 正方形 ABCD
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- 圆知识综合问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲解析版
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