第09讲 方案设计性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲（原卷版）

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1、 20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 0909 方案设计性问题方案设计性问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要如让学生设计图形、设计测量方 案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主 方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题题型主 要包括： 1根据实际问题拼接或分割图形； 2利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等 方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境

2、，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这 类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视 解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适 合题意的最佳方案 解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建 的数学模型求解，从而设计方案，科学决策. 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1】为了迎接全市的“传统文化体验教育现场会”，我校需要购进一批圆珠笔和笔记本，通过调查发现 购买 3 支圆珠笔和 4 本笔记本需要 18 元；购买 2

3、 支圆珠笔和 1 本笔记本需要 7 元。 （1） 求圆珠笔和笔记本的单价各是多少元？ 学校计划购进圆珠笔和笔记本共 900 件， 其中笔记本的件数不少于圆珠笔的件数， 并且计划消费不超过 1355 元，请问共有几种购买方案？ 【原创【原创 2】李老师利用 2018 年寒假期间做起了微商，通过对市场行情了解到两种水果销路比较好，一种是 冰糖橙，一种是睡美人西瓜，通过一周的内两次的订货购进情况分析发现，买 40 箱冰糖橙和 15 箱睡美人 西瓜花去 2000 元，买 20 箱冰糖橙和 30 箱睡美人西瓜花去 1900 元。 （1）请求出这两种水果每箱的价格是多少元？ （2）李老师为了满足春节需求采

4、用薄利多销的方式，冰糖橙每箱以 40 元价格出售，西瓜以每箱 50 元的价 格出售，共购进了这两种水果 200 箱，但是每种水果进货箱数不能少于 30 箱，获得的利润为 W 元，购进 的冰糖橙箱数为 a 箱，求 W 关于 a 的函数关系式，并写出 a 取值范围； （3）在条件（2）的销售情况下，冰糖橙的箱数不能超过西瓜的 5 倍，请你设计下进货方案，并计算出李 老师能获得的最大利润是多少？ 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；反三； 【例题【例题 1】利用方程（组）进行方案设计利用方程（组）进行方案设计 学校 6 名教师和 234 名学生集体外出活动，

5、准备租用 45 座大车或 30 座小车若租用 1 辆大车 2 辆小车共 需租车费 1000 元；若租用 2辆大车 1 辆小车共需租车费 1100 元 (1)求大、小车每辆的租车费各是多少元； (2)若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过 2300 元，求最省钱的租车方案 【例题【例题 2】利用不等式（组）进行方案设计利用不等式（组）进行方案设计 为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了 3 台甲型和 2 台乙型污水处理设备，共花 费资金 54 万元， 且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的 75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水 200 吨，每台乙型设备每月能处理污水

6、160 吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为 1 万元，每年 用于每台乙型设备的各种维护费和电费为 1.5 万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加， 于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共 8 台用于二期工程的污水处理，要求本次购买资金不超过 84 万元， 预计二期工程完成后每月将产生不少于 1300 吨污水. （1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？ （2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买案； （3）若两种设备的使用年限都为 10 年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总 费用设备购买费各种维护费和电费） 【例题【例题

7、 3】利用方程（组） 、不等式（组）综合知识进行方案设计利用方程（组） 、不等式（组）综合知识进行方案设计 为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品已知 5 个文具 盒、2 支钢笔共需 100 元；4 个文具盒、7 支钢笔共需 161 元 (1)每个文具盒、每支钢笔各多少元？ (2)时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔 10 支以上超出部分 “八折”优惠若买 x 个文具盒需要 y1元，买 x 支钢笔需要 y2元，求 y1、y2关于 x 的函数关系式； (3)若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过 10 件，请你分析

8、买哪种奖品省钱 【例题【例题 4】利用函数知识进行方案设计利用函数知识进行方案设计 （2018 浙江省台州 12 分）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的 销售进行预测，井建立如下模型：设第 t 个月该原料药的月销售量为 P（单位：吨） ，P 与 t 之间存在如图所 示的函数关系，其图象是函数 P= 120 4t （0t8）的图象与线段 AB 的组合；设第 t 个月销售该原料药每 吨的毛利润为 Q（单位：万元） ，Q 与 t 之间满足如下关系：Q= 28,012 44,1224 tt tt （1）当 8t24 时，求 P 关于 t 的函数解析式； （2）设第 t

9、 个月销售该原料药的月毛利润为 w（单位：万元） 求 w 关于 t 的函数解析式； 该药厂销售部门分析认为，336w513 是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范 围所对应的月销售量 P 的最小值和最大值 【例题【例题 5】利用几何知识进行方案设计利用几何知识进行方案设计 手工课上,老师要求同学们将边长为 4cm 的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四 个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积(注： 不同的分法, 面积可以相等) 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 一

10、、选择题：一、选择题： 1. 下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程 的图案有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 2. 今年四月份，李大叔收获洋葱 30 吨，黄瓜 13 吨.现计划租用甲、乙两种货车共 10 辆将这两种蔬菜全部 运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱 4 吨和黄瓜 1 吨，一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各 2 吨.李大叔 安排甲、乙两种货车时有( )种方案. A.1 B.2 C.3 D.4 3. 宜宾市某化工厂,现有 A 种原料 52 千克,B 种原料 64 千克,现用这些原料生产甲、 乙两种产品共 20 件.已知 生

11、产 1 件甲种产品需要 A 种原料 3 千克,B 种原料 2 千克;生产 1 件乙种产品需要 A 种原料 2 千克,B 种原料 4 千克,则生产方案的种数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 4. 某移动通讯公司提供了A、B两种方案的通讯费用 y（元）与通话时间 x（分）之间的关系，如图所示， 则以下说法错误 的是（ ） A若通话时间少于 120 分，则A方案比B方案便宜 20 元 B若通话时间超过 200 分，则B方案比A方案便宜 12 元 C若通讯费用为 60 元，则B方案比A方案的通话时间多 D若两种方案通讯费用相差 10 元，则通话时间是 145 分或 185 分 5. (2018

12、 滨州中考)如图，在一张ABC 纸片中，C=90 ，B=60 ，DE 是中位线，现把纸片沿中位线 DE 剪开，计划拼出以下四个图形：邻边不等的矩形；等腰梯形；有一个角为锐角的菱形；正方形.那 么以上图形一定能被拼成的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：二、填空题： 6. （2018湖南省永州市4 分）现有 A、B 两个大型储油罐，它们相距 2km，计划修建一条笔直的输油管道， 使得 A、B 两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为 0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案 有 种 7. 某市有甲、 乙两家液化气站,他们的每罐液化气的价格、 质量都相同.为了促销,甲

13、站的液化气每罐降价 25% 销售;乙站的液化气第 1 罐按原价销售,从第 2 罐开始以 7 折优惠销售,若小明家购买 8 罐液化气,则最省钱的 方法是买 站的. 8. 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用 18 元钱买了 1 支钢笔和 3 本笔记本；小亮用 31 元买了同样的钢笔 2 支和笔记本 5 本 (1)每支钢笔的价格为 ；每本笔记本的价格为 ； (2)校运会后，班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共 48 件作为奖品， 奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有 种购买方案？请你一一写 出 9. 从边长为 a 的大正方形纸板

14、中间挖去一个边长为 b 的小正方形后，将其截成四个相同的等腰梯形如图 1，可以拼成一个平行四边形 ABCD如图 2已知A=45 ，AB=8，AD=42则原来的大正方形的 面积为 10. 几何模型： 条件：如下左图，A、B 是直线同旁的两个定点 问题：在直线上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小 方法：作点 A 关于直线的对称点 A ，连结A B交于点P，则PAPBA B的值最小（不必证明） 模型应用： （1） 如图 1，正方形ABCD的边长为 2，E为AB的中点，P是AC上一动点连结BD，由正方形对 称性可知，B与D关于直线AC对称连结ED交AC于P，则PBPE的最小值是_； （2） 如图

15、2，O的半径为 2，点ABC、 、在O上，OAOB，60AOC，P是OB 上一动点， 则PAPC的最小值是_； （3） 如图 3，45AOB，P是AOB内一点，10PO ，QR、分别是OAOB、上的动点， 则PQR 周长的最小值是_ 三、解答题：三、解答题： 11. 某班有学生 55 人，其中男生与女生的人数之比为 65. (1)求出该班男生与女生的人数； (2)学校要从该班选出 20 人参加学校的合唱团，要求：男生人数不少于 7 人；女生人数超过男生人数 2 人以上请问男、女生人数有几种选择方案？ 答：有两种方案，即方案一：男生 7 人，女生 13 人；方案二：男生 8 人，女生 12 人

16、12. 在实施“中小学校舍安全工程”之际，某县计划对A、B 两类学校的校舍进行改造根据预测，改造一所 A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400 万元 (1)改造一所 A 类学校和一所 B 类学校的校舍所需资金分别是多少万元？ (2)该县 A、B 两类学校共有 8 所需要改造改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资 金不超过 770 万元，地方财政投入的资金不少于 210 万元，其中地方财政投入到 A、B 两类学校的改造资 金分别为每所 20 万元和 30 万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中 A、B 两类学校各

17、有几 所 13. 甲乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品。春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品 按 8 折出售，乙商场对一次购物中超过 200 元后的价格部分打 7 折。 设 x(单位：元)表示商品原价,y(单位：元)表示购物金额。 ()根据题意,填写下表：(单位：元) 品价格 物金额 20 80 00 260 商场 6 44 60 08 商场 20 80 00 42 ()分别就两家商场的让利方式，写出 y 关于 x 的函数解析式； ()春节期间，当在同一商场累计购物超过 200 元时，哪家商场的实际花费少? 14. 温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球某制笔企业欲将 n 件

18、产品运往 A，B，C 三地销售，要求 运往 C 地的件数是运往 A 地件数的 2 倍，各地的运费如图所示设安排 x 件产品运往 A 地 (1)当 n200 时， 根据信息填表： A 地 B 地 C 地 合计 产品件数(件) x 2x 200 运费(元) 30x 若运往 B 地的件数不多于运往 C 地的件数，总运费不超过 4000 元，则有哪几种运输方案？ (2)若总运费为 5800 元，求 n 的最小值 15. 某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示),其中四边形 ABCD 是矩形，分别以 AB、BC、CD、DA 边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为 628 米，矩形的边长 AB=y 米

19、,BC=x 米.(注：取 =3.14) (1)试用含 x 的代数式表示 y； (2)现计划在矩形 ABCD 区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为 428 元,在四个半圆的区域上 种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为 400 元； 设该工程的总造价为 W 元，求 W 关于 x 的函数关系式； 若该工程政府投入 1 千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理 由. 若该工程在政府投入 1 千万元的基础上，又增加企业募捐资金 64.82 万元，但要求矩形的边 BC 的长不 超过 AB 长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出 所有可能的设计方案，若不能，请说明理由.