福建省广东省4月联考2020届高三模拟考试数学试卷（文科）含答案解析

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1、高三模拟考试数学（文科）高三模拟考试数学（文科） 考生注意：考生注意： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。 2.请将各题答案填写在答题卡上。 3.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1.已知集合 2 |9 0 , |1Ax xBx x，则AB（ ） A.3,1 B.3,1 C.3, D.1,3 2.已知复数 23 32

2、i z i ，则z （ ） A.i B.i C.1i D.1i 3 在ABC中，内角A BC， ，的对边分别为a，b，c， 4 A ， 12 B ， 3 3c ，则a （ ） A. 2 B.2 2 C.3 2 D.4 2 4.已知 7 80.8 log 9,0.5 ,log10abc，则（ ） A .cab B.bac C.bca D.cba 5.学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况,抽取了一个容量为n的样本，并将得到的数据 分成10,20)，20,30)，30,40)，40,50四组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中支出在 40,50的 同学有 24 人，则n （ ） A

3、.80 B.60 C.100 D.50 6.已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 与抛物线 2 : 16Cyx有相同的焦点F，点F到双曲线E的一条渐近 线的距离为 2，则E的离心率为（ ） A.2 B. 2 C. 3 D. 2 3 3 7.若 6 cos 25 4 ，则 sin 402（ ） A. 1 4 B. 1 4 C. 3 4 D. 3 4 8.十二生肖是十二地支的形象化代表，即子（鼠） 、丑（牛） 、寅（虎） 、卯（兔） 、辰（龙） 、巳（蛇） 、午 （马） 、未（羊） 、申（猴） 、酉（鸡） 、戌（狗） 、亥（猪） ，每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一 种

4、，即自己的属相.现有印着六种不同生肖图案（包含马、羊）的毛绒娃娃各一个，小张同学的属相为马， 小李同学的属相为羊，现在这两位同学从这六个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回） ，则这两位同学都拿到 自己属相的毛绒娃娃的概率是（ ） A. 1 60 B. 1 30 C. 1 90 D. 1 120 9.圆 22 :2430C xyxy 被直线: 10l a xya 截得的弦长的最小值为（ ） A.1 B.2 C. 2 D. 3 10 将函数 ( )sin(3)(0)f xx 图象向左平移 4 个单位长度后得到函数 g x的图象，若直线 6 x 是 g x的图象的一条对称轴，则（ ） A. f x为奇函

5、数 B. g x为偶函数 C. f x在 , 12 3 上单调递减 D. g x在, 15 9 上单调递增 11.已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积 的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（ ） A.8:5 3 B.4:5 3 C.2 3 :5 D.4:11 3 12.已知函数 2 3 |,3 ( ) (3) ,3 x x f x xx ， ( )(3)6g xfx ，则函数 ( )( )yf xg x 的零点个数为（ ） A.0 B.4 C.3 D.2 第第卷卷 二、填空题二、填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，

6、共共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知向量(1,2), (2 , 3)abm m，若ab，则m _. 14.已知实数x y， 满足 10 310 3 xy xy x ，则 2zxy 的最小值是_. 15.已知函数 f x是奇函数，当 0x 时， 1 x f xxe，则 f x的图象在点( 1, ( 1)f处的切线斜率为 _. 16.在正三棱柱 111 - A B CA BC中， 1 4,3 2ABAA，D为AB的中点，则异面直线 1 B D与 11 AC所成角的余 弦值为_；三棱锥 111 DABC的外接球的表面积为_. 三三、解答题：本大题共解答

7、题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说眀、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说眀、证明过程或演算步骤.1721 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题题为选考题,考生根据要求作答考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.已知数列 n a 的前n项和为 n S，且 42 33 nn Sa. （1）求 n a 的通项公式； （2）设2 1 1 log, nnn nn ba c b b ，数列 n c 的前n项和为 n T，证明： 11 32 n T . 18.每个国家对

8、退休年龄都有不一样的规定，从 2018 年开始我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了 了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取 100 人进行调查，调查情况如下表： 年龄段（单位：岁） 15,25 25,35 35,45 45,55 55,65 65,75 被调查的人数 10 15 20 m 25 5 赞成的人数 6 12 n 12 6 2 （1）从赞成“延迟退休”的人中任选 1 人，此人年龄在 35,45的概率为 5 24 ，求出表格中m n， 的值； （2）在被调查的人中，年龄低于 35 岁的人可以认为“低龄人” ，年龄不低于 35 岁的人可以认为“非低龄 人” ，试作出是

9、否赞成“延迟退休”与“低龄与否”的22列联表，并指出有无99%的把握认为是否赞成 “延迟退休”与“低龄与否”有关，并说明理由. 附： 2 2 () , ()()()() n adbc Knabcd ab cd ac bd . 2 0 P Kk 0.100 0.050 0.010 0.005 0 k 2.706 3.841 6.635 7.879 19.如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为直角梯形， 90ADBCADC， 平面PAD 底面ABCD， Q为AD的中点，M是棱PC的中点， 1 4,2,3 2 PAPDBCADCD. （1）证明：平面BQM 平面PAD. （2）求四面体P B

10、QM - 的体积. 20.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为2 6,右焦点与抛物线 2 8yx的焦点重合. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点3,0P关于直线: l y kxm 的对称点Q在C上，求m的取值范围. 21.已知函数 3 ( )(1)lnf xmxmxx e . （1）当0m 时，求 f x的最值； （2）当0m 时，若 f x的两个零点分别为 1212 ,x xxx ，证明： 21 1 xxe e . （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分两题中任选一题作答

11、，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 4 4 xt yt ， （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极 轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 ( 3cos2sin )2. （1）写出曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）若射线 :0,0 2 OA 与曲线 2 C相交于点A，将OA逆时针旋转90后，与曲线 1 C相交于 点B，且| 2 3|OBOA，求a的值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) |2|2 3|f xxx. （1）求不等式 6f x 的解

12、集； （2）若函数 f x的最小值为m，正实数ab，满足 2 2 9 b am，证明： 134 7 7ab . 高三模拟考试数学参考答案（文科）高三模拟考试数学参考答案（文科） 1.B【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力与推理论证能力. 因为| 33Axx 剟所以| 31ABxx. 2.A【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力. 因为 23 32 i zi i ，所以zi . 3.C【解析】本题考查解三角形，考查运算求解能力. 因为, 412 AB ，所以 2 3 CAB ，所以 2 3 3 sin 2 3 2 sin3 2 cA a C . 4.D【解析】本题考查指数与对数

13、函数，考查逻辑推理的核心素养. 因为 88 log 9log 81， 70 00.50.51， 0.80.8 log10log10 ，所以cba. 5.A【解析】本题考查频率分布直方图，考查数据处理能力. 由频率分布直方图可得，支出在 40,50的频率为1(0.010.0240.036) 100.3. 根据题意得 24 0.3 n ，解得80n . 6.D【解析】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力. 由题意知抛物线 2 :16C yx的焦点为4,0F ，所以4c .又因为点F到双曲线E的一条渐近线的距离为 2，所以2b ，从而 22 2 3acb ， 42 3 32 3 c a . 7.

14、A【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力. 令256，则25，所以 6 coscos 25 4 . 因为 sin 402sin 40225sin 902cos2 ， 所以 2 1 sin 402cos22cos1 4 . 8.B【解析】本题考查古典概型，考查应用意识与数学抽象的核心素养. 小张、小李同学各取一个毛绒娃娃，共有 30 种取法，这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃有 1 种取法， 故所求概率 1 30 P . 9.B【解析】本题考查直线与圆，考查数形结合的数学方法. 直线: 10l a xya 可化为: ( 1)(1)0l a xy ，故直线l恒过点 1,1P. 圆C: 22

15、 2430xyxy 的圆心为C(1,2)，半径为2当直线l垂直于直线PC时，截得的弦长最短， 此时弦长2 212d . 10.C【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力. 由题意知 ( )sin 3 4 g xx ，因为直线 6 x 是 g x的图象的一条对称轴，所以3 64 () 2 kk Z，故 3 , 4 kk Z，因为0，所以 4 ，( )sin 3 4 f xx 为非奇非偶函数， 因为 , 12 3 x ，则 5 3, 424 x ，所以 f x在 , 12 3 上单调递减.因为 ( )sin3g xx ，所以 g x为 奇函数，当 , 15 9 x 时，3 , 5

16、3 x ，所以 g x在 , 15 9 上单调递减. 11.A【解析】本题考查简单几何体的表面积与体积，考查空间想象能力. 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则 2 11 2 22 rr l，即2 lr，所以圆锥的高 1 3hr，圆锥的体 积 23 11 13 33 Vr hr.由题意， 知圆柱的底面半径为 2 r ， 设圆柱的高为 2 h， 因为圆锥与圆柱的表面积相等， 所以 2 2 2 322 22 rr rh ，解得 2 5 2 hr，所以圆柱的体 2 2 22 5 28 r Vhr ，故 3 1 3 2 3 3 5 8 r V V r 8 5 3 . 12.D【解析】本题考查分段函数的

17、图象与性质，考查数形结合的数学思想. 由 ( )6(3)g xfx ，知 ( )( )( )(3)6yf xg xf xfx. 令 ( )( )(3)F xf xfx ，则 (3)(3)( )Fxfxf x ， 所以 (3)( )FxF x ，即 F x的图象关于直线 3 2 x 对称. 当 3 0 2 x剟时，( )( )(3)33(3)3F xf xfxxx ； 当0x 时， 2 22 1 ( )( )(3)3(33)3 2 F xf xfxxxxxx 11 4 .作出 F x的图象可知，函 数 6F x 有 2 个零点. 13. 3 2 【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能

18、力. 因为0a b，所以2 2(3)0mm ，即 3 2 m . 14.1【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想. 画出不等式组 1 0 31 0 3 xy xy x ，表示的平面区域（图略） ，可知当直线 2 zxy 经过可行域内的点3,2时， 2zxy 有最小值，最小值为1. 15.2e【解析】本题考查函数与导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想. 当0x 时，0x ，则()1 x fxxe，此时( )1 x f xxe，所以( )(1) x fxx e， 所以 ( 1)2fe . 16. 22 22 ； 290 9 【解析】本题考查异面直线所成角及外接球，考查空间想象能力.

19、如图，取 11 A B的中点E，连接AEEC，.因为 1 AEB D ， 11 ACAC ，所以EAC即异面直线 1 B D与 1 AC所成 角或其补角.因为4AB ， 1 3 2AA ，所以 22 2(3 2)22EA， 222 42(3 2)30EC ，所以 16223022 cos 222422 EAC .记 111 ABC ， 11 AB D 的外心分别为 12 OO， ，过 12 OO， 分别作平面 111 ABC、 平面 11 AB D的垂线，则两条垂线的交点O即三棱锥 111 DABC 的外接球的球心. 因为 1 3 23 11 sin 1122 DB E，所以 11 AB D

20、的外接圆半径 2 12211 2 263 11 11 O D ， 111 ABC 的外接圆半径 11 144 3 233 2 OC ，所以三棱锥 111 DA B C 的外接球的半径 2 22 112 1649145 3 2 31818 ROCO D， 三棱锥 111 DABC 的外接球的表面积为 2 290 4 9 R. 17.（1）解：由 11 42 33 Sa ，得 1 2a ， 因为 42 33 nn Sa ， 11 42 (2) 33 nn San ， 所以 11 44 33 nnnn SSaa ，化简得 1 4 nn aa ， 即数列 n a 是以 2 为首项，4 为公比的等比数列

21、， 所以 121 2 42 nn n a . （2）证明：因为 2 log21 nn ban， 所以 1 11111 (21)(21)2 2121 n nn c b bnnnn ， 则 1111111111 11 23352121221242 n T nnnn . 因为 * nN，所以当 1n 时， n T取得最小值 1 3 ，当n接近无限大时， n T趋于 1 2 ， 故 11 32 n T . 评分细则： 【1】第（1）问中，通项公式没有化简成以 2 为底的形式不扣分； 【2】第（2）问中，用其他方法证明结果，酌情给分. 18.解： （1）因为总共抽取 100 人进行调查，所以100101

22、52025525m . 因为从赞成“延迟退休”的人中任选 1 人，此人年龄在35,45的概率 5 3824 n P n ， 所以10n . （2）是否赞成“延迟退休”与“低龄与否”的22列联表如下： 赞成“延迟退休” 不赞成“延迟退休” 总计 低龄人 18 7 25 非低龄人 30 45 75 总计 48 52 100 2 2 100(45 1830 7)100 7.6926.635 48 52 25 7513 K ，所以有99%的把握认为是否赞成“延迟退休”与“低龄与 否”有关. 评分细则： 第（2）问中，没有求出近似值，判断正确不扣分. 19.（1）证明： 1 2 ADBCBCAD， ，Q

23、为AD的中点， 四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ. 90ADC，90AQB，即BQAD. 又平面PAD 平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，BQ 平面ABCD， BQ 平面PAD. BQ平面BQM，平面BQM 平面PAD. （2）解： P BQMC BQM VV ， 1 2 C BQMMBCQP BCQ VVV . 由（1）可知四边形BCDQ为矩形， 1 3 2 BCQ SBQ BC . PAPD，Q为AD的中点， PQAD. 平面PAD 平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD， PQ平面ABCD. 在Rt PDQ 中， 22 2 3PQPDDQ， 111 32 31 223

24、P BQMP BCQ VV . 评分细则： 第（2）问中，用其他方法解答，按步骤正常给分. 20.解： （1）由22 6a ，可知6a . 因为抛物线 2 8yx的焦点为(2,0)，所以2c . 由 222 abc，可得 2 2b . 所以椭圆C的标准方程为 22 1 62 xy . （2）设点 000 ,0Q x yy ，则线段PQ的中点 00 3 , 22 xy D ， 所以直线PQ的斜率 0 0 3 PQ y k x . 又中点 00 3 , 22 xy D 在直线l上，所以 000 0 33 22 yxx yx y . 令0x ，得 22 00 0 9 2 xy y y ，即 22 0

25、0 0 9 2 xy m y . 由 22 00 1 62 xy ，得 22 00 63xy，所以 222 000 0 000 9233 222 xyy my yyy . 当 0 (0, 2y 时， 00 00 33 26 22 myy yy ， 当且仅当 0 6 2 y 时等号成立. 同理可得，当 0 2,0)y 时，6m，当且仅当 0 6 2 y 时，等号成立. 所以m的取值范围为(,6 6,) . 评分细则： 第（2）问中，若用其他方法解答，酌情给分. 21.（1）解：当0m 时， 3 ( )lnf xxx e ，定义域为(0,)， 11 ( )1 x fx xx ， 当1x 时， (

26、)0fx ；当01x时， ( )0fx. 可知 ( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 所以 min 3 ( )(1)1f xf e ，无最大值. （2）证明： 11 ( )1ln1fxmx xx ，因为0m ，所以 ( )fx 在(0, )上单调递增， 又因为 (1)0 f ，所以当01x时， ( )0fx ，当1x时， ( ) 0fx. 所以 f x的最小值为 3 (1)10f e ， 因为 1(1)2 0 m ee f ee ，所以 f x在 1 ,1 e 上存在一个零点 1 x； 因为 3 ( )(1)10f em ee e ，可知 f x在1,e上也存在一个零点

27、2 x； 所以 12 1 1xxe e ，故 21 1 xxe e . 评分细则： 【1】第（1）问中，求导正确但定义域考虑不全扣 1 分； 【2】第（2）问若用其他方法解答，酌情给分. 22.解： （1）由曲线 1 C的参数方程为 4 4 xt yt ， （t为参数） ，可得其直角坐标方程 2 4xy， 由 cos sin x y ，得曲线 1 C的极坐标方程 2 cos4sin. 2: 3 cos 2 sin2C， 由 cos sin x y ，得曲线 2 C的直角坐标方程 3220xy. （2）将 (0) 代入( 3cos2sin )2， 得 2 | 3cos2sin A OA . 将O

28、A逆时针旋转90，得OB的极坐标方程为(0) 2 ， 所以 2 2 4sin 4cos2 | sin cos 2 B OB . 由| 2 3|OBOA，得 2 4cos4 3 sin3cos2sin ， 22 3cos3sin2sincos0 . 即sin23cos2，解得tan23. 因为 0, 2 ，所以 6 . 评分细则： 【1】第（1）问中， 2 C未用一般式表达，用斜截式表达正常给分； 【2】第（2）问中，未用极坐标方法而用其他方法解答正确的正常给分. 23.（1）解： 3 31, 2 3 ( ) |2|23|5, 2, 2 31,2, xx f xxxxx xx 剟 即 316 3

29、 2 x x ，或 56 3 2 2 x x 剟 ，或 316, 2, x x 解得 7 3 x 或1x ，所以原不等式的解集为 7 | 1 3 x xx 或 . （2）证明由（1）知当 3 2 x 时， f x有最小值 7 2 ，所以 7 2 m ， 2 2 7 92 b a . 因为 2 22 13196 ababab ， 所以 222 2 222222 19621962629 2 79793 bbaba a abababababab . 因为 22 22 9 2 9 ab ba ， 62 4 3 ab ba ，当且仅当3ba 时取等号， 所以 2 1316 7ab ，当且仅当3ba时取等号， 所以 134 7 7ab ，当且仅当 7 2 a ， 3 7 2 b 时取等号. 评分细则： 【1】第（1）问中，分段函数表达正确给 1 分，三个讨论错一个扣 1 分； 【2】第（2）问中，取等条件没考虑或算错扣 1 分.