湖北省荆州三校联考三校联盟2020届高三4月联考理科数学试题（含详解）

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1、三校理科数学第 1 页 共 5 页 荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联盟荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联盟 20202020 届高三届高三 4 4 月联考月联考 理科数学试题理科数学试题 命题学校：荆州中学命题人：张云辉审题人：刘荣显、马玮、鄢先进 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知 i 是虚数单位，若复数 3 2i 1i z = - ，则z= A. 1-iB. 1+iC.-1-iD.-1+i 2. 已知集合A= 1 |x x 1，()|lg 3Bx yx=-，则 A.(),1AB = -B.()0

2、,3AB =C.() R AC Bf=D.()1, R C AB =+ 3. 已知等差数列 n a，其前n项和为 n S，且 159 3aaam+=，则 67 9 2aa S - = A. 5 m B. 9 m C. 1 5 D. 1 9 4. 已知, a bR+，则“1ab”是“2ab+ ”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 2019 冠状病毒病 （Corona Virus Disease 2019 （COVID-19） ） 是由新型冠状病毒 （2019-nCoV） 引发的疾病，目前全球感染者以百万计.我国在党中央、国务院、中央军委的坚

3、强领导下， 已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有 学生按照停课不停学的要求，居家学习.小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高 考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午 4:005:00 之间送货到小区门口的快递柜中，小 李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午 4:305:00，则小李父 亲收到试卷无需等待的概率为 A. 1 8 B. 1 4 C. 3 4 D. 7 8 6. 已知 x表示不超过x的最大整数（如1.21=，0.51-=-），执行如图所示的程序 框图输出的结果为 A.49850B.49950 C.50000D.50050

4、 7. 在二项式( 1 2 1 2 x x +) 7 的展开式中有理项的项数为 A. 1B. 2C. 3D. 4 三校理科数学第 2 页 共 5 页 8. 函数( ) 2 sinf xxxx=+的图像大致为 ABCD 9. 已知定义在R上的函数( )yf x=是偶函数，且图像关于点()1,0对称.若当)01x，时， ( )sin 2 f xx p =，则函数( )( ) | | x g xf xe-=-在区间2019,2020-上的零点个数为 A.1009B.2019C.2020D.4039 10. 已知函数( ) 2 sincos ,0,f xxx xa=+的值域为 5 1, 4 ，则实数a

5、的取值范围是 A. (0, 6 p B. (0, 3 p C., 6 2 p p D., 3 2 p p 11. 已知双曲线() 22 22 10,0 xy ab ab -=的右焦点为F，直线430xy-=与双曲线的右 支交于点M，若| |OMOF=,则该双曲线的离心率为 A.3B.2C.5D.6 12.已知正方体 1111 ABCDABC D-的棱长为 1,P是空间中任意一点， 下列正确命题的个数是 若P为棱 1 CC中点， 则异面直线AP与CD所成角的正切值为 5 2 ; 若P在线段 1 AB上运动，则 1 APPD+的最小值为 62 2 + ； 若P在半圆弧CD上运动，当三棱锥PABC-

6、体积最大时，三棱锥P ABC-外接球 的表面积为2p； 若过点P的平面a与正方体每条棱所成角相等，则a截此正方体所得截面面积的最大 值为 3 3 4 . A.1 个B.2 个C. 3 个D. 4 个 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 已知 () ()1,2 ,0,3ab=- ，则向量b 在向量a 方向上的投影为_. 14. 一般都认为九章算术是中国现存最古老的数学著作。然而，在 1983 年底到 1984 年 初，在荆州城西门外约 1.5 公里的张家山 247 号墓出土的算数书，比现有传本九章 三校理科数学第 3 页 共 5 页 算术还早二百年。某高校数学系

7、博士研究生 5 人，现每人可以从算数书、九章算 术、周髀算经、孙子算经、缀术等五部著作（每部著作有多本）中任意选 择一部进行课题研究，则恰有两部没有任何人选择的情况有_种.（请用数字作答） 15. 已知曲线 2 :8xyG=的焦点为F，点P在曲线G上运动，定点()0,2A-，则 | | PF PA 的 最小值为_. 16. 定义：若数列 n t满足 ( ) ( ) 1 n nn n f t tt ft + =- ，则称该数列为“切线-零点数列”.已知函 数( ) 2 f xxpxq=+有两个零点 1,2，数列 n x为“切线-零点数列”，设数列 n a 满足 1 2,a = 2 ln 1 n

8、n n x a x - = - ，2 n x ，数列 n a的前n项和为 n S，则 2020 S=_. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作 答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（本题 12 分） 已知ABCD的内角, ,A B C所对的边是, ,a b c，且满足()sinsinsinabAcCbB-=-. （1）求角C； （2）若 1 2 ADAB= ，2c =，求CD的最大值. 18.（本题 12 分） 在平行四边形 EABC 中， EA4， EC2 2， E45，

9、D 是 EA 的中点(如图 1) 将ECD 沿 CD 折起到图 2 中PCD 的位置，得到四棱锥 PABCD. (1)求证：CD平面 PDA； (2)若 PD 与平面 ABCD 所成的角为 60，且PDA 为锐角三角形，求平面 PAD 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值 三校理科数学第 4 页 共 5 页 19. （本题 12 分） 某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号. 当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求.在学期末，校学生会为 了调研学生对本校食堂 A 部和 B 部的用餐满意度， 从在 A 部和 B 部都用过餐的学生中随机 抽

10、取了 200 人，每人分别对其评分，满分为 100 分.随后整理评分数据，将分数分成 6 组： 第 1 组)40,50，第 2 组)50,60，第 3 组)60,70，第 4 组)70,80，第 5 组)80,90，第 6 组90,100，得到 A 部分数的频率分布直方图和 B 部分数的频数分布表. 定义： 学生对食堂的“满意度指数” 分数分数40,50）50,60）60,70）70,80）80,90）80,100 满意度指数012345 （1）求 A 部得分的中位数（精确到小数点后一位）； （2）A 部为进一步改善经营，从打分在 80 分以下的前四组中，采用分层抽样的方法抽取 8 人进行座谈

11、，再从这 8 人中随机抽取 3 人参与“端午节包粽子”实践活动，在第 3 组抽到 1 人的情况下，第 4 组抽到 2 人的概率； （3）如果根据调研结果评选学生放心餐厅，应该评选 A 部还是 B 部（将频率视为概率）. 20.（本题 12 分） 已知椭圆 22 :1 43 xy E+=的左焦点为F，点()4,0M -，过 M的直线与椭圆E交于,A B两点，线段AB中点为C，设 椭圆E在,A B两点处的切线相交于点P，O为坐标原点. 分数区间分数区间频数频数 40,50）7 50,60）18 60,70）21 70,80）24 80,90）70 90,10060 三校理科数学第 5 页 共 5

12、页 （1）证明：O、C、P三点共线； （2）已知 A B 是抛物线() 2 20xpy p=的弦，所在直线过该抛物线的准线与y轴的 交点， P 是弦 A B 在两端点处的切线的交点，小明同学猜想： P 在定直线上.你认为小明 猜想合理吗？若合理，请写出 P 所在直线方程；若不合理，请说明理由. 21. （本题 12 分） 设函数( )() 2 2ln+1f xxxax=+-. （1）讨论( )f x的单调性； （2）设( )( ). x g xf xe-=+若( ) 1 1 g x x + 在()0,+上恒成立，求a的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 两题中任选一题

13、作答。如果多做，则 按所做的第一题计分。 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（本题 10 分） 在平面直角坐标系xoy，以坐标原点o为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程是 2 cos21rq =，直线l的参数方程为 3 3 xt yt = - = （t为参数）. (1) 求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； (2) 设点P的直角坐标为( ) 3,0-，直线l与曲线C相交于,A B两点，求 11 . |PAPB + 23. 选修 4-5：不等式选讲（本题 10 分） 已知函数( )()|1|2|2|f xxxxR=-+-，记( )f x的最小值m. (1) 解不等式( )5f x ； (2) 若23abcm+=，求 222 abc+的最小值.