2020年4月上海市浦东新区高考数学模拟试卷（含答案解析）

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1、2020 年高考数学（年高考数学（4 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、填空题. 1已知 Ax|1，Bx|log2（x1）1，则 AB 2函数 f（x）3tan（2x）的最小正周期为 3计算： 4直线 l 的方程为0，则直线 l 的一个法向量是 5若实数 a、b、m 满足 2a5bm，且，则 m 的值为 6 设常数 aR， 命题 “存在 xR， 使 x2+ax4a0” 为假命题， 则 a 的取值范围为 7某微信群中四人同时抢 3 个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢 一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 8 如果函数 y3cos （2x+） 的图象关于点中心对称， 那么|的最

2、小值为 9如图，在半径为 3 的球面上有 A、B、C 三点，ABC90，BABC，球心 O 到平面 ABC 的距离是，则 B、C 两点的球面距离是 10 若点 P （x， y） 在曲线（ 为参数， R） 上， 则的取值范围是 11 已知 ， 若数列 a1、 a2、 、 ak（1k41， kN） 是一个单调递增数列，则 k 的最大值为 12函数的图象与函数 y2sinx（xk2，k+4，kZ）的图象所有交点的横坐 标之和等于 2012，则满足条件的整数 k 的值是 二、选择题（共有 4 题） 13已知 ：区间a，b内恰含两个整数则以下结论正确的是（ ） A“ba1”是 成立的充分条件 B“ba1

3、”是 成立的必要条件 C“ba2”是 成立的充分条件 D“ba2”是 成立的必要条件 14在空间给出下列四个命题： 如果平面 内的一条直线 a 垂直于平面 内的任意一条直线，则 ； 如果直线 a 与平面 内的一条直线平行，则 a； 如果直线 a 与平面 内的两条直线都垂直，则 a； 如果平面 内的两条直线都平行于平面 ，则 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 15已知 aZ，关于 x 的一元二次不等式 x26x+a0 的解集中有且仅有 3 个整数，则所有 符合条件的 a 的值之和是（ ） A13 B18 C21 D26 16已知点 B（4，0），点 P 在曲线 y28x 上运动，点

4、 Q 在曲线（x2）2+y21 上运动， 则的最小值为（ ） A B4 C D6 三、解答题（满分 76 分） 17三棱柱 ABCA1B1C1中，它的体积是，底面ABC 中，BAC90，AB4， AC3，B1在底面的射影是 D，且 D 为 BC 的中点 （1）求侧棱 BB1与底面 ABC 所成角的大小； （2）求异面直线 B1D 与 CA1所成角的大小 18四边形 ABCD 如图所示，已知 ABBCCD2，AD2 （1）求cosAcosC 的值； （2）记ABD 与BCD 的面积分别是 S1与 S2，求 S12+S22的最大值 19已知椭圆）经过定点 ，其左右集点分别为 F1， F2且， 过右

5、焦F2且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P， Q两点 （1）求椭圆 C 的方程： （2）若 O 为坐标原点，在线段 OF2上是否存在点 M（m，0），使得以 MP，MQ 为邻边 的平行四边形是菱形？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 20（16 分）对定义在0，1上的函数 f（x），如果同时满足以下三个条件： 对任意 x0，1，总有 f（x）0； f（1）1； 若 x10，x20，x1+x21，有 f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立 则称函数 f（x）为理想函数 （1）判断 g（x）2x1（x0，1）是否为理想函数，并说明理由； （2）若 f（x）为理想函数，求 f（x

6、）的最小值和最大值； （3）若 f（x）为理想函数，假设存在 x00，1满足 ff（x0）x0，求证：f（x0）x0 21（18 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a1a（a3），设 ，nN* （1）求证：数列bn是等比数列； （2）若 an+1an，nN*，求实数 a 的最小值； （3）当 a4 时，给出一个新数列en，其中，设这个新数列的前 n 项和为n，若n可以写成 tp（t，pN*且 t1，p1）的形式，则称n为“指数型和”问 n中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说 明理由 参考答案 一、填空题（共有 12 题，满分 54 分）只要求直

7、接填写结果，第 1-6 题每题填对得 4 分，第 7-12 题每题填对得 5 分，否则一律得零分. 1已知 Ax|1，Bx|log2（x1）1，则 AB x|1x2 【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可 解：集合 A 中不等式，当 x0 时，解得：x2，此时 0x2； 当 x0 时，解得：x2，无解， Ax|0x2， 集合 B 中不等式变形得：log2（x1）1log22，即 0x12， 解得：1x3，即 Bx|1x3， 则 ABx|1x2， 故答案为：x|1x2 2函数 f（x）3tan（2x）的最小正周期为 【分析】 根据正切函数的图象与性质

8、， 即可求出函数 f （x） 3tan （2x） 的最小正周期 解：根据正切函数的图象与性质得： 函数 f（x）3tan（2x）3tan2x 的最小正周期为：T 故答案为： 3计算： 【分析】将原数列极限变成，而，从 而可求出原数列极限的值 解： 故答案为： 4 直线 l 的方程为0， 则直线 l 的一个法向量是 （k， 2k） 其中 k0 【分析】化简方程左边的行列式得直线方程，可得方向向量，再求出法向量即可 解：因为0， 得到方程 2x+4y70 其一个方向向量为（2，1） 故它的法向量为：（k，2k）其中 k0 故答案为：（k，2k）其中 k0 5若实数 a、b、m 满足 2a5bm，且

9、，则 m 的值为 2 【分析】由实数 a、b、m 满足 2a5bm，知 alog2m，blog5m，再由，利用 对数的性质能够求出 m 的值 解：实数 a、b、m 满足 2a5bm， alog2m，blog5m， ， 2logm2+logm5 logm202， m220，即 m2 故答案为：2 6设常数 aR，命题“存在 xR，使 x2+ax4a0”为假命题，则 a 的取值范围为 （ 16，0） 【分析】将条件转化为 x2+ax4a0 恒成立，必须0，从而解出实数 a 的取值范围 解：命题：“存在 xR，使 x2+ax4a0”为假命题， 即 x2+ax4a0 恒成立，必须0， 即：a2+16a

10、0，解得16a0， 故实数 a 的取值范围为（16，0）， 故答案为：（16，0） 7某微信群中四人同时抢 3 个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢 一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 【分析】先求出基本事件总数 n，其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数 m C C 2，由此能求出其中甲、乙都抢到红包的概率 解：某微信群中四人同时抢 3 个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最 多抢一个， 则基本事件总数 n， 其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数 mC C 2， 其中甲、乙都抢到红包的概率 p 故答案为： 8 如果函数 y3cos （2x+） 的图象关于点中

11、心对称， 那么|的最小值为 【分析】利用函数的对称中心，求出 的表达式，然后确定|的最小值 解：函数 y3cos（2x+）的图象关于点中心对称， ，得，kZ，由此得 故答案为： 9如图，在半径为 3 的球面上有 A、B、C 三点，ABC90，BABC，球心 O 到平面 ABC 的距离是，则 B、C 两点的球面距离是 【分析】欲求 B、C 两点的球面距离，即要求出球心角BOC，将其置于三角形 BOC 中 解决 【解答】解答：解：AC 是小圆的直径 所以过球心 O 作小圆的垂线，垂足 O是 AC 的中点 OC ，AC3 ， BC3，即 BCOBOC， 则 B、C 两点的球面距离 故答案为： 10若

12、点 P（x，y）在曲线（ 为参数，R）上，则的取值范围是 【分析】由（ 为参数，R）可得：k因此 k 可以看 作 P（2，0）与圆：x2+y21 上的点的连线的直线的斜率的取值范围利用点到直线的距 离公式即可得出 解：由（ 为参数，R）可得：k 因此 k 可以看作 P（2，0）与圆：x2+y21 上的点的连线的直线的斜率的取值范围 设过点 P 的直线方程为：yk（x2），化为 kxy2k0， 1，解得 解得 的取值范围是 故答案为： 11 已知 ， 若数列 a1、 a2、 、 ak（1k41， kN） 是一个单调递增数列，则 k 的最大值为 17 【分析】先由通项公式求得 ak，根据由题意可得

13、 ak最大，即 ，由此求得 k 的最大值 解：已知， a1340，a2339 2 ，a3338 4 ，ak341k 2k1 若数列 a1、a2、ak（1k41，kN）是一个单调递增数列， 则 ak最大，即 ，求得， 则 k 的最大值为 17， 故答案为：17 12函数的图象与函数 y2sinx（xk2，k+4，kZ）的图象所有交点的横坐 标之和等于 2012，则满足条件的整数 k 的值是 1002 或 1003 【分析】由题意可得函数 y的图象与函数 y2sinx（3x5）的图象所有交点 关于点（1，0）对称，则它们的每一对交点都关于点（1，0）对称，结合所有横坐标之 和等于 2012 即可得

14、到 k 的取值范围 解：函数 y的图象关于点（1，0）对称，函数 y2sinx（k2xk+4）的图 象也关于点（1，0）对称， 如图所示： 故函数 y的图象与函数 y2sinx（k2xk+4）的图象所有交点关于点（1， 0）对称， 且每一对关于点（1，0）对称， 因为他们的横坐标之和为 2012，故共有 1006 对交点， 则 k+41006 或 k+41007， 解得 k1002 或 1003 故答案为：1002 或 1003 二、选择题（共有 4 题，本大愿满分 20 分）每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论， 其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分 13已知

15、 ：区间a，b内恰含两个整数则以下结论正确的是（ ） A“ba1”是 成立的充分条件 B“ba1”是 成立的必要条件 C“ba2”是 成立的充分条件 D“ba2”是 成立的必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，利用排除法进行判断即可 解：当 a，b，满足 ba1 成立，但在区间，内只有一个整数 1，故充分 性不成立，则 A 错误， 当 a，b，满足 ba2 成立，但在区间，内只有一个整数 1，故充分性不 成立，则 C 错误， 若区间a，b内恰含两个整数，则满足 ba1，故 B 正确， 当 a0，b2 时，满足 ba2 成立，但在区间0，2内有 3 个整数 0，1，2，故必要 性不成立

16、，则 D 错误， 故选：B 14在空间给出下列四个命题： 如果平面 内的一条直线 a 垂直于平面 内的任意一条直线，则 ； 如果直线 a 与平面 内的一条直线平行，则 a； 如果直线 a 与平面 内的两条直线都垂直，则 a； 如果平面 内的两条直线都平行于平面 ，则 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】在中，由面面垂直的判定定理得 ；在中，a 或 a；在中，a 与 相交、平行或 a；在中， 与 相交或平行 解：在中，如果平面 内的一条直线 a 垂直于平面 内的任意一条直线， 则由面面垂直的判定定理得 ，故正确； 在中，如果直线 a 与平面 内的一条直线平行，则 a 或 a，

17、故错误； 在中，如果直线 a 与平面 内的两条直线都垂直，则 a 与 相交、平行或 a，故 错误； 在中，如果平面 内的两条直线都平行于平面 ，则 与 相交或平行，故错误 故选：A 15已知 aZ，关于 x 的一元二次不等式 x26x+a0 的解集中有且仅有 3 个整数，则所有 符合条件的 a 的值之和是（ ） A13 B18 C21 D26 【分析】 设 f （x） x26x+a， 其图象是开口向上， 对称轴是 x3 的抛物线， 如图所示 利 用数形结合的方法得出，若关于 x 的一元二次不等式 x26x+a0 的解集中有且仅有 3 个整数，则，从而解出所有符合条件的 a 的值之和 解：设 f

18、（x）x26x+a，其图象是开口向上，对称轴是 x3 的抛物线，如图所示 若关于 x 的一元二次不等式 x26x+a0 的解集中有且仅有 3 个整数，则 ，即， 解得 5a8，又 aZ，a6，7，8 则所有符合条件的 a 的值之和是 6+7+821 故选：C 16已知点 B（4，0），点 P 在曲线 y28x 上运动，点 Q 在曲线（x2）2+y21 上运动， 则的最小值为（ ） A B4 C D6 【分析】设圆心为 F，可知 F 为抛物线 y28x 的焦点，并且最小时，PB 经过圆 心 F，设 P（x，y），则|PB|2（x4）2+y2（x4）2+8xx2+16，|PQ|x+2+1x+3，

19、可得，换元后利用基本不等式求最值即可 解：如图，设圆心为 F，则 F 为抛物线 y28x 的焦点，该抛物线的准线方程为 x2， 设 P（x，y）， 由抛物线的定义：|PF|x+2，要使最小，则|PQ|需最大， 如图，|PQ|最大时，经过圆心 F，且圆 F 的半径为 1， |PQ|PF|+1x+3，且|PB| ， 令 x+3t（t3），则 xt3， t+64，当 t5 时取“，此时 x2 的最小值为 4 故选：B 三、解答题（满分 76 分） 17三棱柱 ABCA1B1C1中，它的体积是，底面ABC 中，BAC90，AB4， AC3，B1在底面的射影是 D，且 D 为 BC 的中点 （1）求侧棱

20、 BB1与底面 ABC 所成角的大小； （2）求异面直线 B1D 与 CA1所成角的大小 【分析】（1）B1D面 ABC，B1BD 就是侧棱 BB1与底面 ABC 所成的角 ，运用棱柱 的体积公式和解直角三角形，即可得到所求值； （2）取 B1C1的中点 E，连 EC，A1E，则ECA1（或其补角）为所求的异面直线所成角 的大小，运用解直角三角形，计算即可得到所求值 解：（1）依题意，B1D面 ABC， B1BD 就是侧棱 BB1与底面 ABC 所成的角 ， 由， 则， 由 D 为 BC 的中点，BC5， 即有， 由，即， ，即侧棱 BB1与底面 ABC 所成角为； （2）取 B1C1的中点

21、E，连 EC，A1E， 则ECA1（或其补角）为所求的异面直线所成角的大小， B1D面 ABC，B1DCE，面 ABC面 A1B1C1CE面 A1B1C1， CEA1E，tanA1CE ， 所求异面直线 B1D 与 CA1所成角为 18四边形 ABCD 如图所示，已知 ABBCCD2，AD2 （1）求cosAcosC 的值； （2）记ABD 与BCD 的面积分别是 S1与 S2，求 S12+S22的最大值 【分析】（1）利用余弦定理，求出 BD，即可求cosAcosC 的值； （2）求出 S12+S22的表达式，1cosC 1，即可求 S12+S22的最大值 解：（1）在ABD 中，DB， 在

22、BCD 中，DB， 所以cosAcosC1 （2）依题意 S121212cos2A，S2244cos2C， 所以 S12+S221212cos2A+44cos2C8cos2C8cosC+128（cosC+ ）2+14， 因为 2 ，所以8cosC（168，16） 解得1cosC1，所以 S12+S2214，当 cosC时取等号，即 S12+S22的最大 值为 14 19已知椭圆）经过定点 ，其左右集点分别为 F1， F2且， 过右焦F2且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P， Q两点 （1）求椭圆 C 的方程： （2）若 O 为坐标原点，在线段 OF2上是否存在点 M（m，0），使得以 MP，M

23、Q 为邻边 的平行四边形是菱形？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 【分析】（1）由椭圆的定义可求出 a 的值，再把点 E 的坐标代入椭圆方程，即可求出 b 的值，从而得到椭圆 C 的方程； （2）先设点 P，Q 的坐标以直线 l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到 P，Q 横坐标的和与积， 再利用菱形的对角线垂直得到向量数量为 0， 将坐标代入后化简得到 m 与 k 的关系式，可求出 m 的取值范围 解：（1）点 E 在椭圆上，且， 2a2，a， 又定点在椭圆上， b1， 椭圆 C 的方程为：； （2）假设存在点 M（m，0）满足条件，设 P（x1，y1），Q（x2，y

24、2），直线 l 的方程为： yk（x1）， 联立方程，消去 y 得：（1+2k2）x24k2x+2k220， ，8k2+80， 又， ， 由题意知（x2+x12m）（x2x1）+（y1+y2）（y2y1）（x2+x1 2m）（x2x1）+k（x2x1）（y1+y2）0， x1x2，x2+x12m+k（y1+y2）0， 即， 则0， 0， 0m， 故存在点 M（m，0），使得以 MP，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，m 的取值范围为 （0，） 20（16 分）对定义在0，1上的函数 f（x），如果同时满足以下三个条件： 对任意 x0，1，总有 f（x）0； f（1）1； 若 x10，x20，x1

25、+x21，有 f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立 则称函数 f（x）为理想函数 （1）判断 g（x）2x1（x0，1）是否为理想函数，并说明理由； （2）若 f（x）为理想函数，求 f（x）的最小值和最大值； （3）若 f（x）为理想函数，假设存在 x00，1满足 ff（x0）x0，求证：f（x0）x0 【分析】（1）要判断函数 g（x）2x1，（x0，1）在区间0，1上是否为“理想 函数，只要检验函数 g（x）2x1，是否满足理想函数的三个条件即可； （2）先研究函数 f（x）在0，1上为单调递增函数，再利用，求出 f（0）和 f（1）， 即可得到函数 f（x）的最值， （3）由条件

26、知，任给 m、n0，1，当 mn 时，由 mn 知 nm0，1，f（n） f（nm+m）f（nm）+f（m）f（m）由此能够推导出 f（x0）x0，根据 ff（x0） x0，则 f（x0）x0 解：（1）显然 f（x）2x1 在0，1上满足 f（x）0；f（1）1 若 x10，x20，且 x1+x21， 则有 f（x1+x2）f（x1）+f（x2）2x1+x21（2x11）+（2x21）（2x21）（2x1 1）0 故 f（x）2x1 满足条件，所以 f（x）2x1 为理想函数， （2）由题意可得对任意的 x1，x20，1，且 x1x2， f（x1）f（x2）f（x1）f（x2x1+x1）f（

27、x1）f（x1）+f（x2x1）f（x2x1） 0， f（x1）f（x2）， f（x）在0，1上单调递增， 令 x1x20， x10，x20 且 x1+x21，则 f（x1+x2）f（x 1）+f（x2）成立， f（0）2f（0），又 f（x）0， f（0）0， 当 x0 时，f（x）取最小值 f（0）0， 当 x1 时，f（x）取最大值 f（1）1 （3）由条件知，任给 m、n0，1，当 mn 时，由 mn 知 nm0，1， f（n）f（nm+m）f（nm）+f（m）f（m） 若 f（x0）x0，则 f（x0）ff（x0）x0，前后矛盾； 若：f（x0）x0，则 f（x0）ff（x0）x0，

28、前后矛盾 故 f（x0）x0 21（18 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a1a（a3），设 ，nN* （1）求证：数列bn是等比数列； （2）若 an+1an，nN*，求实数 a 的最小值； （3）当 a4 时，给出一个新数列en，其中，设这个新数列的前 n 项和为n，若n可以写成 tp（t，pN*且 t1，p1）的形式，则称n为“指数型和”问 n中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说 明理由 【分析】（1）依题意，可求得 Sn+12Sn+3n，当 a3 时，2，利用等比数列的定 义即可证得数列bn是等比数列； （2）由（1）可得 Sn3n（

29、a3）2n1，anSnSn1，n2，nN*，从而可求得 an ，由 an+1an，可求得 a9，从而可求得实数 a 的 最小值； （3）由（1）当 a4 时，bn2n1，当 n2 时，n3+2+4+2n2n+1+1，C13，可 证得对正整数 n 都有n2n+1， 依题意由 tp2n+1， tp12n， （t， pN*且 t1， p1） ， t 只能是不小于 3 的奇数分当 p 为偶数时与当 p 为奇数讨论即可得到答案 解：（1）an+1Sn+3nSn+12Sn+3n，bnSn3n，nN*， 当 a3 时，2， 所以bn为等比数列b1S13a3，bn（a3）2n1 （2）由（1）可得 Sn3n（

30、a3）2n1， anSnSn1，n2，nN*， an ， a n+1 an， a9，又 a3， 所以 a 的最小值为9； （3）由（1）当 a4 时，bn2n1， 当 n2 时，n3+2+4+2n2n+1+1，C13， 所以对正整数 n 都有n2n+1 由 tp2n+1，tp12n，（t，pN*且 t1，p1），t 只能是不小于 3 的奇数 当 p 为偶数时，tp1（+1）（1）2n， 因为 tp+1 和 tp1 都是大于 1 的正整数， 所以存在正整数 g，h，使得 tp+12g，12h，2g2h2，2h（2gh1）2， 所以 2h2 且 2gh11h1，g2，相应的 n3，即有 C332，C3为“指数型和”； 当 p 为奇数时，tp1（t1）（1+t+t2+tp1），由于 1+t+t2+tp1是 p 个奇数之 和，仍为奇数，又 t1 为正偶数， 所以（t1）（1+t+t2+tp1）2n不成立，此时没有“指数型和”