2019-2020学年湖南师大附中高二(上)第一次段考数学试卷(含详细解答)
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1、2019-2020 学年湖南师大附中高二(上)第一次段考数学试卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)学校要从 353 名学生干部中任意选取 35 名学生代表参加“重走办学路”远志夏 令营活动若采用系统抽样方法,首先要随机剔除 3 名学生,再从余下的 350 名学生干 部中抽取 35 名学生,则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为( ) A B C D 2 (5 分)对以下命题: 随机事件的概率与频率一样,与试验重复的次数有关; 抛掷两枚均
2、匀硬币一次,出现一正一反的概率是; 若一种彩票买一张中奖的概率是,则买这种彩票一千张就会中奖; “姚明投篮一次,求投中的概率”属于古典概型概率问题 其中正确的个数是( ) A0 B1 C2 D3 3 (5 分)写出命题 p: “x0R,使得”的否定并判断p 的真假,正 确的是( ) Ap 是“”且为真 Bp 是“x0R,使得”且为真 Cp 是“”且为假 Dp 是“x0R,使得”且为假 4 (5 分)如图是一组样本数据的频率分布直方图,则依据图形中的数据,可以估计总体的 平均数与中位数分别是( ) A12.5,12.5 B13.5,13 C13.5,12.5 D13,13 第 2 页(共 24
3、页) 5 (5 分)已知如表所示数据的回归直线方程为,且由此得到当 x7 时的预测值是 28,则实数 m 的值为( ) x 2 3 4 5 6 y 3 7 12 m 23 A18 B20 C21 D22 6 (5 分)设等差数列an的前 n 项和是 Sn,已知 a2+a1832,则 S14S5( ) A2S10 B144 C288 D5(a1+a14) 7 (5 分) “方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是( ) A “m7” B “7m9” C “5m9” D “5m9”且“m7” 8 (5 分)甲、乙两人对同一个靶各射击一次,设事件 A“甲击中靶” ,事件 B“乙击中 靶” ,事件 E
4、“靶未被击中” ,事件 F“靶被击中” ,事件 G“恰一人击中靶” ,对下 列关系式( 表示 A 的对立事件, 表示 B 的对立事件) :,FAB,F A+B,GA+B,P(F)1P(E) ,P(F)P(A)+P(B) 其 中正确的关系式的个数是( ) A3 B4 C5 D6 9 (5 分)已知圆,定点 F2(1,0) ,点 P 在圆 F1上移动,作线段 PF2的中垂线交 PF1于点 M,则点 M 的轨迹方程为( ) A B C D 10 (5 分)已知双曲线的左右焦点分别是 F1,F2,点 P 是 C 的右支上的一 点 (不是顶点) , 过 F2作F1PF2的角平分线的垂线, 垂足是 M,
5、O 是原点, 则|MO| ( ) A随 P 点变化而变化 B2 C4 D5 第 3 页(共 24 页) 11 (5 分)如图,椭圆的左右焦点分别是 F1,F2,点 P、Q 是 C 上的两点,若,且,则椭圆 C 的离心率为( ) A B C D 12 (5 分)已知椭圆过定点(1,1) ,则的最大值是( ) A B C D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.把答案填在对应题号的横线上把答案填在对应题号的横线上. 13 (5 分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒若一 名行人来到该路口遇到红灯
6、,则至少需要等待 10 秒才出现绿灯的概率为 14 (5 分)设 a,bR,则“log2(ab)0”是“ab”的 条件 (填“充分不必 要” “必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要” ) 15 (5 分)设函数 f(x)x23x+a,已知t0(1,3,使得当 x1,t0时,f(x)0 有 解,则实数 a 的取值范围是 16 (5 分)设数列an满足,则: (1)a1+a3+a5+a2019 ; (2)数列中最小项对应的项数 n 为 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17
7、 (10 分)ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知asinCcsin2A (1)求 A; (2)若 a,b2,求ABC 的面积 18 (12 分) “双节”期间,高速公路车辆较多,某调查公司在一服务区从七座以下的小型 汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的样本方法抽取 40 名驾驶员进行询问 第 4 页(共 24 页) 调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段;60,65) ,65,70) ,70,75) , 75,80) ,80,85) ,85,90后得到如图所示的频率分布直方图 (1)求这 40 辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值; (2)若从
8、车速在60,70)内的车辆中任抽取 2 辆,求车速在65,70)内的车辆恰有一 辆的概率 19 (12 分)设双曲线时,正项数列xn满足 x11,对任意的 n2,nN*, 都有是上的点 (1)求数列xn的通项公式; (2)记,是否存在正整数 m,使得与 有相同的渐近线?如果有,求出 m 的值;如果没有,请说明理由 20 (12 分)某大学生参加社会实践活动,对某公司 1 月份至 6 月份销售某种配件的销售量 及销售单价进行了调查,销售单价 z 和销售量 y 之间的一组数据如下表所示: 月份 1 2 3 4 5 6 销售单价 x(元) 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量 y(元) 11
9、 10 8 6 5 14.2 (1)根据 1 至 5 月份的拮据,先求出 y 关于 z 的回归直线方程;6 月份的数据作为检验 数据若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过 0.5,则认为所得到的 回归直线方程是理想的试问所求得的回归直线方程是否理想? (2)预计在今后的销售中,销售量与销售单价仍然服从(1)中的回归关系,如果该种 机器配件的成本是 2.5 元/件,那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利 润?注:利润销售收入一成本 第 5 页(共 24 页) 参考数据: 参考公式:对于一组数据(x1,y1) , (x2,y2) ,(xn,yn) ,其回归直线的斜 率和截距
10、的最小二乘估计分别为: , ) 21 (12 分)已知椭圆经过点(0,1) ,且离心率为 (1)设过点的直线与椭圆 E 相交于 M、N 两点,若 MN 的中点恰好为点 P, 求该直线的方程; (2)过右焦点 F 的直线 l(与 x 轴不重合)与椭圆 E 交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平 分线交 y 轴于点 Q(0,m) ,求实数 m 的取值范围 22 (12 分)已知函数 (1)若命题: “x01,4,f(x0)1”是真命题,求 a 的取值范围; (2)若 a2,x10,x20,x1+x21,求 f(x1)+f(x2)的最小值; (3)若,函数 f(x)在区间t,t+1的最大值与最小值
11、的差不超过 1,求 a 的取值范围 第 6 页(共 24 页) 2019-2020 学年湖南师大附中高二(上)第一次段考数学试卷学年湖南师大附中高二(上)第一次段考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)学校要从 353 名学生干部中任意选取 35 名学生代表参加“重走办学路”远志夏 令营活动若采用系统抽样方法,首先要随机剔除 3 名学生,再从余下的 350 名学
12、生干 部中抽取 35 名学生,则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为( ) A B C D 【分析】根据随机抽样时每个个体被抽到的概率相等,即可得出结论 【解答】解:从 353 名学生干部中任意选取 35 名学生,先要随机剔除 3 名学生,再从余 下的 350 名学生干部中抽取 35 名学生, 因为被剔除与被选中的概率相同,所以甲被选中的概率为 P 故选:C 【点评】本题考查了随机抽样的应用问题,是基础题 2 (5 分)对以下命题: 随机事件的概率与频率一样,与试验重复的次数有关; 抛掷两枚均匀硬币一次,出现一正一反的概率是; 若一种彩票买一张中奖的概率是,则买这种彩票一千张就会中奖; “姚明
13、投篮一次,求投中的概率”属于古典概型概率问题 其中正确的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【分析】随机事件的概率是确定的值,与实验次数无关; 抛掷两枚均匀硬币一次,出现一正一反的概率是; 一种彩票买一张中奖的概率是,买这种彩票一千张也有可能不会中奖; 根据古典概型的概率特征判断即可 【解答】解:对于,随机事件的概率是确定的值,与实验次数无关, 第 7 页(共 24 页) 而频率是实验值,与试验重复的次数有关,错误; 对于,抛掷两枚均匀硬币一次,出现的基本事件是: 正、正、正、反、反、正、反、反共 4 种, 出现一正一反的概率是 P,错误; 对于,若一种彩票买一张中奖的概率是, 则买这种彩票
14、一千张也有可能不会中奖,错误; 对于, “姚明投篮一次,求投中的概率”出现的事件有“投中”和“未中”两种, 但是这两种事件的概率是不同的,不属于古典概型概率问题,错误 综上知,正确的个数是 0 故选:A 【点评】本题考查了随机事件的概率应用问题,也考查了古典概型的概率计算问题,是 基础题 3 (5 分)写出命题 p: “x0R,使得”的否定并判断p 的真假,正 确的是( ) Ap 是“”且为真 Bp 是“x0R,使得”且为真 Cp 是“”且为假 Dp 是“x0R,使得”且为假 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题, 且命题 p 与它的否定命题p 一真一假,由此判断正误 【解答】解:由
15、sinx+cosxsin(x+), 所以命题 p: “x0R,使得”是假命题; 所以该命题的否定p: “” ,它是真命题 故选:A 【点评】本题考查了全称量词命题与存在量词命题的否定与真假性判断问题,是基础题 4 (5 分)如图是一组样本数据的频率分布直方图,则依据图形中的数据,可以估计总体的 平均数与中位数分别是( ) 第 8 页(共 24 页) A12.5,12.5 B13.5,13 C13.5,12.5 D13,13 【分析】根据频率分布直方图的数据,结合平均数数和中位数的对应进行判断即可 【解答】解:根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为 0.2, 第二组的频率为 0.5,则第三组的
16、频率为 0.3, 则平均数为 7.50.2+12.50.5+17.50.313, 由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间(10,15的的位置, 即中位数为 10+(1510)13 故选:D 【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用,要求熟练掌握中位数和平均数的定义以 及计算方式 5 (5 分)已知如表所示数据的回归直线方程为,且由此得到当 x7 时的预测值是 28,则实数 m 的值为( ) x 2 3 4 5 6 y 3 7 12 m 23 A18 B20 C21 D22 【分析】由已知求出样本点的中心的坐标,然后结合题意列关于 a 与 m 的方程组求解 【解答】解:, 则, 又 2857a
17、, 联立解得:a7,m20 故选:B 【点评】本题考查线性回归方程,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础 题 6 (5 分)设等差数列an的前 n 项和是 Sn,已知 a2+a1832,则 S14S5( ) 第 9 页(共 24 页) A2S10 B144 C288 D5(a1+a14) 【分析】利用等差数列an的通项公式求出 a1+9d16,由此能求出 S14S5 【解答】解:等差数列an的前 n 项和是 Sn,a2+a1832, a1+d+a1+17d32, 解得 a1+9d16, S14S5(14a1+)() 9(a1+9d)916144 故选:B 【点评】本题考查等差数列的前
18、 14 项和与前 5 项和之差的求法,考查等差数列的性质等 基础知识,考查运算求解能力,是基础题 7 (5 分) “方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是( ) A “m7” B “7m9” C “5m9” D “5m9”且“m7” 【分析】由椭圆的定义可列出 m 满足的不等式组,从而求出 m 的取值范围,注意 9m m5,再结合选项选出必要不充分条件 【解答】解:因为方程的曲线是椭圆, 则由椭圆的定义可知:,解得:5m9 且 m7, 所以“方程的曲线是椭圆”的充要条件为“5m9 且 m7” , 所以“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件是: “5m9” 故选:C 【点评】本题主要考查充分条件
19、,必要条件,充要条件的判定,做题时注意 9mm5 的限制,还需注意要选的是必要不充分条件而不是充要条件,是基础题 8 (5 分)甲、乙两人对同一个靶各射击一次,设事件 A“甲击中靶” ,事件 B“乙击中 靶” ,事件 E“靶未被击中” ,事件 F“靶被击中” ,事件 G“恰一人击中靶” ,对下 第 10 页(共 24 页) 列关系式( 表示 A 的对立事件, 表示 B 的对立事件) :,FAB,F A+B,GA+B,P(F)1P(E) ,P(F)P(A)+P(B) 其 中正确的关系式的个数是( ) A3 B4 C5 D6 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解 【解答】解:甲、乙两人对同
20、一个靶各射击一次, 设事件 A“甲击中靶” ,事件 B“乙击中靶” , 事件 E“靶未被击中” ,事件 F“靶被击中” ,事件 G“恰一人击中靶” , 在中,事件 E 是指事件 A 与事件 B 同时不发生,故正确; 在中,事件 F 表示事件 A 和事件 B 至少有一个发生, 故 FA+B,故错误; 在中,FA+B,故正确; 在中,故错误; 在中,故正确; 在中,由对立事件概率计算公式得 P(F)1P(E) ,故正确; 在中,由互斥事件概率计算公式得 P(F)1P()P(A)+P(B) ,故错 误 故选:B 【点评】本题考查命题真假的判断,考查互斥事件、对立事件的性质等基础知识,考查 运算求解能
21、力,是基础题 9 (5 分)已知圆,定点 F2(1,0) ,点 P 在圆 F1上移动,作线段 PF2的中垂线交 PF1于点 M,则点 M 的轨迹方程为( ) A B C D 【分析】先确定 F1、F2的坐标,再根据线段 PF2的中垂线与 PF1交于 M 点,结合双曲 线的定义,可得点 M 的轨迹是以 F1、F2为焦点的双曲线,从而可得点 M 的轨迹 C 的方 程 第 11 页(共 24 页) 【解答】解:由题意得,F1(1,0) ,则 F2(1,0) , 圆 F1的半径|PF1|4,且|MF2|MP|, |MF1|+|MF2|PF1|42|F1F2|; 点 M 的轨迹是以 F1、F2为焦点的椭
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