2020年四川省广安市、内江市等九市高考数学第二次诊断测试试卷(理科)含答案解析
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1、2020 年高考(理科)数学第二次诊断测试试卷 一、选择题(共 12 小题) 1已知集合,B2,1,0,1,2,3,则(RA)B( ) A2,1,0,1,2 B0,1,2,3 C1,2,3 D2,3 2若 i 为虚数单位,则复数的共轭复数 在复平面内对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3”是“函数 f(x)sin(3x+)的图象关于直线 x 对称”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4幻方最早起源于我国,由正整数 1,2,n2这 n2个数填入 nn 方格中,使得每行、每列、 每条对角线上的数的和相等,这个正方形数阵
2、就叫 n 阶幻方定义 f(n)为 n 阶幻方对 角线上所有数的和,如 f(3)15,则 f(10)( ) A55 B500 C505 D5050 5 已知 m, n 是两条不重合的直线, , 是两个不重合的平面, 则下列命题中错误的是 ( ) A若 m,则 m 或 m B若 mn,m,n,则 n C若 mn,m,n,则 D若 mn,m,则 n 6(x22)(x+2)5的展开式中含 x4的项的系数为( ) A20 B60 C70 D80 7若不相等的非零实数 x,y,z 成等差数列,且 x,z,y 成等比数列,则( ) A B2 C2 D 8周易是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化右图
3、是一个八卦图,包 含乾、坤、震、巽、坎离、艮、兑八卦(每卦由三个爻组成,其中“”表示 一个阳爻,“”表示一个阴爻)若从八卦中任取两卦,这两卦的六个爻中恰有两 个阳爻的概率为( ) A B C D 9在ABC 中,点 P 为 BC 中点,过点 P 的直线与 AB,AC 所在直线分别交于点 M,N, 若,(0,0),则 + 的最小值为( ) A B2 C3 D 10如图,平面四边形 ACBD 中,ABBC,AB,BC2,ABD 为等边三角形,现 将ABD 沿 AB 翻折,使点 D 移动至点 P,且 PBBC,则三棱锥 PABC 的外接球的表 面积为( ) A8 B6 C4 D 11若函数 f(x)
4、ex的图象上两点 M,N 关于直线 yx 的对称点在 g(x)ax2 的图 象上,则 a 的取值范围是( ) A B(,e) C D(0,e) 12已知抛物线 C:y24x 和点 D(2,0),直线 xty2 与抛物线 C 交于不同两点 A,B, 直线 BD 与抛物线 C 交于另一点 E给出以下判断: 以 BE 为直径的圆与抛物线准线相离; 直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积为2; 设过点 A,B,E 的圆的圆心坐标为(a,b),半径为 r,则 a2r24 其中,所有正确判断的序号是( ) A B C D 二、填空题 13已知实数 x,y 满足约束条件,则 z2x+y 的最大值为 14某中学
5、举行了一次消防知识竞赛,将参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组,绘制如图所 示的频率分布直方图,记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组,已知 第二组的频数是 80,则成绩在区间80,100的学生人数是 15设双曲线 C:1(a0,b0)的左焦点为 F,过点 F 且倾斜角为 45的直 线与双曲线 C 的两条渐近线顺次交于 A, B 两点 若3, 则 C 的离心率为 16已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其导函数为 f(x),若 x0 时,f(x)2x,则 不等式 f(2x)f(x1)3x2+2x1 的解集是 三、 解答题: 共 70 分 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤
6、 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生依据要求作答(一)必考题:共 60 分 17某商场为改进服务质量,随机抽取了 200 名进场购物的顾客进行问卷调查,调查后,就 顾客“购物体验”的满意度统计如表: 满意 不满意 男 40 40 女 80 40 (1)是否有 97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关? (2)为答谢顾客,该商场对某款价格为 100 元/件的商品开展促销活动据统计,在此 期间顾客购买该商品的支付情况如表: 支付方 式 现金支付 购物卡支 付 APP 支付 频率 10% 30% 60% 优惠方 式 按 9 折支 付 按 8
7、折支 付 其中有 1/3 的顾客按 4 折支付,1/2 的顾客按 6 折支付, 1/6 的顾 客按 8 折支付 将上述频率作为相应事件发生的概率, 记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X, 求 X 的分布列和数学期望 附表及公式:K2 P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18已知 a,b,c 分别是ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acosC+csinAb+c (1)求 A; (2)若 a,b+c3,求 b,c 19如图,在四棱锥 PAB
8、CD 中,底面 ABCD 是菱形,BAD60,PAD 是边长为 2 的正三角形,E 为线段 AD 的中点 (1)求证:平面 PBC平面 PBE; (2) 若 F 为线段 PC 上一点, 当二面角 PDBF 的余弦值为时, 求三棱锥 BPDF 的体积 20已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O,其短半轴长为 1,一个焦点坐标为(1,0),点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线上,且 OAOB (1)证明:直线 AB 与圆 x2+y21 相切; (2)设 AB 与椭圆 C 的另一个交点为 D,当AOB 的面积最小时,求 OD 的长 21已知函数 f(x)exxlnx+ax,f(x)为 f(x)的导数,
9、函数 f(x)在 xx0处取得最 小值 (1)求证:lnx0+x00; (2)若 xx0时,f(x)1 恒成立,求 a 的取值范围 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选-题作答,如果多做,则按所做的第 一题记分选修 4-4:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为以 O 为极点,x 轴正半轴为极 轴建立,极坐标系,设点 A 在曲线 C2:sin1 上,点 B 在曲线 C3: 上,且AOB 为正三角形 (1)求点 A,B 的极坐标; (2)若点 P 为曲线 C1上的动点,M 为线段 AP 的中点,求|BM|的最大值 选修 4-5:不等式选讲 2
10、3已知函数 f(x)|2x+1| (1)解不等式:f(x)+f(x2)6; (2)求证:f(x+a2)f(x1)|x+2a2+3|+|x+2aa2| 参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1已知集合,B2,1,0,1,2,3,则(RA)B( ) A2,1,0,1,2 B0,1,2,3 C1,2,3 D2,3 【分析】先根据定义域求集合 A,再求补集,交集 解:Ax|x2,xZ, RAx|x2,xZ, (RA)B2,3, 故选:D 2若 i 为虚数单位,则复数的共轭复数 在复平面内对应的点位于 ( ) A第一象
11、限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】求三角函数值化简 z,再由复数的基本概念求得 的坐标得答案 解:, , 则 在复平面内对应的点的坐标为(,),位于第二象限 故选:B 3”是“函数 f(x)sin(3x+)的图象关于直线 x 对称”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】函数 f(x)sin(3x+)的图象关于直线 x对称,可得 sin(+) 1,解得 ,即可判断出结论 解:函数 f(x)sin(3x+)的图象关于直线 x对称,则 sin(+) 1,解得+k+,kZ,取 k1,则 ”是“函数 f(x)sin(3x+)的图象关于直线
12、 x对称”充分不 必要条件 故选:A 4幻方最早起源于我国,由正整数 1,2,n2这 n2个数填入 nn 方格中,使得每行、每列、 每条对角线上的数的和相等,这个正方形数阵就叫 n 阶幻方定义 f(n)为 n 阶幻方对 角线上所有数的和,如 f(3)15,则 f(10)( ) A55 B500 C505 D5050 【分析】 欲求 n 阶幻方对角线上数之和, 只需求每一行上数之和, 由 n 阶幻方定义可知, n 阶幻方由 1 到 n2,共 n2个连续自然数构成,且每一行都相等,所以,只需求出所有数 之和,再除以 n,最后把 10 代入即可得答案 解:对于 3 阶幻方,共由 1 到 32,即 1
13、 到 9 这 9 个连续自然数构成,且每一行都相等, 由等差数列得前 n 项和公式可得,这 9 个数字之和为45, 再除以 3,即可得出 f(3)15 一般的 n 阶幻方数字之和为 S1+2+n2; f(n)n(n2+1); f(10)(102+1)505 故选:C 5 已知 m, n 是两条不重合的直线, , 是两个不重合的平面, 则下列命题中错误的是 ( ) A若 m,则 m 或 m B若 mn,m,n,则 n C若 mn,m,n,则 D若 mn,m,则 n 【分析】直接利用线面和面面平行和垂直的判定和性质的应用求出结果 解:对于选项 A:若 m,则 m 或 m,利用面面平行的性质的应用可
14、得, 故正确 对于选项 B:若 mn,m,n,则 n,直接利用线面平行的判定的应用求出结 果,故正确 对于选项 C:若 mn,m,n,则 ,直接利用面面垂直的判定的应用求出结 果,故正确 对于选项 D:若 mn,m,则 n,可能 n 内,故错误 故选:D 6(x22)(x+2)5的展开式中含 x4的项的系数为( ) A20 B60 C70 D80 【分析】先求(x+2)5的展开式的通项公式,进而求得结论 解:因为(x+2)5的展开式的通项公式为:Tr+1 x5 r 2r; 令 5r2 即 r3,可得 x2的系数为:2380,此时对应的含 x4的项的系数为:80 180; 令 5r4 即 r1,
15、可得 x4的系数为:2110,此时对应的含 x4的项的系数为:10 (2)20; 故(x22)(x+2)5的展开式中含 x4的项的系数为:802060 故选:B 7若不相等的非零实数 x,y,z 成等差数列,且 x,z,y 成等比数列,则( ) A B2 C2 D 【分析】由等差数列和等比数列的中项性质,可得 x,y,z 的方程,消去 z,解得 x,y 的关系,可得 z,y 的关系,代入求值可得 解:不相等的非零实数 x,y,z 成等差数列,且 x,z,y 成等比数列, 可得 x+z2y,z2xy,消去 z 可得(x2y)2xy, 化为 x25xy+4y20,解得 x4y(xy 舍去), 即有
16、 z2y, 则, 故选:A 8周易是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化右图是一个八卦图,包 含乾、坤、震、巽、坎离、艮、兑八卦(每卦由三个爻组成,其中“”表示 一个阳爻,“”表示一个阴爻)若从八卦中任取两卦,这两卦的六个爻中恰有两 个阳爻的概率为( ) A B C D 【分析】从八卦中任取两卦,基本事件总数 nC 28,这两卦的六个爻中恰有两个阳 爻包含的基本事件个数 m6,由此能求出这两卦的六个爻中恰有两个阳爻 的概率 解:八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎离、艮、兑八卦, 从八卦中任取两卦,基本事件总数 nC 28, 这两卦的六个爻中恰有两个阳爻包含的基本事件个数 m6, 这两卦的六
17、个爻中恰有两个阳爻的概率为 P 故选:C 9在ABC 中,点 P 为 BC 中点,过点 P 的直线与 AB,AC 所在直线分别交于点 M,N, 若,(0,0),则 + 的最小值为( ) A B2 C3 D 【分析】 可画出图形, 根据条件可得出, 进而可得出, 从而得出,然后根据基本不等式即可得出 + 的最小值 解:如图,连接 AP, P 为 BC 的中点,且 0,0, ,且 M,P,N 三点共线, , ,当且仅 当,即 1 时取等号, + 的最小值为 2 故选:B 10如图,平面四边形 ACBD 中,ABBC,AB,BC2,ABD 为等边三角形,现 将ABD 沿 AB 翻折,使点 D 移动至
18、点 P,且 PBBC,则三棱锥 PABC 的外接球的表 面积为( ) A8 B6 C4 D 【分析】 容易判断, 折叠后面 ABP 与面 ABC 垂直, 可以构造一个以三角形 PAB 为底面, 侧棱为 BC 的正三棱柱,所求的外接球即为该三棱柱的外接球球心为上下底面中心连 线的中点,则问题可迎刃而解 解:因为 ABBC,且 PBBC,所以 BC面 PAB 以折叠后的三棱锥是底面边长为,侧棱长为 2 的正三棱柱的一部分,如图所示 设 H、K 分别为上下底面的中心,O 为 HK 的中点,在直角三角形 OHN 中, 由正三角形的性质可知 NH,OH 所以 故外接球的表面积 S4R28 故选:A 11
19、若函数 f(x)ex的图象上两点 M,N 关于直线 yx 的对称点在 g(x)ax2 的图 象上,则 a 的取值范围是( ) A B(,e) C D(0,e) 【分析】易知,函数 f(x)ex关于直线 yx 对称的函数为 ylnx,由题意,函数 g(x) ax2 与函数 ylnx 有两个交点,作图观察即可得到结论 解:函数 f(x)ex关于直线 yx 对称的函数为 ylnx, 则函数 g(x)ax2 与函数 ylnx 有两个交点,显然 a0, 作出函数图象如下, ; 设 ylnx 上任一点坐标为(x0,lnx0),因为其导函数为 y,故其对应切线的斜率为: k ; 故切线为:ylnx0(xx0
20、)y x1+lnx0; 当切线过点(0,2)时; 1+lnx02x0;此时对应的切线斜率为:e; 由图可知,要使函数 f(x)ax2 与函数 ylnx 有两个交点,则需 0ae 故选:D 12已知抛物线 C:y24x 和点 D(2,0),直线 xty2 与抛物线 C 交于不同两点 A,B, 直线 BD 与抛物线 C 交于另一点 E给出以下判断: 以 BE 为直径的圆与抛物线准线相离; 直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积为2; 设过点 A,B,E 的圆的圆心坐标为(a,b),半径为 r,则 a2r24 其中,所有正确判断的序号是( ) A B C D 【分析】如图所示,设 A(x1,y1),B
21、(x2,y2),E(x3,y3) 设直线 BD 的方程为:xmy+2,联立,化为:y24my80,利用根与系 数的关系、中点坐标公式、弦长公式可得:线段 BE 的中点到抛物线的准线 x1 的距 离 d(y2+y3)+2,|BE|,比较即 可得出结论 直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积,即可判断出正误 联立,化为:y24ty+80设线段 AB 的中点 Q(x0,y0),利用根与系 数的关系、 中点坐标公式可得 Q, 可得段 AB 的垂直平分线为: y2t (x2t2+2) 可 得ABE 外接圆的圆心 M(2t2,0),即 a2t2,b0利用点到直线的距离公式可得: 点 M 到直线 AB 的距离
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