湖南省常德市2020年4月高考数学模拟试卷（理科）试题（含答案解析）

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1、2020 年高考（理科）数学（4 月份）模拟试卷 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x2+4x120，Bx|1x5，则 AB（ ） A（1，2） B（1，5） C2，5） D1，2 2已知复数 z 满足|z+i|1，且|z|2，则 z（ ） A1+i B1+i C2i D2i 3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S728，a2+a47，则 a8（ ） A6 B7 C8 D9 4如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的三个全等的等腰直角三角形是 某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B C D4 5如图所示，折线图和条形图分别为某位职员 2018

2、年与 2019 年的家庭总收入各种用途所 占比例的统计图， 已知 2018 年的家庭总收入为 10 万元， 2019 年的储蓄总量比 2018 年的 储蓄总量减少了 10%，则下列说法： 2019 年家庭总收入比 2018 年增长了 8%； 年衣食住的总费用与 2018 年衣食住的总费相同； 2019 年的旅行总费用比 2018 年增加了 2800 元； 2019 年的就医总费用比 2018 年增长了 5% 其中正确的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 6函数 f（x）sin（x+），（0，|）的部分图象如图所示，则下列说法 正确的是（ ） A函数 f（x）在区间（，0）上单调递增 B函数

3、f（x）的最小正周期为 2 C函数 f（x）的图象关于点（，0）对称 D函数 f（x）的图象可以由 ysinx 的图象向右平移个单位得到 7设函数 f（x）的定义域为（0，+），满足 f（x+2）2f（x），且当 x（0，2时，f （x）log2（x+2） log3（x+1），则 f（7）（ ） A1 B2 C6 D8 8双曲线 E：1 的一条渐近线与圆 C：（x3） 2+y24 相交于 A，B，若ABC 的面积为 2，则双曲线 E 的离心率为（ ） A B C D 9在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，若 acosB+bcosA2bc，且 SccosA，则 A

4、（ ） A B C D 10河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出 的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”把一到十分成五组，如图，其口诀： 一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居 西；五十同途，为土居中“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土 的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火， 火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木现从这十个 数中随机抽取 3 个数，则这 3 个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的 概率为（ ） A B

5、C D 11抛物线 E：yax2（a0）过点（2，1），直线 l 过点 M（2，0）且与抛物线 E 交于两 点 A，B，与 y 轴交于点 C，则下列命题： 抛物线 E 的焦点为 F（0，） 抛物线 E 的准线为 y1； |MA|+|MB|2|MC|； |MC|2|MA| |MB|； 其中正确命题有（ ） A B C D 12已知函数 f（x）是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f（x）， 且 f（0）0，则不等式 f（3x1）f（2x1）f（x1）的解集为（ ） A（0，） B（0，） C（0，）（，） D（0，）（，） 二、填空题 13设向量 （2，m）， （3，4），且| | |，则

6、m 14已知 tan（+）2，（0，），则 sin+cos 15已知函数 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）lnx+ex1，则函数 f（x）在 x1 处的 切线方程为 16 如图， 在直角梯形 ABCD 中， ADBC， ABBC， BC2AB4AD4， 将直角梯形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使点 A 到 P 点位置，则四面体 PBCD 的体积的最大值为 ，此 时，其外接球的表面积为 三、解答题 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 4Sn+55an，nN* （）求数列an的通项公式； （）若数列bn满足：bn，设数列bn的前 n 项和为 Tn，证明：Tn 1 18如图，已知

7、平面 BCE平面 ABC，直线 DA平面 ABC，且 DAABAC （）求证：DA平面 EBC； （）若BAC，DE平面 BCE，求二面角 ADCE 的余弦值 19已知椭圆 C：+1，右顶点为 A，右焦点为 F，O 为坐标原点， 2，椭圆 C 过点（1，） （）求椭圆 C 的方程； （）若过点 B（0，2）的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 D，E（D 在 B，E 之间）， 求OBD 与OBE 面积之比的取值范围 202020 年全球爆发新冠肺炎，人感染了新冠肺炎病毒后常见的呼吸道症状有：发热、咳 嗽、气促和呼吸困难等，严重时会危及生命随着疫情的发展，自 2020 年 2 月 5 日起，

8、武汉大面积的爆发新冠肺炎，政府为了及时收治轻症感染的群众，逐步建立起了 14 家方 舱医院，其中武汉体育中心方舱医院从 2 月 12 日开舱至 3 月 8 日闭仓，累计收治轻症患 者 1056 人据部分统计该方舱医院从 2 月 26 日至 3 月 2 日轻症患者治愈出仓人数的频 数表与散点图如下： 日期 2.26 2.27 2.28 2.29 3.1 3.2 序号 x 1 2 3 4 5 6 出仓人数 y 3 8 17 31 68 168 根据散点图和表中数据，某研究人员对出仓人数 y 与日期序号 x 进行了拟合分析从散 点图观察可得， 研究人员分别用两种函数 mx2+pyketx分析其拟合效

9、果 其相关 指数 R2可以判断拟合效果， R2越大拟合效果越好 已知 ymx2+p的相关指数为R20.89 （I）试根据相关指数判断上述两类函数，哪一类函数的拟合效果更好？（注：相关系 数 r 与相关指数 R2满足 R2r2，参考数据表中 ulny，vx2） （II）根据（I）中结论，求拟合效果更好的函数解析式；（结果保留小数点后三位） ）3 月 3 日实际总出仓人数为 216 人，按中的回归模型计算，差距有多少人？ （附：对于一组数据（xi，yi）（i1，2，n），其回归直线为 x+ 相关系数r， ， 参考数据： （vi ）2 （yi ）2 （ui ）2 （xi ） （ui ） （vi ）（

10、yi ） 3.5 49.17 15.17 3.13 894.83 19666.83 10.55 13.56 3957083 4.18，3.25，e0.4181.520，e5.425227 21已知函数 f（x）x2+2cosx（x0） （）求函数 f（x）的单调区间； （）当 a1 时，对任意 x0，+），证明：2+sinxeax+cosx 请考生在第 22，23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按做的第一 个题目计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C1的参数方程为（t 为参数

11、， a0） ， 曲线 C2的极坐标方程为：cos （+） 10且两曲线 C1与 C2交于 M，N 两点 （）求曲线 C1、C2的直角坐标方程； （）设 P（1，2），若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知实数 a，b，c 满足 a+b+c1，+3； （）求证：（1）（1）（1）8； （）当（）中不等式取等号时，且关于 x 的不等式|x+|x|x2+x+t 的解集 非空，求 t 的取值范围 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1已知集合 Ax|x2+4x12

12、0，Bx|1x5，则 AB（ ） A（1，2） B（1，5） C2，5） D1，2 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可 解：Ax|6x2，Bx|1x5， AB（1，2） 故选：A 2已知复数 z 满足|z+i|1，且|z|2，则 z（ ） A1+i B1+i C2i D2i 【分析】设 zx+yi（x，yR），由|z+i|1，且|z|2，得关于 x，y 的二元二次方程组， 求解得答案 解：设 zx+yi（x，yR）， 由|z+i|1，且|z|2， 得，解得 x0，y2 z2i 故选：C 3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S728，a2+a47，则 a8（ ） A6 B

13、7 C8 D9 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出 解：设等差数列an的公差为 d，S728，a2+a47， 7a1+21d28，2a1+4d7 解得：a1，d 则 a8 +76 故选：A 4如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的三个全等的等腰直角三角形是 某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B C D4 【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥，放入棱长为 2 的正方体中，容易求出三棱锥 的体积 解：根据三视图知，该几何体是三棱锥，放入棱长为 2 的正方体中， 如图所示； 计算该三棱锥的体积为 V222 故选：B 5如图所示，折线图和条形图分别为某位职员 2

14、018 年与 2019 年的家庭总收入各种用途所 占比例的统计图， 已知 2018 年的家庭总收入为 10 万元， 2019 年的储蓄总量比 2018 年的 储蓄总量减少了 10%，则下列说法： 2019 年家庭总收入比 2018 年增长了 8%； 年衣食住的总费用与 2018 年衣食住的总费相同； 2019 年的旅行总费用比 2018 年增加了 2800 元； 2019 年的就医总费用比 2018 年增长了 5% 其中正确的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】设该教师家庭 2019 年收入为 x 元，则 25%x10000030%90%，解得 x 108000进而判断出正误 解：

15、设该教师家庭 2019 年收入为 x 元， 则 25%x10000030%90%， 解得 x108000 可得：2019 年家庭总收入比 2018 年增长了8%，正确； 虽然年衣食住的总费用占用家庭总收入的比例 25%，但是家庭总收入不一样，因此年 衣食住的总费用与 2018 年衣食住的总费不相同，不正确； 2019 年的旅行总费用比 2018 年增加了（108000100000）35%2800 元，正确； 2019 年的就医总费用比 2018 年增长了6.2%， 因此 不正确 其中正确的个数为 2 故选：B 6函数 f（x）sin（x+），（0，|）的部分图象如图所示，则下列说法 正确的是（

16、 ） A函数 f（x）在区间（，0）上单调递增 B函数 f（x）的最小正周期为 2 C函数 f（x）的图象关于点（，0）对称 D函数 f（x）的图象可以由 ysinx 的图象向右平移个单位得到 【分析】本题是对三角函数图象的综合考量，首先最小正周期 T，图象平移遵循 左加右减对称中心公式为+2kx+2k 解：如图所示，可得，T，2 图象过两点（，0），（，） sin（2+）0，sin（2+）0，2+k，k，| 当 k1 时， 函数 f（x）sin（2x+） A：+2k2x+ +2k（kz），解得 kxk+，当 k0 时， x为递增区间，A 中（，0）超出了范围，所以 A 错 B：最小正周期 T

17、（已求），所以 B 错 C：对称中心为 2x+k，x（kz），当 k1 时，x，所以对称中心 为（，0），所以 C 错 D：f（x）sin（2x）sin（2（x+ ），所以函数图象可以由 ysinx 向右平移个单位得到 故选：D 7设函数 f（x）的定义域为（0，+），满足 f（x+2）2f（x），且当 x（0，2时，f （x）log2（x+2） log3（x+1），则 f（7）（ ） A1 B2 C6 D8 【分析】根据题意，分析可得 f（7）2f（5）4f（3）8f（1），结合函数的解析式 求出 f（1）的值，计算可得答案 解：根据题意，f（x）满足 f（x+2）2f（x），则 f（7）2

18、f（5）4f（3）8f（1）， 又由当 x（0，2时，f（x）log2（x+2） log3（x+1）， 则 f（1）log23 log321， 则 f（7）8f（1）8； 故选：D 8双曲线 E：1 的一条渐近线与圆 C：（x3） 2+y24 相交于 A，B，若ABC 的面积为 2，则双曲线 E 的离心率为（ ） A B C D 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由点到直线的 距离公式求圆心到直线的距离，进一步求得弦长，利用三角形面积公式列式求解 解：双曲线 E：1（a0，b0）的一条渐近线：bxay0， 与圆（x3）2+y24 相交于 A、B 两点，圆的圆心（3

19、，0），半径为 2， 圆心到直线的距离为：d，弦长|AB|2， 可得：， 整理得：2a27b2，即 2a27（a2c2）， 解得双曲线 E 的离心率为 故选：C 9在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，若 acosB+bcosA2bc，且 SccosA，则 A（ ） A B C D 【分析】由已知利用正弦定理，两角和的正弦函数公式可得 sinC2bsinC，解得 b， 进而根据三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式即可求得 tanA1，结合范围 A （0，），可求 A 的值 解：acosB+bcosA2bc， 由正弦定理可得 sinAcosB+sinBcosA2

20、bsinC， sinAcosB+sinBcosAsin（A+B）sinC0， sinC2bsinC，即 b， SccosAbcsinAcsinA， sinAcosA，即 tanA1， A（0，）， A 故选：B 10河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出 的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”把一到十分成五组，如图，其口诀： 一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居 西；五十同途，为土居中“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土 的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火

21、， 火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木现从这十个 数中随机抽取 3 个数，则这 3 个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的 概率为（ ） A B C D 【分析】从这十个数中随机抽取 3 个数，这 3 个数字的属性互不相克，包含的基本事件 个数 n20，这 3 个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土 的数字包含的基本事件个数为：m8，由此能求出这 3 个数字的 属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率 解：由题意得数字 4，9 属性为金，3，8 属性为木，1，6 属性为水， 2，7 属性为火，5，10 属性为土， 从这十个数中随机抽取 3 个

22、数，这 3 个数字的属性互不相克， 包含的基本事件个数 n20， 这 3 个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为： m 8， 这 3 个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率 p 故选：C 11抛物线 E：yax2（a0）过点（2，1），直线 l 过点 M（2，0）且与抛物线 E 交于两 点 A，B，与 y 轴交于点 C，则下列命题： 抛物线 E 的焦点为 F（0，） 抛物线 E 的准线为 y1； |MA|+|MB|2|MC|； |MC|2|MA| |MB|； 其中正确命题有（ ） A B C D 【分析】抛物线 E：yax2（a0）过点（2，1），

23、可得：14a，可得抛物线方程为： x24y进而判断出是否正确设直线 l 的方程为：，t 为参数， 为直线 l 的倾斜角，为钝角，C（0，2tan）代入抛物线方程可得：cos2 t2+（4cos 4sin）t+40，利用 t1+t2，t1t2，利用参数的方程即可 判断出是否正确 解：抛物线 E：yax2（a0）过点（2，1），可得：14a，解得 a 抛物线方程 为：x24y 1 抛物线 E 的焦点为 F（0，1）；抛物线 E 的准线为 y1； 设直线 l 的方程为：，t 为参数， 为直线 l 的倾斜角，为钝角，C（0， 2tan） 代入抛物线方程可得：cos2 t2+（4cos4sin）t+40

24、， t1+t2 ，t1t2 ， |MA|+|MB|t1+t2，|MA| |MB| |MC| ，|MC|2 t1t2，|MA|+|MB|2|MC|；|MC|2|MA| |MB| 综上只有正确 故选：D 12已知函数 f（x）是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f（x）， 且 f（0）0，则不等式 f（3x1）f（2x1）f（x1）的解集为（ ） A（0，） B（0，） C（0，）（，） D（0，）（，） 【分析】运用导数判断 f（x）在（0，1），1，+）的单调性，可得 f（x）在（0，+） 递增，由偶函数的性质可得 f（x）f（|x|），可将原不等式的“f”去掉，解不等式可得 所求解集 解

25、：当 x0 时，f（x）， 由 x1 时，f（x）xlnx 的导数为 f（x）1+lnx10，可得 f（x）在1，+）递增； 又 0x1 时，f（x）1x2的导数为 f（x）2x30，可得 f（x）在（0，1）递 增， 且 111ln10，可得 f（x）在（0，+）递增 又 f（x）是定义域为 R 的偶函数，可得 f（x）f（|x|）， 由 f（0）0，不等式 f（3x1）f（2x1）f（x1）， 即为 f（|3x1|）f（|2x1|）f（|x1|）， 由 f（x）在（0，+）递增，可得 0|3x1|2x1|x1|， 化为，解得 0x或x， 则原不等式的解集为（0，）（，）， 故选：D 二、填

26、空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13设向量 （2，m）， （3，4），且| | |，则 m 4 【分析】可求出，从而根据即可得出（m4）20，解 出 m 即可 解：，且， ， 25+（m4）225，解得 m4 故答案为：4 14已知 tan（+）2，（0，），则 sin+cos 【分析】先根据两角和的正切展开求得 tan，再结合同角三角函数的基本关系式求 得 sin，cos，即可求得结论 解：因为 tan（+）2，（0，）， 2tan； 为锐角； 且 cos3sin； sin2+cos21 ； 联立可得：cos，sin； sin+cos

27、； 故答案为： 15已知函数 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）lnx+ex1，则函数 f（x）在 x1 处的 切线方程为 2x+y+10 【分析】依题意，可求得 x0 时的解析式为 f（x）xln（x）+1，求导，可得曲线 yf（x）在 x1 处的切线的斜率，继而可得答案 解：因为函数 f（x）是偶函数，当 x0 时，f（x）lnx+ex1，所以当 x0 时，x0， 所以 f（x）f（x）ln（x）+ex1， 所以 f（1）1， 又 f（x）， 所以 f（1）2， 所以曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为 2x+y+10 故答案为：2x+y+10 16 如图， 在直角梯形 ABCD

28、 中， ADBC， ABBC， BC2AB4AD4， 将直角梯形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使点 A 到 P 点位置，则四面体 PBCD 的体积的最大值为 ， 此时，其外接球的表面积为 【分析】四面体 PBCD 的体积的最大值时，面 PBD面 DBC，点 P 到面 DBC 的距离为 PDB 斜边 DB 上的高 h求得 h 即可求得四面体 PBCD 的体积的最大值，PDB 的外 心为斜边 DB 的中点 M，DBC 的外心为 O， 过 M 作面 PDB 的垂线，过 O 作面 BDC 的垂线，两垂线的交点即为球心，由面 PBD面 DBC，即可得 O 即为球心，利用正弦定理即可得的外接圆半径即为

29、球半径 解：如图，四面体 PBCD 的体积的最大值时，面 PBD面 DBC， 点 P 到面 DBC 的距离为PDB 斜边 DB 上的高 h ，h 故最大体积为 V PDB 的外心为斜边 DB 的中点 M，DBC 的外心为 O， 过 M 作面 PDB 的垂线，过 O 作面 BDC 的垂线，两垂线的交点即为球心 面 PBD面 DBC， O 即为球心，的外接圆半径即为球半径 2R 外接球的表面积为 S4R2 故答案为：， 三、解答题：解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 4Sn+55an，nN* （）求数列an的通项公式； （）若数列bn满足：bn，设

30、数列bn的前 n 项和为 Tn，证明：Tn 1 【分析】 本题第 （） 题利用公式 an进行计算并转化可发现数列an 是以 5 为首项，5 为公比的等比数列，即可计算出数列an的通项公式； 第（）题先根据第（）题的结果计算出数列bn的通项公式，然后运用裂项相消法 计算出前 n 项和 Tn，最后应用放缩法证明结论成立 【解答】（）解：由题意，当 n1 时，4S1+54a1+55a1，解得 a15 当 n2 时，由 4Sn+55an，可得： 4Sn1+55an1， 两式相减，可得 4Sn4Sn15an5an1， 4an5an5an1，即 an5an1 数列an是以 5 为首项，5 为公比的等比数列

31、， an5 5n15n，nN* （） 证明： 由 （） 知， bn Tnb1+b2+bn 1+ 11， 故得证 18如图，已知平面 BCE平面 ABC，直线 DA平面 ABC，且 DAABAC （）求证：DA平面 EBC； （）若BAC，DE平面 BCE，求二面角 ADCE 的余弦值 【分析】（）过点 E 作 EHBC 于点 H，由已知利用面面垂直的性质可得 EH平面 ABC，结合 DA平面 ABC，得 ADEH，再由线面平行的判定可得 DA平面 EBC； （）由已知证明四边形 DAHE 是矩形，以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB，AD 所在直 线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设

32、DA2a，分别求出平面 DEC 的一个法向量与 平面 DAC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 ADCE 的余弦值 【解答】（）证明：过点 E 作 EHBC 于点 H， 平面 BCE平面 ABC，又平面 BCE平面 ABCBC，EH平面 BCE， EH平面 ABC， 又DA平面 ABC，ADEH， EH平面 BCE，DA平面 BCE， DA平面 EBC； （）DE平面 BEC，DEBDEC， 又DBDC，DEDE，DEBDEC，则 BECE， 点 H 是 BC 的中点，连接 AH，则 AHBC， AH平面 EBC，则 DEAH，AHEH 四边形 DAHE 是矩形 以 A 为坐标

33、原点，分别以 AC，AB，AD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 DA2a，则 E（a，a，2a），C（2a，0，0），D（0，0，2a）， 设平面 DEC 的一个法向量为， ， 由，取 x1，得； 又平面 DAC 的一个法向量为， 设二面角 ADCE 的平面角为 ， 则|cos|cos|， 又二面角 ADCE 是钝角，则二面角 ADCE 的余弦值为 19已知椭圆 C：+1，右顶点为 A，右焦点为 F，O 为坐标原点， 2，椭圆 C 过点（1，） （）求椭圆 C 的方程； （）若过点 B（0，2）的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 D，E（D 在 B，E 之间）， 求OB

34、D 与OBE 面积之比的取值范围 【分析】 （）由2，椭圆 C 过点（1， ），及 a，b，c 之间的关系，可得 a， b 的值，进而求出椭圆的方程； （）设直线 l 的方程，与椭圆联立由0，可得斜率的范围，求出两根之和及两根之 积，求出面积之比可得 C，D 的横坐标之比，代入两根之和及两根之积，可得 k 的表达 式，进而求出面积之比的范围 解：（）由，可得，a2c，且过点（1，），则+1，焦解得： a2，b， 所以椭圆的方程为：+1； （）由题意可知直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为：ykx+2，设 D（x1，y2），E（x2， y2）， 将 l 的方程代入+1，整理可得：（3+4k2）

35、x2+16kx+40， 0，可得：k2，x1+x2，x1x2 ，* 令 t，且 0t1， 将 x1tx2代入*可得： ，可得：， 所以 k2 ，解得：74t1， 所以OBD 与OBE 面积之比的取值范围：（74，1） 202020 年全球爆发新冠肺炎，人感染了新冠肺炎病毒后常见的呼吸道症状有：发热、咳 嗽、气促和呼吸困难等，严重时会危及生命随着疫情的发展，自 2020 年 2 月 5 日起， 武汉大面积的爆发新冠肺炎，政府为了及时收治轻症感染的群众，逐步建立起了 14 家方 舱医院，其中武汉体育中心方舱医院从 2 月 12 日开舱至 3 月 8 日闭仓，累计收治轻症患 者 1056 人据部分统

36、计该方舱医院从 2 月 26 日至 3 月 2 日轻症患者治愈出仓人数的频 数表与散点图如下： 日期 2.26 2.27 2.28 2.29 3.1 3.2 序号 x 1 2 3 4 5 6 出仓人数 y 3 8 17 31 68 168 根据散点图和表中数据，某研究人员对出仓人数 y 与日期序号 x 进行了拟合分析从散 点图观察可得， 研究人员分别用两种函数 mx2+pyketx分析其拟合效果 其相关 指数 R2可以判断拟合效果， R2越大拟合效果越好 已知 ymx2+p的相关指数为R20.89 （I）试根据相关指数判断上述两类函数，哪一类函数的拟合效果更好？（注：相关系 数 r 与相关指数

37、 R2满足 R2r2，参考数据表中 ulny，vx2） （II）根据（I）中结论，求拟合效果更好的函数解析式；（结果保留小数点后三位） ）3 月 3 日实际总出仓人数为 216 人，按中的回归模型计算，差距有多少人？ （附：对于一组数据（xi，yi）（i1，2，n），其回归直线为 x+ 相关系数r， ， 参考数据： （vi ）2 （yi ）2 （ui ）2 （xi ） （ui ） （vi ）（yi ） 3.5 49.17 15.17 3.13 894.83 19666.83 10.55 13.56 3957083 4.18，3.25，e0.4181.520，e5.425227 【分析】（I）由

38、相关数据和参考公式求出相关系数 r 即可得解； （II）根据参考公式求出这两个系数，从而得到 lny0.775x+0.418，于是可知回 归方程； 把 x7 代入中求出的回归方程即可得解 解：（I）由 yketx得，lnytx+lnk，令 ulny， 由上表得：， 又由已知计算得， r， 故由 R2r20.9960.89，因此回归方程的拟合效果更好 （II）， ， 故 lny0.775x+0.418， 即回归方程为 ye0.775x+0.4181.520e0.775x 当序号 x7 时，y1.520e0.77571.520e5.4251.520227345， 而 3 月 3 日实际出仓人数为

39、216 人，相差 129 人 21已知函数 f（x）x2+2cosx（x0） （）求函数 f（x）的单调区间； （）当 a1 时，对任意 x0，+），证明：2+sinxeax+cosx 【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解； （II）结合（I）可知，结合已知不等式的特点，合理的构造函数，结合函数的性质及导 数可证 解：（I）函数的定义域0，+），f（x）2x2sinx， 设 g（x）xsinx，则 g（x）1cosx0， 所以 g（x）在0，+）上单调递增， 所以 g（x）g（0）0， 所以 xsinx0，f（x）2x2sinx0， 所以 f（x）的单调递增区间0，+

40、）， （II）由（I）可知 f（x）f（0）2， 即 x2+2cosx2，即 cosx ， 因为 a1， 所以 eaxex， ， （I）知，xsinx0， sinxx，2+sinx2+x， 由知，要证原不等式，知即， 设 h（x），则 h（x）exx1， 设 （x）exx1，则 x）ex1， x0，则 （x）0， 则 （x）在0，+）上单调递增，（x）（0）0， 即 h（x）0， 故 h（x）在0，+）上单调递增，故 h（x）h（0）0， 所以， 故 2+sinxeax+cosx 请考生在第 22，23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按做的第一 个题目计分.选修 4-

41、4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C1的参数方程为（t 为参数， a0） ， 曲线 C2的极坐标方程为：cos （+） 10且两曲线 C1与 C2交于 M，N 两点 （）求曲线 C1、C2的直角坐标方程； （）设 P（1，2），若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值 【分析】（）由曲线 C1的参数方程，消参能求出曲线 C1的直角坐标方程；曲线 C2的 极坐标方程转化为 cossin10，由此能求出曲线 C2的直角坐标方程 （）设直线的参数方程为（t 为参数），将参数方程代入曲线 x24ay， 得，由

42、此能求出实数 a 的值 解：（）由曲线 C1的参数方程为（t 为参数，a0）， 消参得曲线 C1的直角坐标方程为 x24ay 曲线 C2的极坐标方程为： cos（+）10 cossin10， 曲线 C2的直角坐标方程为 xy10 （）由直线 xy10 过点 P（1，2），且倾斜角为， 设直线的参数方程为（t 为参数）， 将参数方程代入曲线 x24ay，得： ， 8（2a+1）24（16a+2）0，解得 a1， 且 t1+t22 （2a+1），t1 t216a+2， 由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，得|MN|2|PM| |PN|， 由直线参数方程的几何意义知|t1t2|2|t1 t2|

43、，即|t1+t2|24t1t2|t1t2|， t1t20，|t1+t2|25t1t2，8（2a+1）25（16a+2）， 化简为 16a224a10， 解得 a或 a（舍）， 实数 a 的值为 选修 4-5：不等式选讲 23已知实数 a，b，c 满足 a+b+c1，+3； （）求证：（1）（1）（1）8； （）当（）中不等式取等号时，且关于 x 的不等式|x+|x|x2+x+t 的解集 非空，求 t 的取值范围 【分析】（）首先判断 a0，b0，c0，再将原不等式的左边变形，运用基本不等 式和不等式的性质，即可得证； （）由（）将原不等式化为|x+3|x3|9x2+x+t，即 t9x2x+|x

44、+3|x3|的解 集非空，构造函数 f（x）9x2x+|x+3|x3|，则 tf（x）max，由绝对值的意义， 去绝对值，运用二次函数的最值求法，可得所求 解：（）证明：由 a+b+c1，且+3， 可得 a0，b0，c0， 则（1）（1）（1）8， 当且仅当 abc取得等号； （）由（）可得 abc，则原不等式|x+3|x3|9x2+x+t， 即 t9x2x+|x+3|x3|的解集非空， 设 f（x）9x2x+|x+3|x3|，则 tf（x）max， 当 x3 时，f（x）9x2x+6 递减，可得 f（x）78； 当3x3 时，f（x）9x2+x 的最大值为 f（）； 当 x3 时，f（x）9x2x6 递增，可得 f（x）84； 即有 f（x）的最大值为， 所以 t